EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA"

Transkrypt

1 Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ

2 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą niż przedstawiona w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów Zadanie ( 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,),, ) Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności (, ),), ) W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest < W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest < W tym przypadku rozwiązaniem nierówności jest = Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: lub zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest, II sposób rozwiązania (zapisanie czterech przypadków) Zapisujemy cztery przypadki: < + 4< + 4< < = + 4 < + 4 < <,) + 4< niemożliwe + 4< < + 4< < < < 9 < <, ) Łącząc otrzymane rozwiązania, podajemy ostateczną odpowiedź: lub zapisujemy odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest,

3 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (, ),,),, ) albo < + 4< zapisze cztery przypadki: < < Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np I (, ) II,) III, ) Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający poprawnie rozwiąże nierówności tylko w dwóch przedziałach i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że jeden jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź:, III sposób rozwiązania (graficznie) Rysujemy wykresy funkcji f ( ) = i prostą o równaniu y = 6 Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,),, ) Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach bez wartości bezwzględnej, np dla (, ) f ( ) = + 5 dla,) + dl a, ) Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 6

4 4 Egzamin maturalny z matematyki y 9 8 f ( ) 7 6 y = Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresu funkcji f i prostej o równaniu y = 6: = i = Podajemy argumenty, dla których f ( ) 6 :, Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni przedziały: (, ),,),, ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji f w poszczególnych przedziałach, np, f = I ( ) ( ) II ( ) III ) ( ),) f = + 5, f = + lub dla (, ) f ( ) = + 5 dla,) + dl a, ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = 6 Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający zapisze odpowiedź:,

5 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zadanie ( 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie równania trygonometrycznego Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna: ( sin ) 5sin 4 = Porządkujemy to równanie i wprowadzamy niewiadomą pomocniczą: sin 5sin =, t = sin, gdzie t, Równanie przyjmuje teraz postać: t + 5t + = Rozwiązujemy równanie kwadratowe ze zmienną t: = 9 t = t = ale t, Zapisujemy rozwiązania równania sin = należące do przedziału,π : π 7 = i = π 6 6 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np sin 5sin = lub sin + 5sin + = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np t = sin, zapisanie równania w postaci t 5t = lub t + 5t+ = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = lub t = ) i odrzucenie rozwiązania t = Uwaga Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest sin ) i zapisać rozwiązanie w postaci sin = lub sin = oraz zapisać, że równanie sin = jest sprzeczne Rozwiązanie pełne 4 pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: 7 = π lub = π 6 6 albo = lub =

6 6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie ( 4) Użycie i tworzenie strategii Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do badania funkcji kwadratowej Rozwiązanie D F C A Długości odcinków BE i CF są następujące: E B BE =, CF = Pole trójkąta AEF jest więc równe: PAEF = PABCD PABE PECF PFDA = ( ) ( ) = + Pole trójkąta AEF jest funkcją zmiennej : P( ) = + dla, Ponieważ w = =,, a parabola o równaniu P( ) = + ma ramiona 4 skierowane ku górze, więc dla = pole trójkąta AEF jest najmniejsze 4 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie, że PAEF = PABCD PADF PCEF PABE lub P AEF = PABCD ( PADF + PCEF + PABE ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie pól trójkątów ADF, ABE i CEF: P ADF =, P ABE = + i P CEF = = + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie AEF = + Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie, dla którego funkcja przyjmuje minimum: = 4 P w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej : P( )

7 Egzamin maturalny z matematyki 7 II sposób rozwiązania (geometria analityczna) D F C A E B Przyjmujemy współrzędne punktów na płaszczyźnie: A (, ), F (, ), E (, ) = = = Wyznaczamy pole trójkąta AFE : P= ( )( ) ( )( ) = ( ) = = + ( ) = + P Ponieważ w, 4 = =, a parabola o równaniu P( ) skierowane ku górze, więc dla = + ma ramiona = pole trójkąta AEF jest najmniejsze 4 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wyznaczenie współrzędnych punktów na płaszczyźnie: A= (, ), F = (, ), E = (, ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wyznaczenie pola trójkąta AFE : P= ( )( ) ( )( ) = ( ) = = + Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie AEF = + Rozwiązanie pełne 4 pkt Wyznaczenie, dla którego funkcja przyjmuje minimum: = 4 P w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej : P( )

8 8 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 4 ( 4) Użycie i tworzenie strategii Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów przez dwumian Rozwiązanie Korzystając z warunków zadania zapisujemy układ równań 8 + 4a + b + = a + b + = Z układu równań obliczamy a i b 4a + b = 9a + b = 8 b = a 9a 6a = 8 a = 5 b = 9 Warunki zadania są spełnione dla a = 5, b = 9 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania pkt Zapisanie jednego z równań: 8 + 4a + b + = 7 albo 7 + 9a + b + = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań: 8 + 4a + b + = a + b + = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie układu równań z błędem rachunkowym Rozwiązanie pełne 4 pkt Rozwiązanie układu równań: a = 5, b = 9 Zadanie 5 ( 5) Modelowanie matematyczne Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego I sposób rozwiązania Z własności ciągu arytmetycznego mamy: b= a+ c Stąd i z warunków zadania otrzymujemy, że : b = czyli b = 5 b + 4 = a + c + 9 Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: ( ) ( ) ( )

9 Egzamin maturalny z matematyki 9 b = 5 Zatem otrzymujemy układ równań, np a + c = ( b + 4) = ( a + ) ( c + 9) Z drugiego równania wyznaczamy a= c lub c= a i wstawiamy do trzeciego równania 9 c c 9 9 = a+ a+ 9 Otrzymujemy równanie, np = ( + )( + ) lub ( )( ) Przekształcamy to równanie i otrzymujemy równanie z niewiadomą c lub a, np c + 8c 8 = lub a 8a+ 5 = Rozwiązaniem równania są : c = 8, c = 6 lub a =, a = 6 Zatem szukanymi liczbami są: a =, b= 5, c= 8 lub a = 6, b= 5, c= 6 do I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego (geometrycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np b= a+ c albo ( b+ 4) = ( a+ )( c+ 9) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b= a+ c a + c = ( b+ 4) = ( a+ ) ( c+ 9) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania kwadratowego z niewiadomą c lub a, np c + 8c 8 = lub a 8a + 5 = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie szukanych liczb: a =, b = 5, c = 8 lub a = 6, b = 5, c = 6 II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, a przez r różnicę tego ciągu Wówczas b= a+ r, c= a+ r Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania mamy a+ r =, stąd a+ r = 5

10 Egzamin maturalny z matematyki Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie, np ( a r 4) ( a )( a r 9) + + = + + +, a+ r = 5 a następnie zapisujemy układ równań: ( a+ r+ 4) = ( a+ )( a+ r+ 9) Z pierwszego równania wyznaczamy a= 5 r i podstawiamy do drugiego równania Otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą r: ( 5 r r 4) ( 5 r )( 5 r r 9) + + = lub r = Rozwiązaniami tego równania są: r = lub r = Następnie obliczamy a, b, c Warunki zadania spełniają liczby: a =, b= 5, c= 8 lub a = 6, b= 5, c= 6 II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania pkt Wprowadzenie oznaczeń: a pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego, r różnica tego ciągu oraz wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego do zapisania odpowiedniego równania, np a+ r = lub a+ r = 5 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie układu równań, np a+ r = 5 ( a+ r+ 4) = ( a+ )( a+ r+ 9) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania z niewiadomą r, np ( 5 r r 4) ( 5 r )( 5 r r 9) + + = lub r = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 4 pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań, np r < i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb albo przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym, np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie liczb spełniających warunki zadania: a =, b= 5, c= 8 lub a= 6, b= 5, c= 6

11 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 6 ( 5) Użycie i tworzenie strategii Przeprowadzanie dyskusji trójmianu kwadratowego z parametrem I sposób rozwiązania (wzory Viète a) + m + = Zapisujemy układ warunków: > + > m Rozwiązujemy pierwszą nierówność tego układu: = m 8 > m > 8 (, ) ( ) m, Aby rozwiązać drugą nierówność, najpierw przekształcimy lewą stronę nierówności, korzystając ze wzorów Viète a: + = ( + ) = ( m) = m 4 Rozwiązujemy zatem nierówność: m 4 > m m 9 <, więc m (,) Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności:,,, m,, ( ) ( ) m i ( ) m, więc ( ) ( ) II sposób rozwiązania (wzory na pierwiastki trójmianu) Zapisujemy układ warunków: > + > m Rozwiązujemy pierwszą nierówność: = m 8 > m 8 > (, ) ( ) m, Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego: m + m 8 m m 8 = = Obliczamy sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego:

12 Egzamin maturalny z matematyki m+ m 8 m m 8 + = + = m m m 8+ m 8 m + m m 8+ m 8 = + = 4 4 m + m 6 = = m 4 4 Rozwiązujemy drugą nierówność: m 4 > m m 9 < m (,) Wyznaczamy wspólną część zbiorów rozwiązań układu nierówności: m (, ) (, ) i m (,), więc m (, ) (,) Rozwiązanie zadania składa się z trzech części a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności >, m (, ) (, ) Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Uwaga Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności m m, Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje punkty c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b) Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt + >, ( ) W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisanie nierówności + > m w postaci równoważnej m 4 > m albo wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności m+ m 8 m m 8 + > m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Doprowadzenie do postaci nierówności kwadratowej m 9< Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt Rozwiązanie nierówności: m (,) Rozwiązanie pełne 5 pkt Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i podanie odpowiedzi: m,, ( ) ( )

13 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 ( 6) Użycie i tworzenie strategii Stosowanie równań i nierówności do opisania zależności w prostokątnym układzie współrzędnych Rozwiązanie 8 7 Y y = + A = (,5) X Obliczamy odległość punktu A od prostej y = + : d = = + Obliczona odległość d jest równa długości wysokości trójkąta ABC poprowadzonej do boku BC Znamy pole trójkąta ABC, więc obliczamy długość boku BC P ABC = 5 stąd 5 d BC =, więc BC = = 5 C =, y leży na prostej o równaniu = + C =, + Z warunków Punkt ( ) zadania mamy AC = BC ( + ) + ( + 5) = 5 Rozwiązujemy otrzymane równanie: ( + ) + ( + 5) = 5 ( ) = 5 5 = = 64 = 5 = Obliczamy rzędne punktów: y = y = y, zatem ( ), więc ze wzoru na długość odcinka zapisujemy równanie: 6 Warunki zadania spełniają dwa punkty: C ( 5, 6) C (, ) = = Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie odległości punktu A od prostej y = + : d =

14 4 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości odcinków AC i BC: AC = BC = 5 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt Ułożenie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu C (odległość AC = 5 oraz punkt C należy do prostej o równaniu y = + ) y = + ( + ) + ( y 5) = 5 i sprowadzenie układu do równania kwadratowego: 5 = Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) 5 pkt Rozwiązanie pełne 6 pkt = 5,6 C =, Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C ( ) lub ( ) Zadanie 8 ( 5) Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu algebraicznego Rozwiązanie Zapisujemy współrzędne dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f ( ) = oraz na prostej równoległej do osi O, np A=,, B=,, gdzie C =, w zależności od jednej zmiennej: Zapisujemy pole trójkąta ABC, gdzie ( ) + P ABC = = + Wystarczy wobec tego udowodnić, (lub powołać się na znaną nierówność), że dla dowolnej liczby a > zachodzi nierówność + a Po pomnożeniu obu stron nierówności przez a a otrzymujemy nierówność równoważną + a a, czyli a a+, a więc nierówność ( a ) Uwaga Zdający otrzymuje punktów, jeżeli wybierze konkretne dwa punkty A oraz B i dla tych punktów obliczy pole trójkąta ABC Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania pkt Zapisanie współrzędnych dwóch punktów leżących na wykresie funkcji f ( ) = oraz na prostej równoległej do osi O, np A=,, B=,, gdzie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt

15 Egzamin maturalny z matematyki 5 Zapisanie długości odcinka AB ( AB = ) oraz wysokości h trójkąta ABC ( h = + ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie pola trójkąta ABC w zależności od jednej zmiennej: + P ABC = = + Uwaga Zdający może założyć, że > i zapisać wzór na pole trójkąta w postaci: + P ABC = = + Rozwiązanie pełne 5pkt Uzasadnienie, że + Zdający może powołać się na (znane) twierdzenie o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności Zadanie 9 ( 4) Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego Rozwiązanie Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, czworokąt DCFE jest kwadratem, więc AB = CD = CF W kwadracie CBHG odcinki BC i CG są równe Niech α oznacza kąt ABC danego równoległoboku Wówczas BCD = 8 α W kwadratach CDEF oraz CBHG mamy DCF = DCF = 9, więc ( α) FCG = = α = ABC W trójkątach ABC i FCG mamy zatem: AB = CF, BC = CG oraz FCG = ABC, więc trójkąty ABC i FCG są przystające (cecha bkb ) Stąd wnioskujemy, że AC = FG : Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zaznaczenie na rysunku odcinków AC i FG oraz zapisanie równości AB = CF i BC = CG Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, na podstawie cechy (bkb), bez podania pełnego uzasadnienia równości kątów FCG = ABC Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Stwierdzenie, że trójkąty ABC i FCG są przystające, wraz z podaniem pełnego uzasadnienia równości kątów FCG = ABC

16 6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie pełne 4 pkt Zapisanie wniosku, że AC = FG Zadanie ( 4) Modelowanie matematyczne Obliczanie prawdopodobieństwa z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa Rozwiązanie Zdarzeniami elementarnymi są trzywyrazowe ciągi o wartościach w zbiorze sześcioelementowym Mamy model klasyczny Ω= 6 = 6 Reszta z dzielenia kwadratu liczby całkowitej przez może być równa lub Suma kwadratów trzech liczb będzie podzielna przez wtedy, gdy każdy z nich będzie podzielny przez albo gdy reszta z dzielenia każdego z nich przez będzie równa Kwadraty liczb i 6 są liczbami podzielnymi przez Kwadraty liczb,, 4 i 5 dają z dzielenia przez resztę A możemy obliczać następująco: I sposób ciągi o wartościach ze zbioru {,6} jest ich = 8, ciągi o wartościach ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 = 64, czyli A = + 4 = 7 II sposób ciągi stałe jest ich 6, ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {,6} jest ich = 6, ciągi, w których występują dwie liczby ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 = 6, ciągi różnowartościowe o wartościach ze zbioru {,,4,5} jest ich 4 = 4, czyli A = = 7, III sposób ciągi, w których występują liczby dające tę sama resztę przy dzieleniu przez jest ich = 4, ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez resztę i jedna liczba dająca przy dzieleniu przez resztę jest ich = 4, ciągi, w których występują dwie liczby dające przy dzieleniu przez resztę i jedna liczba dająca przy dzieleniu przez resztę jest ich = 4, czyli A = = 7, 7 Zatem P( A ) = = 6 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny do rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze, że Ω = 6 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Istotny postęp pkt Zdający zapisze, że suma kwadratów trzech liczb jest podzielna przez tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są podzielne przez albo wszystkie są niepodzielne przez Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt

17 Egzamin maturalny z matematyki 7 Zdający poprawnie obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu zdarzenia A: A = 7 i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie pełne 4 pkt P ( A) = Zadanie ( 5) Użycie i tworzenie strategii Obliczanie objętości wielościanu z wykorzystaniem trygonometrii Uwaga Strategię rozwiązania zadania można zrealizować na wiele sposobów W każdym z nich wyróżniamy następujące etapy rozwiązania Poprawna interpretacja bryły i podanego kąta dwuściennego w tej bryle Wyznaczenie m lub h w zależności od a i α Wyznaczenie jednej z wielkości:, b, h b (w zależności od a i α ), z której można już wyznaczyć H Wyznaczenie H w zależności od a i α Wyznaczenie V w zależności od a i α Użyliśmy oznaczeń jak na rysunku S b h H h b m b E α h C A a F h p O B D a

18 8 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie (wyznaczenie m, wyznaczenie, wyznaczenie H z podobieństwa trójkątów OCS i ECF) S a Wysokość podstawy ostrosłupa jest równa h p = Wyznaczamy wysokość FE trójkąta równoramiennego ABE a tg α = FB BE = m, stąd a m = tgα Wyznaczamy długość odcinka EC z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie FCE: = h m p tg α 4sin α a tgα 4tg α sinα a a a = = = Z podobieństwa trójkątów OCS i ECF mamy OS EF H m =, czyli = OC EC h p a a a m tg cos Stąd α a α H = = = a 4sin α a 4sin α 4sin α sinα sinα Wyznaczamy objętość ostrosłupa: V A a F a a a cosα a cosα H 4 4 4sin 4sin = = = α α b h h p H Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny do pełnego rozwiązania zadania pkt Wykonanie rysunku ostrosłupa i zaznaczenie na nim kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi O h b E α m h C B D a

19 Egzamin maturalny z matematyki 9 Uwaga Nie wymagamy rysunku, jeżeli z dalszych obliczeń wynika, że zdający poprawnie interpretuje treść zadania Rozwiązanie, w którym jest istotny pkt a Wyznaczenie wysokości EF trójkąta ABE w zależności od a i α : m = tgα Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a 4sin α Wyznaczenie długości odcinka EC: = sinα Rozwiązanie prawie całkowite 4 pkt a cosα Wyznaczenie wysokości ostrosłupa: H = 4sin α ( ) Rozwiązanie pełne 5 pkt a cosα Wyznaczenie objętości ostrosłupa: V = 4sin α

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA DO 014 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki

Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Szanowni Państwo, Nauczyciele poprawiający prace uczniowskie z badania diagnostycznego z matematyki Poniżej przedstawiamy zasady, dotyczące oceniania arkuszy egzaminacyjnych z matematyki Zasady te są omawiane

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZE MTURĄ 07 poziom podstawowy Schemat oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania (podajemy kartotekę zadań, gdyż łatwiej będzie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 14 B B C A D D A B C A B D C C Nr zad Odp. 15

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: kceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z NOWĄ ERĄ 04/05 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMTY PUNKTOWNI Copyright by Nowa Era Sp z oo Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6 7 8 0 4 5 6 7 8 0 D

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1

Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2018 poziom podstawowy LUELSK PRÓ PRZED MTURĄ 08 poziom podstawowy Schemat oceniania Zadania zamknięte (Podajemy kartotekę zadań, która ułatwi Państwu przeprowadzenie jakościowej analizy wyników). Zadanie. (0 ). Liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA zna znaki używane do zapisu liczb w systemie rzymskim; zna zasady zapisu liczb w systemie rzymskim; umie zapisać

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁA OD 015 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R1 MAJ 017 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 06 Ogólne zasady oceniania Uwaga: Akceptowane są wszystkie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI Szkoła Branżowa I Stopnia KLASA I 1. Liczby rzeczywiste i wyrażenia algebraiczne 1) Liczby naturalne, cechy podzielności stosuje cechy podzielności liczby przez 2, 3,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2

Uzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2 LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Listopad 0 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B ( ) 9 : 7 = 7 = 7 6 5 5. B log ( log0

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.

MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI. MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9 maja 2019

Bardziej szczegółowo