Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x x x x. Rozwiązanie Nierówność przekształcamy równoważnie x x x x, x 5x 0. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5x, wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas 5 9, 7, x, x. Możemy również obliczyć pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5x, rozkładając go na czynniki liniowe x 5x x 6x x x x x x x. Stąd x 0 lub x 0, x lub x. Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y x 5x, y - 0 x z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x,,. x. Odpowiedź:,, Schemat oceniania otrzymuje... p., gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z

2 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej x 5 7 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x 5 7 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. otrzymuje... p., gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub x,, lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. x Zadanie. (0-) Rozwiąż równanie x x x 8 0. Rozwiązanie x x 8x 0 możemy zapisać w postaci równoważnej Równanie x x x 8 0. Iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy 0. x x 8x 0 możemy zapisać w postaci równoważnej Zatem równanie x 0 lub x 0 lub x 0 lub 8 0 x, x 0 lub x. 8 Równanie x 0nie ma rozwiązań rzeczywistych, a z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że rozwiązaniem równania x jest liczba x. 8 8 W rezultacie równanie x x8x 0 ma dwa rozwiązania: x 0, x. Strona z

3 Schemat oceniania Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania otrzymuje... p., gdy zapisze równanie w postaci alternatywy x 0 lub x 0 lub 8x 0, x x 0 lub 8x 0 i poda jedno z rozwiązań równania: x 0 x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy wyznaczy oba rozwiązania równania: x, x 0. Zadanie. (0-) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej wartość współczynnika c. f x x 8x c jest przedział,. Oblicz Rozwiązanie (I sposób) Ponieważ zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział,, więc największa wartość tej funkcji jest równa. Ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f otrzymujemy, 68, 8 c 68, 6 8c 68, 8c, c 9. Rozwiązanie (II sposób) Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej f x x x c x x c 8 x c 8. Największa wartość funkcji f jest więc równa c 8, ale zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział,, więc największa wartość tej funkcji jest równa. Zatem c 8, c 9. Rozwiązanie (III sposób) Ponieważ zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział,, więc największa wartość tej funkcji jest równa. Funkcja f przyjmuje wartość największą dla argumentu równego b 8 x. a Zatem f, 8 c, 8 6 c, c 9. Strona z

4 Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania otrzymuje... p., gdy zapisze, że największa wartość funkcji f jest równa oraz zapisze równość, wzór funkcji w postaci kanonicznej f x x c 8 obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f: x oraz zapisze równość f x w i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. w otrzymuje... p., gdy obliczy wartość współczynnika c: c 9 Zadanie. (0-) Ramię AD trapezu prostokątnego ABCD o podstawach AB i CD jest prostopadłe do podstaw tego trapezu i ma długość równą AD 9. Przekątna BD ma długość BD 5, a podstawa CD ma długość CD 7 (zobacz rysunek). D 7 C 9 5 A Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu. Rozwiązanie Poprowadźmy wysokość CE trapezu. D 7 C B A E B Wówczas czworokąt AECD jest prostokątem, więc AE DC 7 oraz EC AD 9. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABD otrzymujemy AB AD BD, AB 9 5, AB 5 8, AB. Strona z

5 Stąd AB. Zatem EB 7 5. Z trójkąta prostokątnego BCE otrzymujemy EC 9 tg. EB 5 Odpowiedź: Tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy 9 5. Schemat oceniania otrzymuje... p., gdy obliczy długość odcinka EB: EB 5 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy obliczy tangens kąta ostrego tego trapezu: tg 9 5. Zadanie 5. (0-) Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg. Punkt D leży na krótszym łuku AB. Punkt E leży na odcinku CD oraz DE DB (zobacz rysunek). C E A B D Udowodnij, że trójkąty BAD i BCE są przystające. Dowód Trójkąt ABC jest równoboczny, więc AB CB oraz ABC BAC 60. Kąty BAC i BDC to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku BC, więc BDC BAC 60. Stąd i z równości DE Ponieważ AB DB wynika, że trójkąt BDE jest równoboczny. Zatem BD CB i BD BE BE oraz DBE 60., więc żeby wykazać, że trójkąty BAD i BCE są przystające wystarczy wykazać, że miary kątów ABD i CBE są równe. To jest prawdą, gdyż ABD DBE ABE 60 ABE oraz CBE ABC ABE 60 ABE. To kończy dowód. Uwaga Gdy wykażemy, że trójkąt BDE jest równoboczny, to przystawanie trójkątów BAD i BCE wynika wprost z faktu, że trójkąt BAD jest obrazem trójkąta BCE w obrocie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół punktu B o kąt 60. Strona 5 z

6 Schemat oceniania Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania otrzymuje... p., gdy wykaże, że trójkąt BDE jest równoboczny i tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy udowodni, że trójkąty BAD i BCE są przystające. Zadanie 6. (0-) Udowodnij, że tylko jedna para liczb rzeczywistych x, y spełnia równanie x x y. Dowód (I sposób) Przekształcamy równanie w sposób równoważny: x x x y 0, x x y 0, x y 0. Lewa strona tego równania jest sumą dwóch liczb nieujemnych (kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny), więc jest ona równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a więc gdy x 0 i y 0, czyli gdy To dowodzi, że jedynie para x 0 i y 0, x i y 0. x i y 0 spełnia to równanie, co należało udowodnić. Dowód (II sposób) Przekształcamy równanie w sposób równoważny: x x x y 0, () x x y 0. Potraktujmy to równanie jak zwykłe równanie kwadratowe z jedną niewiadomą x. Wyróżnik trójmianu x x y jest równy x y 6 6 6y 6y. Zauważmy, że dla każdej liczby y 0 wyróżnik ten jest ujemny, a więc równanie nie ma wówczas rozwiązań. Jedynie dla y 0 wyróżnik ten jest równy 0, więc wtedy równanie () ma dokładnie jedno rozwiązanie b x. a Zatem istnieje tylko jedna para liczb rzeczywistych: x i y 0 spełniających równanie x x y. To kończy dowód. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania otrzymuje... p., gdy x y 0 zapisze równanie w postaci równoważnej Strona 6 z

7 zapisze równanie w postaci równoważnej x x y 0 i potraktuje go jak równanie kwadratowe z niewiadomą z jedną niewiadomą oraz obliczy wyróżnik x 6y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. (0-) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana liczba jest nieparzysta lub suma wszystkich jej cyfr jest równa 5. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie liczby naturalne trzycyfrowe, czyli pary ( xy, ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {00,0,0,,999}. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa , a wszystkie zdarzenie jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest nieparzysta lub suma wszystkich jej cyfr jest równa 5. Liczba wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych jest równa , gdyż pierwszą cyfrą takiej liczby może być dowolna cyfra różna od 0, druga cyfra może być dowolna, a trzecia musi być jedną spośród cyfr:,, 5, 7, 9. Wyznaczmy teraz te wszystkie liczby naturalne trzycyfrowe, których suma wszystkich cyfr jest równa 5. Taką sumę otrzymamy w jednym z następujących przypadków: ) pierwszą cyfrą będzie 5, a dwie pozostałe to 0. Jest tylko jedna taka liczba: 500, ) jedną z cyfr jest, jedną i jedną 0. Są cztery takie liczby: 0, 0, 0, 0, ) jedną cyfrą jest, jedną i jedną 0. Tu, podobnie jak w poprzednim przypadku mamy cztery takie liczby: 0, 0, 0, 0, ) jedną z cyfr jest, a dwie pozostałe to. Są trzy takie liczby:,,. 5) jedną z cyfr jest, a dwie pozostałe to. Są, podobnie jak w poprzednim przypadku, trzy takie liczby:,,. W rezultacie mamy 5 liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie wszystkich cyfr równej 5. Spośród nich 6 to liczby nieparzyste: 0, 0,,,,. Zatem liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równa A Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe A 59 5 P A Odpowiedź: Uwaga Liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych możemy też obliczyć inaczej. Wystarczy zauważyć, że wśród liczb,,,, 98,99,00,0,0,,999, których jest 999, pierwsze 99 to liczby jedno lub dwucyfrowe. Zatem liczba wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych jest równa Strona 7 z

8 Schemat oceniania Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: obliczy lub poda liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych: zapisze co najmniej trzy przypadki, w których suma cyfr liczby naturalnej trzycyfrowej jest równa 5. i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy lub poda liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych: , zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zapisze wszystkie przypadki, w których suma cyfr liczby naturalnej trzycyfrowej jest równa 5: , suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 5, gdy w zapisie tej liczby występuje jedna cyfra 5 i dwie cyfry 0 lub jedna cyfra, jedna cyfra i jedna cyfra 0, lub jedna cyfra, jedna cyfra i jedna cyfra 0, lub jedna cyfra i dwie cyfry, lub jedna cyfra i dwie cyfry obliczy liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie wszystkich cyfr równej 5 lub wypisze wszystkie te liczby:5 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: , A Rozwiązanie pełne... p. obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka 5 nieskracalnego: P A. 00 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie zapisze, że A , nie zauważając w ten sposób dwukrotnie zlicza liczby nieparzyste o sumie wszystkich cyfr równej 5 i w efekcie obliczy 65 P A, to otrzymuje punkty Jeśli zdający wypisując liczby trzycyfrowe pominie jedną z nich lub dwukrotnie ją wypisze i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A, ale nie zapisze go w postaci 50 ułamka nieskracalnego, np. zapisze P A, to otrzymuje punkty. 900 Strona 8 z

9 Zadanie 8. (0-) Punkty A, 9 i C, 5 są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, którego przeciwprostokątna AB zawiera się w prostej o równaniu y x. Oblicz współrzędne środka tej przeciwprostokątnej. Rozwiązanie (I sposób) Zauważmy najpierw, że punkt A leży na prostej o równaniu y x, gdyż 9. C y A S B x Obliczmy współczynnik kierunkowy prostej AC 9 5 a AC. Boki AC i BC trójkąta ABC to przyprostokątne tego trójkąta, więc prosta BC jest prostopadła do prostej AC. Zatem współczynnik kierunkowy a BC prostej AB jest równy a. Prosta BC przechodzi przez punkt C,5 y x BC a AC Strona 9 z, więc jej równanie ma postać y a x x y, BC C C 5, y x 7. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostych AB i BC. Współrzędne tego wierzchołka obliczymy, rozwiązując układ równań y x y x 7. Stąd otrzymujemy x 7 x, 5 x 5, x 6, więc 6 B 6,. y. Zatem Współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB obliczymy ze wzorów na współrzędne środka odcinka xaxb yayb 9 ( ), 6, 7, S.

10 Rozwiązanie (II sposób) Trójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, ale środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. 0 9 y A M 8 7 C 6 5 S B x Wyznaczmy więc równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi przez środek M boku AC. Obliczmy najpierw współczynnik kierunkowy prostej AC 9 5 a AC. Zatem współczynnik kierunkowy a symetralnej boku AC jest równy a. aac Środek M boku AC ma współrzędne równe Zatem symetralna ma równanie x ( ) AxC yayc,, 9 5,7 M. y a x x y, y x 7, y x Współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB obliczymy, rozwiązując układ równań y x y x Stąd otrzymujemy x 6 5 x 8, 5 x 5 8, x 7, y. Zatem 7, więc 7 S. M M Strona 0 z

11 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC: aac obliczy współrzędne środka M boku AC: M,7 zapisze, że S jest punktem przecięcia symetralnej boku AC z prostą AB i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. wyznaczy równanie prostej BC: y x 5 obliczy współrzędne środka M boku AC i współczynnik kierunkowy symetralnej tego boku:,7 M, a. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. B 6, obliczy współrzędne wierzchołka B: wyznaczy równanie symetralnej boku AC i zapisze układ równań pozwalający obliczyć współrzędne punktu S: y x 6 5 i y x. 8 Uwaga nie musi zapisywać formalnie układu równań, o ile z jego rozwiązania wynika, że S jest punktem przecięcia prostej AB i symetralnej boki AC. Rozwiązanie pełne... p. obliczy współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB trójkąta ABC: 7, S. Zadanie 9. (5 pkt) Suma wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 8. Kosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Strona z

12 Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania S h b F E A B a O a C a D Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 6a 6b, więc otrzymujemy równanie 6a6b 8, () ab 8. Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt foremny o boku długości a. Sześciokąt ten składa się z sześciu takich samych trójkątów równobocznych o boku długości a. W szczególności OD a. Kosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy OD a cos, czyli cos. DS b Otrzymujemy zatem równanie a, b b a. Stąd i z () otrzymujemy aa 8, a 8 a. Zatem ba 6. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ODS otrzymujemy DS OD OS, b a h 6 h, 7 8 h, h 6, Stąd h 8. Pole podstawy ostrosłupa jest równe sumie sześciu pól trójkątów równobocznych o boku długości a, więc Strona z

13 a Pp 6 8. Objętość ostrosłupa jest więc równa V Pp h 8. Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa V. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. zapisze jedno równanie z niewiadomymi a i b: 6a6b 8, zaznaczy kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. zapisze układ równań z niewiadomymi a i b: 6a6b 8 i a. b Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. obliczy długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej ostrosłupa: a, ba 6 obliczy długość krawędzi podstawy i pole podstawy ostrosłupa: a, P. Rozwiązanie prawie pełne... p. obliczy wysokość ostrosłupa: h 8 rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne... 5 p. obliczy objętość ostrosłupa: V. a b p Zadanie 0. (0-5) Trzy początkowe wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego są równe odpowiednio:, 6x, x 8. Oblicz x oraz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu, mniejszych od 50. Rozwiązanie (I sposób) Niech a będzie nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy r, w którym a, n a 6x oraz a x 8. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy x 8 6x, xx 9, x x 9 0, x 0, Strona z

14 x 0, x. Gdy x, to a 6x 6 9, więc r a a 9 8. Zatem wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać an a n r n 8 8n 7 dla n. Wyznaczmy te wyrazy ciągu a, które są mniejsze od 50. n an 50, 8n 7 50, 57 5 n Są to więc wyrazy a, a, a,, a 9. Suma wszystkich tych wyrazów jest więc równa a a S Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. x 8 zapisze równanie z niewiadomą x: np.: 6x i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. obliczy x: x i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. obliczy różnicę ciągu a n oraz zapisze warunek pozwalający wyznaczyć liczbę wszystkich wyrazów tego ciągu mniejszych od 50, np.: r 8, 8n Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... p. wyznaczy liczbę wszystkich wyrazów ciągu a n mniejszych od 50: 9. rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne... 5 p. obliczy x oraz sumę wszystkich wyrazów ciągu a mniejszych od 50: x, S9 87. n Strona z