EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0

2 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis wymagań Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną (IIIeR) I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności x, x, ) x, x xx 5x x xx x x xx x x x x 5 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest, Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały,,,,, Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np x, xxx I II III x, x x x x, x x x Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający poprawnie rozwiąże wszystkie trzy nierówności i poprawnie wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, a w trzecim przypadku popełni błąd i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca

3 Egzamin maturalny z matematyki poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze odpowiedź: x, lub x Zdający może włączyć liczby i do wszystkich ograniczonych tymi liczbami przedziałów Jeżeli natomiast nie włączy tych liczb do żadnego rozważanego przedziału (rozważy wszystkie przedziały otwarte), to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) x 0 x 0 x 0 Zapisujemy cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x x x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x niemożliwe x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x x x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x x x 5 x Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności są x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt x 0 x 0 x 0 x 0 Zdający zapisze cztery przypadki: x 0 x 0 x 0 x 0 Jeżeli zdający błędnie zapisze którykolwiek z czterech przypadków, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów

4 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze cztery układy nierówności: x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x x x Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to za całe rozwiązanie otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający poprawnie rozwiąże co najmniej trzy układy nierówności Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze odpowiedź: x, lub x We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie III sposób rozwiązania (graficznie) Rysujemy wykres funkcji f x x x i prostą o równaniu y x Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np x, f x xx I II III x, f x x x x, f x x x Przekształcamy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci x, f x x I II x f x III, x, f x x lub x dla x, f x dla x,) x dla x, f xax b:

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y x : y x Odczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresu funkcji f i prostej o równaniu yx : x Podajemy argumenty, dla których f x x : x, Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni przedziały:,,,,, Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający poprawnie zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np x, f x x lub I II x f x III, x, f x x x dla x, f x dla x,) x dla x,

6 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y x Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze przedział: x, lub x We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie IV sposób rozwiązania Rysujemy wykres funkcji f x x xx, postępując np w opisany poniżej sposób Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały:,,,,, Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np x, f x xxx I II III x, f x x x x x, f x x xx Przekształcamy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach do postaci x, f x 5x I II III x, f x x x, f x x lub 5x dla x, f xx dla x,) x dla x, Rysujemy wykres funkcji f : y f xax b: x

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 Odczytujemy wszystkie argumenty, dla których f x 0, czyli: x lub zapisujemy: zbiorem rozwiązań nierówności jest, Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni przedziały:,,,,, Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np x,,to f x 5x I Jeśli II Jeśli III Jeśli x,, to f x x x,, to f x x I Jeśli x, to f x5x II Jeśli x f x x III Jeśli x, to f xx 5x dla x, f xx dla x,) x dla x,, to Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f Rozwiązanie pełne pkt Zdający zapisze przedział: x, lub x We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre, to otrzymuje za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby zapisał wszystkie nierówności poprawnie

8 8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie twierdzenia o równości wielomianów (IVaR) Rozwiązanie (porównanie współczynników wielomianu) Wielomian W zapisujemy w postaci kwadratu wielomianu P: Wx x cx d Przekształcamy ten wielomian i porządkujemy jego wyrazy: W x x cxd x cxd x cx dx cx c x cdxdx cdxd x cx d c x cdxd Porównujemy współczynniki wielomianu W i zapisujemy układ równań: c a d c b Stąd cd d 9 c a c d d c b c a lub c d d c b i następnie c d a 8 b lub c d a 8 b 0 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie wielomianu W w postaci kwadratu wielomianu P: Wx x cx d Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie wielomianu W w postaci uporządkowanej, np: W x x cx d c x cdx d Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt c a d c b Zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie a oraz b, np: cd d 9 Rozwiązanie pełne pkt a 8 a 8 Obliczenie a oraz b: lub b b 0

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadanie (0-5) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego (IVeR) I sposób rozwiązania Z równania cos sin wyznaczamy jedną z funkcji trygonometrycznych w zależności od drugiej, np cos sin Stąd i z jedynki trygonometrycznej mamy sin sin 8 7 sin sin 0 9 Otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą sin ma dwa rozwiązania: sin lub sin Gdy sin, to cos Natomiast gdy sin, to cos W każdym z tych przypadków wartość wyrażenia cos sin jest taka sama i równa Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania, w którym występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna kąta : sin sin cos cos wyznaczenie z równania cos sin jednej z funkcji w zależności od drugiej i zapisanie wyrażenia cos sin w zależności od tej funkcji: cos sin sin cos sin cos Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie równania kwadratowego z jedną niewiadomą w postaci uporządkowanej: sin sin 0 cos cos 0 9 9

10 0 Egzamin maturalny z matematyki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie wartości sin cos : sin lub sin cos lub cos Rozwiązanie zadania prawie do końca pkt Obliczenie wartości drugiej funkcji trygonometrycznej kąta : cos lub cos sin lub sin zapisanie wyrażenia cos sin w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej: cos sin sin cos sin cos Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie wartości wyrażenia: cos sin II sposób rozwiązania Podnosząc obie strony równania cos cossin sin 9 7 sin cos, więc cos sin 9 Zatem wartość wyrażenia cos sin jest równa cos sin do kwadratu dostajemy 7 cossin cossin cos cossin sin cossin 9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 7 Obliczenie wartości cos sin 9 zapisanie wyrażenia cos w postaci cos sin sin Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 7 Obliczenie wartości cos sin 9 oraz zapisanie wyrażenia cos w postaci cos sin sin

11 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie zadania prawie do końca pkt 7 Obliczenie wartości cos sin 9 oraz zapisanie wyrażenia cos sin w postaci cos sin Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie wartości wyrażenia: cos sin Zadanie (0-5) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania kwadratowego z parametrem, Przeprowadzenie dyskusji i wyciągnięcie wniosków (IVbR) I sposób rozwiązania (wzory Viète a) Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi zachodzić nierówność 0 Zapisujemy układ warunków: 0 xx Wyznaczamy : m m 9 m m 8m 8 m m m Rozwiązujemy nierówność 0 Wariant I Równanie x x : m 0, czyli m 0 Stąd m zapisujemy najpierw w postaci równoważnej a dalej 9 x x xx 9 Stosując wzory Viète a zapisujemy równanie w postaci x x x x, czyli m m 9 Stąd m m 8 m m m lub m 8 8 Wariant II Zapisujemy wyrażenie x x w postaci równoważnej i przekształcamy: x x x x x x x x x x x x x, x 9

12 Egzamin maturalny z matematyki Stąd, stosując wzory Viète a, otrzymujemy: b c b c b ac xx a a a a a a m Równanie xx jest zatem równoważne równaniu m 7 Stąd m i następnie m lub m, czyli m lub Obie otrzymane wartości m są różne od 5 m Odpowiedź: 5 m lub 7 m II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki) Aby równanie miało dwa różne pierwiastki musi zachodzić nierówność 0 Wyznaczamy : m m 9 m m 8m 8 m m m Warunek 0 zachodzi, gdy m 0, co ma miejsce, gdy m 0, czyli dla m m, zatem m m m Stąd x, x m m Warunek xx możemy zapisać w postaci x x lub x x Obliczamy: m m m m m m xx Zatem alternatywę x x lub xx możemy zapisać w postaci Ponieważ m m lub Pierwsze z otrzymanych równań jest sprzeczne, wystarczy więc rozwiązać drugie: m, stąd m 7 5 Zatem m lub m, czyli m lub m Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części Część a) polega na rozwiązaniu nierówności 0, gdzie rozwiązujemy nierówność m 0: m Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Jeżeli zdający rozpatrzy warunek 0, wówczas za tę część otrzymuje 0 punktów

13 Egzamin maturalny z matematyki Część b) polega na rozwiązaniu równania x x : Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty 5 m lub 7 m Część c) polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązania nierówności z a) i rozwiązania równania z b) Za poprawne rozwiązanie części c) zdający otrzymuje punkt W ramach części b) rozwiązania wyróżniamy następujące etapy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania x x zapisanie równości x x x x w postaci równoważnej x x 9 m m obliczenie x i x : x, x m m oraz zapisanie równania x x w postaci alternatywy x x lub x x Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Doprowadzenie równania x x 9 do postaci m m5 0 zapisanie równania x x w postaci m m doprowadzenie równań x x i x x do postaci m i Rozwiązanie pełne części b) pkt 5 7 Rozwiązanie równania m m5 0: m lub m rozwiązanie równania m 5 7 : m lub m m m rozwiązanie alternatywy równań: lub : 7 5 m lub m Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności i równania, to otrzymuje punkty

14 Egzamin maturalny z matematyki III sposób rozwiązania (rozkład na czynniki) Równanie x ( m) x m 0 doprowadzamy do postaci iloczynowej kolejno otrzymując: x xmxm 0 x xxmxm 0 x x x m x 0 xxm 0 Zatem dla każdej wartości parametru m równanie ma pierwiastki: x, x m Warunek x x ma zatem postać m, czyli m Stąd m lub m i ostatecznie m lub m Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania w postaci, z której łatwo można przejść do postaci iloczynowej, np: x xxmxm 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt x xm 0 Zapisanie równania w postaci iloczynowej: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie x i x : x, x m Rozwiązanie pełne 5 pkt Rozwiązanie równania x x : m lub m Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i konsekwentnie do tych błędów rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty Zadanie 5 (0-5) Użycie i tworzenie strategii Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i wzoru na sumę n początkowych wyrazów tego ciągu (IV5c) Rozwiązanie Szukamy odpowiedzi na pytanie: dla jakiej największej wartości n suma S n początkowych kolejnych n wyrazów tego ciągu spełnia nierówność Sn 0 Suma n początkowych wyrazów ciągu a wyraża się wzorem więc otrzymujemy nierówność n n n 0 Sn n, a n r

15 Egzamin maturalny z matematyki 5 Stąd n 7 n 0 i następnie n 7n0 0 Miejscami zerowymi trójmianu n 7n 0 są liczby n oraz n Zatem szukane n jest największą liczbą całkowitą dodatnią z przedziału n, n 7 9,8 Przybliżona wartość n 7,8, więc szukaną wartością jest n 7 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zapisanie nierówności (lub równania) z jedną niewiadomą: n n 5 n n 0 lub n 0 lub n 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Doprowadzenie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego do postaci ogólnej: n 7n0 0 lub n 7n0 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie nierówności n 7n0 0 lub równania n 7n0 0 : n, lub n, n Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Poprawne rozwiązanie nierówności kwadratowej lub równania kwadratowego, 7 87 a następnie błędy rachunkowe w oszacowaniu liczby n i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi (o ile liczba n ) n błędy rachunkowe podczas przekształcania nierówności n 0 n 5 lub n 0 (lub równania) i konsekwentne do tych błędów podanie odpowiedzi (o ile trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki, a liczba n jest całkowita dodatnia) Rozwiązanie pełne 5 pkt Zapisanie, że największą liczbą n dla której a a a n 0 jest n 7 Jeżeli zdający, stosując metodę prób i błędów, sprawdzi, że liczba n 7 spełnia podaną nierówność, oraz sprawdzi, że liczba n 8 nie spełnia tej nierówności, to otrzymuje 5 punktów

16 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej (Vb) Rozwiązanie Obie strony nierówności są dodatnie, więc po podniesieniu obu stron nierówności do potęgi drugiej otrzymujemy nierówność równoważną ac bd a b c d Po otwarciu nawiasów i redukcji wyrazów podobnych, otrzymujemy nierówność abcd a d b c, a następnie a d abcd b c 0, czyli ad bc 0 Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b, c, d, co kończy dowód Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy przekształci nierówność do postaci równoważnejac bd a b c d i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy doprowadzi nierówność do postaci abcd a d b c i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Zadanie 7 (0-) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie zadania dotyczącego wzajemnego położenia prostej i okręgu (IV8bR) I sposób rozwiązania,, r Obliczamy współrzędne środka okręgu i długość promienia okręgu: S Zapisujemy równanie okręgu: x y Okrąg jest styczny do prostej l w punkcie C, a równanie okręgu x y a, a, a, więc współrzędne tego punktu spełniają Stąd a lub a a nie spełnia warunku zadania, więc C, Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej CS: m Wyznaczamy równanie prostej l prostopadłej do prostej CS i przechodzącej przez punkt C

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 l: y xb xb b b A zatem prosta l: y x II sposób rozwiązania Podobnie, jak w I sposobie rozwiązania, znajdujemy współrzędne punktu C: C, Następnie obliczamy współrzędne wektora CS, Wyznaczamy równanie prostej l prostopadłej do wektora CS i przechodzącej przez punkt C l: x y 0, czyli l: x y 0 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania okręgu: x y Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie współrzędnych punktu C : C, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej CS: m lub obliczenie współrzędnych wektora CS, Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie równania prostej l i zapisanie go w postaci kierunkowej y x lub ogólnej x y 0 : Jeżeli zdający nie odrzuci a i rozwiąże zadanie do końca podając równania dwóch prostych, to otrzymuje punkty

18 8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0-5) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii (III7dR) Rozwiązanie C 5 D 7 A B Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAD mamy BD AD AB Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCD mamy BC BD CD PABCD PABD PBCD 7 50 Wariant I Ponieważ BD jest wspólną przeciwprostokątną trójkątów prostokątnych ABD i BCD, więc na czworokącie ABCD można opisać okrąg, którego średnicą jest BD W okrąg opisany na czworokącie ABCD jest też wpisany trójkąt ABC Z twierdzenia sinusów dla tego trójkąta wynika, że AC BD sin ABC, stąd AC BD sin ABC 5sin ABD DBC Stąd i ze wzoru na sinus sumy kątów mamy AC 5sin ABD cos DBC cos ABD sin DBC Wariant II Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC: AC AB BC AB BC cos ABC cos ABC cos ABD DBC cos ABD cos DBC sin ABD sin DBC Stąd AC , czyli AC 0 5

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 Wariant III Korzystamy z twierdzenia Ptolemeusza: AC BD AB CD BC AD czyli AC Stąd AC 0 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Obliczenie długości przekątnej BD: BD 5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości boku BC oraz pola czworokąta: PABCD PABD PBCD Jeżeli zdający obliczy pole czworokąta ABCD popełniając błędy rachunkowe i na tym poprzestanie lub dalej błędnie rozwiązuje zadanie, to otrzymuje punkt Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zauważenie, że przekątna BD jest średnicą okręgu opisanego na czworokącie ABCD (czyli również na trójkącie ABC) i zastosowanie twierdzenia sinusów do obliczenia AC przekątnej AC: BD sin ABC zastosowanie twierdzenia cosinusów do obliczenia przekątnej AC: AC AB BC AB BC cos ABC zastosowanie twierdzenia Ptolemeusza do obliczenia przekątnej AC: AC BD AB CD BC AD Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Obliczenie długości przekątnej AC z błędem rachunkowym Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie długości przekątnej AC: AC 0 Zadanie 9 (0-) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (IV0R) I sposób rozwiązania (konsekwencje reguły dodawania) Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900 Oznaczamy przez A k zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez k Mamy obliczyć A A5 A A5 A A5 A A5 A A5 A 0 Teraz wystarczy obliczyć, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez, następnie podzielnych przez 5 i następnie przez 0

20 0 Egzamin maturalny z matematyki Kolejne 900 liczb całkowitych można podzielić na 50 pełnych szóstek (czyli kolejnych sześć liczb całkowitych) W każdej takiej szóstce jest dokładnie jedna liczba podzielna przez Wynika stąd, że trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez jest dokładnie 50 Rozumując analogicznie stwierdzamy, że trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez 5 jest 0, a trzycyfrowych liczb całkowitych podzielnych przez 0 jest 0 Stąd A A5 A A5 A Liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez 5 jest 80 II sposób rozwiązania (diagram Venna) Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900 Oznaczamy przez A k zbiór liczb trzycyfrowych podzielnych przez k Rysujemy diagram Venna dla A i A 5 Wpisujemy liczby elementów poszczególnych parami rozłącznych zbiorów zaczynając od AA5 A0 0, a następnie korzystając z faktów, że A 50 i A5 0 wpisujemy liczby w pozostałe zbiory i zapisujemy odpowiedź: liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez 5 jest 80 III sposób rozwiązania Liczb naturalnych trzycyfrowych jest 900 Stwierdzamy, że liczb trzycyfrowych podzielnych przez jest 50, liczb trzycyfrowych podzielnych przez 5 jest 0 oraz, że dodając te liczby policzyliśmy liczby podzielne przez 0 dwa razy Stąd wynika, że liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez lub przez 5 jest 80 Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy stosuje poprawną metodę rozwiązania zadania i popełnia błędy w obliczeniu A lub A 5 Zdający otrzymuje pkt gdy stosując poprawną metodę rozwiązania zadania obliczy A oraz A 5 i na tym poprzestanie lub błędnie obliczy A 0 Zdający otrzymuje pkt gdy rozwiąże zadanie bezbłędnie Zadanie 0 (0-) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych na płaszczyźnie, wyznaczenie największej i najmniejszej wartości funkcji (IV8e, k) Rozwiązanie Każdy punkt P należący do prostej y 8x 0 Wyznaczamy wzór funkcji f opisującej sumę AP ma współrzędne,8 0 BP : 8 8, stąd f x x x x x x x f x 0x 0x 0

21 Egzamin maturalny z matematyki Ponieważ parabola, będąca wykresem otrzymanej funkcji kwadratowej f, ma ramiona skierowane do góry, to współrzędna x szukanego punktu P jest równa xw tej paraboli 0 x w 0 Szukany punkt P należy do prostej y 8x 0 P,, więc Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt P x,8x 0 Zapisanie za pomocą niewiadomej x współrzędnych punktu P: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt f x 0x 0x 0 Wyznaczenie wzoru funkcji f: Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie x, dla którego funkcja f x 0x 0x 0 przyjmuje wartość najmniejszą: x Rozwiązanie pełne pkt Podanie współrzędnych punktu P, dla którego suma wartość: P, AP BP przyjmuje najmniejszą Zadanie (5 pkt) Użycie i tworzenie strategii Znalezienie związków miarowych w ostrosłupie (IV9b) Rozwiązanie S h C A D O Obliczamy pole trójkąta ABC Oznaczmy wysokość trójkąta ABC opuszczoną na podstawę AB przez Pitagorasa: hab BC AB 9 5 B h AB Wtedy z tw

22 Egzamin maturalny z matematyki PABC AB CD 0 50 Z równości wysokości ścian bocznych ostrosłupa wynika, że punkt O spodek wysokości tego ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny ABC PABC Obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt ABC ze wzoru r, gdzie p jest p 50 połową obwodu trójkąta ABC: r, czyli r 0 5 Oznaczmy wysokość DS ściany bocznej ABS tego ostrosłupa przez h Następnie obliczamy wysokość H OS ostrosłupa ABCS: H h r 0 oraz jego objętość V: V 50 0 Aby obliczyć pole trójkąta ABC, możemy także skorzystać ze wzoru Herona: P ABC Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Obliczenie pola P trójkąta ABC: PABC 50 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie promienia r okręgu wpisanego w trójkąt ABC: r 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie wysokości H ostrosłupa ABCS: H Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie objętości V ostrosłupa: V 0 Zadanie (0-) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie własności prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V0cd) Rozwiązanie Zdarzenia A B, A B oraz A B są parami rozłączne i AB AB AB AB Stąd i z faktu, że P AB wynika, że PAB PABPABP AB czyli P A B 0,7 Uwagi: Zdający nie musi zapisywać, że AB A B AB AB Zdający może rozwiązać zadanie za pomocą diagramu Venna, co kończy dowód

23 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt P AB AB AB Zdający zapisze, że zadający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia A B i A B Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze, że zdarzenia A B, A B, A B są parami rozłączne zadający sporządzi diagram Venna, na którym zaznaczy zdarzenia A B i A B oraz zapisze, np: PABP AB P AB P AB, skąd wynika, że zdarzenia A B, A B, A B są parami rozłączne Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełny dowód Jeżeli zdający przeprowadzi pełny dowód, ale nie zapisze, że podane zdarzenia są parami rozłączne, to otrzymuje punkty

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: czerwca

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA. Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA We współpracy Schemat odpowiedzi PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI, POZIOM ROZSZERZONY Marzec 014 Zadanie 1 Wyróżnienie na osi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Małopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E

Małopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ Z KARTY ODPOWIEDZI Numer zadania SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ TESTOWYCH Liczba punktów za zadanie Miejsce na odpowiedź ucznia A B C D E 1 X X X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo