Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Egzamin maturalny CZERWIEC 2011"

Transkrypt

1 Egzamin maturalny CZERWIEC 0

2 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności x (,) x,5) x 5, ) x+ 4 x+ 5 x x x 4 x+ 5 x x 4+ x 5 x x 7 Wyznaczamy części wspólne otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, x sprzeczność x 7 i bierzemy sumę tych przedziałów: x (, 7, ). II sposób rozwiązania zapisanie czterech przypadków x 4 0 x 4 0 x 4 < 0 Zapisujemy cztery przypadki: x 5 0 x 5 < 0 x 5 0 Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przypadkach: x 4 0 x 5 0 x 4 0 x 5 0 x 4+ x 5 x x 5 x x x 5 x 7 ) x 7, x 4 0 x 5 < 0 x 4 0 x 5 < 0 x 4 x+ 5 x x < 5 x niemożliwe x 4 < 0 x 5 0 niemożliwe x 4 < 0 x 5 < 0 x 4 < 0 x 5 < 0 x 4< 0 x 5 < 0 x + 4 x + 5 x < x < 5 x x < x < 5 x x (, Zapisujemy odpowiedź: x (, 7, )

3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (, ),,5), 5, ) x 4 0 x 4 0 x 4 < 0 x 4 < 0 zapisze cztery przypadki: x 5 0 x 5 < 0 x 5 0 x 5 < 0 Uwaga: Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy 0 punktów. Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np: x, x+ 4 x+ 5 I. ( ) II. x,5) x 4 x+ 5 III. x 5, ) x 4 + x 5 Uwagi:. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź: x lub x 7. Uwaga:. We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o pkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.. Jeżeli zdający przy przekształcaniu nierówności podanej w treści zadania popełni błąd (np. ( x 4 ) + x 5 ), to otrzymuje punkt mniej niż przewidziany w schemacie w danej kategorii rozwiązania

4 Zadanie. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x ( m ) x m = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x, spełniające warunek x + x x x 5. Rozwiązanie: Zapisujemy układ warunków: Δ > 0 x + x xx 5 Rozwiązujemy nierówność Δ > 0 : m + 4m >, ( ) 0 m + 0m + 4 > 0 m, , +. ( ) ( ) Rozwiązujemy nierówność ( x + x ) x x 5 4 b c 4 5 a a m + 0m 96 0 Otrzymujemy m 4, 4. x + x x x 5. Częścią wspólną obu zbiorów jest suma przedziałów 4, 0 4 6) ( ,4. Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części. a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0, gdzie Δ = m + 0m + 4, czyli m + 0m + 4 > 0 m (, 0 4 6) ( , + ). Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność Δ 0, to nie otrzymuje punktu za tę część. b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty. x + x x x 5, m 4, 4. c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b). Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt. W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt zapisanie nierówności x x xx 5 x + x 4xx wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności + w postaci równoważnej ( )

5 m m + 0m+ 4 m + m + 0m m m + 0m+ 4 m + m + 0m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania... pkt Doprowadzenie nierówności do postaci m + 0m Rozwiązanie bezbłędne części b)... pkt Rozwiązanie nierówności: m 4, 4 Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi: m 4, 0 4 6) ( ,4. Uwaga. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności, to otrzymuje 4 punkty

6 Zadanie. (5 pkt) Ciąg ( a, b, c ) jest geometryczny. Ciąg (a+, b, c ) jest arytmetyczny i suma jego dwóch pierwszych wyrazów jest równa trzeciemu. Oblicz a, b, c. I sposób rozwiązania Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: b = a c, a z własności ciągu b = a+ + c. arytmetycznego zapisujemy równanie: ( ) ( ) ( ) ( a+ ) + ( b) = ( c ) Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: b = a c. ( b) = ( a+ ) + ( c ) Przekształcamy układ równań do równania z jedną niewiadomą: ( a ) a( 9a ) b = b ( b+ ) lub c 4 = c c 9 9. Rozwiązujemy równania i otrzymujemy: a = lub b = lub c = 48. Warunki zadania spełniają liczby: a=, b=, c= = + lub II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, a przez q iloraz tego ciągu. Wówczas b= a q, c= a q. Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania zapisujemy układ równań: ( aq) = ( a + ) + ( aq ) a( q 4q+ ) = 9 lub. ( a+ ) + ( aq) = aq a( q q ) = Z pierwszego równania mamy a = 5 q 4q q 4q q q =. + +, zatem ( ) Po uproszczeniu otrzymujemy równanie q 7q+ = 0. Rozwiązaniem tego równania są liczby: q = oraz q = 4. Zauważamy, że dla q = pierwsze równanie jest sprzeczne. Warunki zadania spełniają liczby: a=, b=, c= 48. Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np. b = a c ( b) = ( a+ ) + ( c ) ( a+ ) + ( b) = ( c )

7 ( aq) = ( a + ) + ( aq ) ( a+ ) + ( aq) = aq Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań z trzema lub dwiema niewiadomymi np.: b = ac 4aq = a + + aq a( q q ) = 5 4b = a + + c lub lub a+ + aq= aq a + + b = c a( q 4q+ ) = 9 Uwaga: Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Doprowadzenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np. ( a + ) = a( 9a + ) lub b = b ( b+ ) lub q 7q+ = 0 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Rozwiązanie bezbłędne... 5 pkt a =, b =, c = 48. Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje układ z niewiadomymi a, q i nie odrzuci rozwiązania q =, to otrzymuje 4 punkty

8 Zadanie 4. (4 pkt) Rozwiąż równanie 6sin x+ 7cosx = 0 dla x 0, π. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja 6 cos x + 7 cos x = 0 trygonometryczna ( ) 6 6cos x+ 7 cos x = 0 6cos x 7cos x 5 = 0 Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np. t = cos x, gdzie t,. Otrzymujemy równanie kwadratowe 6t 7t 5= 0 Rozwiązujemy równanie kwadratowe Δ= = 69 Δ= ( ) t = = t = = 5 Odrzucamy rozwiązanie t =, ponieważ 5, Rozwiązujemy równanie cos x = Zapisujemy rozwiązania równania w podanym przedziale 4 x = π lub x = π Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np.: 6cos x + 7cos x + 5 = 0 lub 6cos x 7cos x 5 = 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. t = cos x, zapisanie równania w postaci 6t + 7 t+ 5= 0 lub 6t 7 t 5= 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt 5 5 Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = lub t = ) i odrzucenie rozwiązania t =. Uwaga: Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest 5 cos x ) i zapisać rozwiązanie w postaci cos x = lub cos x = oraz zapisać, że równanie 5 cos x = jest sprzeczne

9 Rozwiązanie pełne... 4 pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: π 4π x = lub x = x = 0 lub x = 40 Uwagi:. Jeżeli zdający podstawia cos x = sin x bez żadnych założeń, to otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający podniesie obie strony równania 6cos x 5= 7cosx do kwadratu i potem nie sprawdza rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów. 4. Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np. t,, o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go. 5. Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania 5, to otrzymuje punkty. 6. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału,, konsekwentnie rozwiąże oba równania w podanym przedziale, to otrzymuje punkty. 7. Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego 4 x = π + kπ, x = π + kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje 4 punkty

10 Zadanie 5. (4 pkt) Dany jest trójkąt ostrokątny o bokach a, b, c i kątach α, β, γ (zobacz rysunek). Wykaż, że b + c a a + c b tgβ =. tgα C b a A c I sposób rozwiązania Wykorzystujemy twierdzenie cosinusów i zapisujemy zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ Przekształcamy zależności do postaci: bc cosα = b + c a i ac cosβ = a + c b Zapisujemy lewą stronę równości w postaci: b + c a bcosα = a + c b acos β Wykorzystujemy związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i przekształcamy zależność do postaci: sinα b bcosα tgα b sinα tgβ = = acos β sin β a a sin β tgα tgβ Wykorzystujemy twierdzenie sinusów a sin β = b sinα i wykazujemy tezę: b sinα tgβ tgβ b + c a = = a sin β tgα tgα a + c b Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ B Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Przekształcenie zależności do postaci: bc cosα = b + c a i ac cosβ = a + c b Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt b + c a bcosα Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie, że = a + c b acos β

11 Rozwiązanie pełne... 4 pkt Wykorzystanie twierdzenia sinusów i wykazanie tezy. II sposób rozwiązania Wykorzystujemy związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i przekształcamy zależność do postaci: tg β sin cos = β α tgα sinαcos β b sin β Wykorzystujemy twierdzenie sinusów = i zapisujemy zależność w postaci: a sinα sin β cosα b cosα = sinα cos β a cos β Wykorzystujemy twierdzenie cosinusów i zapisujemy zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ Przekształcamy zależności do postaci: b + c a a + c b cosα = i cos β = bc ac Wykazujemy tezę: b + c a b b cosα bc b + c a tgβ = = = a cos β a + c b a + c b tgα a ac Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt tgβ sin βcosα Zapisanie, że = i wykorzystanie twierdzenia sinusów: sin β b tgα sinαcos β sinα = a. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wykorzystanie twierdzenia cosinusów i zapisanie zależności: a = b + c bccosα i b = a + c accosβ Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Przekształcenie zależności do postaci: b + c a a + c b cosα = i cos β = bc ac Rozwiązanie pełne... 4 pkt

12 Zadanie 6. ( pkt) Wykaż, że nie istnieje wielomian W ( x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki: W ( ) = i W ( ) =. I sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W ( x) = ax + bx + cx + d, gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi. Ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b+ c+ d = i ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b c+ d =. Po dodaniu otrzymanych równań stronami otrzymujemy równanie 8 b + d = 5, czyli ( 4b+ d) = 5. Ponieważ prawa strona równania jest nieparzysta, a lewa jest parzysta (b, d są zgodnie z założeniem liczbami całkowitymi), to zapisujemy wniosek, że taki wielomian nie istnieje. II sposób rozwiązania Zapisujemy wielomian stopnia trzeciego w postaci ogólnej W ( x) = ax + bx + cx + d a, b, c, d są liczbami całkowitymi. Ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b+ c+ d =, zatem d musi być liczbą nieparzystą. Ponieważ W ( ) =, to 8a+ 4b c+ d =, zatem d musi być liczbą parzystą. Zatem nie istnieje wielomian spełniający warunki zadania., gdzie Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Uwaga: Jeżeli zdający rozpatruje wielomian stopnia drugiego zamiast stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zapisanie ogólnej postaci wielomianu trzeciego stopnia: W ( x) = ax + bx + cx + d, gdzie a, b, c, d są liczbami całkowitymi. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi a, b, c, d: 8a + 4b + c + d = 8a + 4b c + d = Rozwiązanie pełne... pkt Dodanie stronami obu równań: 8 b + d = 5. oraz zauważenie, że lewa strona równania 8 b + d = 5 jest parzysta, a prawa nieparzysta i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomian spełniający podane warunki zauważenie, że d w równaniu 8a+ 4b+ c+ d = musi być nieparzyste, a w równaniu 8a+ 4b c+ d = parzyste i sformułowanie wniosku, że nie istnieje wielomian spełniający podane warunki

13 Uwagi:. Jeżeli zdający zauważy, że d w równaniu 8a+ 4b+ c+ d = jest nieparzyste, a w równaniu 8a+ 4b c+ d = jest parzyste i nie sformułuje wniosku, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający zauważy, że lewa strona równania 8 b + d = 5 jest parzysta, a prawa nieparzysta i nie sformułuje wniosku, to otrzymuje punkty

14 Zadanie 7. (4 pkt) Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AC = 5 i AB = 8. Pole tego trójkąta jest równe 0. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Rozwiązanie Oznaczamy CAB = α oraz R - promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. Obliczamy 5 8 sinα = 0 sin α ze wzoru na pole trójkąta; stąd sin α = α jest kątem ostrym więc cos α =. Korzystamy z tw. cosinusów do obliczenia długości boku BC: BC = , BC = 7 Promień okręgu opisanego na trójkącie ABC obliczamy korzystając z tw. sinusów: 7 7 R = czyli R =. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania... pkt Obliczenie sin α : sin α =. Istotny postęp.... pkt obliczenie cos α = obliczenie długości odcinków, na jakie wysokość trójkąta dzieli bok AB: AD =, 5 i BD = 5,5 lub dla boku AC: AE = 4 i EC =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie BC : BC = 7. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 7 Obliczenie: R =. Uwaga:. Jeżeli zdający w obliczeniach popełni błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy promień okręgu opisanego na trójkącie ABC, to przyznajemy 4 punkty

15 Zadanie 8. (5 pkt) Punkty A = ( 5,5), C = ( 8, 6) są przeciwległymi wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, w którym AB CD. Prosta o równaniu y = x jest osią symetrii tego trapezu. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D oraz pole tego trapezu. y y = x ( 5,5) = A (, ) = M D = ( 0,0) N = ( 4,8) ( 7, ) = B C = ( 8,6) I sposób rozwiązania (punkty symetryczne względem osi symetrii) Wyznaczamy równania prostych AB i CD prostopadłych do osi symetrii trapezu. prosta AB prosta CD y = x+ b y = x+ b 5 = b 0 = b 5 y = x+ y = x+ 0 Wyznaczamy współrzędne punktu M leżącego na prostej AB i osi symetrii trapezu y = x 5 y = x + M = (, ). Punkt B leży na prostej AB, równość = + x. x x 5= 0 x = 5 x = 7 ( ) ( ) ( x ) 5 B= x, x+, AM = MB możemy więc zapisać x

16 wykorzystujemy własność: punkt M jest środkiem odcinka AB: ( ) Współrzędne punktu B to B = ( 7, ). Analogicznie postępujemy przy obliczeniu współrzędnych wierzchołka D. 5+ xb 5+ yb, =, Wyznaczamy współrzędne punktu N leżącego na prostej CD i osi symetrii trapezu. y = x y = x + 0 N = ( 4,8) D leży na prostej CD, D= x, x+ 0 CN = ND ( 4 8) + ( 8 6) = ( x 4) + 0 x x x= x= 0 lub x= 8 wykorzystujemy własność: punkt N jest środkiem odcinka CD: ( ) Współrzędne punktu D to D = ( 0,0). 8+ xd 6+ yd 4,8 =, W celu wyznaczenia pola trapezu musimy obliczyć długości podstaw i wysokości trapezu. AB = 80 = 6 5 CD = 80 = 4 5 Długość wysokości h trapezu jest równa, np. odległości wierzchołka C od prostej AB h = = Obliczamy pole trapezu P = 5 = 75. Odpowiedź: Pole tego trapezu P = 75. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt 5 Wyznaczenie równań prostych AB i CD: y = x+ y = x+ 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt, N = 4,8 Obliczenie współrzędnych punktów M i N: M = ( ), ( )

17 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie współrzędnych punktów B i D jako symetrycznych do punktów A i C względem prostej y x B= 7,, D= 0,0. = : ( ) ( ) Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie pola trapezu 75 B= 7,, D= 0,0. P = oraz podanie współrzędnych ( ) ( ) Uwagi:. Jeżeli zdający nie wyznaczy współrzędnych wierzchołków B i D, ale obliczy pole trapezu, to przyznajemy punkty.. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie długości podstaw oraz wysokość trapezu i nie obliczy pola trapezu, to przyznajemy 4 punkty.. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości podstaw lub wysokości trapezu i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu, to przyznajemy 4 punkty. II sposób rozwiązania (prosta i okrąg) S = a,a oznacza środek okręgu opisanego na trapezie ABCD. Niech ( ) Środek okręgu opisanego na trapezie leży na osi symetrii trapezu i jest równoodległy od punktów A i C, więc AS = CS. ( a+ 5) + ( a 5) = ( a 8) + ( a 6) 0a = 50 5 a = 50 Środek okręgu S =,. Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na trapezie równoramiennym r = AS = =. Wyznaczamy równania prostych AB i CD prostopadłych do osi symetrii trapezu. prosta AB prosta CD y = x+ b y = x+ b 5 = b 0 = b 5 y = x+ y = x+ 0 Obliczamy współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu rozwiązując układy równań. wierzchołek B wierzchołek D x + y = x + y = y = x + y x 0 =

18 x + x = x + x+ = x x 5= x x= x = 5 x = 7 x = 0 x = 8 x= 5 x= 7 x= 0 x= 8 y = 5 y = y = 0 y = 6 A 5,5 B 7, D= 0,0 C = 8, 6 = ( ) = ( ) ( ) ( ) W celu wyznaczenia pola trapezu obliczamy długości podstaw i wysokość trapezu. AB = = 80 = 6 5 CD = = 80 = 4 5 Wysokość h trapezu jest równa odległości wierzchołka C od prostej AB h = = Obliczamy pole trapezu P = 5 = 75. Odpowiedź: Pole tego trapezu jest równe 75. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie układu równań lub równania, z którego można wyznaczyć współrzędne środka okręgu np. b= a ( a+ 5) + ( a 5) = ( a 8) + ( a 6) ( a+ 5) + ( b 5) = ( a 8) + ( b 6) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 50 Obliczenie współrzędnych środka okręgu S =, oraz promienia okręgu 5 7 r = i podanie równania okręgu x + y =. 9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie współrzędnych punktów B i D, np. poprzez rozwiązanie układów równań: x + y = x + y = 9 9 : B= ( 7, ), D= ( 0,0) 5 y = x + y = x + 0 Rozwiązanie pełne... 5 pkt Obliczenie pola trapezu 75 B= 7,, D= 0,0. P = oraz podanie współrzędnych ( ) ( )

19 Uwagi:. Jeżeli zdający nie wyznaczy współrzędnych wierzchołków B i D, ale obliczy pole trapezu, to przyznajemy punkty.. Jeżeli zdający wyznaczy poprawnie długości podstaw oraz wysokość trapezu i nie obliczy pola trapezu, to przyznajemy 4 punkty.. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu długości podstaw lub wysokości trapezu i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy pole trapezu, to przyznajemy 4 punkty

20 Zadanie 9. ( pkt) Przekątne trapezu ABCD przecinają się w punkcie P. Prosta równoległa do podstaw trapezu, przechodząca przez punkt P, przecina ramiona AD i BC odpowiednio w punktach M i N. Wykaż, że MP = NP. Rozwiązanie M D P C N A B Założenie: AC, BD przekątne trapezu ABCD, P punkt przecięcia przekątnych, MN prosta równoległa do podstaw trapezu, punkt P leży na prostej MN. Teza: MP = NP. Dowód: Trójkąt ABD jest podobny do trójkąta MPD (kkk), więc MP = MD. AB AD Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta PNC (kkk), więc PN = NC. AB BC Z twierdzenia Talesa dla prostych AD i BC przeciętych prostymi równoległymi AB, MN MD NC i DC zapiszemy proporcję =. AD BC Z zapisanych proporcji wnioskujemy, że MP = PN, stąd MP = NP. AB AB Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zauważenie dwóch par trójkątów podobnych: ABD i MPD oraz ABC i PNC i zapisanie MP MD PN NC proporcji =, =. AB AD AB BC Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Skorzystanie z twierdzenia Talesa dla prostych AD i BC przeciętych prostymi równoległymi AB, MN i DC i zapisanie proporcji MD = NC. AD BC Uwaga: Zdający może skorzystać z proporcji AM = BN i z niej wyprowadzić żądaną MD NC proporcję do niej sprowadzić żądaną proporcję. Rozwiązanie pełne... pkt Zapisanie równości MP = NP i wyprowadzenie wniosku, że MP = NP. AB AB

21 Zadanie 0. (5 pkt) Dany jest kwadrat ABCD o boku równym. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F takie, że CE = DF = x. Oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i oblicz to pole. Rozwiązanie D x F x C x E A x Z warunków zadania AB = BC = CD = AD =, CE = x i DF = x 0 x. Określamy długość odcinków BE i CF : BE = x, CF = x. Obliczamy pole trójkąta AEF. PAEF = PABCD PABE PCCEF PADF = 4 ( x) x ( x) x= x x+ Pole trójkąta AEF jest funkcją zmiennej x: P( x) = x x+ dla x 0,. Funkcja ta osiąga najmniejszą wartość dla x = =. Wówczas pole trójkąta AEF jest równe. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie, że P P P P P P = P P + P + P. AEF = lub ( ) ABCD ADF CEF ABE Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie pól trójkątów ADF, CEF i ABE: PΔ ADF = x, PΔ ABE = x x + x i PΔ CEF = = x + x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie P AEF jako funkcji x: f ( x) = x x+. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum: x =. Obliczenie pola trójkąta AEF:. AEF B ABCD ADF CEF ABE

22 Uwagi:. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu sumy pól trójkątów ADF, ABE i CEF i rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 4 punkty.. Jeżeli zdający popełni błąd w obliczeniu odciętej wierzchołka paraboli i konsekwentnie do tego błędu obliczy pole trójkąta AEF, to otrzymuje 4 punkty.. Nie wymagamy uzasadnienia, że dla znalezionej wartości x = funkcja przyjmuje minimum (a więc stwierdzenia, że ramiona paraboli są skierowane do góry, czy uzasadnienia, że w jedynym znalezionym miejscu zerowym pochodnej funkcja ma minimum). 4. Jeżeli zdający wyznaczy wartość x, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze i nie obliczy pola tego trójkąta, to otrzymuje 4 punkty

23 Zadanie. (4 pkt) Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {,, } losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równa 7. Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie czteroelementowe wariacje z powtórzeniami zbioru {,,}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne, mamy model klasyczny, 4 Ω= = 8. Zauważmy, że zdarzeniu A - suma wszystkich czterech cyfr wylosowanej liczby jest równa 7, odpowiada sytuacji, gdy w zapisie liczby występują cyfry,,,,,,, w dowolnej kolejności. A 6 Stąd A = = 6i P( A ) = =. Ω 8 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt 4 Zdający zapisze Ω = poda rozkład 7= +++=+++ i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 4 Zdający zapisze Ω = i poda rozkład 7= +++=+++ i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy A = + 4 = 6 i nie obliczy prawdopodobieństwa. Zdający obliczy prawdopodobieństwo P (A) z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 6 6 Obliczenie prawdopodobieństwa: PA= ( ) lub PA= ( ). 4 8 Uwagi:. Zdający otrzymuje punkty, gdy obliczy prawdopodobieństwo tylko dla jednego przypadku: 7= +++, A =, zatem P ( A) = 4 4 7= +++, A = 4, zatem P ( A) = 4. Zdający otrzymuje punkty, gdy obliczy prawdopodobieństwo P (A) z błędem rachunkowym

24 Zadanie. (4 pkt) W ostrosłupie trójkątnym ABCS o podstawie ABC i wierzchołku S dane są: AB = AC = BS = CS = 9 i AS = BC = 8. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Rozwiązanie I sposób (ostrosłup jako samodzielna bryła ) Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie BDS obliczamy wysokość ściany bocznej BCS: S A 8 x O SD = 9 4 = 65 Trójkąty BCS i BCA są przystające, więc AD = SD = 65 Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach AOS i ODS mamy h + x = 8 i ( ) h + 65 x = x x+ x = 65 9 h B. Stąd h D 8 C = 64 x i 64 x + ( 65 x) = 65 x =, więc h = , 56 a stąd h = Objętość ostrosłupa jest więc równa V = PABC h= 8 65 = = Uwaga. Wysokość ostrosłupa możemy obliczyć inaczej, np. A. Ze wzoru Herona obliczamy pole trójkąta ADS

25 ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) p = = , P = = = 4 49 = 8 ADS ale PADS = 65 h, więc h = 8, stąd h =. 65 B. Trójkąt ADS jest równoramienny, więc z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADE, gdzie E jest środkiem boku AS obliczamy wysokość DE trójkąta ADS ( ) DE = 65 4 = 7 Wykorzystując dwukrotnie wzór na pole trójkąta ADS mamy PADS = AD h oraz PADS = AS DE, stąd h = 8 7, więc h = 65 To samo uzyskamy wykorzystując podobieństwo trójkątów AOE i AED (oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku A) OS ED =, czyli h 7 =, stąd h = 56 AS AD Możemy też zapisać sinus kąta przy wierzchołku A raz w trójkącie prostokątnym AOS, drugi raz w trójkącie prostokątnym AED OS ED OS ED sin A = oraz sin A =, stąd =, czyli h 7 =, więc h = 56 AS AD AS AD Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie pola podstawy ostrosłupa P = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt obliczenie wysokości ostrosłupa h = i nie obliczenie pola podstawy ostrosłupa 65 obliczenie pola podstawy ostrosłupa i wskazanie metody obliczenia wysokości ostrosłupa. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie wysokości ostrosłupa h = oraz pola podstawy ostrosłupa i nie obliczenie 65 objętości lub obliczenie objętości ostrosłupa z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 4 Obliczenie objętości ostrosłupa: V =

26 II sposób (ostrosłup wpisany w prostopadłościan) Wpiszmy ostrosłup w prostopadłościan o podstawie kwadratowej (zobacz rysunek). Ze wzoru na długość przekątnej kwadratu obliczamy długość krawędzi podstawy prostopadłościanu 8 B a = Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE obliczamy wysokość tego prostopadłościanu 8 b = 9 = 8 = 7. b Objętość ostrosłupa ABCS obliczymy S odejmując od objętości prostopadłościanu objętości czterech przystających ostrosłupów: AESB, ADSC, BFCA i BGCS. Wysokość każdego z tych ostrosłupów jest zarazem E wysokością prostopadłościanu, a podstawą każdego z nich jest połowa podstawy prostopadłościanu, więc VABCS = V V = V = a b= 6 = =. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wpisanie ostrosłupa w prostopadłościan o podstawie kwadratowej. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt 8 Obliczenie długości krawędzi prostopadłościanu a = i b = 7. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie objętości ostrosłupa ABCS jako różnicy objętości prostopadłościanu i czterech przystających ostrosłupów. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 4 Obliczenie objętości ostrosłupa: V =. 9 G a A F 9 a C D

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

k R { 5 }.Warunek zadania zapiszemy korzystając z wzorów Viette a:

k R { 5 }.Warunek zadania zapiszemy korzystając z wzorów Viette a: Zadanie 0 Zbiór A, to półpłaszczyzna ograniczona prostą y -x+, zbiór B, to koło ośrodku S( ; 0) i promieniu r. Różnica B-A jest odcinkiem koła (bez cięciwy). ( ): Zbiory A m, to kwadraty o wierzchołkach

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.

Zestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D. Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 018 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 czerwca 018

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D.

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D. Zadanie 9. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Dane są wielomiany: x, P(x) = x 3 + x, Q(x) = (1 x)(x + 1) W(x) = 1 W(x) P(x) Q(x). Stopień wielomianu jest równy: 3 6 7 1 Zadanie 10. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Pierwsza

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz punktowania zadań zamkniętych Zadanie

Bardziej szczegółowo

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155104 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Objętość stożka o

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 2018 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo