MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
|
|
- Janina Sikorska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06
2 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania Zadanie (0 ) Wymagania ogólne Wykorzystanie Zadanie (0 ) Wymagania szczegółowe Liczby rzeczywiste Zdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (4) Poprawna odp ( p) Wykorzystanie Liczby rzeczywiste Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (6) Zadanie 3 (0 ) Modelowanie matematyczne Liczby rzeczywiste Zdający wykonuje obliczenia procentowe, oblicza podatki, zysk z lokat (9) Zadanie 4 (0 ) Wykorzystanie Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na ( ) oraz a b () a± b Zadanie 5 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 3 Równania i nierówności Zdający sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności (3) Strona z 0
3 Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (84) Zadanie 7 (0 ) V Użycie i tworzenie strategii 7 Planimetria Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym (7) Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie 4 Funkcje Zdający posługuje się poznanymi metodami rozwiązywania równań do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje daną wartość (4) Zadanie 9 (0 ) Wykorzystanie 3 Równania i nierówności Zdający rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub x+ x+ kwadratowych, np =, = x (38) x+ 3 x Zadanie 0 (0 ) Wykorzystanie 4 Funkcje Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji zbiór wartości (43) Zadanie (0 ) Wykorzystanie 4 Funkcje Zdający odczytuje z wykresu własności funkcji punkty, w których funkcja przyjmuje w podanym przedziale wartość największą lub najmniejszą (43) Zadanie (0 ) Wykorzystanie 4 Funkcje Zdający oblicza ze wzoru wartość funkcji dla danego argumentu (4) Strona 3 z 0
4 Zadanie 3 (0 ) V Użycie i tworzenie strategii 6 Trygonometria Zdający korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (6) Zadanie 4 (0 ) Modelowanie matematyczne 5 iągi Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (53) Zadanie 5 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 5 iągi Zdający bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny (5) Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 7 Planimetria Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje cechy podobieństwa trójkątów (73) Zadanie 7 (0 ) V Użycie i tworzenie strategii 6 Trygonometria Zdający, znając wartość jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego (65) Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie SP9 Wielokąty, koła, okręgi Zdający ustala możliwość zbudowania trójkąta (SP9) Zadanie 9 (0 ) V Użycie i tworzenie strategii 7 Planimetria Zdający korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych (7) Strona 4 z 0
5 Zadanie 0 (0 ) Wykorzystanie 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych (8) Zadanie (0 ) Wykorzystanie 8 Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Zdający wyznacza współrzędne środka odcinka (86) Zadanie (0 ) Wykorzystanie 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (03) Zadanie 3 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 9 Stereometria Zdający rozpoznaje w walcach i stożkach kąty między odcinkami i płaszczyznami (93) Zadanie 4 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 9 Stereometria Zdający rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (9) Zadanie 5 (0 ) Wykorzystanie G9 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa Zdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych (G94) Strona 5 z 0
6 Zadanie 6 (0 ) Wykorzystanie G9 Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa Zdający wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych (G94) Liczby rzeczywiste Zdający oblicza błąd bezwzględny i błąd względny przybliżenia (7) Przykładowe rozwiązanie Obliczamy średni roczny przyrost sosny: x = 8 3 Obliczamy błąd względny przybliżenia: 3 = = 0, 04 = 4% Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy obliczy średni roczny przyrost wysokości sosny: x = 8 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy gdy otrzyma średni roczny przyrost wysokości sosny będący liczbą spełniającą nierówność 7< x < 8,(3) lub nierówność 8, 4(3) < x < 0 i konsekwentnie obliczy błąd względny otrzymanego przybliżenia Uwaga: kceptujemy wynik przybliżony z przedziału 8, (3);8, 4(3) Zdający otrzymuje p gdy obliczy błąd względny przybliżenia: 4% Zadanie 7 (0 ) Wykorzystanie 3 Równania i nierówności Zdający rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (35) Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy polega na ustaleniu pierwiastków trójmianu kwadratowego rugi etap polega na ustaleniu zbioru rozwiązań nierówności Strona 6 z 0
7 Realizacja pierwszego etapu sposób Redukujemy wyrazy podobne i zapisujemy nierówność w postaci równoważnej x + x > 0 Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x + x obliczamy wyróżnik tego trójmianu: + Δ = 4 4 ( ) 0 = 4 i stąd x = = oraz x = = 0 wykorzystujemy postać iloczynową trójmianu x + x : x( x ) = 0, stąd x = 0 oraz x =, stosujemy wzory Viète a: x x = 0 oraz x + x =, stąd x = 0 oraz x =, podajemy je bezpośrednio, np zapisując pierwiastki trójmianu x = 0, x = lub zaznaczając je na wykresie y x - - sposób Wyznaczamy postać kanoniczną trójmianu kwadratowego w postaci równoważnej, np ( x ) + > 0 Stąd (( x ) ) > 0 i zapisujemy nierówność Następnie przekształcamy nierówność do postaci równoważnej, korzystając z własności wartości bezwzględnej ( x ) < x < Realizacja drugiego etapu Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: ( 0, ) lub x ( 0, ) Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tzn ustali pierwiastki trójmianu kwadratowego i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np:, x + x Strona 7 z 0
8 o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x = 0, x = i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) = x + x i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, o zapisze nierówność x < i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności przy realizacji pierwszego etapu rozwiązania popełni błąd (ten sam błąd popełniony wielokrotnie traktuje się jak jeden błąd), ale otrzyma dwa różne pierwiastki, i konsekwentnie rozwiąże nierówność, np: o popełni błędy przy wyznaczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie rozwiąże nierówność, o błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np x + x = i konsekwentnie rozwiąże nierówność, o błędnie zapisze nierówność, np x > i konsekwentnie ją rozwiąże Zdający otrzymuje p gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: ( 0, ) lub x ( 0, ), lub x > 0 i x < sporządzi poprawną ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x > 0, x <, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów 0 x Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy zapis przedziału nieuwzględniający porządku liczb na osi liczbowej, np, 0 ( ) Uwagi: Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x lub przez x, bez stosownego założenia, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez x, rozważając przy tym dwa przypadki x > i x <, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków oraz wyznaczy poprawny zbiór rozwiązań nierówności, to otrzymuje punkty Strona 8 z 0
9 Zadanie 8 (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji 3 Równania i nierówności Zdający korzysta z własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań typu x( x+ )( x 7) = 0 (37) Przykładowe rozwiązanie Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników 4 x oraz x + x 5 Zatem iloczyn ten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli 4 x = 0 lub x + x 5= 0 Rozwiązaniem równania 4 x = 0 jest x = 4 Rozwiązania równania x + x 5= 0możemy wyznaczyć, korzystając: ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego: Δ= 4 ( 5) = 64= 8, x = = 5, x = = 3 ze wzorów Viète a: x+ x = oraz x x = 5 i stąd x = 5, x = 3, z postaci iloczynowej trójmianu x + x 5 ( x+ 5)( x 3) = 0, stąd x = 5, x = 3, z własności wartości bezwzględnej, przekształcając najpierw równanie do postaci równoważnej x + = 4, skąd x + = 4 lub x + = 4, czyli x = 3 lub x = 5 Zatem wszystkie rozwiązania równania to: x = 4 lub x = 5, lub x = 3 Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy: zapisze dwa równania: 4 x = 0 i x + x 5= 0 (wystarczy, że z rozwiązania wynika, że zdający wyznacza pierwiastki każdego z wielomianów: 4 x, x + x 5) zapisze rozwiązanie x = 4, obliczy co najmniej jeden pierwiastek trójmianu x + x 5: x = 5, x = 3, 3 wyznaczy jeden z pierwiastków wielomianu x + x + 3x 60 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x = 5, x = 3, x = 4 Uwagi: Jeżeli zdający obliczy trzy pierwiastki, ale w odpowiedzi końcowej podaje tylko dwa, to otrzymuje punkt Strona 9 z 0
10 Jeżeli zdający dzieli obie strony równania bez stosownego założenia przez x 4 lub przez drugi czynnik i oblicza pierwiastki (lub pierwiastek) dla pozostałej części, to otrzymuje 0 punktów Zadanie 9 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja 7 Planimetria Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów (73) Przykładowe rozwiązania sposób Niech = α Ponieważ = 90, więc = 90 α W ΔE : E = 90, więc E = 90 α Trójkąt E jest prostokątny oraz E = 90, więc E = 90 α Podobnie trójkąt FG jest prostokątny i FG = 90, więc FG = α Ponieważ trójkąty E i FG mają równe kąty, więc na podstawie cechy podobieństwa kkk są podobne sposób Niech = E = α i = FG = β Trójkąt E jest podobny do trójkąta (cecha kkk), bo = E = α oraz = E = 90 Podobnie trójkąt GF jest podobny do trójkąta, (cecha kkk), bo = FG = β oraz = FG = 90 Stąd trójkąt E jest podobny do trójkąta FG (z przechodniości relacji podobieństwa) Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy wskaże w dwóch trójkątach spośród trójkątów, E i FG jedną parę równych kątów ostrych i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, przy czym kąt przy wierzchołku musi być wskazany dwukrotnie, jako kąt w obu trójkątach i FG, np zdający zapisze FG = lub stwierdzi, że jest to wspólny kąt trójkątów i FG (analogicznie z kątem przy wierzchołku w trójkątach i E) zapisze, że trójkąt jest podobny do trójkąta FG i do trójkąta E i stąd wywnioskuje, że trójkąt E jest podobny do trójkąta FG, ale nie wskaże żadnej pary równych kątów ostrych w tych trójkątach i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Strona 0 z 0
11 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwagi: Jeżeli zdający przyjmie konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający przyjmie błędne zależności między kątami, to otrzymuje 0 punktów Zadanie 30 (0 ) V Rozumowanie i argumentacja Wyrażenia algebraiczne Zdający używa wzorów skróconego ( ) mnożenia na a± b oraz a b () Przykładowe rozwiązanie Rozważmy wyraz an = n + n Wyraz a n + można zapisać, jako a = n+ ( n + ) + ( n + ) = n + 6n + 4 Wtedy an + an+ = n + n+ n + 6n+ 4= 4n + 8n+ 4 Zatem a ( ) n + an+ = n+ Liczba n + jest naturalna To kończy dowód Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy poprawnie zapisze sumę dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu, np an+ an+ = n + n+ ( n+ ) + ( n+ ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwaga: Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych wartości n, to otrzymuje 0 punktów Strona z 0
12 Zadanie 3 (0 ) Modelowanie matematyczne Liczby rzeczywiste Zdający wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym oraz wykorzystuje podstawowe własności potęg również w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy, np fizyką, chemią, informatyką (6, 5) Przykładowe rozwiązania sposób Zapisujemy równanie Korzystamy z definicji logarytmu 6, 0 = 4 0 Stąd 6, 4 = 0 0,, = 0, Stwierdzamy, że 0 > 0 = 00, gdyż funkcja wykładnicza y = 0 x jest rosnąca Oznacza to, że >00 cm sposób Zapisujemy równanie 6, = log 0 4 6, = log 0 4 To równanie jest równoważne kolejno równaniom 6, = log 0 4 6, = log0 + log, 6, = 4 + log Zatem, = log Korzystamy z definicji logarytmu i otrzymujemy równość, = 0, Stwierdzamy, że 0 > 0 = 00, gdyż funkcja wykładnicza y = 0 x jest rosnąca Oznacza to, że >00 cm Schemat punktowania Zdający otrzymuje p gdy wykorzysta definicję logarytmu i przekształci równanie 6, = log do postaci , = ( ), Strona z 0
13 wykorzysta własność logarytmu i przekształci równanie 6, = log do postaci , = log log0 lub 6, = log + log0 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy, gdy zapisze, że = 0 i stwierdzi, że amplituda tego trzęsienia ziemi była większa od 00 cm Zdający otrzymuje p Uwagi: Jeżeli zdający błędnie interpretuje treść zadania, w szczególności stosuje niepoprawne podstawienie do wzoru, to otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy, ale uzasadni, że amplituda jest większa od 00 cm, to otrzymuje punkt 3 Jeżeli zdający nie obliczy amplitudy tylko zapisze bez uzasadnienia, że amplituda jest większa od 00 cm, to otrzymuje 0 punktów 4 Zadanie 3 (0 4) V Użycie i tworzenie strategii SP9 Wielokąty, koła, okręgi Zdający stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta (SP93) G7 Równania Zdający rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą (G73) Przykładowe rozwiązania sposób Niech α oznacza najmniejszy kąt trójkąta Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α + 50 oraz 3α Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc α+ 3α + α+ 50 = 80, 5α = 30, α = 6 Stąd α + 50 = 76 oraz 3α = 78 sposób Niech α oznacza największy kąt trójkąta Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α 50 oraz Suma kątów trójkąta jest równa, więc 3 + α 80 3 α α α = 80, 3 3 5α = 390, α Stąd 6 3 = α oraz = α = 78 Strona 3 z 0
14 sposób Niech α oznacza ten kąt trójkąta, który nie jest ani największy, ani najmniejszy Zatem pozostałe dwa kąty tego trójkąta równe są α 50 oraz 3( α 50 ) Suma kątów trójkąta jest równa 80, więc Stąd 50 = 6 α oraz ( ) ( ) α 50 + α + 3 α 50 = 80, 3 α 50 = 78 5α = 380, α = 76 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający zapisze: kąty trójkąta w zależności od jednego kąta, np: α α α, α + 50, 3α lub, 50,, lub α α 50, α, 3( α 50 ) układ dwóch równań, np α + α β = 80 β = 3 α, układ trzech równań, np α + β + γ = 80 γ = 3α β = α + 50 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np: α α α + 3α + α + 50 = 80 lub α = 80, lub α 50 + α + 3( α 50 ) = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zdający obliczy jeden z kątów trójkąta, np: α = 6 lub α = 78, lub α = 76 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy wszystkie kąty trójkąta Uwagi: Jeżeli zdający tylko poda kąty ( 6, 76, 78 ), to otrzymuje punkt Jeżeli zdający tylko poda kąty i sprawdzi wszystkie warunki zadania, to otrzymuje punkty Strona 4 z 0
15 Zadanie 33 (0 5) V Użycie i tworzenie strategii 9 Stereometria Zdający stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar kątów, pól powierzchni i objętości (96) G0 Figury płaskie Zdający stosuje twierdzenie Pitagorasa (G07) Przykładowe rozwiązanie Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku S H h a O P a 3 Ponieważ wysokość tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy, to H = Objętość ostrosłupa jest równa 7, więc otrzymujemy równanie a 3 a 3 = 7, 3 4 skąd otrzymujemy a = 6 Wysokość ostrosłupa jest równa 6 3 H = = 3 3 Punkt O jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, zatem długość odcinka PO stanowi 3 wysokości trójkąta, czyli OP = 3 H = = 3 Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkąta POS otrzymujemy Stąd h = OP + H, ( 3) ( 3 3) h = +, h = 30 h = 30 Strona 5 z 0
16 Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest zatem równe Pb = 3 ah= = 9 30 osinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy OP 3 0 cosα = = = h 30 0 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający: zapisze równanie, z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa: a 3 a 3 = zapisze równanie, z którego można obliczyć wysokość ostrosłupa: H 3 3 H = i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa a = 6 lub wysokość ostrosłupa H = 3 3 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Uwaga: Zdający może obliczyć od razu tangens kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa: tg H α = = 3, 3 H a następnie obliczyć szukaną wartość cosinusa tego kąta: 0 cosα = 0 Otrzymuje wtedy punkty Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zdający obliczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa: 30 długość krawędzi bocznej ostrosłupa: 39 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Strona 6 z 0
17 Rozwiązanie prawie pełne 4 p Zdający obliczy: pole powierzchni bocznej ostrosłupa S: 9 30 cosinus kąta nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: 0 cosα = 0 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 5 p Zdający obliczy pole powierzchni bocznej ostrosłupa S: 9 30 i cosinus kąta nachylenia 0 wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: cosα = 0 Uwagi: Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż podana w zadaniu, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny np w zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa przy obliczaniu wysokości ściany bocznej lub w interpretacji własności trójkąta równobocznego, to otrzymuje za całe rozwiązanie otrzymuje co najwyżej punkty 3 kceptujemy poprawne przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych Zadanie 34 (0 4) Modelowanie matematyczne 0 Elementy statystyki opisowej Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Zdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa (03) Przykładowe rozwiązania sposób Zdarzeniem elementarnym jest uporządkowana para { 0,,,,99} ( x, y) dwóch różnych liczb ze zbioru, który zawiera 90 liczb Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= Wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30 Zatem zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: ( 0, 0 ), (,9 ), (,8), ( 3,7 ), ( 4,6 ), ( 6,4 ), ( 7,3 ), ( 8, ), ( 9, ), ( 0,0 ) ch liczba jest równa = 0 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 0 P( ) = = = = Ω Strona 7 z 0
18 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80 sposób Zdarzeniem elementarnym jest zbiór dwuelementowy { x, y } dwóch różnych liczb ze zbioru { 0,,,,99 }, który zawiera 90 liczb Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 90 ( ) 90! Ω= = = = 4005 Wszystkie zdarzenia elementarne są równo 88!! prawdopodobne Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym Niech oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest 30 Zatem zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: 4,6 { 0, 0 }, {,9 }, {,8 }, { 3,7 }, { } ch liczba jest równa = 5 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe 5 P( ) = = = = Ω Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80 sposób Rysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjających zdarzeniu (polegającemu na tym, że suma wylosowanych liczb będzie równa 30) Strona 8 z 0
19 Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe P( ) = 0 = = Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy dwie różne liczby dwucyfrowe, których suma jest równa 30 jest równe 80 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania p Zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu : ( 0, 0 ), ( ) (,8 ) ( 3,7 ) ( 4,6 ) ( 6,4) ( 7,3 ), ( 8, ), ( 9, ), ( 0,0),9,,,,, { 0, 0 } {,9 } {,8 } { 3,7 } { } lub,,,, 4,6, zapisze, że =0 lub = 5, narysuje drzewo ilustrujące przebieg doświadczenia (na rysunku muszą wystąpić wszystkie istotne gałęzie) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu : ( 0, 0 ), ( ) (,8 ) ( 3,7 ) ( 4,6 ) ( 6,4) ( 7,3 ), ( 8, ), ( 9, ), ( 0,0),9,,,,, { 0, 0 } {,9 } {,8 } { 3,7 } { } lub,,,, 4,6 zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90 oraz zapisze, że =0 lub = 5, 90 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= lub Ω= ( ), lub Ω=, lub Ω= 4005, narysuje drzewo ze wszystkimi istotnymi gałęziami i zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich istotnych odcinkach jednego z etapów lub na jednej z istotnych gałęzi i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Strona 9 z 0
20 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= oraz zapisze, że = obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Ω= ( ) lub Ω=, lub Ω= 4005 oraz zapisze, że = 5, obliczy prawdopodobieństwo wzdłuż jednej istotnej gałęzi narysowanego drzewa: i na tym zakończy lub dalej popełni błędy Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P( ) = = Ω 80 Uwagi: Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, ale przy wyznaczaniu liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu pominie jedno zdarzenie elementarne lub popełni błąd przy zliczaniu poprawnie wypisanych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty Jeżeli zdający błędnie zapisze, że wszystkich liczb dwucyfrowych jest 89 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty 3 Jeżeli w rozwiązaniu występuje sprzeczność modeli probabilistycznych, to zdający może otrzymać, co najwyżej punkty 4 kceptujemy sytuacje, gdy zdający zamiast wypisywania zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu zapisze następujące sumy 0 + 0, + 9, + 8, 3+ 7, 4 + 6, 6 + 4, 7 + 3, 8 +, 9 +, (lub tylko 0 + 0, + 9, + 8, 3+ 7, ) 5 Jeżeli zdający zapisze, że wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych jest 90, ale przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, zapisuje sumę i na tym zakończy to otrzymuje punkt 6 Jeżeli zdający bez żadnych obliczeń poda tylko wynik, np, to otrzymuje za całe 80 rozwiązanie punkt Strona 0 z 0
MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy
LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoSPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 014 ( STR MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2017/2018 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 05 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki
Bardziej szczegółowoSponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoPORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ
PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,
Bardziej szczegółowoZakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki
ZAKRES PODSTAWOWY Zakres materiału obowiązujący do próbnej matury z matematyki 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne
PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas
WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE zakres podstawowy dla poszczególnych klas - klasy pierwsze kolor zielony + gimnazjum - klasy drugie kolor zielony + kolor czerwony + gimnazjum, - klasy maturalne cały materiał 1.
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoNowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)
IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoIV etap edukacyjny. Cele kształcenia wymagania ogólne
IV etap edukacyjny Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystywanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń używa prostych,
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017. MATEMATYKA POZIOM Podstawowy. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM Podstawowy Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp z oo Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 2c: wpisy oznaczone jako: (PI) PLANIMETRIA I, (SA) SUMY ALGEBRAICZNE, (FW) FUNKCJE WYMIERNE, (FWL) FUNKCJE
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka zakres podstawowy
MATeMAtyka zakres podstawowy Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h) 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne 1 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne 1 1.1, 1.2 3. Liczby niewymierne 1 1.3 4. Rozwinięcie
Bardziej szczegółowoKup książkę Poleć książkę Oceń książkę. Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność
Kup książkę Poleć książkę Oceń książkę Księgarnia internetowa Lubię to!» Nasza społeczność Spis treści WSTĘP 5 ROZDZIAŁ 1. Matematyka Europejczyka. Program nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych
Bardziej szczegółowoWykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego
Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań
MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane
Bardziej szczegółowoIII. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU
III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 2, ZAKRES PODSTAWOWY
1 Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań na oceny 2 Trygonometria Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym 3-4 Trygonometria Funkcje trygonometryczne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3
Bardziej szczegółowoPODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA
IV etap edukacyjny: liceum, technikum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoZAKRES PODSTAWOWY. Proponowany rozkład materiału kl. I (100 h)
ZAKRES PODSTAWOWY Proponowany rozkład materiału kl. I (00 h). Liczby rzeczywiste. Liczby naturalne. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy. Klasa I (60 h)
Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy (według podręczników z serii MATeMAtyka) Temat Klasa I (60 h) Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.
Bardziej szczegółowoZdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoPropozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum
LICZBY (20 godz.) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum Wg podręczników serii Prosto do matury KLASA I (60 godz.) 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 1 2. Wzory skróconego
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia
MATEMATYKA ZP Ramowy rozkład materiału na cały cykl kształcenia KLASA I (3 h w tygodniu x 32 tyg. = 96 h; reszta godzin do dyspozycji nauczyciela) 1. Liczby rzeczywiste Zbiory Liczby naturalne Liczby wymierne
Bardziej szczegółowoStandardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010
Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub
Bardziej szczegółowoWymagania z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14
z wiedzy i umiejętności na poszczególne stopnie szkolne z matematyki w Zasadniczej Szkole Zawodowej nr 14 Liczby rzeczywiste Wiadomości i umiejętności rozpoznać liczby naturalne w tym pierwsze i złożone,
Bardziej szczegółowoOpis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.)
Opis założonych osiągnięć ucznia klasy ZSZ (od 2012r.) Zastosowanie przez nauczyciela wcześniej opisanych metod nauczania, form pracy i środków dydaktycznych oraz korzystanie z niniejszego programu nauczania
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 3. Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania kl. 3 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Reguła mnożenia reguła mnożenia ilustracja zbioru wyników doświadczenia za
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 MATEMATYKA
EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 08/09 MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 09 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej
Bardziej szczegółowoMINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1
MINIMUM PROGRAMOWE DLA SŁUCHACZY CKU NR 1 Rozkład materiału nauczania wraz z celami kształcenia oraz osiągnięciami dla słuchaczy CKU Nr 1 ze specyficznymi potrzebami edukacyjnymi ( z podziałem na semestry
Bardziej szczegółowoProgram zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę
Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego.
WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I Pogrubieniem oznaczono wymagania, które wykraczają poza podstawę programową dla zakresu podstawowego. 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych,
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki klasa I i II ZSZ 2013/2014
I. Liczby rzeczywiste K-2 P-3 R-4 D-5 W-6 Rozpoznaje liczby: naturalne (pierwsze i złożone),całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste Stosuje cechy podzielności liczb przez 2, 3,5, 9 Podaje dzielniki
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony. Wiadomości i umiejętności
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY CZWARTEJ H. zakres rozszerzony Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. Stopień Wiadomości i umiejętności -definiować potęgę
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:
MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C
Bardziej szczegółowoRozkład materiału KLASA I
I. Liczby (20 godz.) Rozkład materiału Wg podręczników serii Prosto do matury. Zakres podstawowy KLASA I 1. Zapis dziesiętny liczby rzeczywistej 1 1.1 2. Wzory skróconego mnoŝenia 3 2.1 3. Nierówności
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej
MATEMATYKA poziom rozszerzony Cele kształcenia wymagania ogólne wymienione w podstawie programowej ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowo1. LICZBY RZECZYWISTE. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli:
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE POZIOM PODSTAWOWY KLASA 1 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady
Bardziej szczegółowoProjekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)
Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA. kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ. w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego« Adam Kolany.
MATEMATYKA kurs uzupełniający dla studentów 1. roku PWSZ w ramach»europejskiego Funduszu Socjalnego«Adam Kolany rozkład materiału Projekt finansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu
Bardziej szczegółowoEGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZE: GM-MX1, GM-M2, GM-M4, GM-M5 KWIECIEŃ 2018 Zadanie 1. (0 1) I. Wykorzystanie i
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Klasa pierwsza A, B, C, D, E, G, H zakres podstawowy. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: podaje
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA
entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI 2016/2017 (zakres podstawowy) klasa 3abc 1, Ciągi zna definicję ciągu (ciągu liczbowego); potrafi wyznaczyć dowolny wyraz ciągu liczbowego określonego wzorem ogólnym;
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoSpis treści. Zadania z rozwiązaniem krok po kroku Arkusz maturalny przykładowy zestaw zadań Odpowiedzi do zadań Indeks...
Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5. Pierwiastki, liczby niewymierne... 11 3. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 15 4. Wyrażenia
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji
Bardziej szczegółowoOdpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych
Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż
Bardziej szczegółowo