Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Transkrypt

1 CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0. I sposób rozwiązania (obliczanie wyróżnika) rozwiązujemy nierówność x x30 0 obliczamy : obliczamy: x lub x rysujemy fragment wykresu funkcji f x x x 30 y x - zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: x, Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt obliczy prawidłowo pierwiastki trójmianu kwadratowego x lub x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności przekształci trójmian x x 30 x x i na tym poprzestanie lub do postaci błędnie rozwiąże nierówność przy poprawnie obliczonych pierwiastkach

2 Zestaw 0.9 popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego 3 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. x 4, x, 4 rozwiąże nierówność i odpowiedź poda w postaci x, x (brak spójnika oraz interpretacji geometrycznej) rozwiąże nierówność i odpowiedź poda w postaci x,, x, (brak spójnika oraz interpretacji geometrycznej) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i nie zapisze zbioru rozwiązań nierówności Zdający otrzymuje... pkt poda zbiór rozwiązań nierówności: x, sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. - - x II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) zapisujemy nierówność x x30 0 w postaci. np. x x 0 obliczamy: x, x na podstawie rozkładu na czynniki zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:, Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. x x i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe z jednym błędem, np. x x 0 i konsekwentnie rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje... pkt poda zbiór rozwiązań nierówności :, lub x, lub xix

3 Zestaw 0.9 sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. - - x III sposób rozwiązania (dopełnienie do kwadratu sumy) zapisujemy nierówność w postaci, np. x x x 0 4 x x 0 zapisujemy: x, x na podstawie rozkładu na czynniki zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:, Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze trójmian kwadratowy dopełniając do kwadratu sumy w postaci, np. x 4 i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje... pkt poda zbiór rozwiązań nierówności :, lub x, lub xix sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. - - x 3

4 Zestaw 0.9 IV sposób rozwiązania (wzory Viète a) zapisujemy xx i xx 30 zapisujemy : x, x narysujemy fragment wykresu funkcji f x x x 30 y x - podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x, Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt prawidłowo zapisze wzory Viète a: x x i x x 30 i obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności błędnie zapisze wzory Viète a: x x i x x 30 lub xx i xx 30 i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje... pkt zapisze zbiór rozwiązań nierówności :, lub x, lub xix sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. - - x 4

5 Zestaw 0.9 V sposób rozwiązania (koniunkcja dwóch nierówności liniowych lub modułu) zapisujemy nierówność w postaci, np. x lub x 4 zapisujemy nierówności: x i x obliczamy: xix zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności: x, Schemat oceniania V sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt zapisze nierówność kwadratową w postaci alternatywy dwóch nierówności liniowych: x i x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje... pkt zapisze zbiór rozwiązań nierówności :, lub x, lub xix sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. - - x. Przyznajemy punkty za rozwiązanie, w którym zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x, x i zapisze, np. x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków.. W związku z rozbieżnością w rozumieniu i używaniu spójników w języku potocznym i formalnym języku matematyki akceptujemy zapis, np. x, i x, Zadanie. ( pkt) 3 Rozwiąż równanie x x x0 0. I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynowej stosując metodę grupowania wyrazów x x 0 Stąd x lub x lub x.

6 Zestaw 0.9 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy pogrupuje wyrazy do postaci, z której łatwo można doprowadzić do postaci iloczynowej, np. x x x 0 lub xx x 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x, x. II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu. Dzielimy wielomian x 3 x x 0 przez dwumian x i otrzymujemy x. Zapisujemy równanie x x 0. Stąd x lub x lub x. w postaci Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy podzieli wielomian x 3 x x 0 przez dwumian x otrzymując x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x, x. Jeśli zdający wykonał dzielenie przez dwumian x p nie zapisując, że p jest jednym 3 z rozwiązań równania x x x0 0 i w końcowej odpowiedzi pominie pierwiastek p podając tylko pierwiastki trójmianu kwadratowego, to przyznajemy punkty. Zadanie 8. ( pkt) Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o cm i od drugiej przyprostokątnej o 3 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Rozwiązanie Niech x oznacza długość przeciwprostokątnej. Z tw. Pitagorasa otrzymujemy równanie 3 x x x i x 3 Po przekształceniach otrzymujemy równanie x x0 0 x - sprzeczne z założeniem x 4 Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 4 cm, jedna przyprostokątna ma długość 9 cm a druga ma długość 40 cm.

7 Zestaw 0.9 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt prawidłowo zinterpretuje warunki zadania i korzystając z tw. Pitagorasa zapisze równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, np.: c c 0 0, gdzie c jest długością przeciwprostokątnej i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże otrzymane równanie a 4a90 0, gdzie a jest długością dłuższej przyprostokątnej i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże otrzymane równanie b b3 0, gdzie b jest długością krótszej przyprostokątnej i na tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże otrzymane równanie poprawnie rozwiąże równanie i na tym poprzestanie (nie obliczy długości boków tego trójkąta) Zdający otrzymuje... pkt gdy poda poprawne rozwiązanie: jedna przyprostokątna ma długość 9 cm, druga ma długość 40 cm, a przeciwprostokątna ma długość 4 cm. Zadanie 9. ( pkt) Dany jest prostokąt CD. Okręgi o średnicach i D przecinają się w punktach i P (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty, P i D leżą na jednej prostej. D P C

8 Zestaw 0.9 I sposób rozwiązania D P C Łączymy punkt P z punktami, i D. Kąt PD jest oparty na półokręgu, więc PD 90. Podobnie kąt P jest oparty na półokręgu, więc P 90. Zatem DP PD P Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że PD P 90 i na tym poprzestanie Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że PD P 90 i stąd wywnioskuje, że punkty, P i D są współliniowe. II sposób rozwiązania (jednokładność) D C P O R S Niech O i S będą środkami obu okręgów i R będzie punktem przecięcia odcinków P i OS. Wtedy punkty D, P i są obrazami punktów współliniowych O, R, S w jednokładności o środku i skali, więc są współliniowe. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zauważy, że punkty D, P i są obrazami punktów współliniowych O, R, S w jednokładności o środku i skali, więc są współliniowe. 8

9 Zestaw 0.9 III sposób rozwiązania (metoda analityczna) D C P b a Umieszczamy okręgi w układzie współrzędnych tak, jak na rysunku. Zapisujemy układ równań (równania okręgów): x a y a x yb b Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy współrzędne punktu P ab a b P, a b a b x y Równanie prostej D:. a b Współrzędne punktu P spełniają to równanie. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt x a y a gdy zapisze układ równań: i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy x yb b Zdający otrzymuje... pkt gdy wykaże, że punkt P leży na prostej D. 9

10 Zestaw 0.9 Zadanie 30. ( pkt) Uzasadnij, że jeśli a b c d ac bd, to ad bc. Rozwiązanie Po otwarciu nawiasów otrzymujemy ac ad bc bd ac abcd bd ad abcdbc 0 ad bc 0 ad bc Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy przekształci tezę do postaci ad bc abcd ac ad bc bd ad bc abcd ac abcd b d Zdający otrzymuje... pkt gdy doprowadzi tezę do postaci ad bc abcd ad bc 0 ad bc Jeżeli zdający podstawi konkretne wartości w miejsce a, b, c, d to przyznajemy 0 punktów. Zadanie 3. ( pkt) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w zapisie których pierwsza cyfra jest parzysta a pozostałe nieparzyste? Rozwiązanie W zapisie danej liczby na pierwszym miejscu może być jedna z cyfr:, 4,, 8, czyli mamy 4 możliwości. Na drugim miejscu może być jedna z cyfr:, 3,,, 9, czyli mamy 3 możliwości. Tak samo na trzecim i czwartym miejscu. Zatem mamy 4 00 takich liczb. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt poprawnie obliczy, ile jest możliwości występowania cyfry na pierwszym miejscu i dalej popełnia błąd lub na tym poprzestanie poprawnie obliczy, ile jest możliwości występowania cyfry na drugim, trzecim i czwartym miejscu a popełni błąd podając liczbę cyfr na pierwszym miejscu Zdający otrzymuje... pkt 3 poprawnie obliczy, ile jest szukanych liczb:

11 Zestaw 0.9 Jeżeli zdający zapisze, że cyfry są różne (błędnie interpretując treść zadania) i poprawnie obliczy, ile jest szukanych liczb: to otrzymuje punkty. Zadanie 3. (4 pkt) Z pojemnika, w którym jest siedem kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi,, 3, 4,,,, losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kule oznaczone liczbami, z których pierwsza będzie mniejsza od 4 i druga będzie parzysta. Metoda I (klasyczna definicja prawdopodobieństwa): Przyjmujemy, że zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych to zbiór par x, y różnych liczb naturalnych od do. Mamy model klasyczny. 4,,,4,,,,4,,, 3,, 3,4, 3,, 8 i w efekcie P Schemat oceniania Istotny postęp... pkt Punkt przyznajemy, gdy zdający napisze 4 i na tym zakończy. Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Zapisanie liczb zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu : 8 Jeżeli zdający wypisze bezbłędnie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu, ale błędnie zapisze ich liczbę, to otrzymuje pkt. Rozwiązanie bezbłędne...4 pkt Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia : 4 P 8 4 Metoda II (metoda drzewa): Przedstawmy drzewo, w którym na pierwszym poziomie jest numer pierwszej z wylosowanych kul, a na drugim numer drugiej. 4 P 8 4 4

12 Zestaw 0.9 Schemat oceniania Istotny postęp... pkt Narysowanie pełnego drzewa drzewa niepełnego, ale w którym są wszystkie istotne gałęzie. Uwagi:. Oceniamy rozwiązanie na 0 punktów, gdy w dalszej części rozwiązania zdający dodaje prawdopodobieństwa wzdłuż gałęzi zamiast mnożyć.. Jeżeli zdający opisał prawdopodobieństwa tylko na istotnych gałęziach, to kwalifikujemy to do kategorii pokonanie zasadniczych trudności zadania. 3. Jeżeli rozwiązujący popełni błąd rachunkowy lub nieuwagi i na tym zakończy, to otrzymuje 3 pkt. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... 3 pkt Wskazanie na drzewie właściwych gałęzi (np. pogrubienie gałęzi lub zapisanie prawdopodobieństw tylko na istotnych gałęziach, podkreślenie istotnych gałęzi). Jeżeli rozwiązujący nie wskazuje na drzewie odpowiednich gałęzi, ale z dalszych obliczeń można wywnioskować, że wybiera właściwe gałęzie Rozwiązanie bezbłędne... 4 pkt. Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia : 4 P Metoda III (tabela) Rozwiązanie. Narysowanie tabeli x i usunięcie przekątnej. W tabeli zostały 4 istotne pola. Zaznaczenie pól sprzyjających zdarzeniu i obliczenie prawdopodobieństwa. Schemat taki jak w metodzie I. Zadanie 33. (4 pkt) Podstawą ostrosłupa CDE jest prostokąt CD. Krawędź E jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz długość krawędzi EC, jeśli wiadomo, że E, E, DE 9. E D C

13 Zestaw 0.9 Rozwiązanie Rozwiązanie zadania składa się z następujących etapów: obliczenie 448 obliczenie D 4 obliczenie C 493 obliczenie EC 9, EC 3 Za poprawne rozwiązanie każdego etapu zdający otrzymuje punkt. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Obliczenie C D 4 lub CD 448 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zauważenie, że EC 90 lub EDC 90 Wystarczy, że zdający zaznaczy kąt prosty na rysunku lub zastosuje poprawnie tw. Pitagorasa w trójkącie EC lub DCE. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 3 pkt Rozwiązanie bezbłędne... 4 pkt Obliczenie EC 3 Jeśli zdający zauważył tylko, że EC 90 lub CDE 90 to otrzymuje punkt Zadanie 34. ( pkt) Droga z miasta do miasta ma długość 44 km. Z każdego miasta wyrusza samochód jadący do drugiego miasta. Samochód jadący z miasta do miasta wyrusza godzinę później niż drugi samochód. Samochody te spotykają się w odległości 300 km od miasta. Do chwili spotkania średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta była o km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu. Oblicz średnie prędkości obu samochodów do chwili spotkania. Rozwiązanie Niech v oznacza średnią prędkość samochodu, który wyjechał z i niech t oznacza czas od chwili wyjazdu tego samochodu do chwili spotkania. Zapisujemy układ równań vt 300 vt4 Przekształcając drugie równanie przy warunku vt 300 otrzymujemy v43 t Otrzymaną wartość v podstawiamy do pierwszego równania i otrzymujemy t 43t300 0 Rozwiązaniami tego równania są liczby t i t 4 3

14 Zestaw 0.9 Stąd v 8, v Odpowiedź: Pierwsze rozwiązanie v km/h, v 8 km/h Drugie rozwiązanie v 8 km/h, v km/h Możemy otrzymać inne równania kwadratowe: t 09t 4 0 lub v 09v 98 0 lub v 43v 00 0 Schemat oceniania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t i s oznaczających odpowiednio, prędkość, czas i drogę. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Obliczenie, jaką drogę do chwili spotkania pokonał samochód jadący z miasta : 4 km Zapisanie równania: v t 4 lub v t 300. Przyznajemy 0 pkt, jeżeli zdający napisze tylko równanie v t 300 lub v t 4 lub odpowiednio napisze, że v t 4 lub v t 300. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zapisanie układu równań np. v t 4 vt 4 lub vt 300 v t 300 Pokonanie zasadniczych trudności zadania...3 pkt Sprowadzenie do równania wymiernego z jedną niewiadomą v lub t lub v lub t, np. 4 t 300 t lub 4 v 300 v lub 300 t 4 t lub 300 v 4 v Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t prędkości samochodu jadącego z miasta 3 h, t 3 h i nieobliczenie 4

15 Zestaw 0.9 rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie: t 4 h, t 4 h i nieobliczenie prędkości samochodu jadącego z miasta obliczenie t lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości rozwiązanie równania kwadratowego i przyjęcie tylko jednego rozwiązania lub prędkości tylko jednego samochodu. Rozwiązanie bezbłędne... pkt v 8 km/h v km/h Obliczenie szukanych prędkości: lub v km/h v 8 km/h Zdający otrzymuje punktów tylko w przypadku, jeżeli prawidłowo przyporządkuje prędkości.