MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY"

Transkrypt

1 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0

2 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory skróconego mnożenia przekształcamy wyrażenia podpierwiastkowe i zapisujemy nierównoć w postaci x x Stosujemy własnoć wartoci bezwzględnej oraz przekształcamy nierównoć do postaci x x Wyróżniamy na osi liczbowej przedziałyś,,,),, ) Rozwiązujemy nierównoci w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy częć wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierównoci Rozpatrujemy następujące przypadkiś x, otrzymujemy nierównoć x x, więc x (, 5, dla dla x,) otrzymujemy nierównoć x x, więc x, dla x, ) otrzymujemy nierównoć x x, więc x 6, ) Wyznaczamy zbiór rozwiązań nierównoci II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) x x : (, 5 6, ) x Wykorzystując wzory skróconego mnożenia przekształcamy wyrażenia podpierwiastkowe i zapisujemy nierównoć w postaci x x Stosujemy własnoć wartoci bezwzględnej oraz przekształcamy nierównoć do postaci x x Zapisujemy cztery przypadki: x 6 x 6, ) x x 5 brak rozwiązań niemożliwe x x x 5 x (, 5 Łącząc otrzymane rozwiązania, zapisujemy odpowiedźś Zbiorem rozwiązań nierównoci x 4x 4 x 6x 9 jest (, 5 6, )

3 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie nierównoci w postaci x x Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zapisanie odpowiednich nierównoci w danych przedziałachś x, : x x, dla dla x,) : x x, dla x, ) : x x zapisanie czterech przypadków,,, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt rozwiązanie wszystkich nierównoci z uwzględnieniem danych przedziałówś x (, 5, brak rozwiązań, x 6, ) rozpatrzenie wszystkich czterech przypadków Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt poprawne rozwiązanie wszystkich trzech nierównoci i wyznaczenie częci wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca poprawne rozwiązanie nierównoci tylko w dwóch przedziałach i wyznaczenie częci wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca rozpatrzenie czterech przypadków, poprawne rozwiązanie nierównoci i wyznaczenie częci wspólnych otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzenie, że czwarty jest niemożliwy, popełnienie błędu w trzecim przypadku i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca Rozwiązanie pełne 5 pkt Zapisanie rozwiązania nierównociś x (, 5 6, ) Uwagi Jeżeli zdający zapisze nierównoć w postaci x x i ją rozwiąże, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje punkt

4 4 Jeżeli zdający rozwiąże nierównoci w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy częci wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierównoci w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy częci wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami, to otrzymuje punkty 4 Jeżeli zdający błędnie podzieli zbiór liczb rzeczywistych na przedziały, wyznaczając np,,,),, ) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje maksymalnie punkty 5 We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierównoci nieostre (przedziały obustronnie domknięte) Wymagamy tylko, aby te przypadki wyczerpywały wszystkie liczby rzeczywiste Jeżeli natomiast rozważa nierównoci ostre (przedziały otwarte) tak, że nie wyczerpują one wszystkich liczb rzeczywistych, to przyznajemy za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie 6 Jeżeli zdający wykorzysta interpretację geometryczną wartoci bezwzględnej i graficznie wyznaczy zbiór rozwiązań nierównoci, to za rozwiązanie całego zadania otrzymuje 5 punktów 7 Zdający może rozwiązywać daną nierównoć jako nierównoć pierwiastkową Zasadnicze trudnoci tego zadania ( punkty) polegają na poprawnym doprowadzeniu danej nierównoci do nierównoci kwadratowej Zadanie (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartoci parametru m, dla których równanie m mx m 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż,5 Rozwiązanie Zapisujemy układ warunków, które muszą być spełnione, by istniały dwa różne pierwiastki równania m mx m 0, których suma jest nie większa od,5 m 0 0 Warunek m0jest spełniony dla każdego m Rozwiązujemy nierównoć 0 Rozwiązujemy nierównoć nierównoć z niewiadomą m:, czyli m m x x 4 0, 5m 8m 4 0, m,, 5 Wykorzystując wzory Viete a, otrzymujemy

5 5 m i m, m m 0 m, m 5 0, m Stąd m,5 Łącząc wszystkie wyznaczone wartoci parametru m otrzymujemy m,,5 5 Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów Pierwszy polega na rozwiązaniu warunku m 0 : m Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Drugi etap polega na rozwiązaniu nierównoci 0 m 5 Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający zapisze 0, to za tę częć otrzymuje 0 punktów Trzeci etap polega na rozwiązaniu nierównoci x x Za tę częć rozwiązania zdający otrzymuje punkty Podział punktów za trzeci etap rozwiązaniaś punkt zdający otrzymuje za zapisanie nierównoci m 5 0 m :,, m 5 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie nierównoci 0 m x x w postaci równoważnej : m,5 Uwaga: Ten sposób przydziału punktów stosujemy także w sytuacji, w której zdający oblicza pierwiastki trójmianu kwadratowego i podstawia je do wyrażenia x x Czwarty etap polega na wyznaczeniu częci wspólnej rozwiązań z poprzednich trzech etapów Rozwiązanie pełne (czwarty etap) 5 pkt Wyznaczenie częci wspólnej zbiorów rozwiązań nierównoci i podanie odpowiedziś m,,5 5 Uwagi Jeli zdający nie zapisze warunku m 0, pominie pierwszy etap (warunek), poprawnie wyznaczy rozwiązania pozostałych warunków, to otrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie

6 6 Przy rozwiązaniu z usterkami, za ostatni etap przyznajemy punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap II i popełnia błędy w rozwiązaniu nierównoci z etapu III gdy popełnia błędy w etapie II i dobrze rozwiąże nierównoć z etapu III Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy częć wspólną zbiorów rozwiązań wszystkich warunków, to otrzymuje 4 punkty Zadanie (4 pkt) Rozwiąż równanie tgx cos x cos x tgx w przedziale 0, I sposób rozwiązania Równanie ma sens dla x 0,,, Przekształcamy je w sposób równoważny otrzymując kolejnoś tgx cos x cos x tgx 0, cos x tgx 0 tgx cos x cos x 0,, cos x 0 lub tgx 0, cos x lub tgx Podajemy rozwiązania tych równań leżące w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 Możemy to zrobić np odczytując odpowiednie argumenty funkcji cosinus i tangens y y = tgx y = cos x x π/6 π/ π/ π/ 5π/6 π 7π/6 4π/ π/ 5π/ π/6 π π/6 - - Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt cos x tgx 0 Zdający zapisze równanie w postaci iloczynowejś Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze alternatywę dwóch równań, npś cos x lub tgx

7 7 Rozwiązanie prawie pełne pkt Zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale 0, : 5 cos x dla x lub x ( x 60, x 00) 5 tgx dla x lub x ( x 45, x 5) 4 4 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 x 60 lub x 45 lub x 5 lub x 00 II sposób rozwiązania Równanie ma sens dla x 0,,, Przekształcamy je w sposób równoważny i otrzymujemy sin x sin x cos x cos x, cos x cos x sin x sin x cos x cos x Mnożymy obie strony równania przez cos x możemy to zrobić, gdyż cos x 0 dla każdego x 0,,, otrzymujemy kolejno: sin xcos x cos x cos x sin x, sin xcos x cos x cos x sin x 0, x x x x x sin x cos xcos x 0 cos sin cos sin cos 0, sinxcos x0 lub cos x 0, sinx cos xlub cos x Podajemy rozwiązania tych równań leżące w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 Możemy to zrobić np odczytując odpowiednie argumenty funkcji cosinus oraz te argumenty funkcji sinus i cosinus, dla których przyjmują one tę samą wartoć

8 8 5 y y = cos x π/6 π/ π/ π/ 5π/6 π 7π/6 4π/ π/ 5π/ π/6 π π/6 y = sin x x -5 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt sin x cos x cos x 0 Zdający zapisze równanie w postaci iloczynowejś Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze alternatywę dwóch równań, npś sinx cos xlub cos x Rozwiązanie prawie pełne pkt Zdający rozwiąże jedno z równań w przedziale 0, : 5 sinx cos x dla x lub x ( x 45, x 5) cos x dla x lub x ( x 60, x 00) Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający wyznaczy wszystkie rozwiązania danego równania w przedziale 0, : 5 5 x lub x lub x lub x 4 4 x 60 lub x 45 lub x 5 lub x 00 Zadanie 4 (4 pkt) Wykaż, że prawdziwa jest równoć Rozwiązanie Oznaczamy lewą stronę wyrażenia przez x i zapisujemy równanieś x Podnosimy obie strony równania do potęgi trzeciej i otrzymujemyś x Przekształcamy lewą stronę tego równania i otrzymujemyś

9 9 a stąd x, x Zauważamy, że w nawiasie otrzymalimy liczbę x, zatem otrzymujemy równanieś x x8 0 x x x 6 0 Ponieważ Rozkładamy lewą stronę tego równania na czynnikiś trójmian kwadratowy x x 6 nie ma pierwiastków, zatem jedynym rozwiązaniem równania x x8 0 jest x, co kończy dowód Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomą x: x, podniesie obie strony równania do potęgi trzeciej i zapisze równanie w postaci, npś i na tym zakończy x lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wykorzysta wzory skróconego mnożenia i przekształci równanie do postaci, npś x lub x i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie z niewiadomą x w postaci: x x8 0 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający rozwiąże równanie i wyciągnie wnioski Uwagi Jeżeli zdający wyznaczy liczbę x i nie sprawdzi, że jest ona jedynym rozwiązaniem równania x x8 0, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający zauważy, że oraz poprzestanie lub dalej popełnia błędy, to otrzymuje punkty Jeli zdający zauważy, że oraz i na tym i zapisze to otrzymuje 4 punkty,

10 0 Zadanie 5 ( pkt) Uzasadnij, że jeżeli ab 0, to a b a b Rozwiązanie Przekształcamy nierównoć w sposób równoważnyś a a b b 0, a a b a b b 0, a a b b a b 0, a a b b a b a b 0, a b a ab b 0, a b a ab ab b 0, a b aa b ba b 0, a b a b 0 Ostatnia nierównoć jest prawdziwa, gdyż jej lewa strona jest iloczynem dwóch liczb nieujemnychś nierównoć a b 0 każdej liczby rzeczywistej, a z założenia ab 0 Schemat oceniania jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i dla Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie lewej strony nierównoci a b a ab b 0 np a a b b 0 w postaci iloczynu, Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie lewej strony nierównoci a b a ab b a ba b a b 0 0 w postaci iloczynowej, Rozwiązanie pełne pkt Przeprowadzenie pełnego dowodu Zadanie 6 (5 pkt) W równoległoboku ABCD miara kąta ostrego jest równa 0, a odległoci punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku wynoszą i krótszej przekątnej tego równoległoboku Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i niech AB DC a, BC AD b Oblicz długoć

11 D E C F O F Z treci zadania wynika, że OE, OF, EE DG oraz DAB 0 Zatem EE i FF 4, gdyż punkt O jest rodkiem symetrii równoległoboku Pole równoległoboku jest równe PABCD a EE a i PABCD b FF 4 b Stąd a 4b, zatem a b Z definicji funkcji sinus dla trójkąta AGD otrzymujemy DG sin 0, czyli AD b Stąd b 4, zatem a 4 8 Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABD otrzymujemy Stąd BD 4 Schemat oceniania rozwiązania A BD AB AD AB AD cos DAB, BD a b abcos0, BD , Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń i obliczenie wysokoci równoległoboku: EE i FF 4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie długoci jednego z boków równoległoboku w zależnoci od długoci drugiego, np: a b Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie długoci boków równoległobokuś a 8, b 4 G E Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt B

12 Wykorzystanie twierdzenia kosinusów do wyznaczenia długoci krótszej przekątnej równoległobokuś DB cos DAB Rozwiązanie pełne 5 pkt Obliczenie długoci krótszej przekątnej równoległobokuś BD 4 Uwaga Jeli zdający błędnie wyznaczy wartoć cos0 i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to otrzymuje 4 punkty Zadanie 7 (4 pkt) Punkty A (,0) i B (4,) leżą na okręgu o równaniu ( x ) ( y ) 0 Wyznacz na tym okręgu taki punkt C, aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB Rozwiązanie Ponieważ trójkąt ABC o podstawie AB jest równoramienny, w którym AC BC, więc punkt C leży na symetralnej odcinka AB Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB Jest to prosta przechodząca przez rodek P odcinka AB i rodek S danego okręgu Współrzędne rodka P odcinka AB są równe 4 0 P,,, natomiast S (, ) Symetralna odcinka AB ma więc równanie postaci ( )( x) ()( y ) ( )( x) ( y ), y 4 Punkt C leży na symetralnej odcinka AB i jednoczenie leży na danym okręgu, więc rozwiązujemy układ równańś ( x) ( y) 0 y x 4 Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ( x) ( ) 0, x x 4 0,

13 Równanie to ma dwa rozwiązania x 5 lub x 5 Zatem są dwa takie punkty C C ( 5, 5) lub C ( 5, 5) Uwaga Równanie symetralnej odcinka AB możemy wyznaczyć również w inny sposóbś Symetralna odcinka AB jest prostą do niego prostopadłą i przechodzi przez rodek tego odcinka Wyznaczamy równanie prostej AB: (0 )( x ) ( 4)( y ), stąd y rodek P odcinka AB wyznaczamy tak jak w I sposobie rozwiązaniaś P (,) Prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez punkt P ma współczynnik kierunkowy m, stądś y ( x ) czyli y 4 Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinka AB to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny jednakowo oddalonych od końców A i B tego odcinka Jeżeli punkt M ( x, y) należy do tej symetralnej, to prawdziwa jest równoć AM BM, równoważnie AM BM Wykorzystując tę równoć otrzymujemy kolejnoś ( x ) ( y 0) ( x 4) ( y ) x x y x x y y x4y 6, czyli y 4 0 Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: m AB Symetralna odcinka 4 AB przechodzi przez rodek danego okręgu i jest prostopadła do boku AB Prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez punkt S (,) ma współczynnik kierunkowy m, więc możemy napisać jej równanieś y ( x ) czyli y 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie równania symetralnej odcinka AB: y 4 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań pozwalającego na wyznaczenie współrzędnych poszukiwanego punktu C ( x) ( y) 0 y x 4 i przekształcenie go do postaci równania kwadratowego, np x x 4 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie równania kwadratowegoś x 5, x 5 i nie obliczenie lub obliczenie z błędem rachunkowym drugich współrzędnych punktów C i C

14 4 rozwiązanie równania kwadratowego z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie drugich współrzędnych punktów C i C rozwiązanie równania kwadratowego: x 5, x 5, odrzucenie jednego z rozwiązań i konsekwentne obliczenie drugiej współrzędnej jednego z punktów C C Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C: C ( 5, 5) lub C ( 5, 5) Zadanie 8 ( pkt) 4 4 cos Wykaż, że dla dowolnego kąta prawdziwa jest tożsamoć sin cos I sposób rozwiązania Przekształcamy kolejno lewą stronę tej równociś 4 4 sin cos sin cos sin cos sin sin cos sincos Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający doprowadzi lewą stronę tej równoci do postaci zapisze prawą stronę tej równoci w postaci i na tym zakończy lub dalej popełni błędy sincos sin Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi lewą stronę tej równoci do postaci prawą stronę w postaci sin sincos oraz zapisze i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie II sposób rozwiązania Przekształcamy kolejno prawą stronę tej równociś cos sin 4 4 cos cos sin cos sin P

15 5 4 4 sin cos sin cos 4 4 sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin cos sin cos 4 4 sin cos 4 4 sin cos L A to kończy dowód Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający doprowadzi prawą stronę tej równoci do postaci 4 4 cos sin cos sin i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi prawą stronę tej równoci do postaci i na tym zakończy lub dalej popełni błędy 4 4 sin cos sin cos sin cos Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie III sposób rozwiązania Ponieważ dla dowolnego kąta jest prawdziwa tożsamoć sin cos, więc Stąd czyli A zatem sin cos, 4 4 sin sin cos cos sin cos sin sin cos cos, sin cos 4 4 sin cos 4 4 cos sin cos, co kończy dowód, dlatego że cos cos cos

16 6 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze lub wykorzysta tożsamoć 4 4 sin sin cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi równoć do postaci równoważnej sin cos 4 4 cos sin cos lub sin i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie IV sposób rozwiązania Przekształcamy tożsamoć następującoś 4 4 sin cos cos, 4 4 sin cos cos sin cos, sin cos 4sin cos cos sin sin cos, 4 4 sin sin cos cos 4sin cos cos sin, 4 4 sin sin cos cos cos sin, sin cos cos sin,, dla dowolnego Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze tożsamoć w postaci równoważnej, w której wystąpią tylko funkcje kąta sin cos 4sin cos cos sin sin cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi równoć do postaci równoważnej i na tym zakończy lub dalej popełni błędy sin cos cos sin Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie V sposób rozwiązania:

17 7 Przekształcamy tożsamoć następującoś 4 cos cos cos, czyli A zatem cos 4 cos cos, 4 4 4cos 4cos cos cos, 4 4 cos cos cos cos, 4 4 cos cos cos cos, L P Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze tożsamoć w postaci równoważnej, w której wystąpi tylko jedna funkcja kąta, np: cos 4 cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający doprowadzi równoć do postaci równoważnej 4 4 4cos 4cos cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne pkt Zdający przeprowadzi pełne poprawne rozumowanie Zadanie 9 (5 pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt ABC Kąt nachylenia krawędzi bocznej AS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa jest równy kątowi między krawędziami bocznymi AS i BS zawartymi w cianie bocznej ASB tego ostrosłupa (zob rysunek) Oblicz kosinus tego kąta I sposób rozwiązania Niech O będzie rodkiem ciężkoci trójkąta równobocznego ABC, a długocią krawędzi podstawy ostrosłupa, b długocią krawędzi bocznej, za miarą równych kątówś SAO ASB

18 8 S C Z trójkąta prostokątnego AOS otrzymujemy równanieś a cos b Natomiast z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABS otrzymujemy: b a cos b Po porównaniu prawych stron obu równań oraz po uporządkowaniu otrzymujemy równanie kwadratowe (z niewiadomą a i parametrem b ): a ab 6b 0 Dodatnim rozwiązaniem tego równania jest b a przykład do pierwszego z równań i po wykonaniu obliczeń otrzymujemy Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Podstawiamy to wyrażenie na 7 cos Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy cosinus kąta SAO : A a cos b O B wyznaczy cosinus kąta ASB : b a cos b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wyznaczy cosinusy obu kątówś a cos i b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy b a cos b

19 9 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a Zdający zapisze równoć, doprowadzi ją do postaci równania kwadratowego b b z jedną niewiadomą np a i parametrem b, np a ab 6b 0 i podejmie próbę rozwiązania tego równania, obliczając na przykład wyróżnik trójmianu b 7b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Uwaga a ab 6b Jeżeli zdający rozważy równanie z niewiadomą b i parametrem a : wyróżnik trójmianu 6b ab a równa się a 7a 6b ab a 0, to Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt Zdający rozwiąże powyższe równanie, a następnie obliczy cosinus szukanego kątaś 7 cos II sposób rozwiązania Niech O będzie rodkiem ciężkoci trójkąta równobocznego ABC, a długocią krawędzi podstawy ostrosłupa, b długocią krawędzi bocznej, miarą równych kątów, SAO ASB S C Z trójkąta prostokątnego AOS otrzymujemy równanieś A a a cos, skąd b b cos Natomiast z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABS otrzymujemy: a b cos O B

20 0 Podstawiamy do drugiego równania w miejsce b wyrażenie przekształceń otrzymujemy równanie cos cos 0 Równanie powyższe ma dwa rozwiązania a i po wykonaniu cos 7 cos 7, cos 7 Odrzucamy pierwsze rozwiązanie, ponieważ, więc szukany cosinus kąta jest równy Schemat oceniania II sposobu rozwiązania 7 cos Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy cosinus kąta SAO a cos b zapisze równanie wynikające z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABS, np a b cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze obydwa związkiś a cos b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy i a b cos Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie trygonometryczne z niewiadomą pod znakiem funkcji cosinus, np cos cos i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt Rozwiązanie pełne 5 pkt 7 Zdający rozwiąże powyższe równanie, odrzuci rozwiązanie cos i zapisze, że 7 cosinus szukanego kąta jest równy

21 Zadanie 0 (4 punkty) Liczby a, a,, a n są dodatnie i w podanej kolejnoci tworzą ciąg geometryczny Uzasadnij, że prawdziwa jest równoć n a a an a an I sposób rozwiązania Ponieważ wyrazy ciągu geometrycznego są dodatnie, więc iloraz q tego ciągu też jest liczbą dodatnią Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i otrzymujemy Ciąg,,, Stąd n n ( n ) n ( ) ( ) ( ) a a a a a a q a q a q a q, n kolejnych liczb naturalnych jest arytmetyczny i jego suma jest równaś n n ( n ) ( n ) n n n n ( n) n a q a q a q Lewą stronę równoci możemy więc zapisać w postaci n n n n n n n n a a a a q a q a q a a q a a co kończy uzasadnienie Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zastosowanie wzoru n q a n a i zapisanie iloczynu a a a an w postaci a q n n n n, ( n) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt n Wyznaczenie sumy ciągu arytmetycznegoś ( n) n Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt n Zapisanie lewej strony równoci w postaciś q a Rozwiązanie pełne 4 pkt Uzasadnienie, że n n a q a a q a a n II sposób rozwiązania Obie strony równoci n a a an a an podnosimy do potęgi n i otrzymujemy: a n a an a a n Przekształcamy tę równoć w sposób równoważny, korzystając ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:

22 n n a ( a q) ( a q ) ( a q ) a ( a q ) n n ( n) n n( n) a q a q Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego otrzymujemy n n ( n ) ( n ) n, i zapisujemy lewą stronę w postaciś co kończy dowód n ( n ) n ( n) n n n( n) a q a q a q Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zastosowanie wzoru n a n aq i zapisanie równoci w postaci n n a ( a q) ( a q ) ( a q ) a ( a q ) n Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt n Wyznaczenie sumy ciągu arytmetycznegoś ( n) n Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie lewej strony równoci w postaciś a n ( n ) n q Rozwiązanie pełne 4 pkt Uzasadnienie, że a q a q n ( n) n n( n),, Zadanie (4 pkt) Suma długoci dwóch boków trójkąta równa się 4, a kąt między tymi bokami ma miarę 0 Oblicz najmniejszą wartoć sumy kwadratów długoci wszystkich boków tego trójkąta Rozwiązanie Niech a i b oznaczają długoci tych boków tego trójkąta, między którymi jest zawarty kąt 0, za c długoć trzeciego boku trójkąta W zadaniu należy obliczyć najmniejszą wartoci funkcji S okrelonej wzorem S a b c Ponieważ ab 4, za z twierdzenia cosinusów wynika, że c a b ab, więc S możemy zapisać jako funkcję kwadratową zmiennej a, okreloną wzoremś S a a a a 0,4 gdzie Ponieważ a jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej fragmentem wykresu funkcji oraz, więc Smin 0, co oznacza, że najmniejsza wartoć sumy kwadratów długoci boków tego trójkąta jest równa 0

23 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Zdający wyznaczy kwadrat długoci trzeciego boku tego trójkąta c a b ab i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze sumę kwadratów długoci boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej S a a a lub S b b b i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Uwaga Jeżeli zdający zapisze sumę kwadratów długoci boków tego trójkąta jako funkcję jednej zmiennej z błędem rachunkowym i na tym zakończy, to otrzymuje punkty Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy i zapisze, że najmniejsza wartoć sumy kwadratów długoci boków tego trójkąta jest równa 0 Zadanie (4 pkt) Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby,, 5 Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartoć tego wielomianu jest liczbą podzielną przez 4 Rozwiązanie Niech n będzie dowolną liczbą całkowitą nieparzystą, gdzie n jest liczbą całkowitą Wówczas W n n n n 5 nn n 4 n n n 4n n n Wielomian możemy zapisać w postaci W x 5 Liczby n, n, n są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi, więc wród nich dokładnie jedna jest podzielna przez i co najmniej jedna jest parzysta Zatem iloczyn 4n n n jest podzielny przez 4 4 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający zapisze wielomian w postaci iloczynowej: W x 5

24 4 zapisze wielomian w postaci ogólnej, wykorzysta informację o pierwiastkach wielomianu i zapisze układ równań pozwalający obliczyć współczynniki tego wielomianu, npś a b c 0 W x ax bx c i a b c 0 5 a 5 b 5 c 0 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wartoć wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej, npś W n n n n 5 obliczy współczynniki wielomianu i zapisze wartoć wielomianu dla liczby całkowitej 9 5 nieparzystej, np: W (n ) n n n Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze wartoć wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej w postaci W n 4n n n Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający uzasadni, że wartoć wielomianu dla liczby całkowitej nieparzystej jest podzielna przez 4

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

POZIOM ROZSZERZONY 4 CZERWCA (x 3) 2. Sposób I. x 6.

POZIOM ROZSZERZONY 4 CZERWCA (x 3) 2. Sposób I. x 6. EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI (TERMIN DODATKOWY) POZIOM ROZSZERZONY 4 ZERWA 01 ZAS PRAY: 180 MINUT ZADANIE 1 (5 PKT) Rozwiaż nierówność x + 4x+4 11 x 6x+9 Łatwo zauważyć, że pod każdym z pierwiastków

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz punktowania zadań zamkniętych Zadanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik

Rozwiązania zadań. Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY. Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik Rozwiązania zadań Arkusz Maturalny z matematyki nr 1 POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1 (5pkt) Równanie jest kwadratowe, więc Aby istniały dwa różne pierwiastki równania kwadratowego wyróżnik /:4 nierówności

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155104 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Objętość stożka o

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/04 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA MAJ 04 Rozwiązania zadań i schemat punktowania poziom rozszerzony Zadanie (0 4) x x Dana jest

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próna Matura z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwar tych są pre zen to wa ne przy kła do we po praw ne od po

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY LISTOPAD 0 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 80 minut. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron

Bardziej szczegółowo