Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszzerzony. Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja"

Transkrypt

1 Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania, π sin 7cos = należące do przedziału Rozwiązanie Przekształcamy równanie do postaci, w której występuje tylko jedna funkcja cos 7 cos = trygonometryczna ( ) cos 7cos = cos 7cos = Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, np t = cos, gdzie t, Otrzymujemy równanie kwadratowe t 7t = Rozwiązujemy równanie kwadratowe Δ= 9 = Δ= 7 7 t = = t = = Odrzucamy rozwiązanie t =, ponieważ, Rozwiązujemy równanie cos = Zapisujemy rozwiązania równania w podanym przedziale = π lub = π Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie równania w zależności od jednej funkcji trygonometrycznej, np: cos 7cos = lub cos 7cos = Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np t = cos, zapisanie równania w postaci t 7 t = lub t 7 t = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Rozwiązanie równania kwadratowego ( t = lub t = ) i odrzucenie rozwiązania t = Uwaga: Zdający może od razu rozwiązywać równanie kwadratowe (w którym niewiadomą jest cos ) i zapisać rozwiązanie w postaci cos = lub cos = oraz zapisać, że równanie cos =jest sprzeczne

2 Rozwiązanie pełne pkt Rozwiązanie równania w podanym przedziale: = π lub = π = lub = Uwagi Jeżeli zdający podstawia cos = sin bez żadnych założeń, to otrzymuje punktów Jeżeli zdający podniesie obie strony równania cos = 7cos do kwadratu i potem nie sprawdza rozwiązań, to otrzymuje punktów Nie wymagamy, aby zdający zapisał warunek np t,, o ile z dalszego ciągu rozwiązania wynika, że zdający uwzględnia go Jeżeli zdający rozwiąże poprawnie równanie kwadratowe i na tym zakończy, nie odrzucając rozwiązania t =, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu równania kwadratowego i otrzyma dwa rozwiązania, z których co najmniej jedno należy do przedziału, i konsekwentnie rozwiąże oba równania w podanym przedziale, to otrzymuje punkty 6 Jeżeli zdający podaje ogólne rozwiązanie równania trygonometrycznego: = π kπ, = π kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą, to otrzymuje punkty Zadanie ( pkt) Rozwiąż nierówność > I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),, ),, ) Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przedziałach i w każdym przedziale bierzemy część wspólną tego przedziału z otrzymanym zbiorem rozwiązań nierówności (, ), ), ) > > > > > > > Wyznaczamy część wspólną otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami, (, ), ) i bierzemy sumę tych przedziałów:, (, )

3 II sposób rozwiązania: zapisanie czterech przypadków Zapisujemy cztery przypadki: Rozwiązujemy nierówności w poszczególnych przypadkach: > > > ), > > ( ), niemożliwe > >, Podajemy odpowiedź: ( ),, Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały ( ) ) ),,,,, zapisze cztery przypadki: Uwaga: Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, ale nie są one konsekwencją błędu rachunkowego popełnionego przy przekształcaniu nierówności, to przyznajemy punktów Podobnie punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach np: I ( ), > II ), > III ), >

4 Uwagi: Jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje punkty Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający zapisze odpowiedź, (, ) Uwaga: We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte) Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte) to przyznajemy za całe zadanie o pkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie Jeżeli zdający przy przekształcaniu nierówności podanej w treści zadania popełni błąd (np ( ) > ), to otrzymuje punkt mniej niż przewidziany w schemacie w danej kategorii rozwiązania III sposób rozwiązania: graficznie > Rysujemy wykres funkcji f ( ) = i prostą o równaniu y = Wyróżniamy przedziały: (, ),, ),, ) Zapisujemy wzór funkcji w poszczególnych przedziałach, np, f = I ( ) ( ) II ) ( ) III ) ( ), f =, f = Przekształcamy wzór funkcji w poszczególnych przedziałach do postaci, np, f = I ( ) ( ) II ) ( ) III ) ( ), f =, f =

5 Zapisujemy wzór funkcji, np dla (, ) f ( ) = dla,) dla, ) Rysujemy wykres funkcji f i prostą o równaniu y = f ( ) y = Odczytujemy odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu y = : =, = Zapisujemy argumenty, dla których f ( ) > :, (, ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały (, ),, ),, ) Uwaga: Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy punktów za całe zadanie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze wzór funkcji w poszczególnych przedziałach, np

6 I ( ) ( ), f =, f = II ) ( ) III ) ( ), f = lub ( ) ( ) dla, f = dla,) dla, ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykres funkcji f i prostą o równaniu y = Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający poda odpowiedź:, (, ) Uwaga: We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać przedziały obustronnie domknięte Jeżeli natomiast rozważy wszystkie przedziały otwarte, to przyznajemy za całe zadanie o punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie IV sposób rozwiązania: graficznie Zapisujemy nierówność > w postaci, np > Rysujemy wykresy funkcji: y =, y = Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresów funkcji: 6 =, = y = y = Zapisujemy odpowiedź:, (, ) 6

7 V sposób rozwiązania: graficznie Zapisujemy nierówność > w postaci, np > Rysujemy wykresy funkcji: y =, y = Odczytujemy odcięte punktów przecięcia się wykresów funkcji: 6 =, = y = y = Zapisujemy odpowiedź:, (, ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze nierówność w postaci > lub > i narysuje wykres funkcji, np y = lub y = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający narysuje wykresy funkcji: y = i y = lub y = i y = Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Zdający narysuje poprawnie wykresy funkcji i błędnie wyznaczy odcięte jednego z punktów przecięcia się wykresów funkcji (np = lub = ) i konsekwentnie poda odpowiedź Rozwiązanie pełne pkt Zapisanie odpowiedzi:, (, ) 7

8 Zadanie ( pkt) Dane są punkty A= (, ), B= ( 9, ) i prosta k o równaniu y = Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma Rozwiązanie AC BC jest najmniejsza 9 y 8 7 y = 6 A = (, ) C = (, ) B = ( 9, ) Punkt C leży na prostej k, więc ma współrzędne: = (, ) C Wyznaczamy kwadraty odległości punktu C od punktów A i B: = ( ) ( ), BC = ( 9) ( ) AC Określamy wzór funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu C od punktów A i B: f ( ) = ( ) ( ) ( 9) ( ), po uporządkowaniu otrzymujemy: f ( ) = Wyznaczamy argument, dla którego wartość tej funkcji jest najmniejsza: = Obliczamy rzędną punktu C: y = Odpowiedź: Współrzędne punktu C = (,) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt C =, Zapisanie współrzędnych punktu C leżącego na prostej k : ( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie zależności z jedną niewiadomą określającej kwadraty odległości punktu A od C lub odległości punktu B od C (lub odległości) : 8

9 = ( ) ( ) lub BC = ( 9) ( ) AC ( AC = ( ) ( ) lub = ( 9) ( ) BC ) Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Określenie wzoru funkcji jednej zmiennej będącej sumą kwadratów odległości punktu C od punktów A i B: f ( ) = ( ) ( ) ( 9) ( ) lub f ( ) = Uwagi: Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości AC lub BC i na tym poprzestanie, to otrzymuje punkty Rozwiązanie pełne pkt Wyznaczenie współrzędnych punktu C: C = (,) Uwaga: Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy przy obliczeniu jednej z odległości AC lub BC i rozwiązanie doprowadzi do końca, to otrzymuje punkty Jeżeli zdający obliczy odciętą wierzchołka paraboli o równaniu y = tj pierwszą współrzędną punktu C i na tym zakończy lub błędnie obliczy jego drugą współrzędną, to otrzymuje punkty Zadanie ( pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ( m ) m m= ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których suma jest mniejsza od m Rozwiązanie Zapisujemy układ warunków: Δ> m Obliczamy wyróżnik: Δ = m 8m 6 i rozwiązujemy nierówność Δ > m, Zapisujemy warunek m w postaci nierówności z jedną niewiadomą: m m m m > Doprowadzamy nierówność do postaci m m m > ( )( ) Otrzymujemy m (, ) Zatem m (, ) 9

10 Schemat oceniania Rozwiązanie zadania składa się z trzech części a) Pierwsza polega na rozwiązaniu nierówności Δ > : m, Za poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje punkt Uwaga: Jeżeli zdający rozwiązuje nierówność Δ, to nie otrzymuje punktu za tę część b) Druga polega na rozwiązaniu nierówności rozwiązania zdający otrzymuje punkty m, m (, ) Za tę część c) Trzecia polega na wyznaczeniu części wspólnej rozwiązań nierówności z a) i b) Za poprawne rozwiązanie trzeciej części zdający otrzymuje punkt W ramach drugiej części rozwiązania wyróżniamy następujące fazy: Rozwiązanie części b), w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt zapisanie nierówności m w postaci równoważnej m m wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i zapisanie nierówności m m 8m 6 m m 8m 6 m Pokonanie zasadniczych trudności części b) zadania pkt Doprowadzenie nierówności do postaci ( m )( m m ) > lub wyznaczenie pierwiastków wielomianu zapisanego po lewej stronie nierówności Rozwiązanie bezbłędne części b) pkt m, Rozwiązanie nierówności: ( ) Rozwiązanie pełne pkt m, Wyznaczenie części wspólnej rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi ( ) Uwaga Jeżeli zdający popełni jeden błąd rachunkowy i konsekwentnie do tego błędu wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań obu nierówności, to otrzymuje punkty

11 Zadanie ( pkt) Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f ( ) = i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f ( ) = m w zależności od wartości parametru m Rozwiązanie Zapisujemy wzór funkcji f w postaci dla, ) f ( ) = dla (,) Szkicujemy wykres otrzymanej funkcji f : y Z wykresu funkcji f odczytujemy liczbę rozwiązań równania f ( ) = m: dla m (, ) dla m { } (, ) dla m = dla m, ( ) Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt dla zapisanie funkcji f na przykład w postaci: f( ) = dla stwierdzenie, że wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy lub stwierdzenie równoważne

12 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Narysowanie wykresu funkcji f y Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania pkt zdający popełni jeden błąd w ustalaniu liczby rozwiązań równania f ( ) = m zdający błędnie wyznaczy miejsca zerowe lub współrzędne wierzchołka paraboli, ale wykres funkcji ma trzy punkty wspólne z osią O i jest symetryczny względem osi Oy i konsekwentnie do popełnionego błędu poda liczbę rozwiązań równania Rozwiązanie bezbłędne pkt Podanie liczby rozwiązań na przykład w postaci: dla m (, ) dla m { } (, ) dla m = dla m (,) Zadanie 6 Wykaż, że nierówność rzeczywiste a i b ( pkt) a b a b jest spełniona przez wszystkie liczby Rozwiązanie Obie strony nierówności a b a b podnosimy do czwartej potęgi, uzyskując ( ) równoważną nierówność postaci: a b a a b b a b, czyli Stąd wnioskujemy, że dana w zadaniu nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb rzeczywistych a i b

13 Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a b a a b b Doprowadzenie nierówności do postaci Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt a b a a b b Doprowadzenie nierówności do postaci, z której łatwo wywnioskować, że jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste a i b, np ( a b ) Rozwiązanie bezbłędne pkt Uwaga: Mogą być rozwiązania, w których zdający od razu napisze, że średnia potęgowa stopnia jest niemniejsza od średniej kwadratowej (średniej potęgowej stopnia ), bo im wyższy stopień, tym większa średnia Należy wtedy przyznać pkt Zadanie 7 ( pkt) Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 6 Oblicz sinus kąta, jaki tworzy przekątna ściany bocznej z sąsiednią ścianą boczną Rozwiązanie: Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku Objętość graniastosłupa jest równa A E a V = H, B a pole powierzchni bocznej H Pb = a H Stąd i z treści zadania otrzymujemy układ równań a H = α C ah = 6 A a Jego rozwiązaniem jest a = D B H = Obliczamy sinus kąta α nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej : sinα = EC BC Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BCC mamy BC = a H = =, a ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego a EC = = =, więc sinα = C

14 Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie długości krawędzi graniastosłupa (a- krawędź podstawy, H- krawędź boczna): a H = ah = 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt a = Rozwiązanie układu równań: H = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt EC h Zapisanie sinα = (lub zapisanie sin α w innej równoważnej postaci np sin α =, BC d h wysokość trójkąta, d przekątna ściany bocznej) Rozwiązanie bezbłędne pkt Obliczenie sin α = Uwagi: Jeżeli zdający narysuje graniastosłup i zaznaczy na nim kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej i na tym poprzestanie, to przyznajemy punkt Jeżeli zdający nie zapisze układu równań lub zapisze go błędnie, ale określi a h sinα = (lub zapisze sin α w innej równoważnej postaci np sin α =, a H d h wysokość trójkąta, d przekątna ściany bocznej) i na tym poprzestanie, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający rozwiąże układ równań bezbłędnie i narysuje graniastosłup z zaznaczonym na nim kątem nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej i na tym poprzestanie, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w rozwiązaniu układu równań i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to przyznajemy punkty

15 Zadanie 8 ( pkt) Odcinek CD jest zawarty w dwusiecznej kąta ACB trójkąta ABC Kąty trójkąta ABC mają miary: CAB =, ABC = 78 Styczna do okręgu opisanego na tym trójkącie w punkcie C przecina prostą AB w punkcie E (zobacz rysunek) Oblicz, ile stopni ma każdy z kątów trójkąta CDE C 78 A D B E Rozwiązanie C O 78 A D B E ( 8 78 DCB = ACB = ) = CDE = 8 ( 78 ) = 7 Kąt COB jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt CAB, więc COB = 8 Trójkąt COB jest równoramienny stąd OCB = 8 BCE = 9 OCB = Do obliczenia miary tego kąta możemy też wykorzystać twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą DCE = DCB BCE = = 7 ( ) CED = 8 CDE DCE = 8 = 6 Odpowiedź: Miary kątów trójkąta CDE to CDE = 7, DCE = 7, CED = 6

16 Schemat oceniania: Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie miary kąta CDE: CDE = 7 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie miar kątów COB i OCB, gdzie O jest środkiem okręgu COB = 8, OCB = 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie miary kąta BCE: BCE = Rozwiązanie bezbłędne pkt Obliczenie miar kątów trójkąta CDE: CDE = 7, DCE = 7, CED = 6 Zadanie 9 ( pkt) Liczby,,,,, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego I sposób rozwiązania Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie permutacje zbioru {,,,,,6,7,8} Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne, mamy model klasyczny, Ω= 8! Zauważmy, że zdarzenie A - suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, zachodzi, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste A Stąd A =!! A = 8 i P( A ) = = Ω Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt zdający obliczy Ω= 8! zdający zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający obliczy Ω = 8! i zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy Ω = 8! i A =!! A = 8 i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie 6

17 Rozwiązanie bezbłędne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo i poda wynik w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego: P ( A) = Uwagi: Jeżeli zdający zapisze A =!! i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo P ( A) = 7, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy nie poda wyniku w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego, to przyznajemy punkty II sposób rozwiązania Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie podzbiory czteroelementowe zbioru {,,,,,6,7,8} (numery miejsc, na których stoją liczby parzyste (nieparzyste)) Zdarzenia 8 jednoelementowe są równoprawdopodobne, mamy model klasyczny, Ω= Zauważmy, że zdarzenie A - suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, zachodzi, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste A Stąd A = i P( A ) = = Ω Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt zdający zauważy, że aby rozwiązać zadanie, wystarczy znać numery miejsc, na których 8 stoją liczby parzyste (nieparzyste) i obliczy Ω= zdający zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt 8 Zdający obliczy Ω= i zauważy, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta, jeżeli w szeregu będą występowały na przemian liczby parzyste i nieparzyste i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt 8 Zdający obliczy Ω= i A = i na tym poprzestanie lub dalej rozwiązuje błędnie 7

18 Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo i poda wynik w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego: P ( A) = Uwagi: Jeżeli zdający zapisze A = i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo P ( A) = 7, to przyznajemy punkty Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy lub nie poda wyniku w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego, to przyznajemy punkty Zadanie (6 pkt) Punkt A = (, ) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym Punkt S = (, ) jest środkiem symetrii tego rombu Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu I sposób rozwiązania (środek symetrii rombu) D = ( 8,7) Y C = (,) S = (, ) y = B = (,) X - A = (, ) Przekątne rombu są względem siebie prostopadłe i dzielą się na połowy Znając współrzędne punktu A oraz środka symetrii rombu S obliczamy współrzędne punktu C A C y A yc S = ys = = y = = C = C Punkt C ma współrzędne (,) ( ) Obliczamy długość przekątnej AC: AC = Z wzoru na pole rombu obliczamy długość przekątnej BD = BD BD = BD Niech B = ( y, ), BS = = oraz BS = ( ) ( y ) Punkt B leży na prostej o równaniu 7y = Wyznaczam współrzędne punktów B i D: 8

19 ( ) ( y ) ( ) = 7y = ( y ) ( y ) = 7 = 7y ( y) ( y ) 8 7 = ( y) ( y ) 7 = ( y ) ( y ) 9 = ( y ) = ( y ) = 9 y = lub y = y = 7 y = lub = 8 = lub ( ) ( y) ( ) = y = ( ) = = = 8 lub = y = 7 y = lub = 8 = ( 9 6) = Współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: B = (,), = ( 8,7) D Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie współrzędnych wierzchołka C oraz długości przekątnej AC (lub jej połowy): (,) C =, = AC ( = ) AS Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktów B i D: ( ) ( y ) ( ) = 7y = Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, np ( y) ( y ) 8 7 = Rozwiązanie pełne 6 pkt =, =, D = 8,7 Współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: B ( ), C ( ), ( ) Odpowiedź: Współrzędne pozostałych wierzchołków rombu: B = (,), = (,) D = ( 8,7) C, 9

20 II sposób rozwiązania (iloczyn skalarny) Przekątne rombu są względem siebie prostopadłe i dzielą się na połowy Znając współrzędne punktu A oraz środka symetrii rombu S obliczamy współrzędne punktu C A C y A yc S = ys = = y = = C = C Punkt C ma współrzędne (,) ( ) Obliczamy długość przekątnej AC: AC = Z wzoru na pole rombu obliczamy długość przekątnej BD = BD BD = Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość boku AD: AD = AS SD AS = AC, SD = BD ( ) ( ) = AD = Wyznaczamy współrzędne punktów B i D rozwiązując układ równań AD = AS DS = ( ) ( y ) = [, 7] [, y] = ( ) ( y ) = 7y = y y = y = 7 y = = 8 = y = 7 y = Odpowiedź: Pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne: B = (,), C = (,) i D = ( 8,7) Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Obliczenie współrzędnych wierzchołka C oraz długości przekątnej AC (lub jej połowy): C =, = AS = ( ) AC ( ) Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Obliczenie długości drugiej przekątnej BD = oraz długości boku rombu, np AD =

21 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć współrzędne punktu B (D) i przekształcenie do równania kwadratowego z jedną niewiadomą: AD = SA SD = y 8y 7 = lub 6 = Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt Rozwiązanie bezbłędne 6 pkt =, =, D = 8,7 Pozostałe wierzchołki rombu mają współrzędne: B ( ), C ( ) i ( ) Zadanie ( pkt) Ciąg ( abc,, ) jest geometryczny i a b c= 6, zaś ciąg ( a, b, c ) jest arytmetyczny Oblicz a, b, c I sposób rozwiązania Z własności ciągu geometrycznego zapisujemy równanie: b = a c, a z własności ciągu arytmetycznego zapisujemy równanie: ( b ) = ( a ) ( c ) ( b ) = ( a ) ( c) Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań: b = a c a b c = 6 Przekształcamy układ równań do równania z jedną niewiadomą: a a 6 = lub c c 6 = Rozwiązujemy równanie i otrzymujemy: a = lub a = 8 oraz c = lub c = 8 Odp Warunki zadania spełniają liczby: a=, b= 6, c= 8 lub a= 8, b= 6, c= II sposób rozwiązania Oznaczamy: przez a pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, a przez q iloraz tego ciągu Wówczas b= a q, c= a q Z własności ciągu arytmetycznego i z warunków zadania zapisujemy układ równań: a aq aq = 6 a( q q ) = 6 lub ( aq ) = ( a ) ( aq ) aq aq a 8= 6 Z pierwszego równania mamy: a = q q, zatem q q 8= q q q q q q Po uproszczeniu otrzymujemy równanie: q q = Rozwiązaniem tego równania są liczby: q=, q=

22 Dla każdej z tych liczb obliczamy abc,, Warunki zadania spełniają liczby: a=, b= 6, c= 8 lub a= 8, b= 6, c= Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego (arytmetycznego) i zapisanie odpowiedniego równania, np b = a c ( b ) = ( a ) ( c ) ( aq ) = ( a ) ( aq ) a aq aq = 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Wykorzystanie własności obu ciągów (arytmetycznego i geometrycznego) i zapisanie układu równań umożliwiającego obliczenie liczb a, b, c, np b = a c a a q a q = 6 ( b ) = ( a ) ( c) lub ( a q ) = ( a ) a b c = ( a q ) 6 Uwaga: Jeżeli zdający pomyli własności któregokolwiek ciągu, to za całe rozwiązanie otrzymuje punktów Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Przekształcenie układu równań do równania z jedną niewiadomą, np a a 6 = lub c c 6 = lub q q = Uwaga: Jeżeli w trakcie doprowadzania układu równań do równania kwadratowego zdający popełni błąd, w wyniku którego otrzyma równanie mające mniej niż dwa rozwiązania, to otrzymuje punkty za całe zadanie Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) pkt poprawne rozwiązanie równania kwadratowego, odrzucenie jednego z rozwiązań (na przykład dla q ) i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb przekształcenie układu równań z jedną niewiadomą do równania kwadratowego z błędem rachunkowym (np błąd w redukcji wyrazów podobnych lub w przepisywaniu) i konsekwentne doprowadzenie rozwiązania do końca (o ile otrzymane równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste) Rozwiązanie bezbłędne pkt a=, b= 6, c= 8 lub a= 8, b= 6, c=

23 Uwaga: Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże układ równań i popełni błąd w zredagowaniu odpowiedzi, na przykład: a = lub a = 8, b = 6, c = 8 lub c =, to otrzymuje punkty

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 00 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny CZERWIEC 2011 Egzamin maturalny CZERWIEC 0 Zadanie. (4 pkt) Rozwiąż nierówność x 4 + x 5. I sposób rozwiązania: wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów Wyróżniamy na osi liczbowej przedziały: (, ),,5), 5, ). Rozwiązujemy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D

KLUCZ ODPOWIEDZI POPRAWNA ODPOWIEDŹ 1 D 2 C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 10 C 11 B 12 A 13 A 14 B 15 D 16 B 17 C 18 A 19 B 20 D Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH NR ZADANIA POPRAWNA ODPOWIEDŹ D C 3 C 4 B 5 D 6 A 7 D 8 D 9 A 0 C B A 3 A 4 B 5 D 6 B 7 C 8 A 9 B 0 D Zadanie ( pkt) Okręgowa

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) i FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 05 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C

Bardziej szczegółowo

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi... Wprowadzenie oznaczeń: x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010

Próbny egzamin maturalny z matematyki 2010 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki 00 Klucz punktowania do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania do zadań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 016/017 FORMUŁ OD 015 i DO 014 ( NOW MTUR i STR MTUR ) MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ZSDY OCENINI ROZWIĄZŃ ZDŃ RKUSZ MM-P1 SIERPIEŃ 017 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM Matematyka Poziom rozszerzony Listopad W kluczu są prezentowane przykładowe prawidłowe odpowiedzi. Należy również uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są

Bardziej szczegółowo

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki)

Zestaw II sposób rozwiązania (rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki) CZERWIEC 00 Prawidłowe odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr Zadania 3 4 8 9 0 3 4 8 9 0 3 4 Odpowiedź C D C D C D C C C C C D Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność x Schemat oceniania zadań otwartych x30 0.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych

D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A. Schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych TECHNIKUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D B C B C D A C A C B D C C A B C B A A Zadanie (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom rozszerzony Zadanie (0 4) Obszar standardów Użycie i tworzenie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania.. Etapy rozwiązania zadania OCENIANIE ARKUSZA POZIOM PODSTAWOWY Zapisanie ceny wycieczki po podwyżce, np. x + 5% x, gdzie x oznacza pierwotną cenę wycieczki. Liczba punktów. Zapisanie równania:

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Schemat oceniania. Poziom Podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz Poziom Podstawowy sierpień 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 Odpowiedź A C A A D B A A C A B D D C D C C C C B

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM PODSTAWOWY Katalog poziom podstawowy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Rozwiąż nierówność x x x Obszar standardów

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0-) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 04 ( STR MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi CZERWIEC 0 Zadanie (5 pkt) Rozwiąż nierównoć x 4x 4 x 6x 9 I sposób rozwiązania (wyróżnienie na osi liczbowej przedziałów) Wykorzystując wzory

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZMN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 06/0 FORMUŁ O 05 ( NOW MTUR ) MTEMTYK POZOM POSTWOWY ZSY OENN ROZWĄZŃ ZŃ RKUSZ MM-P MJ 0 Zadania zamknięte Punkt przyznaje się za wskazanie poprawnej odpowiedzi Zadanie (0

Bardziej szczegółowo

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty.

Uwaga. 1. Jeśli uczeń poda tylko rozwiązania ogólne, to otrzymuje 4 punkty. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KRYTERIA OCENIANIA-POZIOM ROZSZERZONY Zadanie 1. (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale. 1 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A04 2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba π spełnia nierówność: A. + 1 > 5 B. 1 < 2 C. + 2 3 4

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 01 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi ZERWIE 01 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r. MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYH Lata 010 019 Poziom podstawowy Uzupełnienie 019 Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 019 r. Opracował Ryszard Pagacz Spis treści Zadania maturalne.........................................................

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 FORMUŁA OD 05 NOWA MATURA i FORMUŁA DO 04 STARA MATURA MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P SIERPIEŃ 08 Egzaminatorze! Oceniaj

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi

EGZAMIN WST PNY CZERWIEC MATEMATYKA Poziom podstawowy. Kryteria oceniania odpowiedzi EGZAMIN WSTPNY CZERWIEC 04 MATEMATYKA Poziom podstawowy Egzamin wstępny poziom podstawowy 04 Klucz punktowania zadań zamknitych zadanie 4 6 7 8 9 0 odpowiedź D C C A D A A B C C A B C zadanie 4 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2017/2018 MATEMATYKA EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 07/08 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) + FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 08 Egzaminatorze!

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów. Zapisanie dziedziny funkcji f:,.. Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA POZIOM PODSTAWOWY Numer zadania Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Zapisanie dziedziny funkcji f:, Podanie miejsc zerowych funkcji: Naszkicowanie wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa

Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM

Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy punktowania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D D B C B B A A A D C D C D B A C A C Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 B D D B A C A A B A D D C D C B D B C C Zadanie (pkt) Schemat oceniania

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo

Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Sponsorem wydruku schematu odpowiedzi jest wydawnictwo KRYTERIA OCENIANIA POZIOM ROZSZERZONY Katalog zadań poziom rozszerzony

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiały diagnostyczne przygotowała Agata Siwik we współpracy z nauczycielami

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 20 sierpnia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/05 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MODEL ODPOWIEDZI I SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZE MMA-P SIERPIEŃ 05 Matura z matematyki poziom podstawowy 05

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy

Próbna matura z WSiP Marzec 2017 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy 3 Poziom podstawowy Wypełnia uczeń PESEL Kod ucznia Próbna matura z WSiP Marzec 07 Egzamin maturalny z matematyki dla klasy Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum)

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum) Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. WPISUJE UCZEŃ KOD PESEL PRZEDMATURALNA DIAGNOZA KSZTAŁTUJĄCA Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 018 (dla klas trzecich liceum

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo