10 K A TEDRA FIZYKI STOSOWANEJ P R A C O W N I A F I Z Y K I

Transkrypt

1 10 K A TEDRA FZYK STOSOWANEJ P R A C O W N A F Z Y K Ćw. 10. Wyznaczane mmentu bezwładnśc był neegulanych Wpwadzene Pzez byłę sztywną zumemy cał, któe pd wpływem dzałana sł ne zmena sweg kształtu, tzn. dległść dwóch dwlnych punktów teg cała pzstaje stała. Każdy uch tej były mże być pzedstawny jak złżene dwóch uchów pstych uchu pstępweg uchu btweg. W uchu pstępwym wszystke punkty cała zakeślają take same ty az mają jednakwe pędkśc pzyspeszena. Dlateg ps takeg uchu były sztywnej spwadza sę d psu uchu punktu matealneg, np. śdka masy cała. Wekt płżena śdka masy zdefnwany jest wzem: m s =, (1) m gdze cał pdzelne jest na n małych częśc masach m wektach płżena. Gdy lczba częśc n zmeza d neskńcznśc, wówczas wzó pzybea pstać: dm s =. () dm Najczęścej sptykanym pzypadkem uchu btweg były jest uch wkół stałej s btu d takej sytuacj zwykle będą dnszne dalsze zważana. Wówczas wszystke punkty cała puszają sę p kęgach, któych śdk leżą na jednej pstej zwanej są btu, zaś pmene wdzące punktów w takm samym czase zakeślają jednakwe kąty. Z defncj welkśc kątwych wynka, że ówneż pędkśc kątwe pzyspeszena kątwe punktów są take same. Natmast pędkśc lnwe punktów zależą d ch dległśc d s btu. Rys.1. Welkśc lnwe kątwe w uchu btwym były. Pzez pędkść kątwą zumemy szybkść zmany kąta zakeślneg pzez pmeń wdzący punktu. Jest t welkść wektwa keunku zgdnym z są btu:

2 dα ω =. (3) Gdy pędkść kątwa ne jest stała w czase, t szybkść jej zmany psuje pzyspeszene kątwe, czyl stsunek zmany pędkśc kątwej d czasu tej zmany: dω ε =. (4) Zwązk pmędzy welkścam lnwym welkścam kątwym keślają ównana: v = ω, (5) = ω, (6) gdze: v pędkść lnwa punktu; a s pzyspeszene styczne punktu. a s D psu dynamk były sztywnej wpwadzamy nwe pjęca. Aby spwdwać uch btwy były ptzebna jest sła, ale sttna jest ne tylk jej watść, lecz także keunek dzałana punkt pzyłżena. Na pzykład sła ównległa d s btu ne spwduje zmany w uch były. Mment sły F względem s btu defnwany jest jak lczyn wektwy wekta wdząceg punktu pzyłżena sły tej sły F: Watść mmentu sły wyns: M F =. (7) M = snφ F = F, (8) gdze jest amenem sły ównym dległśc pstej dzałana sły d s btu (ys. ). Rys.. Mment sły M jest pstpadły d sły F jej wekta wdząceg. W uchu btwym były ważną lę dgywa zmeszczene masy wkół s btu, c jest keślane pzez mment bezwładnśc. Dla układu punktów matealnych masach m leżących w óżnych dległścach d s btu mment bezwładnśc jest ówny: = m. (9) W pzypadku cała sztywneg, któe chaakteyzuje sę cągłym zkładem masy, cał dzelmy na neskńczene małe częśc sumwane zastępujemy całkwanem: = dm. (10) Mmenty bezwładnśc wybanych był egulanych względem ch s symet zestawne są w tabel 1.

3 Tabela 1. Mmenty bezwładnśc nektóych był sztywnych względem s pzechdzącej pzez śdek masy. Cał sztywne Oś btu Mment bezwładnśc Kula pmenu R Oś pzechdząca pzez śdek mr 5 Walec pmenu R Walec pmenu R długśc L Pdłużna ś symet 1 mr Oś pstpadła d pdłużnej s m R m + symet 4 1 L Obęcz pmenu R Oś bęczy mr Cenk pęt długśc L Symetalna, pstpadła d pęta 1 ml 1 Zwązek pmędzy mmentem bezwładnśc względem s pzechdzącej pzez śdek masy a mmentem bezwładnśc względem nnej ównległej d nej s keśla twedzene Stenea: gdze: m masa cała, d dległść mędzy dwema sam. = + m d, (11) Mment bezwładnśc cała zależy d wybu s btu. Ose, względem któych mment bezwładnśc pzybea watśc ekstemalne nazywa se głównym sam bezwładnśc, a dpwadające m mmenty głównym mmentam bezwładnśc (jak w tabel 1). W pzypadku gdy ś btu jest wybana dwlne (np. skśne d głównej s bezwładnśc) t sytuacja ulega kmplkacj. Mment bezwładnśc ne jest wówczas welkścą skalaną, lecz welkścą tenswą wyażaną za pmcą macezy. Mment pędu punktu matealneg mase m wektze wdzącym puszająceg se z pędkścą v względem s btu dległej keślany jest wzem: L = m. (1) W uchu punktu p kęgu (wekt v jest pstpadły d wekta ) wekt mmentu pędu jest skewany zgdne z są btu, zaś jeg watść jest ówna: 3 v L = m v = m ω. (13) Dla bacającej sę były mment pędu jest sumą mmentów pędu wszystkch jej punktów matealnych, na któe zstała pdzelna (keunek zwt wektów pędkśc kątwej ω jest tak sam): L = L = mω = ω m = ω, (14) c mżna zapsać: L ω =. (15) Zatem mment pędu były L ówna sę lczynw jeg mmentu bezwładnśc pędkśc kątwej ω. Zależnść pwyższa jest słuszna gdy cał baca sę względem jednej ze swch s głównych, b wówczas mment bezwładnśc jest skalaem, a wekty L ω są ównległe. Dla s ukśnych na gół mamy d czynena z tensem bezwładnśc neównległścą wektów L ω. O skutkach dzałana sł w uchu pstępwym mżemy wnskwać psługując se dugą zasadą dynamk Newtna: F = m a. W uch btwym psługując se upzedn zdefnwanym pjęcam mżna wykazać, że duga zasada dynamk pzyjmuje pstać:

4 M = ε, (16) c znacza, że mment sły dzałającej na byłę sztywną jest ówny lczynw mmentu bezwładnśc były jej pzyspeszena kątweg. Stsując pnższe pzekształcene: dω d( ω) dl M = ε = = =, (17) tzymujemy nną pstać dugej zasady dynamk dla uchu btweg dl M =. (18) Zwązek ten jest słuszny dla uchu swbdneg cała sztywneg. Pdczas uchu wkół stałej s btu na uch były wpływa tylk składwa mmentu sły ównległa d s btu (M z ), natmast składwa pstpadła d s (M xy ) usłuje bócć (zmenć keunek) s btu. Wynka z teg pstać dugej zasady dynamk dla uchu wkół stałej s btu: dlz M z =. (19) Mment sł dzałających na cał lczny względem stałej s btu (M z ) jest ówny szybkśc zman mmentu pędu cała lczneg względem tej samej s btu (L z ). Obacające sę cał psada enegę knetyczną uchu btweg nawet wówczas gdy śdek masy cała sę ne pzemeszcza. Mżna ją wyznaczyć sumując enege knetyczne pszczególnych punktów były (E ): E k = E = mv = m ω = ω m = ω, (0) 1 E k = ω. (1) Zatem enega knetyczna uchu btweg były jest ówna płwe lczynu jej mmentu bezwładnśc kwadatu pędkśc kątwej. Z uwag na t, że pmędzy welkścam lnwym kątwym psującym uch pstępwy pstlnwy uch btwy były sztywnej wkół stałej s stneje pewna analga, wat zestawć je w tabel. Tabela. Pównane psu uchu pstlnweg uchu btweg Ruch pstlnwy 4 Ruch btwy Dga lnwa s Dga kątwa α Pędkść lnwa ds dα v = Pędkść kątwa ω = Pzyspeszene lnwe dv dω a = Pzyspeszene kątwe ε = Masa m Mment bezwładnśc m = Pęd p = m v Mment pędu L = ω Sła F Mment sły M = F dp dl zas. dynamk F = ma = zas. dynamk M = ε = 1 1 Enega knetyczna Ek = mv Enega knetyczna Ek = ω

5 Metda pmau Celem ćwczena jest dśwadczalne wyznaczene mmentu bezwładnśc były neegulanej. Wykzystuje sę d teg wahadł tsyjne, w któym dknuje sę pmaów był znanym neznanym mmence bezwładnśc. Wahadł tsyjne stanw pęt spężysty, któeg jeden knec zamcwany jest na stałe, zaś d dugeg pzymcwana jest była mmence bezwładnśc (ys. 3). Oś symet były jest pnwa pkywa sę z są symet pęta. Rys. 3. Wahadł tsyjne: U uchwyt, D dut, W - walec. Wahadł skęcne newelk kąt puszczne wyknuje dgana hamnczne wkół s symet. Okes dgań takeg wahadła wyaża sę wzem: T = π, () D gdze: - mment bezwładnśc były; D - mment keujący wahadła spężysteg, stały dla daneg pęta. Zatem jeśl na pęce az zamcujemy np. walec znanym mmence bezwładnśc ( = m /), zaś za dugm azem badaną byłę, t będzemy w stane blczyć mment bezwładnśc badanej były. Okesy dgań walca badanej były wynszą dpwedn: T = π, D Pzez pdzelene stnam pdnesene d kwadatu tzymamy: T T = 5 T = π. (3) D. (4) Uwzględnając fakt, że dla walca = m /, tzymujemy wzó na mment bezwładnśc badanej były: 1 T = m d. (5) 8 T 0

6 Wyknane ćwczena 1. Za pmcą wag labatyjnej wyznaczyć masę m walca użyteg w ćwczenu. Śedncę walca d zmezyć w klku mejscach suwmaką.. Zamcwać walec na uchwyce pęta. 3. Wpawć układ w dgana tsyjne skęcając dut newelk kąt. 4. Zmezyć czas t klkudzesęcu (n) dgań. Pma pwtózyć klkaktne. Okes dgań wyznaczyć dzeląc czas pzez lczbę cykl (T = t /n) 5. Zdjąć walec w jeg mejsce umeścć byłę neegulaną. 6. Wyknać pmay czasu t jak w punktach Mment bezwładnśc badanej były neegulanej blczyć ze wzu (5) 8. Nepewnść pmau wyznaczyć metdą óżnczkwą pzyjmując = f(m,d,t,t ). Tabela pmawa: m [g] d [cm] n t [s] T [s] n t [s] T [s] Zagadnena d klkwum: 1. Ruch pstępwy btwy były sztywnej.. Welkśc knematyczne służące d psu uchu p pstej p kęgu. 3. Mment sły, mment bezwładnśc, mment pędu. 4. Duga zasada dynamk uchu btweg były. 5. Pównane psu uchu pstlnweg uchu btweg. 6. Dgana tsyjne. Wyznaczane dśwadczalne mmentu bezwładnśc był z wykzystanem dgań tsyjnych. Bblgafa: 1. D. Hallday, R. Resnck, J. Walke, Pdstawy fzyk, Wydawnctw Naukwe PWN, Waszawa 003, tm 1.. J. Oea, Fzyka, Wydawnctw Naukw-Technczne, Waszawa 1993, tm J. Massalsk, M. Massalska, Fzyka dla nżyneów, WNT, Waszawa 008, tm 1. 6