KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

Transkrypt

1 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D

2 Zadanie ( pkt) Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu MODEL OCENIANIA ZADAN OTWARTYCH Uzasadnij, Ŝe punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta ABCD są wierzchołkami kwadratu. Rozwiązanie D I C 45 o 45 o 45 o 45 o G 45 o 45 o H F A K B Czworokąt EFGH jest kwadratem, poniewaŝ : - posiada cztery kąty proste, - IB = KC BF + FG + GI = CF + EF + EK Stad - BF = CF i GI = EK FG = EF, więc długości boków czworokąta EFGH są równe. 45 o E 45 o 45 o Zdający otrzymuje... pkt o gdy narysuje dwusieczne kątów i zaznaczy kąty o mierze 45. Zdający otrzymuje... pkt gdy wskaŝe kąty proste i stwierdzi, Ŝe otrzymana figura jest kwadratem Uwaga Jeśli zdający nie zaznaczy kątów 45 0, otrzymuje 0 pkt 45 o 45 o Zadanie ( pkt) W kwadracie ABCD dane są wierzchołek A=(,-) i środek symetrii S=(,). Oblicz pole kwadratu ABCD. I sposób rozwiązania: Obliczamy długość odcinka = ( ) + ( + ) = 0 AS. Obliczamy pole kwadratu P = dd, gdzie d = d = AS = 0, a zatem P = 0.

3 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 3 II sposób rozwiązania: Obliczamy długość odcinka = ( ) + ( + ) = 0 AS. Obliczamy długość boku kwadratu AS = a, a zatem a = 5. Stąd otrzymujemy pole kwadratu P = 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy długość odcinka AS : AS = 0 obliczy długość odcinka AC : AC = 0 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy lub poda pole kwadratu P = 0. Zadanie 3 ( pkt) Rzucamy czerwoną i zieloną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wyrzuceniu takiej samej liczby oczek na obu kostkach. Rozwiązanie A zdarzenie losowe polegające na wyrzuceniu takiej samej liczby oczek na obu kostkach. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia Ω = 36. Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu A: A = 6. Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A: P ( A) = 6 Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy Ω = 36 i A = 6 Zdający otrzymuje... pkt gdy poda prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A : P ( A) = 6 Uwaga: Gdy zdający błędnie wyznaczy Ω lub A otrzymuje 0 punktów za całe zadanie.

4 4 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Zadanie 4 ( pkt) Wiedząc, Ŝe α jest kątem ostrym i tg α + = 4, oblicz tg α tg α +. tgα Rozwiązanie Równanie tgα + = 4 podnosimy stronami do kwadratu. tg α tg α + + tgα = 6 tg α tgα tg α + + = 6 tg α tg α + = 4 tg α Zdający otrzymuje... pkt gdy: z podanego równania obliczy tg α, np.: tg α = 3 lub tg α = + 3 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy podniesie podane równanie do kwadratu: tg α + + tgα = 6 i dalej tg α tgα popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy poprawnie obliczy wartość podanej sumy: tg α + = 4 tg α Zadanie 5 ( pkt) Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność x 3x 0 0. Rozwiązanie Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej ( x) = x 3x 0 lub zapisujemy nierówność w postaci ( x 5)( x + ) 0. f : x 5 x = = Rysujemy fragment wykresu funkcji kwadratowej i na jego podstawie odczytujemy rozwiązania nierówności: x, 5. Wyznaczamy wszystkie liczby całkowite naleŝące do przedziału, 5 : {,,0,,,3,4,5 } x.

5 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 5 Zdający otrzymuje... pkt gdy: obliczy lub poda prawidłowo pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 5, x = i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności rozłoŝy trójmian kwadratowy na czynniki liniowe i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąŝe nierówność popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróŝnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąŝe zadanie Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy wszystkie liczby całkowite spełniające podaną nierówność kwadratową x,,0,,,3,4,5 { } Zadanie 6 (4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 8 cm, kąt między wysokościami przeciwległych ścian bocznych ma miarę α=60 0. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. Wykonaj odpowiedni rysunek i zaznacz kąt α. Rozwiązanie S α D C E F A B ZauwaŜmy, Ŝe EFS jest równoboczny, a zatem wysokość ściany bocznej h = 8cm. Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa: P = 4 a h, gdzie a = 8cm P = 8 = 648cm

6 6 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Wykonanie rysunku ostrosłupa prawidłowego czworokątnego i zaznaczenie kąta α. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zapisanie, Ŝe trójkąt EFS jest równoboczny, a zatem wysokość ściany bocznej h = 8cm Zapisanie związku umoŝliwiającego obliczenie długości wysokości ściany bocznej, α 9 np. sin = h Uwaga JeŜeli zdający nieprawidłowo zapisze związek dla uŝytej funkcji trygonometrycznej, to nie pokonał zasadniczych trudności zadania i nie przyznajemy punktów za dalszą część rozwiązania zadania. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 3 pkt JeŜeli zdający przy obliczaniu pola ściany bocznej popełnił błąd rachunkowy nie napisze ułamka we wzorze na pole trójkąta i konsekwentnie rozwiąŝe zadanie do końca JeŜeli zdający przy obliczaniu pola powierzchni bocznej ostrosłupa popełnił błąd rachunkowy nie napisze 4 we wzorze na pole powierzchni bocznej i konsekwentnie rozwiąŝe zadanie do końca Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa P = 648cm. (NaleŜy akceptować równieŝ wynik bez podania jednostki). Uwaga Przyznajemy 0 punktów za zadanie, gdy zdający zaznaczy inny kąt lub narysuje inną bryłę. Zadanie 7 (5 pkt) Wyznacz wzór funkcji f ( x) = x + bx + c w postaci kanonicznej wiedząc, Ŝe jej miejsca zerowe są rozwiązaniami równania x 3 = 5. Rozwiązanie: Rozwiązujemy równanie x 3 = 5 x 3 = 5 lub x 3 = 5 x = 8 lub x = A zatem f ( x) = ( x 8)( x + ) Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli x + x p =, stąd p = 3 q = f p = = ( ) ( )( ) 50 Postać kanoniczna funkcji kwadratowej f wyraŝa się wzorem ( ) ( 3) 50 f x = x.

7 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 7 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Rozwiązanie równania x 3 = 5 : x = 8 lub x = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie funkcji f w postaci iloczynowej f ( x) = ( x 8)( x + ) Wyznaczenie współczynników b, c trójmianu kwadratowego: b =, c = 3 = x x lub zapisanie funkcji w postaci ogólnej ( ) 3 f x Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli: p = 3 i q = 50 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zapisanie funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej z pominięciem współczynnika a : f ( x) = ( x 8 )( x + ) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiązanie zadania do końca Zapisanie funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej z błędem, np. f x = x 3, f ( x) = ( x + 3) + 50, f ( x) = ( x 3) + 50, f ( ) ( ) 50 ( x) = ( x + 3) 50 Rozwiązanie równania x 3 = 5 z błędem rachunkowym i konsekwentne do popełnionego błędu rozwiązanie zadania do końca Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zapisanie funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej: f ( x) = ( x 3) 50. Zadanie 8 (5 pkt) Szkoła zamówiła seans filmowy dla uczniów klas trzecich. Koszt seansu wyniósł 650zł. PoniewaŜ do kina nie przyszło 5 uczniów, pozostali musieli dopłacić po zł za bilet. Jaka była planowana, a jaka rzeczywista cena biletów? Rozwiązanie: Oznaczamy: x - liczba uczniów, x N y - planowana cena biletu, y > 0 Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: xy = 650 x 5 y + = 650 ( )( ) 650 y = x xy + x 5y = 665 Po uproszczeniu otrzymujemy równanie x 5x 4750 = 0, którego rozwiązaniami są x = 65 lub x = 50, odrzucamy ujemne rozwiązanie.

8 8 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Wyznaczamy rozwiązanie układu równań x = 65 y = 0 Odpowiedź: Planowana cena biletu to 0zł, a rzeczywista cena wyniosła zł. Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zapisanie zaleŝności między ceną biletu oraz liczbą uczniów, np.: xy = 650 lub x 5 y + =, gdzie x - liczba uczniów, y -planowana cena biletu ( )( ) 650 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt xy = 650 Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y, np.: x 5 y + = 650 ( )( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np.: x 5x 4750 = 0 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, moŝe bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x bezbłędnie i nieobliczenie planowanej ceny biletu lub rzeczywistej ceny biletu Rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie ceny biletu Rozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym popełnionym w którejkolwiek fazie rozwiązania (rozwiązanie jest przeprowadzone konsekwentnie w stosunku do popełnionego błędu, a sam błąd nie spowodował istotnej zmiany w sposobie rozwiązania zadania, np.: nie spowodował, Ŝe zamiast równania kwadratowego otrzymujemy równanie liniowe). Rozwiązanie pełne... 5 pkt Podanie prawidłowej odpowiedzi: Planowana cena biletu to 0zł, a rzeczywista cena wyniosła zł Uwaga Jeśli zdający nie opisze wprowadzonych oznaczeń, a z przedstawionego rozwiązania nie moŝna jednoznacznie zinterpretować wprowadzonych niewiadomych (np. zapisy są wzajemnie sprzeczne), to oceniamy rozwiązania na 0 punktów.

9 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu 9 Zadanie 9 (6 pkt) Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny, w którym środkowy wyraz wynosi 8. Wyznacz długości boków trójkąta, oblicz jego pole oraz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. I sposób rozwiązania Wykonujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy na nim odpowiednie oznaczenia. a c b Ciąg (a, b, c) jest ciągiem arytmetycznym. a + c Z treści zadania i własności ciągu arytmetycznego wynika, Ŝe b = i b=8, a + c zatem 8 =. Przekształcając otrzymujemy a = 6 c. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy równanie a + b = c. Po podstawieniu i przekształceniach otrzymujemy równanie liniowe 3 c = 30, którego rozwiązaniem jest c = 0. Obliczamy długość przyprostokątnej a = 6 0 = 6. Obliczamy pole trójkąta P = ab = 6 8 = 4 0 Obliczamy promień okręgu opisanego na tym trójkącie R = c = = 5. Odpowiedź: Długości boków trójkąta są równe 6, 8, 0. Pole trójkąta jest równe 4, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 5. II sposób rozwiązania Wykonujemy rysunek pomocniczy i oznaczamy jego boki a, a + r, a + r. a a +r a +r Zapisujemy równania (lub układ równań): ( a r) ( a ) a + + = + i a + r 8. r =

10 0 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu Obliczamy r =. Wyznaczamy długości boków trójkąta a = 6, a + r = 8, a + r = 0. Obliczamy pole trójkąta P = a ( a + r) = 4. 0 Obliczamy długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie R = ( a + r) = = 5. Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Wykorzystanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego do zapisania długości boków trójkąta prostokątnego: a, a + r, a + r i zapisanie warunku a + r = 8 a + c Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego b = i zapisanie b = 8 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań a ( ) ( ) + a + r = a + r i a + r = 8 a + c Zapisanie układu równań a + 8 = c i 8 = Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 4 pkt Doprowadzenie do postaci równania z jedną niewiadomą 3 r = 64 lub 3 c 30 = 0 i obliczenie długości boków trójkąta a = 6 lub c = 0. Uwagi Jeśli zdający obliczy długość tylko jednego z boków trójkąta, to otrzyma 3 pkt. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 5 pkt Obliczenie jednej z dwóch wartości P = 4 R = 5. Uwagi JeŜeli zdający popełni błąd rachunkowy nie przekreślający poprawności rozwiązania i konsekwentnie z tym błędem rozwiąŝe zadanie do końca, to otrzymuje 5 pkt. Rozwiązanie pełne... 6 pkt Długości boków trójkąta wynoszą 6, 8, 0; P = 4 i R = 5. Uwagi JeŜeli zdający błędnie zapisze twierdzenie Pitagorasa, to otrzymuje 0 pkt. JeŜeli zdający przyjmie bok długości 8 jako pierwszy lub trzeci wyraz ciągu, to otrzyma 0 pkt. JeŜeli zdający otrzyma ujemne długości boków, to otrzymuje 0 pkt.