Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1

Transkrypt

1 Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu y = + 0 : Δ = 9, =, = 0. Liczba punktów Uwagi. Zapisanie zbioru rozwiązań nierówności: Wypisanie wszystkich liczb całkowitych, które spełniają nierówność:, 8, 9, 0,,,,,,,, 8, 9.,0. Zapisanie wielomianu w postaci sumy iloczynów, w których występuje ten sam czynnik, np: W = ( ) ( ) ( ) Zapisanie wielomianu w postaci W ( ) = ( )( + )( + ) i podanie wszystkich jego pierwiastków: =, =, =. Zapisanie wielomianu P ( ) w postaci rozwiniętej: P ( ) = Wyciągnięcie wniosku dotyczącego równości wielomianów: P są równe. Wielomiany W ( ) i ( ) Podanie metody pozwalającej ustalić znak wielomianu W() dla > 0, np. poprzez analizę znaków czynników występujących w rozkładzie wielomianu. Wykazanie nierówności, np > 0 (, ) (, ) i zapisanie, że 0 >. Zbiór rozwiązań nierówności może być zaznaczony na wykresie. Zdający może ustalić liczby całkowite, które spełniają nierówność na podstawie sporządzonego wykresu. Przyznajemy punkt, gdy zdający zapisze, np., 8, 9,..., 9. Punkt przyznajemy za wniosek konsekwentny do uzyskanej postaci P. wielomianu ( ) Akceptujemy uzasadnienie poprzez rozwiązanie nierówności.

2 . Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki II sposób rozwiązania (czynność.,.): Znalezienie jednego z pierwiastków i wykonanie dzielenia, np : = + +. ( ) ( ). Wyznaczenie pozostałych pierwiastków: =, =.. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kodów PIN: 9999 lub 0.. Obliczenie liczby wszystkich kodów o różnych cyfrach: 00.. Obliczenie prawdopodobieństwa i zapisanie go w postaci ułamka 0 nieskracalnego:. Wyznaczanie pierwiastków wielomianu może się odbywać dowolną, znaną zdającemu metodą, np. zastosowanie twierdzenia Bezouta, schematu Hornera. Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba 9999 pojawia się tylko w mianowniku ułamka przedstawiającego prawdopodobieństwo. Punkt przyznajemy także wtedy, gdy liczba 00 jest przedstawiona jako iloczyn 0 9 8, oraz wtedy, gdy liczba pojawia się tylko w liczniku ułamka przedstawiającego prawdopodobieństwo.. a).. b) 00.. c).. Obliczenie różnicy pól P i P kół o promieniach odpowiednio m i 0 m: P P = π π 0 = 8π. P P. Zapisanie właściwego ilorazu: 00%. P 8. Obliczenie szukanego procentu: % lub % lub,0%. Zdający, obliczając P i P, może podać wartości przybliżone. Może też być wyznaczony stosunek P 8,00 P = 00 =. Uznajemy również wynik zaokrąglony do %: %.

3 Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki..... Uzupełnienie tabeli: a, a 0, a =, a 00 = 00, a 00 = 0, a =, a 008 = = Zapisanie wartości wyrażenia: = ( a ) ( a ) ( a ) a a a = Stwierdzenie, że ciąg (, a, a, a ) a jest arytmetyczny: np., a =, r =, albo stwierdzenie, że wyrazy pierwszy, trzeci, piąty itd. to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. 00 Określenie liczby wyrazów ciągu ( a, a, a,, a ) n =00. : 00 Zastosowanie wzoru na sumę 00 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenie sumy 008 początkowych wyrazów + 00 ciągu ( a n ): 00 = 00.. Podanie wysokości z jakiej został rzucony kamień: h ( 0) = 0 m... Obliczenie odciętej wierzchołka paraboli i zapisanie odpowiedzi: t w =, np. po upływie pół sekundy. Obliczenie największej wysokości na jaką wzniesie się kamień: hma =, m. Wystarczy, że zdający poprawnie obliczy a =, a = 0, a =. Wystarczy, że zdający poprawnie ustali wartości poszczególnych czynników, np. 0. Jeśli zdający źle ustali liczbę wyrazów ciągu ( a, a, a,, a00 ), to nie otrzymuje punktu także w czynności.. Jeśli zdający stosuje bezpośrednio wzór n( n+ ) n = dla n = 00, to otrzymuje wszystkie punkty za czynności.,.,.. Zdający może pominąć jednostki.

4 Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki Narysowanie wykresu funkcji g. y y = y = Obliczenie największej wartości funkcji g w przedziale, : 8. g ( ) =. 8. Zapisanie równania: + = 0. Rozwiązanie równania i sformułowanie odpowiedzi: 8. =, o jednostki w prawo (albo o wzdłuż osi O). I sposób rozwiązania: 9. Zapisanie założenie, że trójkąt ABR jest podstawą, a odcinek CR jest wysokością danego ostrosłupa ABRC. 9. Obliczenie pola podstawy: m P p =. Jeśli zdający bez obliczeń poda poprawnie, o ile należy przesunąć wykres, to otrzymuje punkt także w czynności 8..

5 Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki 9. Obliczenie objętości ostrosłupa: V = = m. 9. Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,0 m : V = 0, m. 9. II sposób rozwiązania: Podstawą ostrosłupa ABCR jest trójkąt równoboczny ABC, którego krawędź podstawy ma długość. Obliczenie pola podstawy Zdający może pominąć jednostki. Jeśli zdający zapisze, że objętość ostrosłupa jest równa m, bo jest to naroże sześcianu o krawędzi m, to przyznajemy punkty w czynnościach 9., 9., ostrosłupa: m P p =. Obliczenie wysokości H ostrosłupa: 9. H = = m. Obliczenie objętości ostrosłupa: 9. m V = =. 9. Podanie wyniku zaokrąglonego do 0,0 m : V = 0, m. 0. Wyznaczenie równania prostej AB: y = + lub y+ = 0. Zbadanie położenia punktu K względem prostej AB: = <. Zbadanie położenia punktu L względem prostej AB: 0. ( ) + = <. Jeśli zdający jedynie sprawdza, czy punkty K i L należą do prostej AB, to: w czynności 0. otrzymuje pkt, a w czynności 0. nie otrzymuje punktu. Np.: + = 0, + = ( ).

6 Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki 0. Podanie wniosku: Punkty K i L leżą po tej samej stronie prostej AB.. Obliczenie długości skośnej krawędzi konstrukcji: 0 cm..... Obliczenie sumy pól powierzchni ścian, które są trapezami: ( 0 + 0) 0 = 00 cm. Obliczenie sumy pól powierzchni ścian będących prostokątami: = cm. Podanie wyniku z żądanym zaokrągleniem: 00( ) P = + cm. I sposób rozwiązania: Wykorzystanie zależności między sinusem i cosinusem tego samego kąta i zapisanie wyrażeń w postaciach: tg cos sin tg sin sin α β + α = α β + α, Nie przyznajemy punktu za wniosek (nawet poprawny), jeśli nie jest uzasadniony, np. brak czynności 0., 0. lub podobnego rozumowania. Przyznajemy punkt za wniosek konsekwentny do otrzymanych rezultatów. Zdający może podać wartość przybliżoną: np., cm albo, cm. Akceptujemy wynik: cm lub 8 cm, o ile w czynności. zdający przyjął zaokrąglenie 0,. Akceptujemy wynik 8. Zdający może pominąć jednostki... tgβ cos α + sin β = tgβ sinα+ sin β. Wykorzystanie zależności między tangensem, sinusem i cosinusem tego samego kąta i zapisanie wyrażeń w postaci: tgα sin β + sinα = sinα, tgβ sinα+ sin β = sin β. Obliczenie wartości wyrażeń: 0 tgα cos β + sinα = sinα =, tgβ cos α + sin β = sin β =.

7 Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki 0 0 Porównanie liczb i i sformułowanie odpowiedzi: <, drugie wyrażenie. II sposób rozwiązania: Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta α : sin α =, cos α =, tg α =. Wykorzystanie definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego i zapisanie potrzebnych wartości funkcji kąta β : sin β =, cos β =, tg β =. Obliczenie wartości wyrażeń: 0 tgα cos β + sinα =, tgβ cos α + sinβ =. 0 Porównanie liczb i i sformułowanie odpowiedzi: drugie wyrażenie ma większą wartość. 0 <, Obliczenie średniej arytmetycznej liczby sprzedanych biletów: =. Przedstawienie metody obliczenia wariancji lub odchylenia standardowego, np.: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Obliczenie odchylenia standardowego:,. Podanie godzin, w których liczba sprzedanych biletów nie była. typowa: :00 :00, :00 8:00, 8:00 9:00, :00 :00.. Jeżeli zdający nie wykonuje obliczeń, a stwierdzi jedynie, że sinus większego z kątów ostrych trójkąta jest większy i zapisze sin β > sinα, to otrzymuje punkt także za czynność.. Punkt otrzymuje zdający, który popełni co najwyżej jeden błąd. Punkt otrzymuje zdający, który popełni co najwyżej jeden błąd. Wystarczy, że zdający poprawnie podstawi dane do wzoru na wariancję lub odchylenie standardowe. Zdający może podać też :00 :00, :00 9:00, :00 :00.