Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Transkrypt

1 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań otwartych

2 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych Nr zadania Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Strona z 0

3 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + x I sposób rozwiązania Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego: obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego i pierwiastki tego trójmianu: + Δ=, x = = 6, x = = 5 stosujemy wzory Viète a: x+ x = oraz x x = 30 i stąd x = 6, x = 5 rozkładamy trójmian na czynniki, np.: o grupując wyrazy i wyłączając wspólny czynnik, o korzystając z postaci kanonicznej x+ = x+ x+ + = x+ x+ 4 ( 5)( 6) Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi i odczytujemy zbiór rozwiązań, -6-5 x rozwiązujemy nierówność ( x )( x ) Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział 6, analizując znaki czynników. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawnie pierwiastki trójmianu kwadratowego lub zapisze trójmian w postaci iloczynowej i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 6, 5 lub 6, 5 x 6ix 5 x lub ( ) Strona 3 z 0

4 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x 6, x 5, o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x II sposób rozwiązania Zapisujemy nierówność w postaci x + 0, 4 a następnie x + 4 x +, a stąd x+ i x+. Zatem x 5ix 6. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy doprowadzi nierówność do postaci lub dalej popełni błędy. x + 4 lub x + i na tym poprzestanie Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: 6, 5 lub x 6, 5 lub ( x 6ix 5) zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x 6, x 5, o ile towarzyszy temu ilustracja geometryczna (oś liczbowa, wykres) poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x Strona 4 z 0

5 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 7. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x x x = 0. I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów x+ x 5 = 0 ( )( ) Stąd x = lub x = 5 lub x = 5. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: poda poprawną postać iloczynową wielomianu po lewej stronie równania ( x+ )( x 5) = 0 lub ( x+ )( x 5)( x+ 5) = 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy zapisze postać iloczynową z błędem (o ile otrzymany wielomian jest stopnia trzeciego i ma trzy różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązania równania. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: 5,, 5. II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian 3 5 x + x x 0 przez dwumian x + i otrzymujemy x 5. Zapisujemy równanie x+ x 5 = 0. Stąd x = lub x = 5 lub x = 5. w postaci ( )( ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy podzieli wielomian 3 5 x + x x 0 przez dwumian x + otrzymując x 5 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy podzieli wielomian z błędem (o ile otrzymany iloraz jest stopnia drugiego i ma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu poda rozwiązanie równania. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania: 5,, 5. :. Jeżeli zdający zapisze x( x ) ( x ) ( ) ( ) x x x 5 5 = 0 (brak znaku przed liczbą ) lub = 0 (brak znaku przed liczbą 5) i na tym zakończy, to otrzymuje Strona 5 z 0

6 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 0 punktów. Jeżeli natomiast kontynuuje rozwiązanie i zapisze ( x )( x ) + 5 = 0, to oceniamy to rozwiązanie tak, jakby ten błąd nie wystąpił.. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x p nie zapisując, że p jest jednym z rozwiązań równania x 3 + x 5x 0 = 0 i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy punkty. Zadanie 8. ( pkt) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o cm i od drugiej przyprostokątnej o 3 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Rozwiązanie Niech x oznacza długość przeciwprostokątnej. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie ( ) ( 3) x + x = x i x > 3 Po przekształceniach otrzymujemy równanie x 66x+ 05 = 0. Wtedy x = 5 (sprzeczne z założeniem) oraz x = 4. Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 4 cm, jedna przyprostokątna ma długość 9 cm a druga ma długość 40 cm. Uwagi:. Jeżeli zdający zapisze równanie x ( x 3) ( x 3) + + = +, gdzie x + 3 jest długością przeciwprostokątnej, to po przekształceniach otrzyma równanie x x 63= 0. Wtedy x = 9 lub x = 7.. Jeżeli zdający zapisze równanie x ( x 3) ( x ) + = +, gdzie x + jest długością przeciwprostokątnej, to po przekształceniach otrzyma równanie x 64x+ 960 = 0, gdy x + jest długością przeciwprostokątnej. Wtedy x = 40 lub x = 4. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą. To równanie w zależności od przyjętych oznaczeń może mieć postać: ( ) ( 3) x + x = x, gdy x jest długością przeciwprostokątnej ( 3) ( 3) x x x + + = +, gdy x + 3 jest długością przeciwprostokątnej ( 3) ( ) x x x + = +, gdy x + jest długością przeciwprostokątnej. Strona 6 z 0

7 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy długości boków tego trójkąta: 9 cm, 40 cm i 4 cm. Zadanie 9. ( pkt) Dany jest prostokąt CD. Okręgi o średnicach i D przecinają się w punktach i P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty, P i D leżą na jednej prostej. D P C I sposób rozwiązania D P C Łączymy punkt P z punktami, i D. Kąt PD jest oparty na półokręgu, więc PD = 90. Podobnie kąt P jest oparty na półokręgu, więc P = 90. Zatem DP = PD + P = = 80, czyli punkty, P i D są współliniowe.. Po uzasadnieniu, że trójkąty PD i P są prostokątne możemy również zastosować twierdzenie Pitagorasa dla tych trójkątów i trójkąta D, otrzymując równość D = P + PD, która oznacza współliniowość punktów, P i D. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że PD = 90 oraz P = 90 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy lub gdy w jego rozumowaniu występują luki. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że PD = P = 90 i wywnioskuje, że punkty, P i D są współliniowe. Strona 7 z 0

8 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 II sposób rozwiązania (jednokładność) D C P O R S Niech O i S będą środkami obu okręgów i R będzie punktem przecięcia odcinków P i OS. Odcinek OS łączący środki okręgów dzieli ich wspólną cięciwę na połowy, więc R = RP. Wtedy punkty D, P i są obrazami punktów współliniowych O, R, S w jednokładności o środku i skali, więc są współliniowe. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy i uzasadni, że punkty D, P i są obrazami punktów współliniowych O, R, S w jednokładności o środku i skali, więc są współliniowe. III sposób rozwiązania (metoda analityczna) Umieszczamy okręgi w układzie współrzędnych, tak jak na rysunku. D C Zapisujemy układ równań (równania okręgów): P ( x a) + y = a x + ( y b) = b b Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy współrzędne punktu P: ab a b P =, a. a + b a + b x y Równanie prostej D ma postać + =. a b Ponieważ ab a b b a + = + =, a a + b b a + b a + b a + b więc punkt P leży na prostej D. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt ( x a) + y = a gdy zapisze układ równań: i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. x + ( y b) = b Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaże, że punkt P leży na prostej D. Strona 8 z 0

9 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 IV sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D N P C. M Odcinki N i NP są promieniami okręgu o średnicy D, więc N M i MP są promieniami okręgu o średnicy, więc M = PN. Podobnie odcinki = PM. Zatem czworokąt MPN jest deltoidem. Stąd wynika, że NM = NPM. le NM = 90, więc () NPM = 90 Trójkąty NPD i MP są równoramienne, bo PN = DN oraz PM = M. Stąd wynika, że () 80 PND 80 PM NPD = oraz MP =. Z faktu, że MPN jest deltoidem wynika ponadto, że (3) MN = PMN oraz NM = PNM. Trójkąt MN jest prostokątny, więc (4) NM + MN = 90. Obliczmy teraz miarę kąta PD PD = MP + NPM (),() 80 PM 80 PND + NPD = = (3) = 70 ( PM + PND ) = 70 ( 80 MN + 80 NM ) = ( MN NM ) (4) = = = 80. To oznacza, że punkty, P i D są współliniowe. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że czworokąt MPN jest deltoidem, uzasadni, że kąt MPN jest prosty i zapisze wszystkie równości między miarami kątów w trójkątach: DNP, MP, MN, MNP, pozwalające wykazać, że PD = MP + NPM + NPD = 80. Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaże, że PD = MP + NPM + NPD = 80. Strona 9 z 0

10 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 30. ( pkt) Uzasadnij, że jeśli ( a b )( c d ) ( ac bd) Rozwiązanie + + = +, to ad = bc. Przekształcając ( a b )( c d ) ( ac bd) + + = + otrzymujemy kolejno: ac + ad + bc + bd = ac + abcd+ bd ad abcd+ bc = 0 ( ad bc) = 0 ad = bc Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełny dowód twierdzenia. Uwagi:. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie pomijając niektóre przypadki np. rozważy tylko dodatnie wartości iloczynów ad i bc, to przyznajemy punkt.. Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość twierdzenia dla konkretnych wartości a, b, c, d, to przyznajemy 0 punktów. Zadanie 3. ( pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w zapisie których pierwsza cyfra jest parzysta a pozostałe nieparzyste? Rozwiązanie W zapisie danej liczby na pierwszym miejscu może wystąpić jedna z cyfr:, 4, 6, 8, czyli mamy 4 możliwości. Na drugim miejscu może być jedna z cyfr:, 3, 5, 7, 9, czyli mamy 5 3 możliwości. Tak samo na trzecim i czwartym miejscu. Zatem mamy 4 5 = 500 takich liczb. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: poprawnie obliczy, ile jest możliwości wystąpienia cyfry na pierwszym miejscu i dalej popełnia błąd lub na tym poprzestanie poprawnie obliczy, ile jest możliwości wystąpienia cyfry na drugim, trzecim i czwartym miejscu a popełni błąd podając liczbę cyfr na pierwszym miejscu. Zdający otrzymuje... pkt 3 gdy poprawnie obliczy, ile jest szukanych liczb: 45, nawet, gdy popełni błąd w obliczeniu 3 tego iloczynu, np. 4 5 = 600. Strona 0 z 0

11 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 3. (4 pkt) Ciąg (, xy, ) jest arytmetyczny, natomiast ciąg ( xy,,) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny. I sposób rozwiązania + y Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie x =, czyli y = x, a z własności ciągu geometrycznego wynika równanie y = x. y = x Rozwiązujemy układ równań. y = x Otrzymujemy równanie kwadratowe 4x x = 0, a stąd x = 3 lub x = 0. x = 0 x = 3 Zatem układ równań ma dwa rozwiązania lub. y = 0 y = 6 0,0, nie jest Pierwsze rozwiązanie nie spełnia warunków zadania, gdyż ciąg ( ) geometryczny. Zatem x = 3 i y = 6, stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( 3,6, ). II sposób rozwiązania Korzystając z definicji ciągów arytmetycznego i geometrycznego otrzymujemy układ równań x = + r y = x + r przy czym x 0 i y 0, r i q 0. y = x q = y q Rozwiązujemy ten układ i otrzymujemy x = 3 y = 6 q = r = Zatem x = 3 i 6 3,6,. y =. Stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( ) Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego geometrycznego (definicji lub wzoru na n-ty wyraz) i zapisanie równania, np.: + y x = równań, np.: x = + r i y = x+ r y = x równań, np.: y = x q i = y q. Strona z 0

12 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć x i y, np.: x = + r y = x x = + r y = x y = x + r y x q = y = x + r y = x = y q y x q y = x = = y q Zdający nie musi zapisywać układu równań, wystarczy, że zapisze wszystkie konieczne zależności. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zapisanie i rozwiązanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np.: 4x x= 0, stąd x = 3 lub x = 0 y 6y = 0, stąd y = 0 lub y = 6. Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie x = 3 i 6 3, 6,. y = oraz zapisanie ciągu geometrycznego ( ) Przyznajemy 4 punkty, gdy zdający obliczy x = 3 i y = 6 i poda ciąg geometryczny w postaci 3 n =. a n III sposób rozwiązania Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie + y x =, czyli y = x, natomiast z własności ciągu geometrycznego równanie y =, przy czym x 0 oraz y 0. y x y = x Rozwiązujemy układ równań y = y x y = x y = x Otrzymujemy kolejno x,, zatem x = 3 i y = 6. = = x x x 3,6,. Stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( ) Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (definicji lub wzoru na n-ty wyraz) wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (definicji lub wzoru na n-ty wyraz) i zapisanie: Strona z 0

13 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 równania, np.: x = + y równania, np.: = y y x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć x i y, np.: y = x y = y x Zdający nie musi zapisywać układu równań, wystarczy, że zapisze wszystkie konieczne zależności. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie i rozwiązanie równania z niewiadomą x, np.: x = i x = 3. x x Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie x = 3 i 6 3, 6,. y = oraz zapisanie ciągu geometrycznego ( ) IV sposób rozwiązania: Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie + y x =, czyli y = x. xy,, jest geometryczny i y = x, zatem iloraz q tego ciągu jest równy. Ciąg ( ) Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy Zatem x 3 i y 6 y = = 6 i x = = ,6,. = =, a stąd otrzymujemy ciąg geometryczny ( ) Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt + y Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania, np.: x =. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt zapisanie ciągu geometrycznego ( x, x,) obliczenie ilorazu q tego ciągu: q =. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Obliczenie x = 3 lub y = 6. Rozwiązanie pełne...4 pkt Obliczenie x = 3 i 6 3, 6,. y = oraz zapisanie ciągu geometrycznego ( ) Strona 3 z 0

14 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Zadanie 33. (4 pkt) Punkty = (, 5), = ( 4,3), C = ( 4,3) są wierzchołkami trójkąta. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą w punkcie D. Oblicz długość odcinka D. I sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej : y = x+ 3. Wyznaczamy równanie prostej CD, prostopadłej do prostej : Obliczamy współrzędne punktu D: D = (,7). Obliczamy długość odcinka D: D = 5. y = x+ 33. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej ( współczynnika kierunkowego a prostej współrzędnych wektora ): y = x+ 3 ( = 3, 6 ). a =, [ ] Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wyznaczenie równania prostej CD: y = x+ 33. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt D =,7. Obliczenie współrzędnych punktu D: ( ) Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 II sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej : y = x+ 3. Wyznaczamy równanie prostej CD, prostopadłej do prostej : y = x+ 33. = od prostej CD o równaniu x+ y 66 = 0 : Obliczamy odległość punktu ( 4,3) = 5, więc D = 5. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej ( współczynnika kierunkowego a prostej współrzędnych wektora ): y = x+ 3 ( = 3, 6 ). a =, [ ] Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wyznaczenie równania prostej CD: y = x+ 33. Strona 4 z 0

15 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej CD:. 5 Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 III sposób rozwiązania Wyznaczamy równanie prostej : y = x+ 3. Obliczamy odległość punktu ( 4,3) C = od prostej o równaniu x y+ 3 = 0 : CD = =. 5 5 Obliczamy długość odcinka C: C = 0. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD obliczamy długość odcinka D: 0 + D = 0 5, więc D = 5. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Wyznaczenie równania prostej : y = x+ 3. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt C = 4,3 od prostej o równaniu x y+ 3 = 0 : Obliczenie odległości punktu ( ) CD = lub CD = lub CD = Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt 0 Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD: + D = 0. 5 Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 IV sposób rozwiązania Obliczamy długość odcinka C oraz wysokość trójkąta C opuszczoną z wierzchołka : C = 0, h = Obliczamy pole trójkąta C: P C = = 30. Obliczamy długość odcinka : = 845. Pole trójkąta C możemy zapisać: P C CD =. Zatem 3 5 CD = 30. Strona 5 z 0

16 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Stąd CD = 4 5. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD obliczamy długość odcinka D: ( ) 4 5 D 0 + =, więc D = 5. Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie pola trójkąta : P C = 30. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie długości odcinka CD: CD = 4 5. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CD: ( ) 4 5 D 0 + =. Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 V sposób rozwiązania Obliczamy długości wszystkich boków trójkąta C: = 845, C = 685, C = 0. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów CD i DC zapisujemy układ równań: C = D + CD C = ( D ) + CD Wyznaczając CD z pierwszego równania i podstawiając do drugiego równania otrzymujemy: ( ) ( D ) = + D Stąd D = 5. Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie długości wszystkich boków trójkąta C: = 845, C = 685, C = 0. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań: C = D + CD C = ( D ) + CD Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt = + D. Zapisanie równania z niewiadomą D: ( ) ( D ) Strona 6 z 0

17 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie pełne...4 pkt 0 Obliczenie długości odcinka D: D = 5 lub D =. 5 Zadanie 34. (5 pkt) Droga z miasta do miasta ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta do miasta wyrusza godzinę później niż samochód z miasta do miasta. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta. Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta, liczona od chwili wyjazdu z do momentu spotkania, była o 7 km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania. I sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta i niech t oznacza czas od chwili wyjazdu tego samochodu do chwili spotkania. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km. Zapisujemy układ równań vt = 300 ( v 7)( t ) = 74 Przekształcając drugie równanie uwzględniając warunek vt = 300 otrzymujemy: v= 43 7t. Otrzymaną wartość v podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy: 7t 43t+ 300 = 0. Rozwiązaniami tego równania są liczby: 75 7 t = = 4 i t = Stąd v = 68, v = 75. Odpowiedź: pierwsze rozwiązanie: v = 5 km/h, v = 68 km/h, drugie rozwiązanie: v = 58 km/h, v = 75 km/h, gdzie v oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta, a v oznacza prędkość samochodu jadącego z miasta. Możemy otrzymać inne równania kwadratowe z jedną niewiadomą: 7t 09t + 74 = 0 lub v 09v = 0 lub v 43v = 0. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio: prędkość i czas dla samochodu jadącego z miasta oraz niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio: prędkość i czas dla samochodu jadącego z miasta. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Strona 7 z 0

18 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km. Zapisanie równania: v 7 t 74 v + 7 t + = 300. ( )( ) = lub ( )( ) Przyznajemy 0 pkt, jeżeli zdający zapisze tylko równanie v t = 300 lub v t = 74 lub odpowiednio zapisze, że ( v + 7) ( t + ) = 74 lub ( v ) ( t ) 7 = 300. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań np. ( v 7)( t ) = 74 v t = 74 lub v t = 300 ( v + 7)( t + ) = 300 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą v lub t lub v lub t, np ( t ) = t lub ( t ) 74 = t = 300 v 300 v 7 = 74. v lub ( ) 74 v lub ( ) Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczenie prędkości obu samochodów rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t = h lub t = h= 3 h 7 7 i nieobliczenie prędkości samochodu jadącego z miasta rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t = h lub t = h= 4 h 7 7 i nieobliczenie prędkości samochodu jadącego z miasta obliczenie t lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości v, v rozwiązanie równania kwadratowego i przyjęcie tylko jednego rozwiązania lub prędkości tylko jednego samochodu. Strona 8 z 0

19 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Rozwiązanie pełne...5 pkt v = 58 km/h v = 5 km/h Obliczenie prędkości obu samochodów: lub v = 75 km/h v = 68 km/h Zdający otrzymuje 5 punktów tylko w przypadku, gdy prawidłowo przyporządkuje prędkości. II sposób rozwiązania Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta, zaś v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z miasta oraz niech t oznacza czas od chwili wyjazdu samochodu z miasta do chwili spotkania samochodów. Obliczamy, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km Zapisujemy równania: v =, v =, wówczas otrzymujemy równanie t t =. t t Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego 7t 43 t+300 = Rozwiązaniami tego równania są liczby: t = = 4, t = Dla t = = 4 otrzymujemy v = 5, v = 68 oraz dla t = 4 otrzymujemy 7 7 v = 58, v = 75. Odpowiedź: Pierwsze rozwiązanie v = 5 km/h, v = 68 km/h. Drugie rozwiązanie v = 58 km/h, v = 75 km/h. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, v, t oznaczających odpowiednio: prędkość dla samochodu jadącego z miasta, prędkość dla samochodu jadącego z miasta oraz czas dla samochodu jadącego z miasta. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 74 km. Zapisanie równań na średnie prędkości samochodów wyjeżdżających z miasta i z miasta, np v =, v =. t t Strona 9 z 0

20 Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Przyznajemy 0 pkt, jeżeli zdający zapisze tylko równanie odpowiednio zapisze, że v 74 =. t + v 300 = lub t v 74 = t Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie równania wymiernego z jedną niewiadomą, np. + 7 =. t t Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)...4 pkt rozwiązanie równania z błędem rachunkowym i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczenie prędkości obu samochodów rozwiązanie równania i przyjęcie tylko jednego rozwiązania lub prędkości tylko jednego samochodu. Rozwiązanie pełne...5 pkt v = 58 km/h v = 5 km/h Obliczenie prędkości obu samochodów: lub v = 75 km/h v = 68 km/h Zdający otrzymuje 5 punktów tylko w przypadku, gdy prawidłowo przyporządkuje prędkości. Strona 0 z 0