MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY"

Transkrypt

1 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0

2 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad Odp A A B B C B B D A D C D B D C C C B D C C D D A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6 (0 ) Rozwiąż nierówność x x 0 Rozwiązanie b b Ze wzorów x, x na pierwiastki trójmianu kwadratowego a a otrzymujemy: x, x 7 Szkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku dołowi i zaznaczamy na osi argumentów jej miejsca zerowe Odczytujemy zbiór rozwiązań: x, 7, Schemat oceniania Zdający otrzymuje p gdy: prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy rozłoży trójmian kwadratowy x x na czynniki liniowe i zapisze nierówność x 7 x 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np x 7, x, x,7,

3 doprowadzi nierówność do postaci 8 x 0 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy 9 x (na przykład z postaci Zdający otrzymuje p gdy poda odpowiedź w postaci: x, 7, x 7 lub x x 7, x w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów 3 Zadanie 7 (0 ) Rozwiąż równanie 3 x 6x x 66 0 Rozwiązanie I sposób (grupowanie wyrazów) Stosując metodę grupowania otrzymujemy: x x 6 x 6 0 x x 6 x 0, stąd x x x 6 lub x, lub x 6 0, zatem Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p x 6 x 0 i na gdy doprowadzi lewą stronę równania do postaci iloczynowej, np: tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy poda rozwiązanie x 6 lub x, lub x Uwaga Zdający może od razu zapisać rozkład na czynniki Jeśli na tym poprzestanie lub błędnie poda rozwiązanie równania to otrzymuje punkt Rozwiązanie II sposób (dzielenie) 3 Sprawdzamy, że W(6) , więc jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x 6 Dzielimy wielomian przez dwumian x 6 i otrzymujemy x Mamy więc równanie x 6 x 0, a stąd otrzymujemy x 6 lub x, lub x postaci

4 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x 6, otrzyma iloraz x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy poda rozwiązanie x 6 lub x, lub x Uwaga Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej punkt Zadanie 8 (0 ) Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez Rozwiązanie I sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest liczbą naturalną Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: n n n 8n 8n n n 88n 8n 96n n n n n n n l Liczba postaci l, gdzie l jest liczb naturalną jest podzielna przez Uwaga Zdający może zapisać trzy kolejne liczby naturalne parzyste w innej postaci, np: n, n, n 6, gdzie n jest liczbą naturalną Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n 3 n 3 n 3 n 3 3n n 3 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie II sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest liczbą naturalną Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: n 3 n n n 3 n n n n n n n n 8 n n n

5 Liczba postaci l, gdzie l jest liczb naturalną jest podzielna przez Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n 3 n 3 n 3 n 3 3n n 3 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie III sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest parzystą liczbą środkową i n Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: n n n n 6n n 8 n n 6n n 8 3n n n jest liczbą parzystą, stąd Zatem liczba 3 n jest podzielne przez 8 3 3n jest podzielna przez Schemat oceniania III sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n n n 3n n Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie IV sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest liczbą naturalną Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: n n n 8 n n n 3 n 3 n n n 3 n 3 n n n 3 nn 3 n Liczba postaci l, gdzie l jest liczb naturalną jest podzielna przez Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n 3 n 3 n 3 n 3 n

6 6 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Zadanie 9 (0 ) Kąt jest ostry oraz Oblicz wartość wyrażenia sin cos sin cos Rozwiązanie I sposób Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika i otrzymujemy sin cos sin cos Korzystając z tożsamości sin cos, otrzymujemy sin cos sin cos, a stąd sin cos, a zatem sincos (kąt jest ostry) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy: sprowadzi wyrażenie do wspólnego mianownika i na tym sin cos poprzestanie lub dalej popełnia błędy sin cos sin cos i na tym doprowadzi wyrażenie do postaci poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy, że sincos Rozwiązanie II sposób Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych przez a i b a b oraz zaznaczamy kąt ostry taki, że sin lub cos c c a c b

7 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c a b c c c a b Ponieważ, więc, czyli Stąd sin cos a b ab cc ab a b Ponieważ sin i cos, to sin cos Zatem sincos (kąt c c jest ostry) 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie kąt i zapisze: a b cc sin, cos i i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy c c ab a b sin, cos i c c a b i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy c c Zdający otrzymuje p gdy obliczy, że sincos Zadanie 30 (0 ) Dany jest trójkąt ABC, w którym AC odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość CD BC Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano CE Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek) Wykaż, że BAC ABC AFD C D E A B F

8 8 Rozwiązanie I sposób Niech BAC, ABC i AFD Ponieważ ABC, stąd FBE 80 (z własności kątów przyległych) BEF (z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie BEF) Ponieważ BEF, więc CED (z własności kątów wierzchołkowych) W trójkącie CDE, mamy CD CE, zatem CDE DCE ACB (z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie DCE) BAC ABC ACB 80, stąd (z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie DCE) Zatem Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach BEF i CDE, np: BEF i DCE 80 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie np: zapisze że DCE ACB i BAC ABC ACB 80, stąd Rozwiązanie II sposób Niech BAC, ABC, AFD i CDE Trójkąt CDE jest równoramienny, stąd CDE CED Ponieważ CED, stąd BEF (z własności kątów wierzchołkowych) Zatem ( ABC jest kątem zewnętrznym trójkąta BEF) Stąd Ponieważ CDE, stąd ADE 80 (z własności kątów przyległych) Podobnie CED, stąd BED 80 (z własności kątów przyległych) BAC ABC BED ADE 360 (z sumy miar kątów wewnętrznych w czworokącie ABED), stąd Zatem Z powyższych rozważań mamy i, stąd

9 9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkącie CDE i czworokącie ABED, np: CDE CED i Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie np: zapisze że i, stąd Zadanie 3 (0 ) n Dany jest ciąg arytmetyczny a określony dla n, w którym a oraz a0 7 Oblicz pierwszy wyraz a i różnicę r tego ciągu Rozwiązanie Wykorzystując wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego zapisujemy piąty i dziesiąty wyraz tego ciągu w zależności od wyrazu pierwszego a i różnicy r : a a r i a0 a 9r Zapisujemy układ równań, np: a r a 9r 7 Obliczamy pierwszy wyraz ciągu a i różnicę r : a i r Schemat oceniania gdy zapisze układ równań z niewiadomymi a i r: popełni błędy a r i na tym zakończy lub dalej a 9r 7 Zdający otrzymuje p gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu a i różnicę r : a oraz r

10 0 Zadanie 3 (0 ) Miasta A i B są odległe o 0 km Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 7 minut dłuższym niż pani Lidia Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie była o 8 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B Rozwiązanie I sposób Przyjmujemy oznaczenia v i t odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pani Lidii Zapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pani Lidii: vt 0 Zapisujemy prędkość i czas jazdy dla pani Danuty: v 8, t vt 0 Zapisujemy układ równań, np v8t 0 Z pierwszego równania wyznaczamy 0 0 t v v t podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy 0 v 8 0 v Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np v 8v v 7, sprzeczne z zał v v 90(km/h) obliczamy prędkość drugiej pani v 8 7(km/h) 0 8 t 0 t Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np t t t, sprzeczne z zał t t (h) 8 obliczamy prędkość pani Lidii 0 v 90 (km/h) obliczamy prędkość drugiej pani v 8 7(km/h) Odp: Prędkości, z jakimi jechały panie, są równe: 90 km/h (pani Lidia) i 7 km/h (pani Danuta) Rozwiązanie II sposób Przyjmujemy oznaczenia v i t odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pani Danuty Zapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pani Danuty: vt 0

11 Zapisujemy prędkość i czas jazdy dla pana Lidii: v 8, t v8 t 0 Zapisujemy układ równań, np vt 0 Z drugiego równania wyznaczamy 0 0 t v v t podstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy 0 v 8 0 v Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np v 8v v 90, sprzeczne z zał v v 7(km/h) obliczamy prędkość pani Lidii v 8 90(km/h) 0 8 t 0 t Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np t t t, sprz z zał t 0 8 t 6 (h) 8 obliczamy prędkość pani Danuty 0 v 7 (km/h) 6 obliczamy prędkość pani Lidii v 8 90 (km/h) Odp: Prędkości, z jakimi jechały panie, są równe: 90 km/h (pani Lidia) i 7 km/h (pani Danuta) Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem dla jednej z pań oraz prędkości i czasu dla obu pań przy użyciu tych samych oznaczeń, np: dla pani Lidii vt 0, czas pani Danuty t, prędkość pani Danutyv 8 lub: dla pani Danuty vt 0, czas pani Lidii t, prędkość pani Lidii v 8 Uwaga Nie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować, że zdający poprawnie je stosuje

12 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t odpowiednio z prędkością i czasem dla vt 0 pani Lidii: v8t 0 Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t odpowiednio z prędkością i czasem dla v8 t 0 pani Danuty: vt 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 0 v 8 0 lub 0 8 t 0 v t lub Uwaga 0 8 t 0 t, lub v 0 8 0, v Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) p rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie drugiej prędkości rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkości obu pań obliczenie t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości obu pań Rozwiązanie pełne p Obliczenie prędkości obu pań: 90 km/h i 7 km/h Uwagi Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) jedną prędkość: 90 km/h lub 7 km/h, to otrzymuje 0 pkt Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) prędkości obu pań: 90 km/h i 7 km/h, to otrzymuje pkt 3 Jeżeli zdający pokonał zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki, to może otrzymać pkt za całe rozwiązanie

13 Zadanie 33 (0 ) 3 Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 6 Oblicz objętość tego ostrosłupa S Rozwiązanie A D O S B C D C O E A Niech ES h, AB a, a OE, SO H B

14 Podany tangens kąta to stosunek SO OE Zatem H 6 a Trójkąt SOE jest prostokątny Zatem H a Rozwiążemy układ równań a H a H ) Obliczamy z pierwszego równania H: H 6a, czyli 6 H a ) Podstawiamy wyznaczoną wartość do równania stopnia drugiego i otrzymujemy równanie: 8 00 a 3) Obliczamy a (długość krawędzi podstawy): a 0 ) Obliczamy H (wysokość ostrosłupa): H 8 6 ) Obliczamy objętość ostrosłupa: V a H Objętość ostrosłupa jest równa: V 6 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy ostrosłupa a wysokością ostrosłupa, wynikającej z podanej wartości tangensa kąta nachylenia ściany bocznej do H 6 płaszczyzny podstawy: a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zapisanie dwóch zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy ostrosłupa a wysokością ostrosłupa, pozwalających na wyznaczenie obu tych wielkości:

15 H 6 a np zapisanie układu równań a H 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa: a 0 i H 8 6 Rozwiązanie pełne p Obliczenie objętości ostrosłupa: 300 V 6 3 Zadanie 3 (0 ) Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród:,, 3,, Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 0, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności I sposób rozwiązania (model klasyczny) Zdarzeniami elementarnymi są liczby ze zbioru M Możemy je utożsamiać z ciągami a, b, których wyrazami są liczby ze zbioru,,3,, Mamy do czynienia z modelem klasycznym Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest większa niż 0 i jej cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności Zdarzeniu temu sprzyjają zdarzenia elementarne a, b takie, a oraz a b Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A że,3,, jest równa A 3 6 Łatwo możemy tez zapisać wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, czyli A,3,,,,, 3,, 3,,, Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe 6 3 PA ( ) 0 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 0

16 6 opisze zdarzenie sprzyjające np w postaci a, b, gdzie,3,, a oraz a b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający b a,3,, oraz a b opisze zdarzenie sprzyjające np w postaci a,, gdzie i obliczy ich liczbę: A 6 obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 0 i opisze zdarzenie sprzyjające np w postaci a, b, gdzie a,3,, oraz a b,, zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu:,3,,, 3,, 3,,, Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 0 oraz opisze zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A, np w postaci b a,3,,, gdzie a b oraz obliczy ich liczbę: A 6 a, takie, że Rozwiązanie pełne pkt 3 Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ) 0 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający wypisując zdarzenia sprzyjające opuści przez nieuwagę jedno z nich, ale z zapisu wynika, że rozumie istotę doświadczenia i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty 3 Jeżeli zdający wypisze wszystkie zdarzenia sprzyjające, ale popełni błąd przy ich zliczaniu to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty II sposób rozwiązania (metoda drzewa) Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest większa niż 0 i jej cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności Sporządźmy drzewko ilustrujące nasze doświadczenie losowe Drzewko ograniczymy tylko do jego istotnych gałęzi Prawdopodobieństwo na kolejnych odcinkach tego drzewa jest równe odpowiednio oraz Zaznaczmy te gałęzie drzewka, które odpowiadają zajściu zdarzenia A 3 3

17 Korzystając ze sporządzonego drzewa obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A 3 PA ( ) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający narysuje drzewo ilustrujące losowanie kolejno dwóch różnych cyfr ze zbioru M i przynajmniej na jednym odcinku gałęzi zapisze prawdopodobieństwo Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający narysuje drzewo z istotnymi gałęziami i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa narysuje drzewo z wybranymi istotnymi gałęziami, z którego będzie wynikało, że rozumie istotę doświadczenia i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Zdający narysuje drzewo z istotnymi gałęziami, przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa i zaznaczy zdarzenia sprzyjające narysuje drzewo z wybranymi istotnymi gałęziami, z którego będzie wynikało, że rozumie istotę doświadczenia i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa i zaznaczy zdarzenia sprzyjające Rozwiązanie pełne pkt 3 Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ) 0 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę jedną gałąź (z rysunku będzie wynikało, że rozumie istotę doświadczenia) i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty 3 Jeżeli zdający narysuje wszystkie istotne gałęzie, ale popełni błąd przy ich zliczaniu i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI Instrukcja dla zdającego

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja Instrukcja dla zdającego EGZMIN MTURLNY Z

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy LUTY 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 04 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla piszącego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 6 stron.. W zadaniach od. do

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 017 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D.

W(x) = Stopień wielomianu jest równy: A. B. C. D. A. B. C. D. Zadanie 9. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Dane są wielomiany: x, P(x) = x 3 + x, Q(x) = (1 x)(x + 1) W(x) = 1 W(x) P(x) Q(x). Stopień wielomianu jest równy: 3 6 7 1 Zadanie 10. (1 pkt.) (Czerwiec 014) Pierwsza

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI P-1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut Za rozwiązanie wszystkich zadań można uzyskać łącznie 50 punktów BRUDNOPIS Zadanie 1. (1 pkt) ZADANIA ZAMKNIĘTE

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum)

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum) Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. WPISUJE UCZEŃ KOD PESEL PRZEDMATURALNA DIAGNOZA KSZTAŁTUJĄCA Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 018 (dla klas trzecich liceum

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych Matura 2016

Propozycje rozwiązań zadań otwartych Matura 2016 Propozycje rozwiązań zadań otwartych Matura 2016 Zadanie 26 W tabeli przedstawiono roczne przyrosty wysokości pewnej sosny w ciągu sześciu kolejnych lat. Kolejne lata 1 2 3 4 5 6 Przyrost (w cm) 10 10

Bardziej szczegółowo

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM)

CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) CENTRALNA KOMISJA EGZAMINACYJNA Centralny Zespół Ekspertów Matematycznych (CZEM) O SCHEMATACH OCENIANIA ZADAŃ OTWARTYCH PRÓBNEJ MATURY Z MATEMATYKI przeprowadzonej 3 listopada 009 r. Projekt, w ramach

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL We współpracy PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 01 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo