9 K A TEDRA FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I

9 K A TEDRA FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 9. Spawdzene dugej zasady dynamk uchu obotowego Wpowadzene Pzez byłę sztywną ozumemy cało, któe pod wpływem dzałana sł ne zmena swego kształtu, tzn. odległość dwóch dowolnych punktów tego cała pozostaje stała. Każdy uch tej były może być pzedstawony jako złożene dwóch uchów postych uchu postępowego uchu obotowego. W uchu postępowym wszystke punkty cała zakeślają take same toy oaz mają jednakowe pędkośc pzyspeszena. Dlatego ops takego uchu były sztywnej spowadza sę do opsu uchu punktu matealnego, np. śodka masy cała. Wekto położena śodka masy zdefnowany jest wzoem: m s =, () m gdze cało podzelone jest na n małych częśc o masach m wektoach położena. Gdy lczba częśc n zmeza do neskończonośc, wówczas wzó pzybea postać: dm s =. () dm Najczęścej spotykanym pzypadkem uchu obotowego były jest uch wokół stałej os obotu do takej sytuacj zwykle będą odnoszone dalsze ozważana. Wówczas wszystke punkty cała pouszają sę po okęgach, któych śodk leżą na jednej postej zwanej osą obotu, zaś pomene wodzące punktów w takm samym czase zakeślają jednakowe kąty. Z defncj welkośc kątowych wynka, że ówneż pędkośc kątowe pzyspeszena kątowe punktów są take same. Natomast pędkośc lnowe punktów zależą od ch odległośc od os obotu. Rys.. Welkośc lnowe kątowe w uchu obotowym były. Pzez pędkość kątową ozumemy szybkość zmany kąta zakeślonego pzez pomeń wodzący punktu. Jest to welkość wektoowa o keunku zgodnym z osą obotu:

dα ω =. (3) Gdy pędkość kątowa ne jest stała w czase, to szybkość jej zmany opsuje pzyspeszene kątowe, czyl stosunek zmany pędkośc kątowej do czasu tej zmany: dω ε =. (4) Zwązk pomędzy welkoścam lnowym welkoścam kątowym okeślają ównana: v = ω, (5) = ω, (6) gdze: v pędkość lnowa punktu; a s pzyspeszene styczne punktu. a s Do opsu dynamk były sztywnej wpowadzamy nowe pojęca. Aby spowodować uch obotowy były potzebna jest sła, ale stotna jest ne tylko jej watość, lecz także keunek dzałana punkt pzyłożena. Na pzykład sła ównoległa do os obotu ne spowoduje zmany w uch były. Moment sły F względem os obotu defnowany jest jako loczyn wektoowy wektoa wodzącego punktu pzyłożena sły tej sły F: Watość momentu sły wynos: M F =. (7) M = snφ F = F, (8) gdze jest amenem sły ównym odległośc postej dzałana sły od os obotu (ys. ). Rys.. Moment sły M jest postopadły do sły F jej wektoa wodzącego. W uchu obotowym były ważną olę odgywa ozmeszczene masy wokół os obotu, co jest okeślane pzez moment bezwładnośc. Dla układu punktów matealnych o masach m leżących w óżnych odległoścach od os obotu moment bezwładnośc I jest ówny: I = m. (9) W pzypadku cała sztywnego, któe chaakteyzuje sę cągłym ozkładem masy, cało dzelmy na neskończene małe częśc sumowane zastępujemy całkowanem: I = dm. (0) Momenty bezwładnośc wybanych był egulanych względem ch os symet zestawone są w tabel.

Tabela. Momenty bezwładnośc nektóych był sztywnych względem os pzechodzącej pzez śodek masy. Cało sztywne Oś obotu Moment bezwładnośc I o Kula o pomenu R Oś pzechodząca pzez śodek mr 5 Walec o pomenu R Walec o pomenu R długośc L Podłużna oś symet mr Oś postopadła do podłużnej os m R m + symet 4 L Obęcz o pomenu R Oś obęczy mr Cenk pęt o długośc L Symetalna, postopadła do pęta ml Zwązek pomędzy momentem bezwładnośc I o względem os pzechodzącej pzez śodek masy a momentem bezwładnośc I względem nnej ównoległej do nej os okeśla twedzene Stenea: gdze: m masa cała, d odległość mędzy dwema osam. I = I o + m d, () Moment bezwładnośc cała zależy od wybou os obotu. Ose, względem któych moment bezwładnośc pzybea watośc ekstemalne nazywa se głównym osam bezwładnośc, a odpowadające m momenty głównym momentam bezwładnośc (jak w tabel ). W pzypadku gdy oś obotu jest wybana dowolne (np. skośne do głównej os bezwładnośc) to sytuacja ulega komplkacj. Moment bezwładnośc ne jest wówczas welkoścą skalaną, lecz welkoścą tensoową wyażaną za pomocą macezy. Moment pędu punktu matealnego o mase m wektoze wodzącym pouszającego se z pędkoścą v względem os obotu odległej o okeślany jest wzoem: L = m. () W uchu punktu po okęgu (wekto v jest postopadły do wektoa ) wekto momentu pędu jest skeowany zgodne z osą obotu, zaś jego watość jest ówna: 3 v L = m v = m ω. (3) Dla obacającej sę były moment pędu jest sumą momentów pędu wszystkch jej punktów matealnych, na któe została podzelona (keunek zwot wektoów pędkośc kątowej ω jest tak sam): L = L = mω = ω m = ω I, (4) co można zapsać: L I ω =. (5) Zatem moment pędu były L ówna sę loczynow jego momentu bezwładnośc I pędkośc kątowej ω. Zależność powyższa jest słuszna gdy cało obaca sę względem jednej ze swoch os głównych, bo wówczas moment bezwładnośc jest skalaem, a wektoy L ω są ównoległe. Dla os ukośnych na ogół mamy do czynena z tensoem bezwładnośc neównoległoścą wektoów L ω. O skutkach dzałana sł w uchu postępowym możemy wnoskować posługując se dugą zasadą dynamk Newtona: F = m a. W uch obotowym posługując se upzedno zdefnowanym pojęcam można wykazać, że duga zasada dynamk pzyjmuje postać:

M = I ε, (6) co oznacza, że moment sły dzałającej na byłę sztywną jest ówny loczynow momentu bezwładnośc były jej pzyspeszena kątowego. Stosując ponższe pzekształcene: dω d(i ω) dl M = I ε = I = =, (7) otzymujemy nną postać dugej zasady dynamk dla uchu obotowego dl M =. (8) Zwązek ten jest słuszny dla uchu swobodnego cała sztywnego. Podczas uchu wokół stałej os obotu na uch były wpływa tylko składowa momentu sły ównoległa do os obotu (M z ), natomast składowa postopadła do os (M xy ) usłuje obócć (zmenć keunek) os obotu. Wynka z tego postać dugej zasady dynamk dla uchu wokół stałej os obotu: dlz M z =. (9) Moment sł dzałających na cało lczony względem stałej os obotu (M z ) jest ówny szybkośc zman momentu pędu cała lczonego względem tej samej os obotu (L z ). Obacające sę cało posada enegę knetyczną uchu obotowego nawet wówczas gdy śodek masy cała sę ne pzemeszcza. Można ją wyznaczyć sumując enege knetyczne poszczególnych punktów były (E ): E k = E = mv = m ω = ω m = ω I, (0) E k = I ω. () Zatem enega knetyczna uchu obotowego były jest ówna połowe loczynu jej momentu bezwładnośc kwadatu pędkośc kątowej. Z uwag na to, że pomędzy welkoścam lnowym kątowym opsującym uch postępowy postolnowy uch obotowy były sztywnej wokół stałej os stneje pewna analoga, wato zestawć je w tabel. Tabela. Poównane opsu uchu postolnowego uchu obotowego Ruch postolnowy 4 Ruch obotowy Doga lnowa s Doga kątowa α Pędkość lnowa ds dα v = Pędkość kątowa ω = Pzyspeszene lnowe dv dω a = Pzyspeszene kątowe ε = Masa m Moment bezwładnośc I m = Pęd p = m v Moment pędu L = I ω Sła F Moment sły M = F dp dl II zas. dynamk F = ma = II zas. dynamk M = Iε = Enega knetyczna Ek = mv Enega knetyczna Ek = Iω

Metoda pomau Celem ćwczena jest dośwadczalne spawdzene teoetycznych zależnośc wynkających z zastosowana dugej zasady dynamk dla uchu obotowego. Powązane welkośc występują w uchu obotowym zwązanym z nm uchu postępowym. Z uwag na to, że najlepej jest spawdzać zależnośc lnowe, zostaną one najpew wypowadzone. Pzyządem wykozystywanym w ćwczenu jest wahadło Obebecka (ys. 3), któego główną część stanow obacający sę wokół stałej pozomej os walec z kzyżakem złożonym z pętów postopadłych do os obotu. Do pętów kzyżaka można mocować obcążnk dobeając dowolne ch odległość od os obotu, pzez co zmena sę moment bezwładnośc kzyżaka I. Na walec o pomenu nawnęta jest nć. Do dugego końca nc pzezuconej pzez bloczek pzyczepony jest cężaek o mase m, któy wpawa w uch obotowy kzyżak. Zastosowane dwóch fotokomóek pozwala dokładne mezyć czas uchu cężaka na dodze s mędzy fotokomókam. 5 6 4 3 Rys. 3. Wahadło Obebecka: mlsekundomez; fotokomóks; 3 obcążnk kzyżaka; 4 kzyżak; 5 nć; 6 cężaek. Cężaek (6) pousza sę uchem jednostajne pzyspeszonym z pędkoścą początkową ówną zeo. W tej sytuacj s = a t /, co po pzekształcenu daje zależność t = s. () a Zatem pzy ustalonych paametach kzyżaka ustalonej mase cężaka kwadat czasu uchu cężaka jest lnową funkcją pzebytej dog. 5

Zgodne z II zasadą dynamk Newtona m a = m g F, (3) gdze: F - sła nacągu nc. Sła ta popzez nć nawnętą na walec dzała styczne do jego obwodu wytwazając moment sły wpawający w uch obotowy jednostajne pzyspeszony cały kzyżak. Poneważ F = m(g a), węc dla uchu obotowego ównane (6) możemy zapsać w postac: m (g a) = I ε, (4) gdze: m masa cężaka; a - pzyspeszene lnowe cężaka ówne pzyspeszenu lnowemu dowolnego punktu na obwodze walca; pomeń walca; I moment bezwładnośc całego kzyżaka; ε - pzyspeszene kątowe kzyżaka Uwzględnając zwązek pzyspeszena kątowego z lnowym (ε = a/), oaz występujące tace (opoy uchu - T), otzymujemy: Po pzekształcenu: m (g a) T = I a/. (5) (I/ +m) a = m g T. (6) Z uwag na fakt, że w wykozystywanym pzyządze m << I/, wzó (6) otzymuje postać: Moment bezwładnośc całego kzyżaka jest ówny: a I/ = m g T. (7) I = I + 4 I, (8) gdze: I - moment bezwładnośc pętów walca z nawjaną ncą (stały); I - moment bezwładnośc jednego walcowego obcążnka kzyżaka. Uwzględnając wzó z tabel wzó Stenea, I jest ówne: mr ml d I = + m, (9) 4 gdze: R pomeń walcowego obcążnka; m masa walcowego obcążnka; L długość walcowego obcążnka; d odległość mędzy śodkam dwóch pzecwległych walcowych obcążnków. + Zatem moment bezwładnośc całego kzyżaka jest ówny: m L I + 3 = I + mr + md. (30) Uwzględnając fakt, że suma tzech pewszych składnków we wzoze (3) jest stała dla danego pzyządu (= I o ), a tylko czwaty zależy od położena obcążnków, możemy napsać: Zatem ównane (7) pzyjme postać: I = I o + m d. (3) I0 + md a = mg T Pzyspeszene a wyznaczone jest z uchu jednostajne pzyspeszonego cężaka (a=s/t ), pzez co w kolejnych pzekształcenach uzyskuje sę zależnośc: s t I0 + md (3) = mg T, (33) 6

t I os ms = + d (34) (mg T) (mg T) Dla stałych watośc dog s masy m, oaz zakładając stałą watość opoów uchu, watośc ułamków mają stałą watość, co można oznaczyć: A Ios (mg T) = = const ms, B = = const. (35) (mg T) Zatem ównane (34) będące wynkem analzy uchu obotowego z wykozystanem wahadła Obebecka pzyjme postać: t = A + B d (36) Wynka z nego, że kwadat czasu uchu cężaka jest lnową funkcją kwadatu odległośc pomędzy śodkam pzecwległych walcowych obcążnków kzyżaka. Wykesem tej zależnośc jest lna posta. Inną zależność dla uchu obotowego wążącą czas uchu t z masą cężaka m uzyskamy z ównana (34), jeśl ustalmy odległość d mędzy śodkam obcążnków kzyżaka dogę cężaka s: t g T = m. (37) s(i + m d ) s(i + m d ) Pzy stałych watoścach d s ułamk maja stałą watość, co można oznaczyć: C g s(i + m d = o Zatem ównane (37) pzyjme postać: o o o T = const, D const ) = =. (38) s(i + m d ) t = C m D Wynka z nego, że odwotność kwadatu czasu twana uchu cężaka jest lnową funkcją jego masy. (39) Wykonane ćwczena Ćwczene składa sę z tzech częśc. Powadzący okeśla któe częśc należy wykonać. a) Spawdzene, czy uch cężaka jest jednostajne pzyspeszony (słuszność wzou t =s/a). Ustawć obcążnk kzyżaka (3) w pzyblżenu w śodkowym położenu pętów (wszystke w tej samej odległośc od śodka kzyżaka) zmezyć odległość mędzy śodkam dwóch pzecwległych obcążnków (d).. Wybać watość cężaka (6) zmezyć jego masę (m). 3. Rozsunąć fotokomók () w skajne położena ustalając maksymalną dogę uchu cężaka (6). Odczytać dogę z lnału umeszczonego na kolumne pzyządu. 4. Zmezyć klkakotne czas uchu cężaka mędzy fotokomókam z wykozystanem sekundomeza (). 5. Pzesuwając fotokomókę góną o 3 cm do dołu powtazać pomay klkakotne. W ten sposób wykonuje sę pomay dla ok. 0 watośc dog s. 6. Spoządzć wykes t = f(s). Wykozystując metodę najmnejszych kwadatów oblczyć paamety A B otzymanej postej (y = Ax+B) oaz nepewnośc A B. Wyznaczyć współczynnk koelacj R. Wyznaczyć pzyspeszene uchu (A = /a). 7

Tabela pomaowa: m [g] d [cm] s [cm] t ś [s] b) Spawdzene słusznośc ównana t = A + B d. Ustawć odległość s mędzy fotokomókam.. Wybać masę m cężaka zmezyć ją. 3. Ustawć obcążnk kzyżaka (3) w skajnych położenach na pętach (wszystke w tej samej odległośc od śodka kzyżaka). Zmezyć odległość mędzy śodkam dwóch pzecwległych obcążnków (d). 4. Zmezyć klkakotne czas t uchu cężaka mędzy fotokomókam z wykozystanem sekundomeza (). 5. Pzyblżyć obcążnk o około -3 cm powtazać pomay z punktów 3 4. W ten sposób wykonuje sę pomay dla ok. 0 watośc d. 6. Spoządzć wykes t = f(d ). Wykozystując metodę najmnejszych kwadatów oblczyć paamety A B otzymanej postej (y = Ax+B) oaz nepewnośc A B. Wyznaczyć współczynnk koelacj R. Tabela pomaowa: m [g] s [cm] d [cm] t ś [s] 8

c) Spawdzene słusznośc ównana: /t = C m - D. Ustawć odległość s mędzy fotokomókam.. Ustawć obcążnk kzyżaka (3) w pzyblżenu w śodkowym położenu pętów (wszystke w tej samej odległośc od śodka kzyżaka) zmezyć odległośc śodków pzecwległych obcążnków. 3. Zmezyć masę m pojedynczego cężaka. 4. Zmezyć klkakotne czas t uchu cężaka mędzy fotokomókam z wykozystanem sekundomeza (). 5. Zwększyć masę m o jeden obcążnk (o upzedno zmezonej mase). Do tabel wpsać całkowtą masę m cężaków. 6. Powtazać pomay z punktu 4. 7. Powtazać pomay ze zwększającą sę masą cężaka aż do wykozystana wszystkch obcążnków. 8. Spoządzć wykes /t = f(m). Wykozystując metodę najmnejszych kwadatów oblczyć paamety A B otzymanej postej (y = Ax+B) oaz nepewnośc A B. Wyznaczyć współczynnk koelacj R. Tabela pomaowa: d [cm] s [cm] m [g] t ś [s] Zagadnena do kolokwum:. Ruch postępowy obotowy były sztywnej.. Welkośc knematyczne służące do opsu uchu po postej po okęgu. 3. Moment sły, moment bezwładnośc, moment pędu. 4. Duga zasada dynamk uchu obotowego były. 5. Poównane opsu uchu postolnowego uchu obotowego. 6. Wahadło Obebecka. Wypowadzene zależnośc t = A + B d. Bblogafa. D. Hallday, R. Resnck, J. Walke, Podstawy fzyk, Wydawnctwo Naukowe PWN, Waszawa 003, tom.. J. Oea, Fzyka, Wydawnctwo Naukowo-Technczne, Waszawa 993, tom. 3. J. Massalsk, M. Massalska, Fzyka dla Inżyneów, WNT, Waszawa 008, tom. 9