Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010"

Transkrypt

1 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych

2 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych Nr zadania Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Strona z 0

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + x I sposób rozwiązania Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego: obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i pierwiastki tego trójmianu: + Δ=, x = = 6, x = = 5 stosujemy wzory Viète a: x+ x = oraz x x = 30 i stąd x = 6, x = 5 rozkładamy trójmian na czynniki, np.: o grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik, o korzystając z postaci kanonicznej x+ = x+ x+ + = x+ x+ 4 ( 5)( 6) Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi i odczytujemy zbiór rozwiązań, -6-5 x rozwiązujemy nierówność ( x )( x ) Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział 6, analizując znaki czynników. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawnie pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 6, 5 lub 6, 5 x 6ix 5 x lub ( ) Strona 3 z 0

4 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x 6, x 5, o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x II sposób rozwiązania Zapisujemy nierówność w postaci x + 0, 4 a następnie x + 4 x +, a stąd x+ i x+. Zatem x 5ix 6. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy doprowadzi nierówność do postaci lub dalej popełni błędy. x + 4 lub x + i na tym poprzestanie Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 6, 5 lub x 6, 5 lub ( x 6ix 5) zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x 6, x 5, o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Strona 4 z 0

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 7. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x x x = 0. I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów x+ x 5 = 0 ( )( ) Stąd x = lub x = 5 lub x = 5. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda poprawną postać iloczynową wielomianu po lewej stronie równania ( x+ )( x 5) = 0 lub ( x+ )( x 5)( x+ 5) = 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy zapisze postać iloczynową z błędem (o ile otrzymany wielomian jest stopnia trzeciego i ma trzy różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązania równania. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: 5,, 5. II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian 3 5 x + x x 0 przez dwumian x + i otrzymujemy x 5. Zapisujemy równanie x+ x 5 = 0. Stąd x = lub x = 5 lub x = 5. w postaci ( )( ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy podzieli wielomian 3 5 x + x x 0 przez dwumian x + otrzymując x 5 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy podzieli wielomian z błędem (o ile otrzymany iloraz jest stopnia drugiego i ma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązanie równania. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: 5,, 5. :. Jeżeli zdający zapisze x( x ) ( x ) ( ) ( ) x x x 5 5 = 0 (brak znaku przed liczbą ) lub = 0 (brak znaku przed liczbą 5) i na tym zakończy, to otrzymuje Strona 5 z 0

6 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 0 punktów. Jeżeli natomiast kontynuuje rozwiązanie i zapisze ( x )( x ) + 5 = 0, to oceniamy to rozwiązanie tak, jakby ten błąd nie wystąpił.. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x p nie zapisując, że p jest jednym z rozwiązań równania x 3 + x 5x 0 = 0 i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy punkty. Zadanie 8. ( pkt) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o cm i od drugiej przyprostokątnej o 3 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Rozwiązanie Niech x oznacza długość przeciwprostokątnej. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie ( ) ( 3) x + x = x i x > 3 Po przekształceniach otrzymujemy równanie x 66x+ 05 = 0. Wtedy x = 5 (sprzeczne z założeniem) oraz x = 4. Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 4 cm, jedna przyprostokątna ma długość 9 cm a druga ma długość 40 cm. Uwagi:. Jeżeli zdający zapisze równanie x ( x 3) ( x 3) + + = +, gdzie x + 3 jest długością przeciwprostokątnej, to po przekształceniach otrzyma równanie x x 63= 0. Wtedy x = 9 lub x = 7.. Jeżeli zdający zapisze równanie x ( x 3) ( x ) + = +, gdzie x + jest długością przeciwprostokątnej, to po przekształceniach otrzyma równanie x 64x+ 960 = 0, gdy x + jest długością przeciwprostokątnej. Wtedy x = 40 lub x = 4. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą. To równanie w zależności od przyjętych oznaczeń może mieć postać: ( ) ( 3) x + x = x, gdy x jest długością przeciwprostokątnej ( 3) ( 3) x x x + + = +, gdy x + 3 jest długością przeciwprostokątnej ( 3) ( ) x x x + = +, gdy x + jest długością przeciwprostokątnej. Strona 6 z 0

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy długości boków tego trójkąta: 9 cm, 40 cm i 4 cm. Zadanie 9. ( pkt) Dany jest prostokąt CD. Okręgi o średnicach i D przecinają się w punktach i P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty, P i D leżą na jednej prostej. D P C I sposób rozwiązania D P C Łączymy punkt P z punktami, i D. Kąt PD jest oparty na półokręgu, więc PD = 90. Podobnie kąt P jest oparty na półokręgu, więc P = 90. Zatem DP = PD + P = = 80, czyli punkty, P i D są współliniowe.. Po uzasadnieniu, że trójkąty PD i P są prostokątne możemy również zastosować twierdzenie Pitagorasa dla tych trójkątów i trójkąta D, otrzymując równość D = P + PD, która oznacza współliniowość punktów, P i D. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że PD = 90 oraz P = 90 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy lub gdy w jego rozumowaniu występują luki. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że PD = P = 90 i wywnioskuje, że punkty, P i D są współliniowe. Strona 7 z 0

8 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 II sposób rozwiązania (jednokładność) D C P O R S Niech O i S będą środkami obu okręgów i R będzie punktem przecięcia odcinków P i OS. Odcinek OS łączący środki okręgów dzieli ich wspólną cięciwę na połowy, więc R = RP. Wtedy punkty D, P i są obrazami punktów współliniowych O, R, S w jednokładności o środku i skali, więc są współliniowe. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy i uzasadni, że punkty D, P i są obrazami punktów współliniowych O, R, S w jednokładności o środku i skali, więc są współliniowe. III sposób rozwiązania (metoda analityczna) Umieszczamy okręgi w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku. D C Zapisujemy układ równań (równania okręgów): P ( x a) + y = a x + ( y b) = b b Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy współrzędne punktu P: ab a b P =, a. a + b a + b x y Równanie prostej D ma postać + =. a b Ponieważ ab a b b a + = + =, a a + b b a + b a + b a + b więc punkt P leży na prostej D. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt ( x a) + y = a gdy zapisze układ równań: i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. x + ( y b) = b Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaże, że punkt P leży na prostej D. Strona 8 z 0

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 IV sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D N P C. M Odcinki N i NP są promieniami okręgu o średnicy D, więc N M i MP są promieniami okręgu o średnicy, więc M = PN. Podobnie odcinki = PM. Zatem czworokąt MPN jest deltoidem. Stąd wynika, że NM = NPM. le NM = 90, więc () NPM = 90 Trójkąty NPD i MP są równoramienne, bo PN = DN oraz PM = M. Stąd wynika, że () 80 PND 80 PM NPD = oraz MP =. Z faktu, że MPN jest deltoidem wynika ponadto, że (3) MN = PMN oraz NM = PNM. Trójkąt MN jest prostokątny, więc (4) NM + MN = 90. Obliczmy teraz miarę kąta PD PD = MP + NPM (),() 80 PM 80 PND + NPD = = (3) = 70 ( PM + PND ) = 70 ( 80 MN + 80 NM ) = ( MN NM ) (4) = = = 80. To oznacza, że punkty, P i D są współliniowe. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że czworokąt MPN jest deltoidem, uzasadni, że kąt MPN jest prosty i zapisze wszystkie równości między miarami kątów w trójkątach: DNP, MP, MN, MNP, pozwalające wykazać, że PD = MP + NPM + NPD = 80. Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaże, że PD = MP + NPM + NPD = 80. Strona 9 z 0

10 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 30. ( pkt) Uzasadnij, że jeśli ( a b )( c d ) ( ac bd) Rozwiązanie + + = +, to ad = bc. Przekształcając ( a b )( c d ) ( ac bd) + + = + otrzymujemy kolejno: ac + ad + bc + bd = ac + abcd+ bd ad abcd+ bc = 0 ( ad bc) = 0 ad = bc Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełny dowód twierdzenia. Uwagi:. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie pomijając niektóre przypadki np. rozważy tylko dodatnie wartości iloczynów ad i bc, to przyznajemy punkt.. Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość twierdzenia dla konkretnych wartości a, b, c, d, to przyznajemy 0 punktów. Zadanie 3. ( pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w zapisie których pierwsza cyfra jest parzysta a pozostałe nieparzyste? Rozwiązanie W zapisie danej liczby na pierwszym miejscu może wystąpić jedna z cyfr:, 4, 6, 8, czyli mamy 4 możliwości. Na drugim miejscu może być jedna z cyfr:, 3, 5, 7, 9, czyli mamy 5 3 możliwości. Tak samo na trzecim i czwartym miejscu. Zatem mamy 4 5 = 500 takich liczb. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: poprawnie obliczy, ile jest możliwości wystąpienia cyfry na pierwszym miejscu i dalej popełnia błąd lub na tym poprzestanie poprawnie obliczy, ile jest możliwości wystąpienia cyfry na drugim, trzecim i czwartym miejscu a popełni błąd podając liczbę cyfr na pierwszym miejscu. Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy poprawnie obliczy, ile jest szukanych liczb: 45, nawet, gdy popełni błąd w obliczeniu 3 tego iloczynu, np. 4 5 = 600. Strona 0 z 0

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 3. (4 pkt) Ciąg (, xy, ) jest arytmetyczny, natomiast ciąg ( xy,,) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny. I sposób rozwiązania + y Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie x =, czyli y = x, a z własności ciągu geometrycznego wynika równanie y = x. y = x Rozwiązujemy układ równań. y = x Otrzymujemy równanie kwadratowe 4x x = 0, a stąd x = 3 lub x = 0. x = 0 x = 3 Zatem układ równań ma dwa rozwiązania lub. y = 0 y = 6 0,0, nie jest Pierwsze rozwiązanie nie spełnia warunków zadania, gdyż ciąg ( ) geometryczny. Zatem x = 3 i y = 6, stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( 3,6, ). II sposób rozwiązania Korzystając z definicji ciągów arytmetycznego i geometrycznego otrzymujemy układ równań x = + r y = x + r przy czym x 0 i y 0, r i q 0. y = x q = y q Rozwiązujemy ten układ i otrzymujemy x = 3 y = 6 q = r = Zatem x = 3 i 6 3,6,. y =. Stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( ) Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego geometrycznego (definicji lub wzoru na n-ty wyraz) i zapisanie równania, np.: + y x = równań, np.: x = + r i y = x+ r y = x równań, np.: y = x q i = y q. Strona z 0

12 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć x i y, np.: x = + r y = x x = + r y = x y = x + r y x q = y = x + r y = x = y q y x q y = x = = y q Zdający nie musi zapisywać układu równań, wystarczy, że zapisze wszystkie konieczne zależności. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np.: 4x x= 0, stąd x = 3 lub x = 0 y 6y = 0, stąd y = 0 lub y = 6. Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie x = 3 i 6 3, 6,. y = oraz zapisanie ciągu geometrycznego ( ) Przyznajemy 4 punkty, gdy zdający obliczy x = 3 i y = 6 i poda ciąg geometryczny w postaci 3 n =. a n III sposób rozwiązania Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie + y x =, czyli y = x, natomiast z własności ciągu geometrycznego równanie y =, przy czym x 0 oraz y 0. y x y = x Rozwiązujemy układ równań y = y x y = x y = x Otrzymujemy kolejno x,, zatem x = 3 i y = 6. = = x x x 3,6,. Stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( ) Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (definicji lub wzoru na n-ty wyraz) wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (definicji lub wzoru na n-ty wyraz) i zapisanie: Strona z 0

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 równania, np.: x = + y równania, np.: = y y x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć x i y, np.: y = x y = y x Zdający nie musi zapisywać układu równań, wystarczy, że zapisze wszystkie konieczne zależności. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie i rozwiązanie równania z niewiadomą x, np.: x = i x = 3. x x Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie x = 3 i 6 3, 6,. y = oraz zapisanie ciągu geometrycznego ( ) IV sposób rozwiązania: Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie + y x =, czyli y = x. xy,, jest geometryczny i y = x, zatem iloraz q tego ciągu jest równy. Ciąg ( ) Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy Zatem x 3 i y 6 y = = 6 i x = = ,6,. = =, a stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( ) Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt + y Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania, np.: x =. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt zapisanie ciągu geometrycznego ( x, x,) obliczenie ilorazu q tego ciągu: q =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Obliczenie x = 3 lub y = 6. Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie x = 3 i 6 3, 6,. y = oraz zapisanie ciągu geometrycznego ( ) Strona 3 z 0

14 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 33. (4 pkt) Punkty = (, 5), = ( 4,3), C = ( 4,3) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą w punkcie D. Oblicz długość odcinka D. I sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej : y = x+ 3. Wyznaczamy równanie prostej CD, prostopadłej do prostej : Obliczamy współrzędne punktu D: D = (,7). Obliczamy długość odcinka D: D = 5. y = x+ 33. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej ( współczynnika kierunkowego a prostej współrzędnych wektora ): y = x+ 3 ( = 3, 6 ). a =, [ ] Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wyznaczenie równania prostej CD: y = x+ 33. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt D =,7. Obliczenie współrzędnych punktu D: ( ) Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 II sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej : y = x+ 3. Wyznaczamy równanie prostej CD, prostopadłej do prostej : y = x+ 33. = od prostej CD o równaniu x+ y 66 = 0 : Obliczamy odległość punktu ( 4,3) = 5, więc D = 5. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej ( współczynnika kierunkowego a prostej współrzędnych wektora ): y = x+ 3 ( = 3, 6 ). a =, [ ] Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wyznaczenie równania prostej CD: y = x+ 33. Strona 4 z 0

15 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej CD:. 5 Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 III sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej : y = x+ 3. Obliczamy odległość punktu ( 4,3) C = od prostej o równaniu x y+ 3 = 0 : CD = =. 5 5 Obliczamy długość odcinka C: C = 0. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD obliczamy długość odcinka D: 0 + D = 0 5, więc D = 5. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej : y = x+ 3. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt C = 4,3 od prostej o równaniu x y+ 3 = 0 : Obliczenie odległości punktu ( ) CD = lub CD = lub CD = Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt 0 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD: + D = 0. 5 Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 IV sposób rozwiązania Obliczamy długość odcinka C oraz wysokość trójkąta C opuszczoną z wierzchołka : C = 0, h = Obliczamy pole trójkąta C: P C = = 30. Obliczamy długość odcinka : = 845. Pole trójkąta C możemy zapisać: P C CD =. Zatem 3 5 CD = 30. Strona 5 z 0

16 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Stąd CD = 4 5. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD obliczamy długość odcinka D: ( ) 4 5 D 0 + =, więc D = 5. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie pola trójkąta : P C = 30. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie długości odcinka CD: CD = 4 5. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD: ( ) 4 5 D 0 + =. Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 V sposób rozwiązania Obliczamy długości wszystkich boków trójkąta C: = 845, C = 685, C = 0. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów CD i DC zapisujemy układ równań: C = D + CD C = ( D ) + CD Wyznaczając CD z pierwszego równania i podstawiając do drugiego równania otrzymujemy: ( ) ( D ) = + D Stąd D = 5. Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta C: = 845, C = 685, C = 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań: C = D + CD C = ( D ) + CD Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt = + D. Zapisanie równania z niewiadomą D: ( ) ( D ) Strona 6 z 0

17 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 Zadanie 34. (5 pkt) Droga z miasta do miasta ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta do miasta wyrusza godzinę później niż samochód z miasta do miasta. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta, liczona od chwili wyjazdu z do momentu spotkania, była o 7 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania. I sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta i niech t oznacza czas od chwili wyjazdu tego samochodu do chwili spotkania. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km. Zapisujemy układ równań vt = 300 ( v 7)( t ) = 74 Przekształcając drugie równanie uwzględniając warunek vt = 300 otrzymujemy: v= 43 7t. Otrzymaną wartość v podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy: 7t 43t+ 300 = 0. Rozwiązaniami tego równania są liczby: 75 7 t = = 4 i t = Stąd v = 68, v = 75. Odpowiedź: pierwsze rozwiązanie: v = 5 km/h, v = 68 km/h, drugie rozwiązanie: v = 58 km/h, v = 75 km/h, gdzie v oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta, a v oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta. Możemy otrzymać inne równania kwadratowe z jedną niewiadomą: 7t 09t + 74 = 0 lub v 09v = 0 lub v 43v = 0. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio: prędkość i czas dla samochodu jadącego z miasta oraz niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio: prędkość i czas dla samochodu jadącego z miasta. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Strona 7 z 0

18 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km. Zapisanie równania: v 7 t 74 v + 7 t + = 300. ( )( ) = lub ( )( ) Przyznajemy 0 pkt, jeżeli zdający zapisze tylko równanie v t = 300 lub v t = 74 lub odpowiednio zapisze, że ( v + 7) ( t + ) = 74 lub ( v ) ( t ) 7 = 300. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań np. ( v 7)( t ) = 74 v t = 74 lub v t = 300 ( v + 7)( t + ) = 300 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą v lub t lub v lub t, np ( t ) = t lub ( t ) 74 = t = 300 v 300 v 7 = 74. v lub ( ) 74 v lub ( ) Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczenie prędkości obu samochodów rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t = h lub t = h= 3 h 7 7 i nieobliczenie prędkości samochodu jadącego z miasta rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t = h lub t = h= 4 h 7 7 i nieobliczenie prędkości samochodu jadącego z miasta obliczenie t lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości v, v rozwiązanie równania kwadratowego i przyjęcie tylko jednego rozwiązania lub prędkości tylko jednego samochodu. Strona 8 z 0

19 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie pełne...5 pkt v = 58 km/h v = 5 km/h Obliczenie prędkości obu samochodów: lub v = 75 km/h v = 68 km/h Zdający otrzymuje 5 punktów tylko w przypadku, gdy prawidłowo przyporządkuje prędkości. II sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta, zaś v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta oraz niech t oznacza czas od chwili wyjazdu samochodu z miasta do chwili spotkania samochodów. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km Zapisujemy równania: v =, v =, wówczas otrzymujemy równanie t t =. t t Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 7t 43 t+300 = Rozwiązaniami tego równania są liczby: t = = 4, t = Dla t = = 4 otrzymujemy v = 5, v = 68 oraz dla t = 4 otrzymujemy 7 7 v = 58, v = 75. Odpowiedź: Pierwsze rozwiązanie v = 5 km/h, v = 68 km/h. Drugie rozwiązanie v = 58 km/h, v = 75 km/h. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, v, t oznaczających odpowiednio: prędkość dla samochodu jadącego z miasta, prędkość dla samochodu jadącego z miasta oraz czas dla samochodu jadącego z miasta. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km. Zapisanie równań na średnie prędkości samochodów wyjeżdżających z miasta i z miasta, np v =, v =. t t Strona 9 z 0

20 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Przyznajemy 0 pkt, jeżeli zdający zapisze tylko równanie odpowiednio zapisze, że v 74 =. t + v 300 = lub t v 74 = t Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie równania wymiernego z jedną niewiadomą, np. + 7 =. t t Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt rozwiązanie równania z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczenie prędkości obu samochodów rozwiązanie równania i przyjęcie tylko jednego rozwiązania lub prędkości tylko jednego samochodu. Rozwiązanie pełne...5 pkt v = 58 km/h v = 5 km/h Obliczenie prędkości obu samochodów: lub v = 75 km/h v = 68 km/h Zdający otrzymuje 5 punktów tylko w przypadku, gdy prawidłowo przyporządkuje prędkości. Strona 0 z 0

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM)

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) O SCHEMATACH OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH PRÓBNEJ MATURY Z MATEMATYKI przeprowadzonej 3 listopada 009 r. Projekt, w ramach

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A I. Strona 1 z 7

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi. Arkusz A I. Strona 1 z 7 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOAWY Kryteria oceniania odpowiedzi Arkusz A I Strona z 7 Wersja A Odpowiedzi Zadanie 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 Odpowiedź C D B B C C A D A B A B C Zadanie 4 5 6 7 8 9 20 2 22 23 24

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Zadanie 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Odpowiedź D C B A C B C C D C C D A Zadanie 14 15 16 17 18

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz punktowania zadań zamkniętych Zadanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Miejsce na naklejkę ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 9 CZERWCA 2015 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki Zasady te są omawiane

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. I PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY II TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe Funkcja kwadratowa Uczeń: Uczeń: 1 Wykres i własności funkcji y = ax 2. - narysuje

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo