MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY"

Transkrypt

1 EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017

2 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Nr zad Odp C C B D D D C B B D C C C B B B D D Ogólne zasady oceniania zadań otwartych Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania Zadanie 6 (0 ) Rozwiąż nierówność x x Przykładowe rozwiązanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap rozwiązania polega na wyznaczeniu pierwiastków trójmianu kwadratowego x + x 6 Na przykład obliczamy wyróżnik tego trójmianu, a następnie stosujemy wzory na pierwiastki: Δ = 7, x1 = =, x = = 4 4 Drugi etap rozwiązania polega na wyznaczeniu zbioru rozwiązań nierówności x + x 6 0 Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: x lub, lub x,, np f x = x + x 6 odczytując go ze szkicu wykresu funkcji ( ) x Schemat punktowania Zdający otrzymuje 1 p gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x 1 =, x = i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności, Strona z 0

3 f x = x + x 6 o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji ( ) i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność Zdający otrzymuje p gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności: x lub, lub x, poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów Uwagi 1 Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to oznacza, że nie podjął realizacji 1 etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Jeśli zdający wyznacza ujemną deltę trójmianu kwadratowego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 1 kceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu x 1 =, x = i zapisze, np x,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci x,, to przyznajemy punkty x Strona z 0

4 Zadanie 7 (0 ) Rozwiąż równanie ( x )( x ) 6 + = 0 Przykładowe rozwiązanie Lewa strona równania jest iloczynem dwóch czynników x 6 oraz x + Zatem iloczyn ten jest równy 0, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0, czyli x 6= 0 lub x + = 0 Rozwiązaniem równania x + = 0 jest x = Rozwiązania równania x 6= 0możemy wyznaczyć, korzystając: z postaci iloczynowej trójmianu x 6 (wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów) ( x )( x ) = 0, stąd x = 6 lub x = 6 ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego: Δ = 4, x1 = = 6, x = = 6, z własności wartości bezwzględnej, przekształcając najpierw równanie do postaci równoważnej x = 6, skąd x = 6 lub x = 6 Zatem wszystkie rozwiązania równania to: x = lub x = 6, lub x = 6 Schemat punktowania Zdający otrzymuje 1 p gdy: zapisze dwa równania: x 6= 0 lub x + = 0 (wystarczy, że z rozwiązania wynika, że zdający wyznacza pierwiastki każdego z wielomianów: x 6 oraz x + ) zapisze rozwiązanie x =, wyznaczy dwa pierwiastki wielomianu i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy x 6, Zdający otrzymuje p gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x = lub x = 6, lub x = 6 Uwagi 1 Jeżeli zdający zapisuje zamiast znaku = znak i zamieszcza zapisy typu: x 6 0 lub x + 0, to oznacza, że podejmuje próbę wyznaczenia miejsc zerowych dwóch wielomianów i otrzymuje przynajmniej 1 punkt Strona 4 z 0

5 Jeżeli zdający nie zapisuje warunku x 6 = 0, ale pisze od razu błędną postać iloczynową x 6, np (x )(x ) = 0, (x 6)(x + 6) = 0, i nie wyznacza poprawnie miejsca zerowego drugiego wielomianu, to otrzymuje 0 punktów Zadanie 8 (0 ) Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 1 4x + 4 x Przykładowe rozwiązanie I sposób rozwiązania Dla dodatnich liczb x nierówność 4x + 1 x 4 jest równoważna kolejno nierównościom 4x + 1 4x, 4x 4x+ 1 0, ( x 1) 0 Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż lewa strona tej nierówności jest kwadratem liczby rzeczywistej To kończy dowód II sposób rozwiązania Dla dodatnich liczb x nierówność 4x + 1 x 4 jest równoważna kolejno nierównościom 4x 4+ 1 x 0, ( x 1 ) x 0 Ta nierówność jest prawdziwa, gdyż lewa strona tej nierówności jest kwadratem liczby rzeczywistej To kończy dowód III sposób rozwiązania Dla dodatnich liczb x nierówność 4x + 1 x 4 jest równoważna kolejno nierównościom 4x + 1 4x, 4x 4x+ 1 0 Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego 4x 4x + 1 jest równy Δ = ( 4) 4 1 4= 0 i współczynnik przy x jest dodatni, więc nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x To kończy dowód Uwaga Możemy też naszkicować wykres tego trójmianu y = 4x 4x+ 1 x IV sposób rozwiązania Z twierdzenia o średniej arytmetycznej i geometrycznej dla liczb dodatnich 4x i 1 x prawdziwa jest nierówność wynika, że Strona 5 z 0

6 4x + 1 x 4x 1 x = Stąd otrzymujemy 4x + 1 x 4 To kończy dowód Schemat punktowania Zdający otrzymuje 1 p gdy: przekształci poprawnie nierówność do postaci ( x 1) 0 przekształci poprawnie nierówność do postaci 1 ( ) x x 0, przekształci poprawnie nierówność do postaci 4x 4x+ 1 0 i obliczy wyróżnik trójmianu 4x 4x + 1: Δ = 0 obliczy pochodną funkcji f ( x) = 4x+ 1 x i wykaże, że dla x = 1 funkcja f osiąga minimum lokalne i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Uwaga Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych przypadków, to otrzymuje 0 punktów Strona 6 z 0

7 Zadanie 9 (0 ) Dany jest trójkąt prostokątny BC, w którym CB = 90 i BC = 60 Niech D oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka C kąta prostego i przeciwprostokątnej B tego trójkąta Wykaż, że D : DB = :1 Przykładowe rozwiązania I sposób rozwiązania Sporządzamy pomocniczy rysunek ilustrujący treść zadania B D C Ponieważ BC = 60, więc BC = 1 B Podobnie, ponieważ DBC = 60, więc DB = 1 BC Otrzymujemy zatem ciąg równości DB = 1 BC = ( B ) = B 4 Zatem D = 4 B Stąd wynika, że D : DB = B : 1 B = :1 4 4 To kończy dowód Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p gdy zauważy i zapisze, że BC = 1 B i DB = 1 BC i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie II sposób rozwiązania Sporządzamy pomocniczy rysunek ilustrujący treść zadania B D Z trójkątów prostokątnych DC i BDC otrzymujemy równości C Strona 7 z 0

8 CD CD tg0 = i tg 60 =, D DB czyli równości CD = D i CD = DB Porównujemy prawe strony obu równań i zapisujemy równanie D DB =, równoważne równaniu D DB = = Otrzymana równość oznacza tezę twierdzenia Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p gdy zauważy i zapisze, że CD = D i CD = DB i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie III sposób rozwiązania Sporządzamy pomocniczy rysunek ilustrujący treść zadania B D Niech C C = b Wtedy w trójkącie CD mamy: Ponadto, w trójkącie BC : Ponieważ DBC = 60, więc To kończy dowód b CD = i b D = b BC = b D b b DB = Zatem : 6 DB = 6 = Strona 8 z 0

9 Schemat punktowania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p gdy zapisze długość odcinków D i DB w zależności od długości odcinka C, np oznaczy C = b i zapisze długości odcinków D i DB w zależności od b : b D = i i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy b DB = 6 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie IV sposób rozwiązania Niech BC = a Ponieważ trójkąt BC jest połową trójkąta równobocznego, więc C = a B D a C C a Trójkąty DC i CDB są podobne, a skala ich podobieństwa jest równa = =, więc BC a PDC stosunek pól tych trójkątów jest kwadratem tej skali, czyli = ( ) = Te trójkąty mają PCDB wspólną wysokość CD, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw, P D DC czyli = = co kończy dowód P BD CDB Schemat punktowania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p gdy zapisze, że trójkąty DC i CDB są podobne, obliczy stosunek pól tych trójkątów i zapisze, że CD jest wspólną wysokością tych trójkątów i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie Uwagi 1 Jeżeli zdający sprawdzi prawdziwość tezy tylko dla konkretnych przypadków, to otrzymuje 0 punktów Uwaga ta nie dotyczy sytuacji, gdy zdający zapisuje stosowną własność: podobieństwo trójkątów o kątach 0, 60, 90 Strona 9 z 0

10 Jeżeli zdający ustali, że długości odcinków są równe: BD = x, BC = x, B = 4x lub BD = x, BC = x, D = x i nie towarzyszą tym ustaleniom zapisy świadczące o błędnym rozumowaniu, to może otrzymać punkty Jeżeli zdający przeprowadzi uzasadnienie, rozważając konkretne długości odcinków i zapisze, że ze względu na podobieństwo figur teza jest prawdziwa dla dowolnych długości boków, spełniających podane warunki, to może otrzymać punkty Zadanie 0 (0 ) Ze zbioru liczb { 14510,,,, } losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloraz pierwszej wylosowanej liczby przez drugą wylosowaną liczbę jest liczbą całkowitą Przykładowe rozwiązania I sposób rozwiązania ( metoda klasyczna ) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane ( x, y ) liczb ze zbioru { 1,, 4, 5,10 } Jest to model klasyczny Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa Ω= 55 = 5 Zdarzeniu sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: ( 1,1 ), (,1 ), ( 4,1 ), ( 5,1 ), ( 10,1 ), (, ), ( 4, ), ( 10, ), ( 4, 4 ), ( 5,5 ), ( 10,5 ), ( 10,10 ) Zatem 1 = i stąd ( ) 1 P = = = 0, 48 Ω 5 II sposób rozwiązania ( metoda tabeli ) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane ( x, y ) liczb ze zbioru { 1,, 4, 5,10 } Jest to model klasyczny Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu I losowanie II losowanie Strona 10 z 0

11 Symbolem oznaczono zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu Mamy więc 5, wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli Ω= 5, oraz 1 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, czyli 1 = Stąd ( ) 1 P = = = 0, 48 Ω 5 Schemat punktowania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych Ω= 5 przedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru lub wypisze wszystkie te zdarzenia elementarne: ( 1,1 ), (,1 ), ( 4,1 ), ( 5,1 ), ( 10,1 ), (, ), ( 4, ), ( 10, ), ( 4, 4 ), ( 5,5 ), ( 10,5 ), ( 10,10 ) i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : ( ) III sposób rozwiązania ( metoda drzewa ) Drzewo z istotnymi gałęziami I losowanie 1 P = = = 0, 48 Ω II losowanie P( ) = 1 = = 0, Strona 11 z 0

12 Schemat punktowania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje 1 p gdy narysuje drzewo uwzględniające wszystkie istotne gałęzie i zapisze poprawne prawdopodobieństwo przynajmniej przy jednej gałęzi Zdający otrzymuje p gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia : P( ) = 1 = = 0, Uwagi 1 Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P( ) > 1, to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo w sytuacji rozważania losowania bez zwracania i uzyska wynik 7, to może otrzymać 1 punkt 0 Jeżeli zdający przy opisie elementów zbioru zmienia kolejność liczb i pisze na przykład (1, ) zamiast (, 1), to może otrzymać punkty Zadanie 1 (0 ) Dany jest ciąg arytmetyczny ( a n ), określony dla n 1, w którym spełniona jest równość a1 + a4 + a7 + a0 = 100 Oblicz sumę a5 + a6 Przykładowe rozwiązanie Ponieważ w zadaniu należy obliczyć sumę a5 + a6, więc zapiszemy daną równość a1 + a4 + a7 + a0 = 100 w postaci równoważnej a5 4r+ a5 r+ a6 + r+ a6 + 4r = 100, gdzie r oznacza odpowiednio różnicę danego ciągu Stąd wynika, że a + a = Schemat punktowania Zdający otrzymuje 1 p gdy: zapisze równość a1 + a4 + a7 + a0 = 100 w postaci równoważnej a5 4r+ a5 r+ a6 + r+ a6 + 4r = 100 lub 4a1 + 98r = 100, lub a1 + 49r = 50 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy zapisze, że a5 + a6 = a1 + 4r+ a1 + 5r = a1 + 49r i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, Strona 1 z 0

13 popełni błąd rachunkowy w przekształcaniu równości a1 + a4 + a7 + a0 = 100 do postaci równoważnej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy sumę a5 + a6 Zdający otrzymuje p gdy obliczy i zapisze, że a5 + a6 = 50 Uwagi 1 Jeżeli zdający zapisze równość a1 + a4 + a7 + a0 = 100 w postaci równoważnej 4a1 + 98r = 100, a następnie wprowadzi konkretne wartości liczbowe do równania z dwiema niewiadomymi, np r = 1, i nawet poprawnie obliczy a5 + a6, to otrzymuje 1 punkt za takie rozwiązanie Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu geometrycznego, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów Jeżeli zdający rozważa wyłącznie konkretne ciągi i nie podaje stosownego uzasadnienia na temat zastosowania tych rozważań do sytuacji ogólnej, to otrzymuje 0 punktów 4 Jeżeli zdający zapisuje wyłącznie a5 + a6 = 50, to otrzymuje 0 punktów Zadanie (0 4) f x = ax + bx+ c ma dwa miejsca zerowe x 1 = i 6 Wykres Funkcja kwadratowa ( ) x = funkcji f przechodzi przez punkt = ( 1, 5) Oblicz najmniejszą wartość funkcji f Przykładowe rozwiązania I sposób rozwiązania Ponieważ znamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej, to możemy zapisać wzór funkcji f f x = a x 6 x+ w postaci iloczynowej ( ) ( )( ) Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt = ( 1, 5), więc otrzymujemy równanie 5 = a ( 1 6)( 1+ ), 5= 15a, a = 1 Funkcja określona jest wzorem: f ( x) = 1 ( x 6)( x+ ) Najmniejsza wartość jest przyjmowana przez funkcję f dla argumentu x 0, który jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych tej funkcji Wyznaczamy x 0 i najmniejszą wartość funkcji f ( x 0 ): x 6 0 = =, f ( x0 ) = f ( ) = 1 ( 6)( + ) = 16 Strona 1 z 0

14 II sposób rozwiązania Z treści zadania wynika, że możemy zapisać układ trzech równań: a ( ) + b ( ) + c = 0 a 6 + b 6 + c = 0 a 1 + b 1 + c = 5 Po rozwiązaniu układu równań otrzymujemy a = 1, b = 4 i c = 4 Stąd wynika, że funkcja f określona jest wzorem: f ( x) = 1 x 4 x 4 4 b Funkcja ta przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu x 0 = = = a 1 Obliczamy najmniejszą wartość funkcji: f ( ) = = 16 Uwaga Po obliczeniu współczynników a, b i c możemy najmniejszą wartość funkcji obliczyć ze wzoru q = 4 Δ a Wtedy otrzymujemy ( 4) 4 1 ( 4) fmin = = = Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p Zdający obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli: p = zapisze wzór funkcji f w postaci iloczynowej, z jednym nieznanym współczynnikiem: f ( x) = a( x 6)( x+ ), zapisze trzy równania, w których niewiadomymi są współczynniki a, b, c trójmianu kwadratowego: a + b + c = 0 ( ) ( ) a 6 + b 6+ c = 0 a 1 + b 1+ c = 5 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze wzór funkcji f w postaci iloczynowej, z jednym nieznanym współczynnikiem: f ( x) = a( x 6)( x+ ) i obliczy wartość a: a = 1 obliczy współczynniki trójmianu kwadratowego: a = 1, b = 4 i c = 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Strona 14 z 0

15 Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy współczynniki trójmianu kwadratowego: a = 1, b = 4 i c = 4 oraz obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli: p = obliczy współczynniki trójmianu kwadratowego: a = 1, b = 4 i c = 4 oraz zapisze, Δ że najmniejsza wartość funkcji jest równa oraz obliczy Δ= ( 4) 4 1 ( 4) 4a zapisze wzór funkcji f w postaci iloczynowej, z jednym nieznanym współczynnikiem: ( ) ( 6)( ) f x = a x x+ i obliczy wartość a: a = 1 oraz obliczy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli: p = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 4 p 16 Zdający obliczy najmniejszą wartość funkcji f: Uwagi 1 Jeżeli zdający popełni błędy (rachunkowe, w przepisywaniu), które nie przekreślają poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej punkty za takie rozwiązanie Jeżeli zdający przyjmuje konkretna wartość a > 0, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt Jeżeli zdający przy wyznaczaniu a popełnia błąd rachunkowy i otrzymuje a > 0, to może otrzymać co najwyżej punkty 4 Jeżeli zdający przy wyznaczaniu a popełnia błąd rachunkowy i otrzymuje a < 0, to może otrzymać co najwyżej punkty Strona 15 z 0

16 Zadanie (0 4) Punkt C = ( 0,0) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego BC, którego wierzchołek leży na osi Ox, a wierzchołek B na osi Oy układu współrzędnych Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C przecina przeciwprostokątną B w punkcie D =, 4 ( ) Oblicz współrzędne wierzchołków i B tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej B Przykładowe rozwiązania I sposób rozwiązania Współczynnik kierunkowy prostej CD jest równy yd yc acd = = = xd xc 0 Prosta B jest prostopadła do prostej CD, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy a B = 4 Prosta ta przechodzi przez punkt, więc jej równanie ma postać ( x ) y = + 4, 4 y = x Ponieważ prosta B przecina oś Oy w punkt B, więc B = 5 ( 0, ), więc = ( x,0) Zatem czyli 5 ( ) D = (, 4) = x + 5, 4 4 x 5 =, 0 =,0 Długość przeciwprostokątnej B jest zatem równa 4, natomiast oś Ox w punkcie Strona 16 z 0

17 ( 5 0) ( 0 5 ) ( 1 1 ) B = + = + = + = = = 4 = 1 = 1 Schemat punktowania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p Zdający zapisze współczynnik kierunkowy prostej CD: a 4 CD = i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zdający zapisze równanie prostej B: y = 4 ( x ) + 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy współrzędne punktów i B: = 5 (,0), B = ( 0, 5 ) 4 Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy długość przeciwprostokątnej B trójkąta BC: B = II sposób rozwiązania Niech = ( x,0) i B= ( 0, yb ) Długość odcinka CD jest równa ( ) ( ) CD = = 5 Z twierdzenia dla trójkątów CD i BDC otrzymujemy D + CD = C i CD + BD = BC, ( ( x) + ( 4 0) ) + 5 = x i ( ) ( yb) ( ) yb =, 9 6x + x = x i yB + yb + 5= yb, 50 = 6x i 50 = 8y B, x = = = 8 i y B = = = Zatem = 5 (,0) i B = ( 0, 5 ) 4 Długość przeciwprostokątnej B jest zatem równa 5 ( 0) ( ) 65 ( ) B = + = + = + = = = 4 = 1 = 1 Strona 17 z 0

18 Schemat punktowania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p ( ) Zdający zapisze jedno z równań: ( x ) ( ) ( ( ) ( yb) ) yb x =, = z niewiadomą odpowiednio x, y B i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p ( ) Zdający zapisze oba równania: ( x ) ( ) ( ( 0) ( 4 yb) ) 5 yb x =, + + = z niewiadomą odpowiednio x, y B i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy współrzędne punktów i B: = 5 (,0), B = ( 0, 5 ) 4 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie pełne 4 p Zdający obliczy długość przeciwprostokątnej B trójkąta BC: B = Uwaga (do schematów punktowania I i II sposobu rozwiązania) Jeżeli zdający popełni błędy (rachunkowe, w przepisywaniu), które nie przekreślają poprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej punkty za takie rozwiązanie Strona 18 z 0

19 Zadanie 4 (0 5) Podstawą graniastosłupa prostego BCDEF jest trójkąt prostokątny BC, w którym CB = 90 (zobacz rysunek) Stosunek długości przyprostokątnej C tego trójkąta do długości przyprostokątnej BC jest równy 4 : Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie BC, a długość odcinka SC jest równa 5 Pole ściany bocznej BEFC graniastosłupa jest równe 48 Oblicz objętość tego graniastosłupa F D E B S Przykładowe rozwiązanie Odcinek CS jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie BC Zatem CS = S = BS = 5, skąd otrzymujemy B = 10 Ponieważ stosunek długości przyprostokątnej C do długości przyprostokątnej BC jest równy 4 :, więc możemy przyjąć C = 4x oraz BC = x, gdzie x oznacza współczynnik proporcjonalności Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie 10 = ( 4x) + ( x), 100 = 5x, x = 4, x = 1 Zatem B = 8 oraz BC = 6 Pole trójkąta BC jest równe P = 86 = 4 Pole ściany bocznej BEFC jest równe 48, więc BC H = 48, gdzie BE = H to wysokość graniastosłupa 6 H = 48, H = 8 Objętość graniastosłupa jest równa V = P H = 4 8 = 19 p C Strona 19 z 0

20 Schemat punktowania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 p Zdający obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta BC: B = 10 zapisze zależność między długościami przyprostokątnych trójkąta BC, np: b 4 a = lub ( C = 4x i BC = x ) i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny p Zdający zapisze równanie pozwalające obliczyć długości przyprostokątnych, np: ( x) + ( 4x) = 10 układ równań pozwalający obliczyć długości przyprostokątnych, np: b 4 a = i a + b = 10 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Pokonanie zasadniczych trudności zadania p Zdający obliczy długości boków trójkąta BC: B = 10, C = 8, BC = 6 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Uwaga kceptujemy rozwiązanie, w którym zdający wykorzystuje trójkę pitagorejską (6, 8, 10) Rozwiązanie prawie pełne 4 p Zdający nie obliczy objętości bryły, ale obliczy wysokość graniastosłupa: H = 8 obliczy objętość graniastosłupa, popełniając w trakcie rozwiązania błędy rachunkowe Rozwiązanie pełne 5 p Zdający obliczy objętość graniastosłupa: V = 19 Uwagi 1 Jeżeli zdający rozważa w podstawie graniastosłupa trójkąt inny niż do trójkąta o bokach 6, 8, 10, ale podobny do tego trójkąta o bokach 6, 8, 10, to może otrzymać co najwyżej punkty Jeżeli zdający rozkłada liczbę 48 na iloczyn 8 6 i przyjmuje, że 6 jest długością BC, a następnie wyznacza pole podstawy i objętość bryły, to może otrzymać co najwyżej punkty Strona 0 z 0

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 7-8 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 8 Str. zasady oceniania zadań poziom podstawowy MARZEC 8 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 014 ( STR MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 017/018 MTEMTYK POZOM POSTWOWY FORMUŁ O 01 ( NOW MTUR ) ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P1 MJ 018 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi (zaznaczenie

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 22 sierpnia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 05 Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014 Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str

FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 05/06 MTEMTYK POZIOM POSTWOWY Zasady oceniania rozwiązań zadań opyright by Nowa Era Sp. z o.o. Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Klucz punktowania zadań zamkniętych Zadanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)

FUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D) FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES PODSTAWOWY I. Funkcja liniowa dopuszczającą jeżeli: wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE Wymagania edukacyjne matematyka klasa 1 zakres podstawowy 1. LICZBY RZECZYWISTE podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo