Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych"

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x x x x. Rozwiązanie Nierówność przekształcamy równoważnie x x x x, x 5x 0. Obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5x, wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas 5 9, 7, x, x. Możemy również obliczyć pierwiastki trójmianu kwadratowego x 5x, rozkładając go na czynniki liniowe x 5x x 6x x x x x x x. Stąd x 0 lub x 0, x lub x. Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego y x 5x, y - 0 x z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x,,. x. Odpowiedź:,, Schemat oceniania otrzymuje... p., gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z

2 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności zapisze nierówność w postaci równoważnej x 5 7 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x 5 7 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. otrzymuje... p., gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub x,, lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. x Zadanie. (0-) Rozwiąż równanie x x x 8 0. Rozwiązanie x x 8x 0 możemy zapisać w postaci równoważnej Równanie x x x 8 0. Iloczyn jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy 0. x x 8x 0 możemy zapisać w postaci równoważnej Zatem równanie x 0 lub x 0 lub x 0 lub 8 0 x, x 0 lub x. 8 Równanie x 0nie ma rozwiązań rzeczywistych, a z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika, że rozwiązaniem równania x jest liczba x. 8 8 W rezultacie równanie x x8x 0 ma dwa rozwiązania: x 0, x. Strona z

3 Schemat oceniania Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania otrzymuje... p., gdy zapisze równanie w postaci alternatywy x 0 lub x 0 lub 8x 0, x x 0 lub 8x 0 i poda jedno z rozwiązań równania: x 0 x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy wyznaczy oba rozwiązania równania: x, x 0. Zadanie. (0-) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej wartość współczynnika c. f x x 8x c jest przedział,. Oblicz Rozwiązanie (I sposób) Ponieważ zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział,, więc największa wartość tej funkcji jest równa. Ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f otrzymujemy, 68, 8 c 68, 6 8c 68, 8c, c 9. Rozwiązanie (II sposób) Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej f x x x c x x c 8 x c 8. Największa wartość funkcji f jest więc równa c 8, ale zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział,, więc największa wartość tej funkcji jest równa. Zatem c 8, c 9. Rozwiązanie (III sposób) Ponieważ zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział,, więc największa wartość tej funkcji jest równa. Funkcja f przyjmuje wartość największą dla argumentu równego b 8 x. a Zatem f, 8 c, 8 6 c, c 9. Strona z

4 Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania otrzymuje... p., gdy zapisze, że największa wartość funkcji f jest równa oraz zapisze równość, wzór funkcji w postaci kanonicznej f x x c 8 obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f: x oraz zapisze równość f x w i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. w otrzymuje... p., gdy obliczy wartość współczynnika c: c 9 Zadanie. (0-) Ramię AD trapezu prostokątnego ABCD o podstawach AB i CD jest prostopadłe do podstaw tego trapezu i ma długość równą AD 9. Przekątna BD ma długość BD 5, a podstawa CD ma długość CD 7 (zobacz rysunek). D 7 C 9 5 A Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu. Rozwiązanie Poprowadźmy wysokość CE trapezu. D 7 C B A E B Wówczas czworokąt AECD jest prostokątem, więc AE DC 7 oraz EC AD 9. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABD otrzymujemy AB AD BD, AB 9 5, AB 5 8, AB. Strona z

5 Stąd AB. Zatem EB 7 5. Z trójkąta prostokątnego BCE otrzymujemy EC 9 tg. EB 5 Odpowiedź: Tangens kąta ostrego tego trapezu jest równy 9 5. Schemat oceniania otrzymuje... p., gdy obliczy długość odcinka EB: EB 5 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy obliczy tangens kąta ostrego tego trapezu: tg 9 5. Zadanie 5. (0-) Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg. Punkt D leży na krótszym łuku AB. Punkt E leży na odcinku CD oraz DE DB (zobacz rysunek). C E A B D Udowodnij, że trójkąty BAD i BCE są przystające. Dowód Trójkąt ABC jest równoboczny, więc AB CB oraz ABC BAC 60. Kąty BAC i BDC to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku BC, więc BDC BAC 60. Stąd i z równości DE Ponieważ AB DB wynika, że trójkąt BDE jest równoboczny. Zatem BD CB i BD BE BE oraz DBE 60., więc żeby wykazać, że trójkąty BAD i BCE są przystające wystarczy wykazać, że miary kątów ABD i CBE są równe. To jest prawdą, gdyż ABD DBE ABE 60 ABE oraz CBE ABC ABE 60 ABE. To kończy dowód. Uwaga Gdy wykażemy, że trójkąt BDE jest równoboczny, to przystawanie trójkątów BAD i BCE wynika wprost z faktu, że trójkąt BAD jest obrazem trójkąta BCE w obrocie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół punktu B o kąt 60. Strona 5 z

6 Schemat oceniania Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania otrzymuje... p., gdy wykaże, że trójkąt BDE jest równoboczny i tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy udowodni, że trójkąty BAD i BCE są przystające. Zadanie 6. (0-) Udowodnij, że tylko jedna para liczb rzeczywistych x, y spełnia równanie x x y. Dowód (I sposób) Przekształcamy równanie w sposób równoważny: x x x y 0, x x y 0, x y 0. Lewa strona tego równania jest sumą dwóch liczb nieujemnych (kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny), więc jest ona równa 0 wtedy i tylko wtedy, gdy a więc gdy x 0 i y 0, czyli gdy To dowodzi, że jedynie para x 0 i y 0, x i y 0. x i y 0 spełnia to równanie, co należało udowodnić. Dowód (II sposób) Przekształcamy równanie w sposób równoważny: x x x y 0, () x x y 0. Potraktujmy to równanie jak zwykłe równanie kwadratowe z jedną niewiadomą x. Wyróżnik trójmianu x x y jest równy x y 6 6 6y 6y. Zauważmy, że dla każdej liczby y 0 wyróżnik ten jest ujemny, a więc równanie nie ma wówczas rozwiązań. Jedynie dla y 0 wyróżnik ten jest równy 0, więc wtedy równanie () ma dokładnie jedno rozwiązanie b x. a Zatem istnieje tylko jedna para liczb rzeczywistych: x i y 0 spełniających równanie x x y. To kończy dowód. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania otrzymuje... p., gdy x y 0 zapisze równanie w postaci równoważnej Strona 6 z

7 zapisze równanie w postaci równoważnej x x y 0 i potraktuje go jak równanie kwadratowe z niewiadomą z jedną niewiadomą oraz obliczy wyróżnik x 6y i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. otrzymuje... p., gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. (0-) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana liczba jest nieparzysta lub suma wszystkich jej cyfr jest równa 5. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie liczby naturalne trzycyfrowe, czyli pary ( xy, ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {00,0,0,,999}. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa , a wszystkie zdarzenie jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosowana liczba jest nieparzysta lub suma wszystkich jej cyfr jest równa 5. Liczba wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych jest równa , gdyż pierwszą cyfrą takiej liczby może być dowolna cyfra różna od 0, druga cyfra może być dowolna, a trzecia musi być jedną spośród cyfr:,, 5, 7, 9. Wyznaczmy teraz te wszystkie liczby naturalne trzycyfrowe, których suma wszystkich cyfr jest równa 5. Taką sumę otrzymamy w jednym z następujących przypadków: ) pierwszą cyfrą będzie 5, a dwie pozostałe to 0. Jest tylko jedna taka liczba: 500, ) jedną z cyfr jest, jedną i jedną 0. Są cztery takie liczby: 0, 0, 0, 0, ) jedną cyfrą jest, jedną i jedną 0. Tu, podobnie jak w poprzednim przypadku mamy cztery takie liczby: 0, 0, 0, 0, ) jedną z cyfr jest, a dwie pozostałe to. Są trzy takie liczby:,,. 5) jedną z cyfr jest, a dwie pozostałe to. Są, podobnie jak w poprzednim przypadku, trzy takie liczby:,,. W rezultacie mamy 5 liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie wszystkich cyfr równej 5. Spośród nich 6 to liczby nieparzyste: 0, 0,,,,. Zatem liczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest równa A Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest więc równe A 59 5 P A Odpowiedź: Uwaga Liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych możemy też obliczyć inaczej. Wystarczy zauważyć, że wśród liczb,,,, 98,99,00,0,0,,999, których jest 999, pierwsze 99 to liczby jedno lub dwucyfrowe. Zatem liczba wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych jest równa Strona 7 z

8 Schemat oceniania Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: obliczy lub poda liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych: zapisze co najmniej trzy przypadki, w których suma cyfr liczby naturalnej trzycyfrowej jest równa 5. i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz obliczy lub poda liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych: , zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zapisze wszystkie przypadki, w których suma cyfr liczby naturalnej trzycyfrowej jest równa 5: , suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 5, gdy w zapisie tej liczby występuje jedna cyfra 5 i dwie cyfry 0 lub jedna cyfra, jedna cyfra i jedna cyfra 0, lub jedna cyfra, jedna cyfra i jedna cyfra 0, lub jedna cyfra i dwie cyfry, lub jedna cyfra i dwie cyfry obliczy liczbę wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie wszystkich cyfr równej 5 lub wypisze wszystkie te liczby:5 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oraz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: , A Rozwiązanie pełne... p. obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka 5 nieskracalnego: P A. 00 Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający błędnie zapisze, że A , nie zauważając w ten sposób dwukrotnie zlicza liczby nieparzyste o sumie wszystkich cyfr równej 5 i w efekcie obliczy 65 P A, to otrzymuje punkty Jeśli zdający wypisując liczby trzycyfrowe pominie jedną z nich lub dwukrotnie ją wypisze i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A, ale nie zapisze go w postaci 50 ułamka nieskracalnego, np. zapisze P A, to otrzymuje punkty. 900 Strona 8 z

9 Zadanie 8. (0-) Punkty A, 9 i C, 5 są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, którego przeciwprostokątna AB zawiera się w prostej o równaniu y x. Oblicz współrzędne środka tej przeciwprostokątnej. Rozwiązanie (I sposób) Zauważmy najpierw, że punkt A leży na prostej o równaniu y x, gdyż 9. C y A S B x Obliczmy współczynnik kierunkowy prostej AC 9 5 a AC. Boki AC i BC trójkąta ABC to przyprostokątne tego trójkąta, więc prosta BC jest prostopadła do prostej AC. Zatem współczynnik kierunkowy a BC prostej AB jest równy a. Prosta BC przechodzi przez punkt C,5 y x BC a AC Strona 9 z, więc jej równanie ma postać y a x x y, BC C C 5, y x 7. Wierzchołek B trójkąta ABC to punkt przecięcia prostych AB i BC. Współrzędne tego wierzchołka obliczymy, rozwiązując układ równań y x y x 7. Stąd otrzymujemy x 7 x, 5 x 5, x 6, więc 6 B 6,. y. Zatem Współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB obliczymy ze wzorów na współrzędne środka odcinka xaxb yayb 9 ( ), 6, 7, S.

10 Rozwiązanie (II sposób) Trójkąt ABC jest prostokątny, więc środek S przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, ale środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków tego trójkąta. 0 9 y A M 8 7 C 6 5 S B x Wyznaczmy więc równanie symetralnej boku AC. Jest to prosta prostopadła do prostej AC i przechodzi przez środek M boku AC. Obliczmy najpierw współczynnik kierunkowy prostej AC 9 5 a AC. Zatem współczynnik kierunkowy a symetralnej boku AC jest równy a. aac Środek M boku AC ma współrzędne równe Zatem symetralna ma równanie x ( ) AxC yayc,, 9 5,7 M. y a x x y, y x 7, y x Współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB obliczymy, rozwiązując układ równań y x y x Stąd otrzymujemy x 6 5 x 8, 5 x 5 8, x 7, y. Zatem 7, więc 7 S. M M Strona 0 z

11 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. obliczy współczynnik kierunkowy prostej AC: aac obliczy współrzędne środka M boku AC: M,7 zapisze, że S jest punktem przecięcia symetralnej boku AC z prostą AB i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. wyznaczy równanie prostej BC: y x 5 obliczy współrzędne środka M boku AC i współczynnik kierunkowy symetralnej tego boku:,7 M, a. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. B 6, obliczy współrzędne wierzchołka B: wyznaczy równanie symetralnej boku AC i zapisze układ równań pozwalający obliczyć współrzędne punktu S: y x 6 5 i y x. 8 Uwaga nie musi zapisywać formalnie układu równań, o ile z jego rozwiązania wynika, że S jest punktem przecięcia prostej AB i symetralnej boki AC. Rozwiązanie pełne... p. obliczy współrzędne środka S przeciwprostokątnej AB trójkąta ABC: 7, S. Zadanie 9. (5 pkt) Suma wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 8. Kosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy. Oblicz objętość tego ostrosłupa. Strona z

12 Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania S h b F E A B a O a C a D Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa jest równa 6a 6b, więc otrzymujemy równanie 6a6b 8, () ab 8. Podstawą tego ostrosłupa jest sześciokąt foremny o boku długości a. Sześciokąt ten składa się z sześciu takich samych trójkątów równobocznych o boku długości a. W szczególności OD a. Kosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy OD a cos, czyli cos. DS b Otrzymujemy zatem równanie a, b b a. Stąd i z () otrzymujemy aa 8, a 8 a. Zatem ba 6. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ODS otrzymujemy DS OD OS, b a h 6 h, 7 8 h, h 6, Stąd h 8. Pole podstawy ostrosłupa jest równe sumie sześciu pól trójkątów równobocznych o boku długości a, więc Strona z

13 a Pp 6 8. Objętość ostrosłupa jest więc równa V Pp h 8. Odpowiedź: Objętość ostrosłupa jest równa V. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... p. zapisze jedno równanie z niewiadomymi a i b: 6a6b 8, zaznaczy kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. zapisze układ równań z niewiadomymi a i b: 6a6b 8 i a. b Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. obliczy długość krawędzi podstawy i długość krawędzi bocznej ostrosłupa: a, ba 6 obliczy długość krawędzi podstawy i pole podstawy ostrosłupa: a, P. Rozwiązanie prawie pełne... p. obliczy wysokość ostrosłupa: h 8 rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne... 5 p. obliczy objętość ostrosłupa: V. a b p Zadanie 0. (0-5) Trzy początkowe wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego są równe odpowiednio:, 6x, x 8. Oblicz x oraz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu, mniejszych od 50. Rozwiązanie (I sposób) Niech a będzie nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy r, w którym a, n a 6x oraz a x 8. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy x 8 6x, xx 9, x x 9 0, x 0, Strona z

14 x 0, x. Gdy x, to a 6x 6 9, więc r a a 9 8. Zatem wzór na n-ty wyraz ciągu ma postać an a n r n 8 8n 7 dla n. Wyznaczmy te wyrazy ciągu a, które są mniejsze od 50. n an 50, 8n 7 50, 57 5 n Są to więc wyrazy a, a, a,, a 9. Suma wszystkich tych wyrazów jest więc równa a a S Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... p. x 8 zapisze równanie z niewiadomą x: np.: 6x i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. obliczy x: x i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. obliczy różnicę ciągu a n oraz zapisze warunek pozwalający wyznaczyć liczbę wszystkich wyrazów tego ciągu mniejszych od 50, np.: r 8, 8n Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... p. wyznaczy liczbę wszystkich wyrazów ciągu a n mniejszych od 50: 9. rozwiąże zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne... 5 p. obliczy x oraz sumę wszystkich wyrazów ciągu a mniejszych od 50: x, S9 87. n Strona z

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 03 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron (zadania 30).. Arkusz zawiera 0 zadań zamkniętych i 0 zadań

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ KOD ZDAJĄCEGO WPISUJE ZDAJĄCY symbol klasy symbol zdającego PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA-POZIOM PODSTAWOWY dysleksja Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut KOD UCZNIA MATEMATYKA 5 LUTY 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-33). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin..

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki Zasady te są omawiane

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 7 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 203 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ X

ARKUSZ X www.galileusz.com.pl ARKUSZ X W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 3 2 jest równa A) 5 2 B) 6 2 C) 6 2 D) 2 Zadanie 2. (0-1 pkt) Kurtka zimowa

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 019 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2

Rozwiązaniem nierówności A. B. C. 4 D. 2 (Kod ucznia).... /50 pkt. (Liczba uzyskanych punktów) Matura próbna z matematyki KLASA III poziom podstawowy Czas trwania 170 minut Liczba punktów do uzyskania - 50 Zadanie 1. (0-1) Liczba jest równa A)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ II

ARKUSZ II www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 209 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 7 maja 209 r.

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 194057 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) { 21x 14y = 28 Rozwiazaniem

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych Matura 2016

Propozycje rozwiązań zadań otwartych Matura 2016 Propozycje rozwiązań zadań otwartych Matura 2016 Zadanie 26 W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Kolejne lata 1 2 3 4 5 6 Przyrost (w cm) 10 10

Bardziej szczegółowo