Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Transkrypt

1 Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp C C B A C D C B D A D SCHEMAT OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH Zadanie 24. (0-2) W trójkącie równobocznym ABC punkt D dzieli bok AC w stosunku AD : DC = 2: 3. Oblicz tangens kąta ABD. Wyznaczenie długości jednego z odcinków DE albo BE : DE = x 3, BE = 4x Rozwiązanie pełne... 2 p. Obliczenie tangensa kąta ABD: tg ABD = 3 4 1

2 Zadanie 25. (0-2) Rozwiąż nierówność(x 2)(x 4) 4(x + 4) + 3. Doprowadzenie nierówności do postaci x 2 10x 11 0 i obliczenie miejsc zerowych: x 1 = 1, x 2 = 11 Podanie zbioru rozwiązań nierówności x (, 1 > < 11, ). Zadanie 26. (0-2) Dane są trzy okręgi o 1, o 2 i o 3. Okręgi o 1, o 2 są styczne zewnętrznie, jednocześnie są styczne wewnętrznie do okręgu o 3 (patrz rysunek). Wiedząc, że promienie okręgówo 1 i o 2 są odpowiednio równe r 1 i r 2, a środki wszystkich trzech okręgów leżą na jednej prostej, uzasadnij, że długość odcinka EF jest równa4 r 1 r 2,gdzie odcinek EF jest cięciwą okręgu o 3 i zawiera się w wspólnej stycznej okręgów o 1 i o 2. Oznaczmy: A-punkt styczności okręgu o 1 z okręgiemo 3, B-punkt styczności okręgu o 2 z okręgiem o 3, S-punkt styczności okręgu o 1 z okręgiemo 2 2

3 albo Zauważenie, że ES jest wysokością trójkąta prostokątnego ABE i zapisanie: ES 2 = AS SB Zauważenie, że trójkąty ASE i ESB są podobne i zapisanie: AS SE = SE SB Obliczenie długości odcinka EF i stwierdzenie końca dowodu. Zadanie 27. (0-2) Różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-3), a szósty wyraz jest równy Oblicz S Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i obliczeniea 1 : a 1 = 3027 Zastosowanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczenies 2017 : S 2017 = 6051 Zadanie 28. (0-2) Wykaż, że suma trzech kolejnych potęg liczby 2 o wykładnikach całkowitych dodatnich jest podzielna przez 14. Zapisanie sumy w postaci 2 n + 2 n n+2 = 2 n ( ) Stwierdzenie, że dana suma jest podzielna przez 14, bo jest iloczynem liczby parzystej 2 n i liczby 7 Zadanie 29. (0-2) Przekątna ACczworokąta ABCDzawiera się w prostej o równaniu x 2y 7 = 0. Wierzchołki B, D tego czworokąta mają współrzędne B = (8; 6), D = ( 3; 5). Oblicz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych czworokąta ABCD. 3

4 Wyznaczenie równania prostej BD: y = x + 2 Rozwiązanie pełne... 2 p. Obliczenie współrzędnych punktu przecięcia prostych: ( 11 3 ; 5 3 ) Zadanie 30. (0-2) Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}losujemy kolejno dwie liczby bez zwracania i od pierwszej wylosowanej liczby odejmujemy drugą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że różnica tych liczb jest większa od 2? Rozwiązanie, w którym jest postęp... 1 p. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających zdarzeniu losowemu (lub wypisanie zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu losowemu ): A =28 Rozwiązanie pełne p. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia: P(A) = 28 = Zadanie 31. (0-4) Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego, w którym podstawy mają długości 13 cm i 22 cm, a tangens kąta ostrego jest równy Obliczenie długości wysokości trapezu: h = 12 cm Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... 2 p. Obliczenie długości ramienia trapezu: c = 15 cm Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. albo Obliczenie obwodu trapezu O = 62 cm Obliczenie pola trapezu P = 210 cm 2. Rozwiązanie pełne.4 p. Obliczenie obwodu trapezu O = 62 cm i obliczenie pola trapezu P = 210 cm 2. 4

5 Zadanie 32. (0-5) W ciągu geometrycznym (a n ) dane są iloraz q = 1 oraz suma 2 a 12 + a a 24 = 7 (213 +1). Oblicz x, dla którego ciąg (a , x a 6, a 8 ) jest ciągiem arytmetycznym. albo Zauważenie, że podana suma jest równa: S 24 S 11 Zauważenie, że podana suma jest sumą 13 wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym a 12 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... 2 p. Obliczenie a 1 : a 1 = 7 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Obliczeniea 4, a 6, a 8 : a 4 = 7 8, a 6 = 7 32 ; a 8 = Rozwiązanie zadania prawie do końca, albo rozwiązanie do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe).. 4 p. Zastosowanie definicji ciągu arytmetycznego i zapisanie: x a 6 a 4 = a 8 x + a 6 Rozwiązanie pełne. 5 p. Obliczenie x: x = Zadanie 33. (0-4) Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 96, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt, którego cosinus jest równy 3 9. Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa. x Zapisanie zależności wynikających z treści zadania: 3a + 3b = 96 oraz = 3, b 9 gdzie a długość krawędzi podstawy, b długość krawędzi bocznej,x długość odcinka stanowiącego 2 wysokości podstawy ostrosłupa. 3 5

6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... 2 p. Zapisanie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi: a + b = 32 { b = 3a Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 p. Obliczenie długości krawędzi ostrosłupa: a = 8 i b = 24. Rozwiązanie pełne.4 p. Obliczenie pola powierzchni bocznej ostrosłupa: P =