MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017

2 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania. Zadanie 1. (0 4) Wymagania ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje proste równania i nierówności z wartością bezwzględną (R3.e). Przykładowe rozwiązania I sposób (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (,1), 1, 5 ), 5, + ). Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności. x (,1) 1, 5) x + 1 x x 6 10 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest x < 1 x x 5, + ) x 1 x x x 1+ x 5 10 x x 6 4x 16 x 3 x 4 W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest 1 x 3 W tym przypadku nierówność nie ma rozwiązania. Sumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (,3. Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest (,3. Strona z 37

3 II sposób (zapisanie czterech przypadków) Zapisujemy cztery przypadki: x 1 0 x 1 0 x 5 0 x 5 < 0 x 1< 0 x 5 0 x 1< 0 x 5 < 0 W każdym z nich rozwiązujemy nierówność bądź układ nierówności x 1 0 x 5 0 x 1 + x 5 10 x x 1 x 5 4x 16 x 1 x 5 x 4 Brak rozwiązań x 1 0 x 5 < 0 x 1 x x x 1 x < 5 x 6 x 1 x < 5 x 3 Rozw.: 1 x 3 x 1< 0 x 5 0 x x 5 10 x x < 1 x 5 x 14 x < 1 x 5 x 7 Brak rozwiązań Sumując otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: (,3. x 1< 0 x 5 < 0 x + 1 x x x < 1 x < Rozw.: x < 1 Strona 3 z 37

4 III sposób (rozwiązanie graficzne) Rysujemy wykresy funkcji f ( x) = x 1 + x 5 i g( x) 10 Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (,1) = x., 1, 5 ), 5, + ). Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np. ( ) ) ) x+ 6 dla x,1 f ( x) = 4 dla x 1,5 x 6 dla x 5, + Rysujemy wykresy funkcji f i g: Odczytujemy odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji f i g: x = 3. Sprawdzamy, czy spełniają one równanie x 1 + x 5 10 x, a następnie podajemy te wszystkie argumenty, dla których f ( x) g( x) : x (,3. Uwaga Zdający powinien zauważyć, że wykres funkcji f oraz wykres funkcji g dla x (,1 są równoległe. f ( x) y g ( x) x Strona 4 z 37

5 Schemat punktowania I i II sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (,1), 1, 5 ), 5, + ). albo zapisze cztery przypadki: x 1 0 x 1 0 x 1< 0 x 1< 0 x 5 0 x 5 < 0 x 5 0 x 5 < 0 Uwaga Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy 0 punktów. Podobnie 0 punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.: dla x (,1) mamy x + 1 x x, dla x 1, 5) mamy x 1 x x, dla x 5, + ) mamy x 1+ x 5 10 x albo zapisze nierówności w poszczególnych przypadkach, np.: gdy x 1 0 i x 5 0, to wtedy x 1+ x 5 10 x, gdy x 1 0 i x 5< 0, to wtedy x 1 x x, gdy x 1< 0 i x 5 0, to wtedy x + 1+ x 5 10 x (lub stwierdzi, że ten przypadek jest niemożliwy), gdy x 1< 0 i x 5< 0, to wtedy x + 1 x x Uwagi 1. Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty.. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty. Strona 5 z 37

6 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 3 p. Zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów (spośród trzech wskazanych w I sposobie rozwiązania), popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek: x 1< 0 i x 5 0 jest niemożliwy i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający zapisze odpowiedź: x (,3. Uwaga We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie o 1 punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie. III sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p.,1, 1, 5 ), 5, + ). Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały: ( ) Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np.: x,1 mamy f ( x) = x+ 6, lub dla ( ) dla x 1, 5) mamy f ( x ) = 4, dla 5, ) x + mamy f ( x) = x 6 ( ) ) ) x+ 6 dla x,1 f ( x) = 4 dla x 1,5 x 6 dla x 5, + Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 10 x i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający zapisze odpowiedź: x (,3. Strona 6 z 37

7 Zadanie. (0 5) IV. Użycie i tworzenie strategii.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian x a; stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x a (R.b). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe (R3.c). Przykładowe rozwiązanie Korzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań W ( 3) = a 39 + b= 0, czyli W ( ) = a b = 0 Z układu równań obliczamy a i b 9a+ b= 15 9a+ 10 4a= 15 a = 5,, 4a+ b= 10 b = 10 4a b = 30 3 Dla a= 5, b= 30 otrzymujemy W( x) = x 5x 13x+ 30. Obliczamy pozostałe pierwiastki wielomianu wykonując np. dzielenie wielomianu W( x ) przez ( 3) W x = x x + x = x x x x : ( ) ( 3)( 10) ( 3)( ) Pozostałymi pierwiastkami wielomianu W( x ) są liczby oraz Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania... 1 p. Zdający zapisze jedno z równań: a 39 + b= 0 albo a+ 6 + b= 0 Uwaga Wystarczy, że zdający zapisze W W ( ) = ( ) 3 0 = 0. Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze układ równań a 39 + b= a b = 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający rozwiąże układ równań: a = 5, b = 30 Strona 7 z 37

8 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 p. Zdający x 3 : wykona poprawnie dzielenie wielomianu W( x ) przez ( ) W( x) :( x 3) = x + x 10 albo rozwiąże układ równań z błędem rachunkowym i obliczy pozostałe pierwiastki konsekwentnie do popełnionego błędu; albo podzieli wielomian z błędem rachunkowym i obliczy pozostałe pierwiastki konsekwentnie do popełnionego błędu. Rozwiązanie bezbłędne... 5 p. Zdający obliczy pozostałe pierwiastki wielomianu W( x ): oraz Zadanie 3. (0 5) III. Modelowanie matematyczne. Przykładowe rozwiązania I sposób Zapisujemy układ warunków Δ> 0 ( 4 x ) 1 4 x 1< 0 Rozwiązujemy nierówność Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory Viète a (R3.a). Δ>, czyli m ( m m ) > 0. Po uporządkowaniu otrzymujemy nierówność 4( m + 6) > 0, której rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz m = 6. Drugą nierówność przekształcamy równoważnie i otrzymujemy kolejno: ( ) 16 x x 1< 0, 1 ( 1 1 ) 16 x x x + x 1< 0, ( ) 16 x1+ x 4x 1x 1 < 0. 36m m 3m 9 Stosujemy wzory Viete'a i otrzymujemy: < Strona 8 z 37

9 Przekształcamy nierówność równoważnie otrzymujemy kolejno: 36m 3m + 48m < 0, 4m + 48m < 0. Rozwiązujemy tę nierówność. Δ= = m 1 = =, m = =, m, Wyznaczamy część wspólną obu warunków: m, 6 6,. II sposób Rozwiązujemy nierówność 0 Δ>, czyli m ( m m ) > 0. Po uporządkowaniu otrzymujemy nierówność 4( m + 6) > 0, której rozwiązaniem są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz m = 6. Obliczamy pierwiastki równania, z zachowaniem warunku x1 < x : 6m m+ 6 3m m+ 6 6m+ m+ 6 3m+ m+ 6 x 1 = =, x = = Obliczamy wartość wyrażenia 4x1 4x w zależności od m: m + 6 4x1 4x = 4 = m Zapisujemy nierówność z treści zadania z wykorzystaniem wyznaczonych rozwiązań równania i przekształcamy ją równoważnie, otrzymując kolejno: m+ 6 1 m < 0, ( )( ) ( ) 1 4 m + 6 < 0, 4m + 48m < 0. Dalsza część rozwiązania przebiega podobnie jak w I sposobie rozwiązania, Schemat punktowania Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy z nich polega na rozwiązaniu nierówności Δ> 0. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwaga Jeżeli zdający rozwiąże nierówność Δ 0 i nie odrzuci przypadku Δ= 0, to za ten etap otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na znalezieniu wartości m, dla których spełniona jest nierówność: 4x 4x 1 4x 4x + 1 < 0. ( )( ) 1 1 Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty. Strona 9 z 37

10 Poniżej podział punktów za drugi etap rozwiązania: Zdający otrzymuje 1 punkt gdy: 4x 4x 1 4x 4x + 1 < 0 w postaci równoważnej zapisze nierówność ( )( ) 1 1 zawierającej jedynie sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego 4x 6mx+ ( m+ 3)( m 3), np.: 16 ( x ) 1+ x 4x 1x 1 < 0 lub obliczy pierwiastki trójmianu: 6m m+ 6 3m m+ 6 6m+ m+ 6 3m+ m+ 6 x 1 = =, x = = Zdający otrzymuje punkty gdy: 4x 4x 1 4x 4x + 1 < 0 w postaci nierówności równoważnej zapisze nierówność ( )( ) m m 3m 9 z jedną niewiadomą np.: < 0 lub 16 4 lub ( m )( m ) < 0 4m + 48m < 0 Zdający otrzymuje 3 punkty gdy: poprawnie rozwiąże nierówność: m,. Trzeci etap polega na wyznaczeniu części wspólnej zbiorów rozwiązań nierówności z etapów I i II oraz podaniu odpowiedzi: m, 6 6,. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. Uwagi 1. W przypadku otrzymania na jednym z etapów (I lub II) zbioru pustego lub zbioru R jako zbioru rozwiązań nierówności przyznajemy 0 punktów za III etap.. W przypadku otrzymania w II etapie zbioru rozwiązań, będącego podzbiorem zbioru rozwiązań z I etapu przyznajemy 0 punktów za III etap. 3. W przypadku rozwiązania z błędami, nieprzekreślającymi poprawności rozumowania, za ostatni etap przyznajemy 1 punkt jedynie wówczas, gdy zdający poprawnie wykona etap I i popełnia błędy w rozwiązaniu nierówności z etapu II lub gdy popełnia błędy w etapie I i dobrze rozwiąże etap II (uwaga 3. ma zastosowanie, gdy nie zachodzą przypadki 1. i.). 4. Jeżeli zdający w wyniku błędów otrzyma w II etapie nierówność z niewiadomą m stopnia drugiego z ujemnym wyróżnikiem lub nierówność liniową, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty. 5. W przypadku, gdy zdający przyjmuje błędnie Δ= ( m + 6) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca może otrzymać maksymalnie 3 punkty. Strona 10 z 37

11 Zadanie 4. (0 6) III. Modelowanie matematyczne. 5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym (5.c). 3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych (3.c). Przykładowe rozwiązania I sposób Oznaczmy przez r różnicę ciągu arytmetycznego. Skoro suma wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa 7, to b r+ b+ b+ r = 7, a stąd b = 9. Wówczas ciąg geometryczny ( 7 r,9,r+ 19) spełnia warunek 81 = ( 7 r) ( r+ 19). Równanie to ma dwa rozwiązania 13 r = 4 i r =. W pierwszym przypadku otrzymujemy ciąg arytmetyczny ( 5,9,13 ), a w drugim przypadku 31 5 ciąg arytmetyczny,9,. II sposób Liczby a, b, c są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, a+ c zatem = b. Suma liczb a, b, c równa 7, stąd a+ b+ c= 7. Ciąg ( a, b, c+ 1) jest b = a c+ 1. geometryczny, zatem ( ) ( ) a+ c = b Zapisujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi: a + b + c = 7 b = ( a ) ( c+ 1) Z pierwszego równania wyznaczamy a+ c= b, podstawiamy do drugiego równania i otrzymujemy b = 9. Do trzeciego równania podstawiamy b = 9 i a= b c i otrzymujemy równanie kwadratowe: 5 c 31c+ 65= 0. Równanie to ma dwa rozwiązania: c = oraz c = 13. W pierwszym 31 przypadku otrzymujemy: a = 5, b = 9, c = 13 a w drugim przypadku otrzymujemy: a =, 5 b = 9, c =. Strona 11 z 37

12 III sposób Niech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego, natomiast a pierwszy wyraz tego ciągu. ( a ) q 1 Wtedy b= ( a ) q i c+ 1= ( a ) q. Z ostatniej zależności otrzymujemy c =. Ponieważ suma liczb a, b, c jest równa 7, więc możemy zapisać równość ( a ) q 1 a+ ( a ) q+ = 7. Z własności ciągu arytmetycznego wynika równanie a+ c b =, które możemy zapisać w postaci a+ ( a ) q 1 ( a ) q =. 4 Otrzymaliśmy zatem układ równań z niewiadomymi a i q : ( ) ( ) ( a ) q a ( a ) q a+ a q+ a q = 55 4 = + 1. Ten układ jest równoważny układowi a + a q+ a q = 51 ( ) ( ) ( ) ( a ) + 4( a ) q ( a ) q = 3 Po wyłączeniu czynnika ( a ) każde z równań przyjmuje postać Zatem ( a )( q q ) ( a )( q q ) + + = = 3 ( q q ) ( q q ) 3+ + = , skąd otrzymujemy równanie kwadratowe 3q 11q+ 6= 0. To równanie ma dwa rozwiązania q = 3, q =. 3 Jeśli q = 3, to a = 5, b = 9 i c = 13. Jeżeli natomiast q =, to 3 31 a =, b = 9 i 5 c =. Schemat punktowania I sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający uzależni wartości dwie spośród liczb a, b, c od trzeciej z liczb i od różnicy r ciągu arytmetycznego, np.: a= b r i c= b+ r Strona 1 z 37

13 Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze równania wynikające z własności ciągu arytmetycznego i z własności ciągu geometrycznego, np.: a= b r, c b r b = a c+ 1 = +, ( ) ( ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, wynikające z własności ciągu 81 = 7 r r+ 19 geometrycznego, np.: ( )( ) Rozwiązanie prawie pełne... 5 p. Zdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków. Uwaga Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty. Rozwiązanie pełne... 6 p. Zdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania: a = 5, b = 9, 31 5 c =13 oraz a =, b = 9, c =. II sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. a Zdający zapisze jedno z równań: + c = b, b = ( a ) ( c+ 1 ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze układ trzech równań z trzema niewiadomymi, np.: a+ c = b a + b + c = 7 b = a c+ ( ) ( 1) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.: c + 31c + 16= 81 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie prawie pełne... 5 p. Zdający obliczy liczby a, b, c w jednym z możliwych przypadków. Uwaga Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty. Strona 13 z 37

14 Rozwiązanie pełne... 6 p. Zdający obliczy liczby w dwóch przypadkach spełniających warunki zadania: a = 5, b = 9, 31 5 c =13 oraz a =, b = 9, c =. III sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający zapisze wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od jednej z liczb i ilorazu ciągu geometrycznego, np. ( a ) q 1 a, b= ( a ) q, c = i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.: ( a ) q 1 a+ ( a ) q 1 a+ ( a ) q+ = 7 i ( a ) q = 4 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.: 3+ q+ q = q q i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. ( ) ( ) Rozwiązanie prawie pełne... 5 p. Zdający obliczy liczby a, b i c w jednym z możliwych przypadków. Uwaga Jeśli zdający poprawnie rozwiąże równanie kwadratowe, to otrzymuje 4 punkty. Rozwiązanie pełne... 6 p. Zdający zapisze dwa zestawy liczb spełniające warunki zadania: a = 5, b = 9 i c = oraz a =, b = 9 i c =. Uwagi 1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu geometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.. Jeżeli zdający odgadnie jeden zestaw liczb a, b, c, także ze sprawdzeniem warunków zadania, to otrzymuje 0 punktów. Strona 14 z 37

15 Zadanie 5. (0 3) V. Rozumowanie i argumentacja.. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b), (a ± b) 3, a b, a 3 ± b 3 oraz dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne (.a,.f). Przykładowe rozwiązania I sposób Przekształcamy nierówność równoważnie: xy 4xy+ 4+ x 4xy+ y > 0, ( xy ) ( x xy y ) + + > 0, ( xy ) ( x y) + > 0. Ponieważ x y, więc ( x y) > 0. Zatem lewa strona tej nierówności jest sumą liczby nieujemnej ( xy ) oraz liczby dodatniej ( x y) To kończy dowód. II sposób Zapiszmy nierówność xy x y xy, a więc jest dodatnia > 0 w postaci równoważnej y + x 8y x+ y + 4> 0. ( ) Ponieważ y + > 0 dla każdej liczby rzeczywistej y, więc możemy potraktować tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą x i parametrem y (lub z niewiadomą y i parametrem x). Wystarczy więc wykazać, że wyróżnik trójmianu kwadratowego y + x 8y x+ y + 4 zmiennej x jest ujemny. ( ) ( y) ( y ) ( y ) y ( y ) 4 4 ( ) ( ) ( ) Δ = = = = 88y y 4y 4 = 8 y + 4y 4 = 8 y. Dla każdej liczby rzeczywistej y, takiej, że y wyróżnik jest ujemy. Gdy y wówczas nierówność xy + x+ y 8xy+ 4> 0 ma postać 4x 8 x + 8> 0 lub 4x + 8 x + 8> 0 x x + > 0 lub x + x + > 0, Ponieważ z założenia wynika, że nierówności jest prawdziwa. To kończy dowód. ( x ) > 0 lub ( ) x y, więc x x + > 0. =, to, a to oznacza, że każda z otrzymanych III sposób Rozpatrzmy nierówność xy + x+ y 8xy+ 4> 0 w trzech przypadkach. I. Gdy co najmniej jedna z liczb x, y jest równa 0, np. gdy x = 0. Wtedy nierówność przyjmuje postać y + 4> 0. Ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej y. Strona 15 z 37

16 II. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy xy < 0. Wtedy po lewej stronie nierówności xy + x+ y 8xy+ 4> 0 wszystkie składniki są dodatnie, więc nierówność jest prawdziwa. III. Gdy żadna z liczb x, y nie jest równa 0 i gdy xy > 0. Wtedy, dzieląc obie strony nierówności xy + x+ y 8xy+ 4> 0 przez xy, otrzymujemy nierówność równoważną x y 4 xy > 0, y x xy 4 x y xy > 0, xy y x Ponieważ z założenia Stąd i z tego, że To kończy dowód. 4 x y xy > 0, xy y x x y xy + > 0. xy y x x x x y, więc 1, zatem y y xy xy y, co oznacza, że x x y > 0. y x 0 wynika prawdziwość otrzymanej nierówności. IV sposób I. Gdy xy 0, to wtedy po lewej stronie nierówności xy + x+ y 8xy+ 4> 0 cztery pierwsze składniki są nieujemne, piąty jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa. II. Gdy xy > 0, wtedy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb dodatnich skąd x y, x, y i 4 otrzymujemy xy x y x y x y 4 = 16x y = xy, x y x y xy Równość miałaby miejsce tylko wtedy, gdyby xy = x = y = 4, a więc gdyby x = y, co wobec nierówności xy > 0 oznaczałoby x = y, co jest sprzeczne z założeniem. Zatem czyli To kończy dowód > 8, x y x y xy > 0. xy x y xy Strona 16 z 37

17 Schemat punktowania I sposób rozwiązania Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze nierówność w postaci ( xy ) ( x y) popełnia błędy. + > 0 i na tym zakończy lub dalej Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie, uwzględniające założenie, że x y. II sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający zapisze nierówność w postaci ( y + ) x 8y x+ y + 4> 0 i obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego ( y + ) x 8y x+ y + 4, np.: Δ = ( 8y) 4 ( y + ) ( y + 4) Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający uzasadni, że wyróżnik Δ = 8( ) rzeczywistej y, ale nie rozpatrzy przypadku, gdy błędy. y jest niedodatni dla każdej liczby y = i na tym zakończy lub dalej popełnia Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. III sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający wykaże prawdziwość nierówności w I i w II przypadku i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. 4 x y Zdający zapisze nierówność w postaci xy > 0 xy y x w przypadku, gdy xy > 0 Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. IV sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający wykaże prawdziwość nierówności tym zakończy lub dalej popełnia błędy > 0 w I przypadku i na xy x y xy Strona 17 z 37

18 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający uzasadni, że gdy xy > 0, to prawdziwa jest nierówność xy + x+ y + 4 xy 4 Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 6. (0 3) V. Rozumowanie i argumentacja. Przykładowe rozwiązania I sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole trójkąta ABC jest równe 7. Planimetria. Zdający stosuje własności figur podobnych i jednokładnych w zadaniach, także umieszczonych w kontekście praktycznym oraz znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów (R7.c, R7.d). A 1 PABC = a c sin. Pola trójkątów ABE i CBE są równe 1 PABE = d c sin oraz E c d C a B 1 PCBE = d a sin. Suma pól trójkątów ABE i CBE jest równa polu trójkąta ABC, zatem ac sin = dc sin + da sin. Strona 18 z 37

19 sin cos = + sin, ac cos = d ( a + c ), ac d = cos. a+ c Stąd ac d ( a c ) To kończy dowód. II sposób Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Z twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy CE CB = AE AB, czyli y = a x c. Z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABE i CBE otrzymujemy x = c + d cdcos oraz y = a + d adcos. Zatem A x E a y a + d ad = = c x c + d cd y c d C a cos. cos B Stąd otrzymujemy ( cos ) ( cos ) a c d cd c a d ad + = +, + cos = + cos, ad cd = acdcos acdcos, ( a c ) d = ( a c) accos. ac ad acd ac cd acd Strona 19 z 37

20 Gdy a = c, wówczas trójkąt ABC jest równoramienny, więc trójkąty ABE i CBE są d c ac prostokątne i przystające. Wtedy cos =, skąd d = ccos = cos = cos. c c a + c Gdy zaś a c, to ( a c)( a+ c) 0, czyli a To kończy dowód. ( ) c 0, więc a c ac d = accos = cos. a c a+ c III sposób Poprowadźmy wysokości CG i EF trójkątów ABC i ABE. Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc spodki F i G tych wysokości leżą na boku AB trójkąta ABC. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy jak na rysunku. C Z twierdzenia o dwusiecznej otrzymujemy CE CB = AE AB, czyli y = a x c. Z trójkątów BEF i BCG otrzymujemy p = sin oraz d Stąd A x E F p y h a = sin. p= d sin oraz h= a sin. d c G h a B Trójkąty AFE i AGC są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny kąt ostry przy wierzchołku A. Zatem EF CG = AE AC, czyli p = h x x+ y. Strona 0 z 37

21 Stąd i z poprzednio otrzymanych równości otrzymujemy kolejno d sin a sin = x x+ y, a sin cos d sin =, y 1+ x a cos ac cos d = =. a 1+ a+ c c To kończy dowód. Schemat punktowania I sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający zapisze pola każdego z trójkątów ABC, ABE i CBE w zależności od długości a, c, d i kąta : PABC = a c sin, PABE = d c sin, PCBE = d a sin albo zapisze, że pole trójkąta ABC jest sumą pól trójkątów ABE i CBE oraz zapisze jedno z tych pól: PABC = a c sin lub PABE = d c sin lub PCBE = d a sin Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze zależność między polem trójkąta ABC i polami trójkątów ABE i CBE w postaci, w której występują jedynie wielkości a, c, d i, np.: ac sin = dc sin + da sin Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Strona 1 z 37

22 II sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający zapisze zależności między wielkościami x, y, d, a i c oraz kątem : y a = x c, x = c + d cdcos, y = a + d adcos Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. a a + d adcos Zdający zapisze równanie, np.: = c c + d cdcos Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Uwaga Jeżeli zdający nie rozważy sytuacji gdy a = c, to może otrzymać co najwyżej punkty. III sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1 p. Zdający zapisze zależność między wielkościami x, y, a i c oraz zależności między wielkościami p, h i a y a oraz kątem : = x c, p = sin h, = sin d a albo zależność między wielkościami x, y, a i c oraz zależności między wielkościami y a p, h, x i y oraz kątem : = x c, p = h x x+ y albo zależność między wielkościami p, h i a oraz kątem oraz zależność między p h y a wielkościami x, y, a i c: = sin, = sin, = d a x c. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający zapisze wystarczającą liczbę zależności między wielkościami x, y, a, c, p i h oraz kątem, pozwalającą wyznaczyć d w zależności od wielkości a, c i kąta, np.: d sin y a = x c, a sin = x x+ y. Rozwiązanie pełne... 3 p. Zdający przeprowadzi pełne rozumowanie. Strona z 37

23 Zadanie 7. (0 4) III. Modelowanie matematyczne. 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych (R10). Przykładowe rozwiązanie Wybieramy miejsce dla dziewiątek. Jest 6 = 15 takich miejsc. Szóstka może wystąpić na jednym z pozostałych 4 miejsc. Na pozostałych trzech miejscach mają wystąpić trzy cyfry, których suma ma być równa = 6. Mamy następujące możliwości: 1,, 3 i na trzech miejscach te cyfry możemy ustawić na 3! = 6 sposobów, 31 1, 1, 4 i na trzech miejscach te cyfry możemy ustawić na = 3 sposoby, 1 3,, i na trzech miejscach te cyfry możemy ustawić na = 1 sposób. 3 Łącznie, pozostałe trzy cyfry na pozostałych trzech miejscach, możemy ustawić na 10 sposobów. Stosując regułę mnożenia zapisujemy, że liczba liczb opisanych w treści zadania jest równa = 600. Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający obliczy liczbę miejsc, na których mogą znajdować się dziewiątki albo obliczy liczbę miejsc, na których może znajdować się szóstka Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy liczbę miejsc, na których mogą znajdować się dziewiątki i szóstka, albo obliczy na ile sposobów można ustawić pozostałe trzy cyfry na trzech miejscach, które pozostały. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Zdający obliczy liczbę miejsc, na których mogą znajdować się dziewiątki i szóstka i na ile sposobów można ustawić pozostałe trzy cyfry na trzech miejscach, które pozostały i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Strona 3 z 37

24 Rozwiązanie pełne... 4 p. Zdający zastosuje regułę mnożenia i obliczy, że liczba liczb opisanych w treści zadania jest równa 600. Uwaga Zdający może obliczać liczby miejsc dla dziewiątek i szóstki w sposób następujący: 6 5 4= 60 albo 6 = 60. Zadanie 8. (0 3) III. Modelowanie matematyczne. Przykładowe rozwiązanie 10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (10.d). Rysujemy drzewo odzwierciedlające etapy doświadczenia. 6 B 5 B 4 6 C Prawdopodobieństwo zdarzenia A (wylosowanie kuli białej z drugiego pudełka) jest więc równe P ( A) = + = + = B 3 5 C 5 6 C Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... 1p. Zdający narysuje drzewo wraz z opisem prawdopodobieństw na pierwszym etapie doświadczenia Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zdający narysuje drzewo wraz z opisem prawdopodobieństw na wszystkich istotnych gałęziach Strona 4 z 37

25 Rozwiązanie pełne... 3 p. 7 Zdający obliczy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiego pudełka:. 30 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) > 1 lub P ( A) < 0, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 9. (0 6) IV. Użycie i tworzenie strategii. Przykładowe rozwiązania I sposób 7. Planimetria. Zdający stosuje własności figur podobnych i jednokładnych w zadaniach, także umieszczonych w kontekście praktycznym (R7.c). A D C E S Oznaczmy przez S środek okręgu wpisanego w trójkąt, wysokość CE = 36 oraz promień okręgu wpisanego ES = DS = 10. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka DC: DC = CS DS = 4. Trójkąty AEC i SDC są podobne. Obydwa są prostokątne i mają jeden kąt wspólny. B Otrzymujemy równanie 36 4 =. Stąd 15 AE 10 AE =. Z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że AD = AE = 15. Długości boków tego trójkąta są zatem równe: AB = 30, AC = BC = 39. Następnie obliczmy pole trójkąta. 1 1 P = AB CE = = 540. Strona 5 z 37

26 Promień okręgu opisanego na trójkącie obliczymy korzystając ze wzoru AB BC CA P = : 4 R R = = II sposób C A Oznaczmy przez S środek okręgu wpisanego w trójkąt, wysokość CE = 36 oraz promień okręgu wpisanego ES = DS = 10. Niech CSD = CAE =. Trójkąty AEC i SDC są podobne. Obydwa są prostokątne i mają jeden kąt wspólny. Obliczamy długość odcinka CS: CS = CE SE = 6. D E S Obliczamy cos = =, wtedy sin = 1 = CE Obliczamy długość ramienia trójkąta równoramiennego ABC: sin =, stąd AC = 39. AC AC Z twierdzenia sinusów R sin =, gdzie R oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie: R = = = 4, zatem R = B Strona 6 z 37

27 III sposób C D S Niech AB A = a, AC = BC = b. 1 ab Zapisujemy pole trójkąta na trzy sposoby: a 36 = = 10 p. 4R 1 1 = +, stąd p = a+ b. Otrzymujemy równanie a = a+ b, stąd 13 b= a. 10 Ponieważ p ( a b) 1 Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta AEC: 36 a + = b 13 Zatem b = 30 = Ponieważ =, stąd otrzymujemy R = 1. 4R 8 E B, stąd a = 30. Strona 7 z 37

28 Schemat punktowania I sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... 1 p. Zdający obliczy długość odcinka DC = 4. Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze równanie wynikające z podobieństwa trójkątów AEC i SDC: 36 4 AE = 10. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 4 p. Zdający obliczy długości boków trójkąta AB = 30, AC = BC = 39. Uwaga Jeżeli zdający obliczy jedynie długość podstawy trójkąta: AB = 30 albo jedynie długość ramienia trójkąta: AC = BC = 39, to otrzymuje 3 punkty. Rozwiązanie prawie pełne... 5 p. Zdający obliczy pole trójkąta: P = 540. Rozwiązanie pełne... 6 p. Zdający obliczy promień okręgu: Uwaga 1 R = 1. 8 Jeżeli zdający obliczy promień okręgu: AC = BC = 39, to otrzymuje co najwyżej 5 punktów. 1 R = 1 i nie obliczy długości ramienia trójkąta: 8 Strona 8 z 37

29 II sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... 1 p. 5 Zdający obliczy cos : cos =. 13 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... p. Zdający obliczy cos i sin : 5 1 cos = i sin = Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 4 p. AC Zdający obliczy długość ramienia trójkąta ABC: AC = BC = 39 i zauważy, że R sin =. Uwaga AC Jeżeli zdający jedynie zauważy, że = R albo jedynie obliczy długość ramienia sin trójkąta: AC = BC = 39, to otrzymuje 3 punkty. Rozwiązanie prawie pełne... 5 p. AC Zdający zastosuje twierdzenie sinusów i zapisze, że R sin =. Rozwiązanie pełne... 6 p. Zdający obliczy promień okręgu: Uwaga 1 R = 1. 8 Jeżeli zdający obliczy promień okręgu: AB = 30 to otrzymuje co najwyżej 5 punktów. 1 R = 1 i nie obliczy długości podstawy trójkąta: 8 Strona 9 z 37

30 Zadanie 10. (0 6) IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Stereometria. Zdający wyznacza przekroje wielościanów płaszczyzną oraz wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii (R9.a, 9.b). Przykładowe rozwiązania I sposób Sporządzamy rysunek pomocniczy, wprowadzając oznaczenia i zaznaczając odpowiednie kąty. C A Ponieważ trójkąt ABC jest trójkątem pięknym, przyjmijmy, że długości jego boków są równe a, a, a 3. Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąta BDC otrzymujemy y = x + 4a ax 6. Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkątów CED i BDE otrzymujemy: x + 4a ax 6 = a + z x + 3a ax 6 = x 3a a > 0 x = a 6 Zatem w trójkącie BFD mamy a 3 sin α = = a 6 π Stąd α = 4 Kąt między przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu jest równy 4 π. E B D F Strona 30 z 37

31 II sposób Sporządzamy rysunek pomocniczy, wprowadzając oznaczenia i zaznaczając odpowiednie kąty. C E D A Ponieważ trójkąt ABC jest trójkątem pięknym, przyjmijmy, że długości jego boków są równe a, a, a 3. Zapisujemy długości boków x i z trójkąta BFD w zależności od szukanego kąta α : a 3 a 3 x = i z = dla a > 0 i α 0 sinα tgα Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta CED otrzymujemy y = a + z 3a y = a + tg α Zapisujemy twierdzenie cosinusów dla trójkąta BDC: y = 4a + x 4ax cos Po dokonaniu podstawień za x i y otrzymujemy równanie postaci: 3a 3a a 18 a + = 4a + tg α sin α sinα a po przekształceniach równanie trygonometryczne: sin α sinα = 0 sin α sin α = 0 Rozwiązujemy alternatywę równań sin α = lub sin α = 0 π α = 4 lub α = 0 nie spełnia warunków zdania Zatem kąt między przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu ma miarę 4 π. B F Strona 31 z 37

32 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający sporządzi rysunek i zaznaczy odpowiednie kąty 3 π, α, i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze długości boków trójkąta ABC za pomocą jednej zmiennej, np.: a, a, a 3 Pokonanie zasadniczych trudności... 4 p. Zdający zapisze równanie z niewiadomymi a i x, prowadzące do rozwiązania zadania, np.: x + 3a ax 6 = x 3a albo zapisze równanie z niewiadomymi a i α, prowadzącego do rozwiązania zadania, np.: 3a 3a a 18 a + = 4a + tg α sin α sinα Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 5 p. Zdający popełni błąd rachunkowy na etapie przekształceń równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca. Rozwiązanie pełne... 6 p. π Zdający wyznaczy miarę kąta α : α =. 4 Uwaga Jeżeli zdający zapisze równanie z niewiadomymi a i x albo z niewiadomymi a i α, z błędami rachunkowymi i na tym poprzestanie, to otrzymuje 3 punkty. Strona 3 z 37

33 Zadanie 11. (0 5) IV. Użycie i tworzenie strategii. 8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający posługuje się równaniem okręgu (x a) + (y b) = r, wyznacza współrzędne środka odcinka, rozwiązuje zadania dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu, oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej (8.g, 8.f, R8.b). Przykładowe rozwiązania I sposób Środek S szukanego okręgu jest punktem przecięcia prostej x 3y+ 1= 0 oraz symetralnej odcinka AB Wyznaczmy współrzędne środka D odcina AB: D +, + = =,. Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B: a AB = = Z warunku prostopadłości prostych wyznaczamy współczynnik kierunkowy symetralnej 5 5 odcinka AB: a =. Wyznaczamy równanie symetralnej odcinka AB: y = x+ b Przechodzi ona przez punkt D =,, stąd otrzymujemy = + b. Zatem b =. Wobec tego symetralną odcinka AB jest prosta y = x x 3y+ 1= 0 Obliczamy współrzędne punktu S, rozwiązując układ równań 5 1 Środkiem y = x okręgu jest S = 0, Wyznaczamy promień okręgu r obliczając np.: AS = 5 + = Wyznaczamy równanie okręgu o środku w punkcie S = 0, i promieniu x + y = r = : 3 Strona 33 z 37

34 II sposób Środkiem okręgu jest punkt S, który leży na prostej x 3y 1 0 Ponieważ AS + =. Zatem S = ( 3y 1, y). = BS, więc możemy zapisać równanie ( x 5) ( y 3) x ( y 6) Rozwiązujemy zatem układ równań 10x+ 6y = i x 3y = 1, otrzymując współrzędne punktu S 1 S = 0,. 3 Następnie obliczamy kwadrat długości promienia SB r = =. 3 9 = r Zatem równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r ma postać + + = x + y =. 3 9 III sposób Przyjmijmy, że punkt S = ( a, b) jest środkiem szukanego okręgu. Ponieważ punkt ten leży na prostej x 3y+ 1= 0, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej. Stąd a 3b + 1= 0. 5, 3 B = 0, 6, zatem Okrąg przechodzi przez punkty A = ( ) i ( ) ( 5 ) ( 3 ) a + b = r ( a) + ( 6 b) = r. Stąd otrzymujemy zależność między a i b: 5a+ 3b 1= 0. Z układu równań a 3b+ 1= 0 5a+ 3b 1= 0 1 obliczamy współrzędne środka okręgu S = 0,. Wyznaczone współrzędne podstawiamy 3 do jednego z równań układu z niewiadomą r i obliczamy kwadrat promienia okręgu: 89 r =. 9 Zatem szukane równanie okręgu ma postać: 1 89 x + y =. 3 9 Strona 34 z 37

35 Schematy punktowania I sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający 5 9 wyznaczy współrzędne środka odcinka AB: D =, albo wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB: 3 a AB = 5 Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. 5 1 Zdający zapisze równanie symetralnej odcinka AB: y = x + i na tym zakończy lub 3 3 dalej popełnia błędy. Pokonanie zasadniczych trudności... 3 p. 1 Zdający wyznaczy współrzędne punktu S: S = 0, i na tym zakończy lub dalej popełnia 3 błędy. Rozwiązanie prawie pełne... 4 p. 17 Wyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu): r = i na tym zakończy lub 3 dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający wyznaczy równanie okręgu: 1 89 x + y =. 3 9 Strona 35 z 37

36 II sposób rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający S = 3y 1, y zapisze współrzędne punktu S w zależności od jednej zmiennej, np.: ( ) albo zapisze równość AS ( x+ 5) + ( y 3) = x + ( y 6) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. = BS lub równoważne równanie Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. Zdający zapisze układ równań 10x+ 6y = i x 3y = 1 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności... 3 p. Zdający wyznaczy współrzędne punktu S: 1 S = 0, 3 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie prawie pełne... 4 p. 89 Wyznaczy kwadrat promienia okręgu (lub promień okręgu): r = 9 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p. Zdający wyznaczy równanie okręgu: III sposób rozwiązania 1 89 x + y =. 3 9 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 p. Zdający ( 5 a) + ( 3 b) = r zapisze układ równań: ( a) + ( 6 b) = r albo zauważy, że współrzędne środka okręgu spełniają równanie: a 3b + 1= 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Strona 36 z 37

37 Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny... p. ( 5 a) + ( 3 b) = r Zdający zapisze układ równań: i zauważy, że współrzędne ( a) + ( 6 b) = r środka okręgu spełniają równanie a 3b + 1= 0 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Pokonanie zasadniczych trudności... 3 p. 1 Zdający wyznaczy współrzędne punktu S: S = 0, i na tym zakończy lub dalej popełnia 3 błędy. Rozwiązanie prawie pełne... 4 p. 17 Wyznaczy promień okręgu (lub kwadrat promienia okręgu): r = i na tym zakończy lub 3 dalej popełnia błędy. Rozwiązanie pełne... 5 p Zdający wyznaczy równanie okręgu: x + y =. 3 9 Uwaga Jeżeli zdający oblicza współrzędne punktu P przecięcia danej prostej z osią Oy, oblicza odległość PB, zapisuje równanie okręgu i na tym poprzestaje, to otrzymuje 0 punktów. Strona 37 z 37

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 014 ( STR MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas

WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.

Bardziej szczegółowo

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki

Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne

IV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Spis treści

Spis treści. Spis treści Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5 2. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 9 3. Pierwiastki, liczby niewymierne... 13 4. Wyrażenia

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo