EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

Transkrypt

1 EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy

2 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie odpowiedź C C C B B B A D C B D B Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż nierównoć x x 0. Rozwiązanie Wyznaczamy miejsca zerowe wielomianu, występującego po lewej stronie nierównoci: 0 x 0 x lub x, x Szkicujemy parabolę, opisaną przez lewą stronę nierównoci. Odczytujemy z ilustracji zbiór rozwiązań nierównociś x. Zdający otrzymuje... pkt gdy: prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierównoć, np. x, x, x,.

3 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zdający otrzymuje... pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierównoci w postaciś, x x, x w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów.

4 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zadanie 7. ( pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierównoć a b a b. Rozwiązanie Aby wykazać prawdziwoć podanej nierównoci, przekształcimy ją najpierw do prostszej postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierównociś a b a b 4 Mnożymy obie strony tej nierównoci przez 4Ś Redukujemy wyrazy podobne: Stąd otrzymujemyś a b ab a b a b.. ab a b. 0, czyli ab 0. Nierównoć ta jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b, zatem prawdziwa jest też nierównoć równoważna a b a b, co należało wykazać. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy przekształci podaną nierównoć do postaci a b 4ab lub a b ab 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przedstawi kompletny dowód podanej nierównoci. 4

5 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zadanie 8. ( pkt) sin cos Kąt jest ostry oraz cos. Oblicz wartoć wyrażenia. cos sin Rozwiązanie (I sposób) Przekształcamy wyrażenie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna. sin cos sin sin cos sin. cos sin cos sin cos sin cos Następnie podstawiamy za cos i otrzymujemy, że sin cos cos sin. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt sin cos gdy przekształci wyrażenie i otrzyma w wyniku : i na tym cos sin cos poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt sin cos gdy obliczy wartoć wyrażenia : cos sin lub. Rozwiązanie (II sposób) Obliczamy sin, wykorzystując własnoci funkcji trygonometrycznych kąta ostrego: sin cos. sin cos Następnie obliczamy wartoć wyrażenia : cos sin sin cos. cos sin Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy sin wykorzystując własnoci funkcji trygonometrycznych kąta ostregoś sin i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.

6 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy wartoć wyrażenia sin cos : cos sin lub. 6

7 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zadanie 9. ( pkt) Liczby 6, x4, x 6 w podanej kolejnoci są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu. Rozwiązanie (I sposób) Ciąg 6, x4, x 6 jest arytmetyczny, więc wyraz rodkowy jest rednią arytmetyczną 6 x 6 wyrazów sąsiednich. Stąd: x 4. Rozwiązaniem równania jest x 8. Różnica r ciągu 6, x4, x 6 jest równaś r Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt 6 x 6 gdy wykorzysta własnoci ciągu arytmetycznego i zapisze równanieś x 4 lub x 4 x, lub x 46 x 6 x 4 (różnica sąsiednich wyrazów ciągu jest stała). Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy różnicę r ciągu 6, x4, x 6 : r 4. Uwaga Jeli zdający pomyli własnoć ciągu arytmetycznego z własnocią ciągu geometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. Rozwiązanie (II sposób) Ciąg 6, x4, x 6 jest arytmetyczny, zatem x 4 6 r oraz x 6 6 r, gdzie r oznacza różnicę ciągu arytmetycznego. x 4 6 r Rozwiązując układ równań otrzymujemy: x 8, r 4. x 6 6 r Odp. Różnica r tego ciągu jest równa 4. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy wykorzysta własnoci ciągu arytmetycznego i zapisze układ równańś x 4 6 r. x 6 6 r Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy różnicę r ciągu 6, x4, x 6 : r 4. Uwaga Jeli zdający pomyli własnoć ciągu arytmetycznego z własnocią ciągu geometrycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów. 7

8 Zadanie 0. ( pkt) Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Dane są dwa podzbiory zbioru liczb całkowitychś K { 4,,,, 6} i L {,,,, 4}. Z każdego z nich losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni. Rozwiązanie (I sposób) (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane x, y dwóch liczb, ze zbiorów K { 4,,,, 6} i L {,,,, 4}. Niech oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a A zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa:. Iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni, gdy: obie wylosowane liczby są dodatnie obie wylosowane liczby są ujemne. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa A Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A). Rozwiązanie (II sposób) (metoda tabeli) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane x, y dwóch liczb, ze zbiorów K { 4,,,, 6} i L {,,,, 4}. Niech oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a A zdarzenie polegające na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest dodatni Symbol w tabeli oznacza zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A i A, zatem A. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnychś obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A 8

9 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A). Uwagi. Jeżeli zdający popełnił błąd przy zliczaniu par w tabeli, spełniających warunki zadania, i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje pkt.. Jeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. Rozwiązanie (III sposób) (metoda drzewa) Rysujemy drzewo: 4 6,,,, 4,, 4,, 4 Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni) jest więc równeś P A. U U D U D D U U D D U oznacza wylosowanie liczby ujemnej D oznacza wylosowanie liczby dodatniej Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest dodatni) jest więc równeś P A. Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: 9

10 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ). Uwaga Jeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. 0

11 Zadanie. ( pkt) Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Dany jest trójkąt ABC. Odcinek CD jest wysokocią tego trójkąta, punkt E jest rodkiem boku BC (tak jak na rysunku) i CD DE. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoboczny. C E Rozwiązanie (I sposób) A D B C E A D B Trójkąt CDB jest prostokątny, a punkt E jest rodkiem przeciwprostokątnej tego trójkąta, czyli punkt E jest rodkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB. Stąd wynika, że DE BE CE. Z treci zadania wiemy, że CD=DE, zatem trójkąt CDE jest równoboczny. Co należało udowodnić. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy stwierdzi, że punkt E jest rodkiem okręgu opisanego na trójkącie CDB i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny. Rozwiązanie (II sposób) Rysujemy prostą równoległą do podstawy AB przechodzącą przez punkt E. Otrzymujemy trójkąt CFE, który jest podobny do trójkąta CDB w skali k. C F E A D B

12 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Odcinek EF jest wysokocią trójkąta CDE, która dzieli podstawę CD na dwie równe częci. Stąd trójkąt CDE jest równoramienny i DE CE. Z treci zadania wiemy, że CD=DE, zatem trójkąt CDE jest równoboczny, co należało udowodnić. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy narysuje prostą równoległą do podstawy AB i zauważy, że trójkąty CFE i CDB są podobne w skali k i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że trójkąt CDE jest równoboczny.

13 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zadanie. (4 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS (zobacz rysunek) przekątna AC podstawy ma długoć 4. Kąt ASC między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa jest równy 60. Oblicz objętoć tego ostrosłupa. S D C O A B Rozwiązanie S 60 h D C O a A a B Niech a oznacza krawędź podstawy ostrosłupa, wtedy a 4. Stąd a 4. Obliczamy pole P podstawy ostrosłupaś Pa 6. W trójkącie AOS kąt ASO jest równy 0, a AO AC. AO Obliczamy wysokoć SO ostrosłupaś tg0 SO SO, czyli SO 6.

14 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Uwaga Zdający może zauważyć, że trójkąt ACS jest równoboczny i jego bok ma długoć 4, więc zastosowanie wzoru na wysokoć w trójkącie równobocznym pozwala obliczyć wysokoć 4 ostrosłupaś SO 6. 6 Obliczamy objętoć V ostrosłupaś V 6 6. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Obliczenie długoci krawędzi podstawy AB a 4. Rozwiązanie, w którym jest istotny postp... pkt Obliczenie pola P podstawy: P 6. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Obliczenie wysokoci ostrosłupa SO 6. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Obliczenie objętoci V ostrosłupaś 6 V. 4

15 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zadanie. ( pkt) Trasę etapu wycigu kolarskiego o długoci 0 km pan Nowak pokonał w czasie o godzinę i 0 minut krótszym niż jego kolega z drużyny, pan Kowalski. rednia wartoć prędkoci, z jaką pan Nowak jechał na tym etapie, była o km/h większa od redniej wartoci prędkoci pana Kowalskiego na tej trasie. Oblicz rednie wartoci prędkoci, z jakimi przejechali całą trasę obaj zawodnicy. Uwaga W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających, odpowiednio, prędkoć i czas dla pana Nowaka. Oczywicie w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, by te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie. Rozwiązanie I sposób Przyjmujemy oznaczenia v i t odpowiednio prędkoć w km/h i czas w godzinach dla pana Nowaka. Zapisujemy zależnoć między drogą, prędkocią i czasem dla pana Nowaka: vt 0. Zapisujemy prędkoć i czas jazdy dla pana KowalskiegoŚ v, t. 6 vt 0 Zapisujemy układ równań, np.. v t 0 6 Z pierwszego równania wyznaczamy 0 0 t v v t podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy 0 v 0 v 6 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np. v v v, sprzeczne z zał. v 0 6 v 6(km/h) obliczamy prędkoć drugiego rowerzysty v (km/h) Odp.Ś Prędkoci rowerzystów są równeś 6 km/h i km/h. 0 0 t t 6 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np. 66t t t 6, sprzeczne z zał. t 0 67 t 4 (h) 6 obliczamy prędkoć pana Nowaka 0 v 6 (km/h) 4 6 obliczamy prędkoć drugiego rowerzysty v (km/h)

16 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Rozwiązanie II sposób Przyjmujemy oznaczenia v i t odpowiednio prędkoć w km/h i czas w godzinach dla pana Kowalskiego. Zapisujemy zależnoć między drogą, prędkocią i czasem dla pana Kowalskiego: vt 0. Zapisujemy prędkoć i czas jazdy dla pana NowakaŚ v, t. 6 v 0 Zapisujemy układ równań, np. t 6 vt 0 Z drugiego równania wyznaczamy 0 0 t v v t podstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy 0 v 0 v 6 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np. v v v 6, sprzeczne z zał. v 0 6 v (km/h) obliczamy prędkoć pana Nowaka v 6(km/h) Odp.Ś Prędkoci rowerzystów są równeś 6 km/h i km/h. 0 0 t t 6 Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np. 66t t t 4, sprzeczne z zał. 6 t 0 67 t 6 (h) obliczamy prędkoć pana Kowalskiego 0 v (km/h) 6 obliczamy prędkoć pana Nowaka v 6 (km/h) Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... p. Zapisanie zależnoci między drogą, prędkocią i czasem dla jednego z rowerzystów oraz prędkoci i czasu dla obu rowerzystów przy użyciu tych samych oznaczeń, np.: dla pana Nowaka vt 0, czas pana Kowalskiego t, prędkoć pana 6 Uwaga Kowalskiego v. lub: dla pana Kowalskiego vt 0, czas pana Nowaka v. t, prędkoć pana Nowaka 6 6

17 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Nie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować, że zdający poprawnie je stosuje. Rozwiązanie, w którym jest istotny postp... p. Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t odpowiednio z prędkocią i czasem dla vt 0 pana Nowaka:. v t 0 6 Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t odpowiednio z prędkocią i czasem dla v 0 pana Kowalskiego: t 6. vt 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... p. Zapisanie równania z jedną niewiadomą, npś 0 0 v 0 lub 0 v 6 t 0 lub v 0 t 6 v 6 lub Uwaga 0 t 0. t 6 Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezporednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błdy rachunkowe)... 4 p. rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkoci drugiego rowerzysty rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkoci rowerzystów obliczenie t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkoci obu rowerzystów. Rozwiązanie pełne... p. Obliczenie prędkoci obu rowerzystówś 6 km/h i km/h. Uwagi. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) prędkoć tylko jednego z rowerzystówś 6 km/h lub km/h, to otrzymuje 0 pkt.. Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) prędkoci obu rowerzystówś 6 km/h i km/h, to otrzymuje pkt. 7

18 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozumowania i stosuje je konsekwentnie. 8

19 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Zadanie 4. (4 pkt) Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest bok AB, gdzie A, i B,. Ramię tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu x y 0. Oblicz współrzędne wierzchołka C. Rozwiązanie Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB:. Zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy. Symetralna odcinka AB ma równanie 7 y x b. Punkt S,, jest rodkiem odcinka AB. Symetralna tego 7 odcinka przechodzi przez punkt S, więc b, stąd b. Zatem symetralna odcinka AB ma równanie y x Obliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równańś x y 0 y x C,. Zatem współrzędne punktu C są równeś Schemat oceniania rozwiązania Rozwiązanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt 7 poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych rodka boku AB: S, poprawne wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej AB: a. Rozwiązanie, w którym jest istotny postp... pkt Wyznaczenie równania symetralnej boku AB: y x. Uwaga Zdający może wyznaczyć równanie symetralnej stosując jej własnoć: AC BC, gdzie C x, y jest dowolnym punktem tej symetralnej. Wówczas otrzymujeś x y x y stąd x y 0. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt x y 0 Zapisanie układu równań i poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych y x punktu C. 9

20 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Rozwiązanie prawie pełne pkt popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych rodka boku współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczenie współrzędnych punktu C. poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy wyznaczeniu współrzędnych punktu C. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Poprawne obliczenie współrzędnych punktu C: C,. II sposób rozwiązania Obliczamy współrzędne wektora AB który jest prostopadły do symetralnej odcinka AB: AB,. Zatem symetralna odcinka AB ma równanie x y b 0. Obliczamy 7 współrzędne punktu S, który jest rodkiem odcinka AB: S,,. Symetralna 7 tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc 0 b, stąd b. Zatem symetralna odcinka AB ma równanie x y 0. Obliczamy współrzędne wierzchołka C rozwiązując układ równańś x y 0 x y 0 C,. Zatem współrzędne punktu C są równeś Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania... pkt 7 poprawne wyznaczenie lub podanie współrzędnych rodka boku AB: S, poprawne obliczenie współrzędnych wektora AB: AB,. Rozwiązanie, w którym jest istotny postp... pkt Wyznaczenie równania symetralnej boku AB: y x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt x y 0 Zapisanie układu równań i poprawne obliczenie jednej ze współrzędnych x y 0 punktu C. Rozwiązanie prawie pełne pkt popełnienie błędów przy wyznaczaniu współrzędnych rodka boku współrzędnych wektora AB i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczenie współrzędnych punktu C. 0

21 Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 poprawne wyznaczenie równania symetralnej boku AB i popełnienie błędów przy wyznaczeniu współrzędnych punktu C. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Poprawne obliczenie współrzędnych punktu C: C,.