Publikacja oracowana odcas realiacji rojektu Plan Rowoju Politechniki Cęstochowskiej wsółfinansowanego re nię Euroejską w ramach Euroejskiego Fundusu Sołecnego. MECHA IKA PŁY ÓW (dla kierunku Mechatronika ) STA ISŁAW DROB IAK Grudień 008
SPIS TREŚCI. Podstawowe ojęcia mechaniki łnów 4.. Mechanika ciała stałego a mechanika łnów 4... Płn jako ośrodek ciągł 0.3. Ciśnienie w łnie jako wielkość skalarna. Podstaw kinematki łnów 5.. Metoda Lagrange a oisu ruchu łnu 5.. Eulerowski ois ruchu łnu 7.3. Trajektorie, linie i owierchnie rądu.3.. Tor elementu łnu.3.. Linia rądu.3.3. Rurka rądu i włókno rądu 4.5. Warunek ciągłości rełwu 5 3. Równania ruchu łnu 3 3.. Równanie ruchu łnu idealnego równanie Eulera 33 3.. Metodka rowiąwania równania Eulera 35 3.3. Równanie ruchu łnu lekiego równanie Navier-Stokesa 38 3.4. Prkład rowiąania równania N-S, rawo Hagena-Poiseuille a 47 3.5. Ruch laminarn i turbulentn. Doświadcenie Renoldsa 53 3.6. Rokład rędkości w orecnm rekroju rur w rełwie turbulentnm 59 4. Statka łnów 64 4.. Równanie równowagi dla nieruchomego łnu. Równanie Eulera 64 4.. Warunki bewirowości dla sił masowch 66 4.3. Ois równowagi łnu nieruchomego w olu sił grawitacjnch 68 4.4. Wnioski anali równania Eulera 7 4.5. Równowaga ciec w nacniach ołąconch 74 4.6. Poiom odniesienia r omiare ciśnienia, ciśnienie atmosfercne 79 4.7. Prawo Pascala 8 5. Naór hdrostatcn 85 5.. Naór ciec na owierchnie łaskie oiome 85 5.. Naór ciec na owierchnie łaskie dowolnie orientowane 87 5.3. Naór ciec na owierchnie o dowolnm kstałcie 9 6. Ois ruchu łnu idealnego i wbrane astosowania 95 6.. Równanie Bernoulliego dla ruchu ustalonego łnu idealnego wdłuż linii rądu. 95 6.. Metodka rowiąwania równania Bernoulliego i jego interretacja 97 6.3. Pomiar rędkości rełwu sond ciśnieniowe 0 6.4. Wrowadenie do gaodnamiki 05 7. Równanie Bernoulliego dla łnów lekich 08 7.. Premian energii w łnie lekim 08 7.. Strat wwołane tarciem łnu 0 7.3. Strat lokalne 5 7.4. Interretacja remian energii w rełwie łnu recwistego str.
7.5. Prełw re rewod o niekołowm rekroju orecnm 5 8. Krteria odobieństwa rełwów 7 8.. Klasfikacja krteriów odobieństwa 7 8.. Bewmiarowe równanie ruchu 8 8.3. Sens ficn licb odobieństwa 3 9. Wrowadenie do teorii rełwów otencjalnch 35 9.. Podstawowe ojęcia i astosowane uroscenia 35 9.. Potencjal rędkosci 37 9.3. Funkcja rądu 40 9.4. Prełw elementarne 45 9.4.. Prełw równoległ 45 9.4.. Prełw w narożu 47 9.4.3. Źródło łaskie 49 9.5.. Suerocja rełwów elementarnch, rkład rowiaania 5 3
. Podstawowe ojęcia mechaniki łnów W więksości astosowań technicnch wróżnia się dwa rodaje ciał, tn. łn i ciała stałe, r cm najcęściej sotkana definicja owalająca roróżnić te dwa ośrodki brmi nastęująco:...łn w odróżnieniu od ciał stałch oddają się diałaniu dowolnie nawet małch sił wwołującch mian kstałtu. Mimo, iż definicja ta jest całkowicie recjna i łatwa do roumienia, to jednak o głębsm astanowieniu nasuwać może sereg wątliwości... Mechanika ciała stałego a mechanika łnów. Pierwsa wątliwość dotcć może srecności międ intuicjnie wcuwaną strukturą łnu i ojęciem kstałtu, bo recież niektóre odręcniki definiują łn jako ośrodki beostaciowe, które albo rjmują kstałt nacnie (ciece) lub wełniają całe nacnie (ga). Kolejna wątliwość dotcć może celowości wrowadania roróżnienia międ ciałami stałmi i łnami. Miedź, która jest towm redstawicielem ciał stałch, o odgraniu do temeratur owżej 350 o K staje się ciecą i można sodiewać się, że w odowiednio wsokiej temerature amieni się w arę, cli rejdie w stan gaow. Inne aś ciała traktowane jako łn jak n. asfalt c leik uderane młotkiem będą ękać jak ciało stałe. Jeżeli jednak odwrócim do gór dnem beckę leikiem, to o ułwie odowiednio długiego casu włnie on becki (chociaż w temerature otocenia może to trwać nawet kilka tgodni). Sróbujm atem redstawić bardiej wnikliwą analię właściwości ficnch obdwu tch substancji. Z unktu widenia inżniera najistotniejsą własnością każdego materiału konstrukcjnego jest jego dolność do renosenia obciążeń, w którch to warunkach deformacja konstrukcji nie może rekrocć ałożonch re rojektanta granic. Prerowadźm atem doświadcenie ilustrujące rebieg odkstałcenia belki wkonanej dowolnego materiału klas ciał stałch, która to belka będie utwierdona w odłożu i oddana diałaniu sił F F, jak okaano na rs..a. Jeżeli ole rekroju orecnego belki jest równe A (atr rs..a), wówcas narężenia stcne w tm rekroju wnosą: F τ (.) A Narężenia te są tm więkse, im więksa jest wartość sił F diałającej na belkę, cemu towars więksa deformacja kątowa d φ, jak okaano schematcnie na rs..b. Jeżeli deformacja mieści się w akresie srężstm, wówcas godnie rawem Hooke a naisać można: τ c dφ (.) s które to rawo akłada liniową roorcjonalność narężeń stcnch i odkstałceń, a wsółcnnik roorcjonalności jest modułem Younga charakterującm srężstość oscególnch materiałów (ciał stałch). Zależność (.) oisuje łatwe do rewidenia achowanie ciała stałego, które oddane diałaniu sił F będie deformować się aż do 4
osiągnięcia granicnego odkstałcenia ( dφ ) gr, r którm narężenia srężste określone w. (.): a) c) F F φ φ d φ r A r F F b) d) φ φ r d φ r Rs... Proces deformacji ciała stałego a), b) ora łnu c), d). ( dφ) gr τ c (.a) s równają się narężeniami wwołanmi diałaniem sił F, które określone są w. (.). Z orównania ależności (.) i (.) wnika nastęując wiąek: któr rekstałcon do ostaci: F A ( dφ) gr c (.3) s 5
F ( dφ ) gr (.3a) cs A wjaśnia achowanie srężstej belki w sosób godn nasmi intuicjnmi ocekiwaniami. Ze woru (.3a) wnika bowiem, że odkstałcenie belki będie tm więkse, im więksa jest wartość rłożonej sił i odwrotnie roorcjonalne do ola rekroju orecnego belki ora jej stałej srężstości. Sformułowanie intuicjnie ocwist wraża tutaj roumiałą dla wsstkich regułę, iż belka o adanm kstałcie będie mogła F nie ulegając r tm odkstałceniu więksemu niż ałożone od renieść żądaną siłę warunkiem, że jej rekrój orecn będie odowiednio duż ora materiał odowiednio mocn. Podobne doświadcenie belką wkonaną łnu choć bardo roste w amśle, jest niestet niemożliwe do wkonania w raktce. Porestańm atem na doświadceniu mślowm (abieg, któr będiem cęsto owtarać) wdielając restreni wełnionej łnem identcną jak orednio belkę o rekroju orecnm A. Wdielenie to można roumieć jako rociągnięcie w łcie nieważkiej, idealnie odatnej folii, która utwor łnną belkę w sosób okaan na rs..c ora d. W tm radku rłożenie sił (nawet bardo małej) sowoduje, że łnna belka będie odkstałcać się w sosób ciągł, nie osiągając żadnej wartości granicnej odkstałcenia. Prłożenie więksej sił sowoduje natomiast, że belka będie odkstałcać się więksą rędkością, co okaano schematcnie na rs..d. ogólnieniem tej obserwacji jest nastęując wiąek: dφ τ c (.4) dt dφ w którm d jest rędkością odkstałcenia, a wsółcnnik roorcjonalności dt decdując o oore, jakim łn reciwstawia się ruchowi, nawan ostał re Newtona lekością c µ. Po uwględnieniu we w. (.4) owżsej ależności otrmujem rawo Newtona: dφ τ µ (.5) dt wrażające odstawową własność łnu jaka jest roorcjonalność narężeń stcnch do rędkości odkstałcenia. Praktcną ilustracją tego rawa będie róba remiescania dłoni anuronej w ciec, kied to bardo owoln ruch owoduje minimaln oór, odcas gd róba rsiesenia ruchu wwoła gwałtownie narastającą reakcję łnnego ośrodka. Podsumowaniem owżsch obserwacji może bć nastęująca definicja:...łn jest ośrodkiem, któr róbom mian jego ostaci stawia oór roorcjonaln do rędkości deformacji. Onaca to, że do mian ostaci łnu wstarc dowolnie mała siła, jeżeli tlko deformacja będie rerowadona bardo owoli a jeśli do danego fragmentu łnu ostanie rłożona duża siła, wówcas r nacnch rędkościach deformacji łn rejawiać będie bardo duż oór. Omówione owżej doświadcenie mślowe srawiać może wrażenie abiegu stucnego, chociaż w recwistości takim właśnie deformacjom może w recwistości odlegać łn. Dla rkładu, reanaliujm achowanie elementu łnu w rełwie okaanm na rs..a, w którm wstęuje gradient rędkości sowodowan n. obecnością ścian (rs..a). Pokaan tu element łnu o długości krawędi d, oddan jest odkstałceniu ostaciowemu, wwołanemu różnicą rędkości d na górnej i dolnej 6
ścianie (atr rs..b). Liniowe remiescenie górnej ścian narasta w sosób ciągł w casie, sełniając r tm nastęując wiąek: d dt tg(dφ ) (.6) d Ponieważ element łnu ma romiar nieskońcenie małe, stąd ależność ta może bć aisana jako: ddt d φ (.6a) d co owala owiąać rędkość deformacji kątowej i gradient rędkości: d φ d (.6b) dt d a) b) +d d dt d d d () Rs... Proces deformacji elementarnej objętości łnu w rełwie w obecności gradientu rędkości. Podstawienie owżsej ależności do w. (.5) owala kolei wraić rawo Newtona w najcęściej wkorstwanej ostaci: dφ d τ µ µ (.7) dt d gdż w mechanice łnów analiie oddajem nie rędkość deformacji lec ole rędkości (n. () - rs..a), które uskujem jako rowiąanie równań ruchu. Możem atem uogólnić odaną owżej definicję łnu, która godnie al. (.7) może bć wrażona nastęująco:...łn jest ośrodkiem, w którm narężenia stcne są roorcjonalne do rędkości deformacji *. * - gradient d/d jest w rełwie dwuwmiarowm okaanm na rs. a jedną nieerową składową tensora rędkości deformacji atr rod.3. 7
owierchnia swobodna ciec ga Rs..3. Zachowanie ciec a) ora gau b) w stanie równowagi statcnej. Płnami są arówno ciece jak i ga, które jednak różnią się dwoma istotnmi cechami. Ciece rjmują awse kstałt nacnia, w którm się najdują i na granic otacającm je innm łnem tworą owierchnię rodiału nawaną cęsto swobodną owierchnią (rs..3a). Ga jest natomiast łnem, któr rorestrenia się w całej restreni nie tworąc jakichkolwiek owierchni rodiału (atr rs..3b). Druga istotna różnica omięd ciecami i gaami to ich ściśliwość roumiana jako oór stawian róbom mian objętości. Ciece są raktcnie nieściśliwe, gdż rkładowo miana objętości wod o aledwie 5% achodi doiero r ciśnieniu rekracającm 000 bar. Ga natomiast bardo łatwo dają się srężać do bardo małch objętości i równą łatwością rorężają się ajmując awse całą dostęną restreń. Trecim owodem koniecności utrmwania odiału na ciece i ga jest bardo duża różnica ich gęstości, niesotkana w ciałach stałch. Prkładowo, różnica gęstości międ owietrem ( ρ. [kg/m 3 ] i wodą ( ρ 000 [kg/m 3 ] sięga aż trech rędów wielkości a jeżeli orównam najlżejs gaów (wodór o gęstości ρ 0.08999 [kg/m 3 ]) i najciężsą e nanch ciec (rtęć dla której ρ.355 0 4 [kg/m 3 ]) to stosunek ten rekroc wówcas.6 0 5. Zainteresowan Ctelnik może łatwo srawdić, że stosunek gęstości najlżejsch i najciężsch ciał stałch niewiele rekraca rąd wielkości. Ostatnia różnic własności ficnch mied ciecami i gaami dotc mienności ooru stawianego anuronm w nich ciałom w funkcji temeratur. Podgranie ciec owoduje iż orusające się w niej ciało donaje mniejsego ooru, odcas gd w gaach oór ruchu rośnie wra temeraturą ośrodka. Oór wwołan tarciem łnu o ścian jest bowiem roorcjonaln do wsółcnnika lekości dnamicnej µ, któr wra e wrostem temeratur wrasta w ciecach i maleje w gaach, jak okaano w tabl.. na rkładie wod i owietra (dane dla ciśnienia a 0 5 ). Odmienność achowania wsółcnnika lekości µ może ostać wtłumacona re molekularne właściwości tch łnów, gdż teoria kinetcno-molekularna rowadi do wniosku, że lekość łnu jest roorcjonalna do długości drogi swobodnej: µ l Wrost temeratur ciec, więksając rędkość ruchu molekuł r niemiennm ich uakowaniu (stała gęstość) mniejsać musi średnią odległość międ dereniami, co kolei mniejsa wsółcnnik lekości. Prrost temeratur gau oostającego od stałm ciśnieniem mniejsa uakowanie molekuł (sadek gęstości gau od włwem temeratur, 8
co kolei więksa długość drogi swobodnej i owoduje wrost wartości wsółcnnika lekości dnamicnej gau. Tablica.. Zmienność lekości wod i owietra w funkcji temeratur W o d a Powietre Tem. o C µ ν µ ν Pa s 0 5 m /s 0 6 Pa s 0 5 m /s 0 6 0 0 0 30 40 60 80 00 79, 30,7 00, 79,7 65,3 48.3 36.4 8.9,79,307,004 0,80 0,658 0.48 0.368 0.96,74,773,88,869,95.03.3. 3,33 4, 5, 6,04 6,98 8.8 0.9 3. W mechanice łnów osługujem się także ojęciem lekości kinematcnej ν definiowanej jako ilora lekości dnamicnej i gęstości: µ m ν (.8) ρ s Jeżeli w ciecach wrost temeratur owoduje rrost rędkości ruchu molekuł be mian ich wajemnch odległości, w reultacie sadek lekości dnamicnej ciec r niemiennej gęstości (określonej uakowaniem molekuł) owoduje identcne mniejsenie lekości kinematcnej, co okaano na rs..8a. Molekuł gau odległe są od siebie na tle daleko, że sił wajemnego rciągania nie mogą już diałać i dlatego rrost temeratur owoduje nie tlko wrost rędkości ich ruchu lec więksa także ich wajemne odległości, cego wnikiem jest sadek gęstości gau rowadąc do sbsego wrostu wsółcnnika lekości kinematcnej (atr rs..8b). a) b) ν µ ν µ µ µ ν θ θ ν Rs..4. Zmienność lekości kinematcnej ciec a) i gau b) Podsumowując redstawione owżej informacje stwierdić można, że właściwości ficne łnów i ciał stałch różnią się bardo istotnie. 9
. Płn jako ośrodek ciągł Model atomistcn wjaśnia co rawda odstawowe własności łnów lec jego stosowanie wmaga bardo łożonch metod oisu ruchu oscególnch molekuł, r cm stoień trudności agadnienia jest tm więks, im więcej cąstek objąć musim analią. Ois struktur molekularnej oeruje jednak bardo małmi wmiarami, o cm mówiliśm już w rod.. odając rkładowe wmiar molekuł i dróg swobodnch. W astosowaniach technicnch oerujem nacnie więksmi skalami liconmi w metrach (długość kadłuba statku, roiętość skrdeł samolotu), centmetrach (średnice wirników om) lub milimetrach (serokość scelin łożska śligowego). Najmniejs wmiar liniow, któr może mieć nacenie w mechanice łnów jest rędu diesiętnch lub co najwżej setnch cęści milimetra i odowiada wsokości chroowatości owierchni, która wwołwać może mian oorów tarcia łnu o ścianę. Wobec tak nacnej różnic skal międ strukturą molekularną łnu i geometrcnmi wmiarami rełwu ocwistm staje się tanie, c w mechanice łnów musim stosować metod oisu oarte o model atomistcn materii. Krterium owalającm rostrgnąć tę kwestię jest licba Knudsena Kn, definiowana jako ilora charakterstcnej skali molekularnej ośrodka λ ora skali geometrcnej L analiowanego jawiska: λ Kn (.9) L Jeżeli rjmiem, że roatrwanm ośrodkiem będie owietre, wówcas dla tw. warunków normalnch: 0 5[ Pa] ; T 73[ K] średnia długość drogi swobodnej będąca charakterstcną skalą struktur molekularnej ośrodka wnosić będie: λ 9. 0 8[ m] Jeżeli rjmiem, że najmniejs wmiar liniow istotn dla oisu achowania łnu będie rędu setnch cęści milimetra tn.: L 0 5[ m] wówcas licba Knudsena wnosić będie: λ Kn 0 L Jak odaje W. Prosnak, dla licb Knudsena sełniającch warunek: Kn < 0. analiowan ośrodek uważać można a ciągł, tn. ois jego nieuorądkowanej i chaotcnej struktur molekularnej astąion bć może re tw. model continuum. Ciągłość ośrodka wmaga, ab jego gęstość mieniała się w sosób ciągł, tn. ab nie bła wrażliwa na chwilowe mian ilości cąstek awartch w analiowanej objętości. Będie to możliwe jeżeli objętość ta nie będie mniejsa od ewnej wielkości granicnej, tn.: m ρ lim (.0) V V Vgr co onaca, że najmniejs wmiar łnu sełniającego warunki ciągłości jest rędu: L 3 V gr Jak odaje F.M.White, dla więksości gaów i ciec granicna objętość jest rędu: 0
V 0-8 [m 3 ] gr gdż wówcas ilość awartch w niej molekuł jest na tle duża, że radkowe mian ich koncentracji nie mogą mienić wniku omiaru gęstości dokonanego godnie e worem (.0). Prkładowo, granicna objętość owietra w standardowch warunkach (0 5 Pa; 73 o K) awierać będie aż 0 7 molekuł i doiero wówcas wmiar liniow 0 6 [m] L gr wstawion do woru (.9) srawi, że licba Knudsena osiągnie granicną wartość: Kn 0.. Jeżeli dla tak małego fragmentu objętości układać będiem warunek równowagi sił, wówcas aniedbać będie można mienność tchże sił wdłuż długości L, gdż gr rkładowo dla najciężsej ciec jaką jest rtęć, mienność ciśnienia omięd górną i dolną krawędią objętości V gr (rs..5) wnosić będie: 0 6.36 0 4 0.0 [Pa] co wobec wartości ciśnienia atmosfercnego na swobodnej owierchni wnosącej 0 5 [Pa] stanowić będie nikomo małą cęść. Jeżeli atem dla tak małej objętości mienność gęstości będie ciągła, wówcas możliwe będie użcie rachunku różnickowego w oisie stanów równowagi łnu, odobnie jak ma to miejsce w klascnej mechanice. L L >> λ Rs..5. Element łnu jako granicna objętość ośrodka ciągłego Dalse anali rowadić więc będiem dla objętości sełniającch warunki ciągłości i objętość taką nawa się elementem łnu dla którego definicja sformułowana bć może nastęująco:...elementem łnu jest wodrębniona cęść mas łnu o wmiarach nieskońcenie małch w orównaniu wmiarami całej mas łnu orusającej się lub oostającej w socnku a jednoceśnie dużch w orównaniu wmiarami struktur molekularnej łnu. Tak roumian łn określan jest owsechnie mianem continuum a stosowan w dalsej cęści tekstu sosób anali tow jest dla ośrodków ciągłch i w więksości astosowań technicnch ten sosób oisu własności łnu jest wstarcająco dokładn. Jednie w scególnch radkach (n. w górnch warstwach stratosfer) n. gd ciśnienie gau jest bardo niskie, wówcas odległości międ molekułami stają się tak duże, że ałożenie o ciągłości ośrodka restaje bć sełnione. W takich radkach koniecne jest stosowanie innch metod oisu własności łnu, wanch dnamiką molekularną lec ta diedina wkraca oa rjęt akres tematcn niniejsego wkładu.
.3. Ciśnienie w łnie jako wielkość skalarna Pojęcie ciśnienia definiowanego jako wartość narężeń owierchniowch diałającch rostoadle do owierchni można wjaśnić roatrując łn oostając w socnku, gdż brak tarcia srawia, że siła owierchniowa musi bć skierowana rostoadle do owierchni. Dla anali własności ciśnienia wbierm w łnie najdującm się w stanie równowagi element łnu o kstałcie cworościanu jak okaano na rs..6. ds Rs..6. Sił owierchniowe diałające na cworościenn element łnu d ds Narężenia owierchniowe ostał reniesione na owierchnie cworościanu r astosowaniu metod rekrojów a sam cworościan oddan ostanie estwnieniu, r cm dla ułatwienia anali boki d, d, d są równoległe do odowiednich osi rjętego kartejańskiego układu wsółrędnch. Jeżeli,, onacają wektor narężeń diałającch na ścian bocne cworościanu ds, ds, ds rostoadłe do osi wsółrędnch,, wówcas onacać będie narężenia normalne do owierchni ds. Na element łnu w stanie równowagi diałać będą sił masowe * F X i + Y j + Z k (.) ora sił owierchniowe dla którch rjmiem: d ds d ds * należ wrócić uwagę, że roatrujem tu sił jednostkowe.
(.) Powżse sił sełniać musą warunki równowagi, które dla oscególnch osi układu wsółrędnch aisać można nastęująco: wsstkich sił na dan kierunek 0 Po uwględnieniu wiąku (.) ora o sumowaniu sił okaanch na rs..6 warunek owżs aisać można nastęująco: na oś : ρ X ds d+ ds d S cos, i 0 3 - na oś : ρ Y ds d+ ds d S cos, j 0 3 - na oś : ρ Z ds d+ ds d S cos, k 0 3 Wstęujące w owżsch warunkach równowagi sił masowe są dla elementu łnu omijalnie małe (d, d, d 0), wobec cego aisać można: ds ds cos, i 0 ds ds cos, j 0 ds - ds cos, k 0 3
Ponieważ elementarnch ależności geometrcnch dla cworościanu wnika: d S d S cos, i d S d S cos, j d S d S cos, k więc owżse warunki równowagi rowadą do wiąków: 0 0 0 co ostatecnie owala aisać: 0 (.3) Ponieważ nie ocniliśm żadnch ałożeń dotcącch elementu łnu, więc jego objętość może maleć do era i wówcas dla każdego unktu łnu słusna będie ależność (.3), która oisuje rawo Eulera o nieależności ciśnienia od orientacji elementu owierchni. Zgodnie tm rawem w łnie oostającm w socnku w stanie równowagi ciśnienie jest wielkością skalarną i w każdm unkcie łnu określone bć może re odanie jednej tlko wartości będącej skalarną funkcją ołożenia i casu: (,,, t) (.4) Prawo to jest ważne jeżeli w analiowanm ośrodku nie wstęują sił lekości tn. dla łnu oostającego w socnku lub orusającego się jako ciało stwne. Jeżeli w łnie achodą deformacje aktwiujące lekość wówcas rawo Eulera wmaga ewnej korekt omówionej w rod. 3. Jednostki ciśnienia i roblem wboru oiomu odniesienia r oblicaniu wartości ciśnienia omówion jest w rod. 4 dotcącm równowagi hdrostatcnej. 4
. Podstaw kinematki łnów Ois rełwu wmaga najomości sosobu, w jaki własności łnu takie jak rędkość, gęstość c ciśnienie mieniają się w restreni i w casie. W klascnej mechanice ciała stałego ajmujem się śledeniem trajektorii danego układu materialnego odcas gd w mechanice łnów koncentrujem się racej na uskaniu informacji o wartościach interesującch nas arametrów w danm unkcie restreni c w określonej chwili t. Istnieją jednak takie rełw, dla którch koniecna jest także najomość trajektorii elementów łnu, cego rkładem może bć analia rocesu rorestreniania się aniecsceń. Ois trajektorii elementów łnu ora uskanie informacji o restrenno-casowej mienności charakterstk rełwu wmaga astosowania różnch metod anali, nanch jako ois Lagrange a i Eulera... Metoda Lagrange a oisu ruchu łnu Metoda Lagrange a akłada, że redmiotem anali jest mienność arametrów takich jak rędkość, ciśnienie c gęstość wnacona dla każdego, ojedncego elementu łnu. Jeżeli re r onacm wektor oisując ołożenie analiowanego elementu łnu (rs..), wówcas mienność arametrów ruchu w kartejańskim układie wsółrędnch oisać będie można nastęująco: r t i + t j + t k ρρ ( ) ( ) ( ) ( t) ( t) (.) r Rs.. Ilustracja oisu ruchu metodą Lagrange a. Ponieważ analiie odlega tlko wbran element łnu, któr śledon jest w trakcie ruchu, stąd też ten t anali nawan jest cęsto analią wędrowną. Ab możliwe bło objęcie analią Lagrange a całej objętości łnu, niebędne jest oracowanie sosobu odróżnienia oscególnch elementów łnu. Można to realiować w sosób okaan na rs.., na którm anacono ołożenie wbranego elementu łnu określone wsółrędnmi a, b, c w dowolnej chwili t t w której roocęto obserwację ruchu analiowanej objętości łnu. o Wówcas mienność arametrów danego elementu łnu oisać można ore odanie nastęującch funkcji: 5
( t) F ( a, b, c, t) ( t) F ( a, b, c, t) ( t) F 3 ( a, b, c, t) ( t) F 4 ( a, b, c, t) ( t) ( a, b, c, t) (.) ρ F 5 w którch jednie cas t jest mienną a wielkości a, b, c są arametrami służącmi do roróżnienia międ sobą oscególnch elementów łnu. Parametr: a ( t o ) b ( t o ) c ( t o ) (.3) o ( t o ) ρ ρ( t o ) o są warunkami ocątkowmi, a onieważ wielkości a, b, c, t są jednmi miennmi nieależnmi, stąd też są one nawane miennmi Lagrange a, odcas gd równania (.) są nane jako równania Lagrange a. t0 t c tor elementu łnu b a Rs... Znacenie warunków ocątkowch w metodie Lagrange a. Znając równanie ruchu danego elementu łnu wnacć można jego rędkość i rsiesenie w kolejnch chwilach casu. W tm celu mienność wektora rędkości aisać można jako: r ( t) (.4) t lub też jako mienność składowch wektora rędkości: 6
( t) ( t) ( a, b,c, t) F t ( a, b,c, t) ( a, b,c, t) F ( t) 3 t Różnickując nastęnie rędkość wględem casu otrmać możem rsiesenie danego elementu łnu: a t ora rut tego wektora na oscególne osie układu wsółrędnch: F ( ) ( a, b,c, t) a t t a ( t) F t F t ( a, b,c, t) (.5) (.6) F ( ) 3 ( a, b,c, t) a t t Jeżeli wielkości a, b, c będiem traktować jako stałe r miennm t, wówcas równania (.), (.5) ora (.6) będą redstawiać mienność arametrów hdrodnamicnch danego elementu łnu achodącą w trakcie jego ruchu. Możem również otraktować a, b, c jako mienne r stałm t, i wówcas równania te redstawiać będą mienność arametrów hdrodnamicnch w całej analiowanej objętości łnu w danej chwili t... Eulerowski ois ruchu łnu. Ois Eulera akłada, że nane są wartości arametrów hdrodnamicnch w każdm unkcie restreni w każdej kolejnej chwili casu. W tm celu, w analiowanm łnie wdiela się tw. obsar kontroln, którego lokaliacja określona jest wsółrędnmi,, jak okaano na rs..3. 7
d d d tor Rs..3. Eulerowski ois ruchu łnu. W obsare tm określa się wartości arametrów hdrodnamicnch rełwu w kolejnch chwilach casu. Dla aewnienia niebędnej dokładności wnacanch arametrów obsar ten winien mieć romiar elementarne, cli jego objętość może bć utożsamiana objętością elementu łnu. Otrmane w ten sosób informacje dotcć będą mienności casowej arametrów określonch tlko dla jednego unktu restreni, a roserenie ich na cał obsar analiowanego rełwu wmaga badania, w jaki sosób wielkości te mieniają się gd unkt obserwacji (elementu łnu) ostanie remiescon w inne miejsce. Zmienność arametrów hdrodnamicnch określona metodą Eulera będie mogła bć atem aisana nastęująco: d r r, t d t r, t (.7) ρ ρ r, t gdie r jest romieniem wnacającm lokaliację obsaru kontrolnego. W kartejańskim układie wsółrędnch ois ola rełwu wraić można nastęującm układem równań: ρ f 4 f 5 d f dt d f dt d f 3 dt (,,, t) (,,, t) (,,, t) (,,, t) (,,, t) (.8) 8
W równaniach Eulera mienne,, wnacają ołożenie obsaru kontrolnego a nie wsółrędne elementu łnu w kolejnch chwilach casu jak bło to w metodie Lagrange a. W metodie Eulera nie wróżniam atem żadnego elementu łnu i dlatego też nie otrmujem równania toru elementu lec informację o wartościach arametrów rełwu w danm miejscu. Jest to informacja o charaktere lokalnm i dlatego też metoda Eulera nawana jest cęsto analią lokalną, której wnikiem jest informacja o wartościach arametrów hdrodnamicnch (rędkość, ciśnienie, gęstość) w danm unkcie restreni w określonej chwili casu. Dla stworenia równań otrebna jest jesce informacja o rsieseniu, którego donaje element łnu, któr w danej chwili t rełwa re objętość kontrolną. Ponieważ wektor rędkości jest funkcją wsółrędnch restreni i casu (,,,t) więc rsiesenie elementu łnu aisać należ: d d d d a + + + dt t dt dt dt co o uwględnieniu w. (.8) daje: d a + + + (.9) dt t W wrażeniu owżsm wstęuje oerator różnickowania: t któr wraża mianę rędkości w casie elementów łnu rełwającch re obsar kontroln i ta miana nawana jest ochodną lokalną. Prełw, w którm ochodne lokalne są nieerowe nawan jest niestacjonarnm co onaca, że rędkość w każdm unktów może mieniać się wra ułwem casu. Poostałe oerator różnickowe: + + wrażają mianę rędkości gd element łnu orusa się w restrennie niejednorodnm olu rędkości. Ten esół oeratorów nawan jest ochodną konwekcjną i może on rjmować wartości nieerowe także i w rełwie ustalonm, jeżeli tlko rędkość rełwu mienia się w ależności od wsółrędnch restreni. Prkładem owalającm roumieć różnicę międ ochodną lokalną i konwekcjną może bć rełw re dfuor, któr r stałej wartości strumienia mas będie rełwem ustalonm i dla którego wartości ochodnch lokalnch będą równe eru, gdż w każdm unkcie dfuora rędkość nie będie mieniać się casem. Jednoceśnie element łnu orusając się wdłuż dfuora będie walniał co onaca, że będie on donawał ujemnego rsiesenia konwekcjnego. Dla anacenia secjalnego sensu ficnego ochodnej casowej aisanej w miennch Eulera, w mechanice łnów rjęto użwać secjalnego aisu: D + + + (.0 Dt t D nawając oerator ochodną substancjalną. Oerator ten może bć astosowan Dt arówno do wielkości wektorowch (rędkość) jak i skalarnch, takich jak ciśnienie c gęstość i rkładowo w kartejańskim układie wsółrędnch ochodne substancjalne wielkości hdrodnamicnch aisać można nastęująco: 9
a a a D Dt D + + + Dt t D + + + Dt t D + + + (.) Dt t + + + t Dρ ρ ρ ρ ρ + + + Dt t w którm wstęują składowe wektora rsiesenia: a i + j + a a a Postać (.) ochodnch substancjalnch może ostać aisana w sosób bardiej wart astosowaniem oeratorów wektorowch: grad i + j + k co owala aisać D a + grad Dt t D + grad (.a) Dt t Dρ ρ + ρ gradρ Dt t lub: D a + ( ) Dt t D + ( ) (.b) Dt t Dρ ρ + ( ρ ) ρ Dt t W wiąkach (.a) i (.b) smbolem ( ) onacono ilocn skalarn analiowanch wielkości..4. Trajektorie, linie i owierchnie rądu Predmiotem ainteresowania inżniera ajmującego się mechaniką łnów są wartości arametrów hdrodnamicnch w określonch unktach rełwu, ale roumienie achodącch w tmże rełwie jawisk wmaga także najomości obrau najomości tego rełwu. Pojęcie to jest łatwe do intuicjnego roumienia i najcęściej utożsamiam je kstałtem linii akreślonch re drobne cąstki awiesin unosone w łnie lub redmiot łwające na owierchni. Więksość łnów jest bowiem rerocsta i beośrednia obserwacja trajektorii elementów łnu nie jest możliwa i dlatego też wiualiacja ruchu wmaga wrowadenia do rełwu secjalnch nacników takich jak kolorowe awiesin lub barwniki. Problem oisu tak roumianego obrau rełwu jest stosunkowo rost do rowiąania, jeżeli stosujem ujęcie Lagrange a, w k 0
którm ois drogi elementu łnu jest uskiwan beośrednio. Zagadnienie komlikuje się gd ruch łnu oisujem metodą Eulera, w której otrmujem informację o rędkości łnu i koniecne jest wrowadenie dodatkowch abiegów, które owoliłb na odtworenie trajektorii elementów łnu. Dlatego też w kinematcnm oisie ruchu łnu koniecne jest wrowadenie co najmniej dwóch ojęć tn. toru elementu łnu i linii rądu, którch własności i możliw obsar astosowań wmagając bardiej scegółowej dskusji..4.. Tor elementu łnu Pod ojęciem obrau rełwu roumiem trajektorie lub tor elementów łnu, które są miejscem geometrcnm kolejnch ołożeń orusającego się elementu łnu. Tak roumian ois akreślonej w restreni re orusając się element łnu uskać można równań ruchu (Lagrange a lub Eulera) eliminując nich cas t. Jeżeli równania ruchu wrażone są w miennch Lagrange a ( t) F ( a, b, c, t) ( t) F ( a, b, c, t) (.) ( t) F ( a, b, c, t) 3 w którch a, b, c są stałmi, to równania te o wrugowaniu nich casu t stają się równaniami oisującmi tor oscególnch elementów łnu. Ponieważ cas jest w metodie Lagrange a arametrem równań, stąd też cęsto równania Lagrange a nawane są arametrcnm oisem torów elementów łnu. W metodie Eulera w sosób beośredni uskujem informacje o restrennocasowej mienności ola rędkości, które oisane jest nastęującm układem równań: d dt f (,,, t) d dt f(,,, t) (.8) d dt f (,,, t) 3 któr rekstałcić można do ostaci: d d d dt (,,, t) (,,, t) (,,, t) (.4) Po scałkowaniu tch równań uskam wiąki: F ( C, C, C3, t) F ( C, C, C 3, t) (.3) F3 ( C, C, C3, t) ależne od stałch, którch wartości mogą bć określone warunków ocątkowch (atr rod..3). Jeżeli owżsego układu równań weliminujem mienną t, wówcas otrmam równania toru elementów łnu, które tworć będą rodinę krwch ależnch od wartości ocątkowch. Wrowadając ojęcie toru elementu stwierdiliśm, że najcęściej utożsamiam je linią barwnika lub trajektorią cąstki awiesin unosonej re rełw w niektórch źródłach jako rkład toru elementu łnu odaje się trajektorię dmu wdobwającego się komina. Tmcasem ten rkład dotc scególnego radku toru elementu tn. tego, któr rechodi re określon unkt w restreni i dlatego w niektórch odręcnikach
(Bukowski, Saberski et al. White) wrowada się ojęcie linii wsnutej (streakline) dla anacenia odrębności tego ojęcia..4.. Linia rądu Jeżeli ole rełwu oisujem w miennch Eulera, wówcas dsonując informacją o olu rędkości w każdm unkcie rełwu możem wrowadić ojęcie linii rądu będącej wektorową linią sełniającą warunek stcności do wsstkich wektorów rędkości elementów łnu ołożonch na tej linii w danej chwili. Pojęcie to jest nacnie leiej dostosowane do secfiki oisu eulerowskiego, gdż nane wektor rędkości będą nam wnacać kstałt linii rądu, której kierunek będie w każdej chwili godn chwilowm kierunkiem rełwu. Jeżeli rełw będie ustalon, co onaca, że w każdm unkcie restreni wartości i kierunek wektora rędkości będą niemienne, wówcas linia rądu będie tożsama torem elementu. Dla rełwu nieustalonego te dwie linie będą identcne, gdż linia rądu redstawia sodiewan kstałt trajektorii elementu łnu dla ola rędkości wstęującego w danej chwili, aś tor elementu łnu to ocekiwana trajektoria, która będie akreślona re tenże element w miarę rowijania się (mian) nieustalonego rełwu. Ois linii rądu wrowadić można rs..4, na którm krokami onacono dwa kolejne ołożenia elementu łnu arejestrowane w nieskońcenie małm odstęie casu dt wdłuż linii rądu do której stcne są w każdej chwili wektor rędkości. W unkcie wnaconm re wektor r wektor rędkości i remiescenie r dokonanego w casie dt są równoległe, co należ aisać jako: r 0 (.5) r r Rs..4. Linia rądu. Rut obdwu wektorów na osie układu wsółrędnch są równe: r d i + d j + d k i co owala aisać w. (.5) będąc warunkiem stcności wektora rędkości do linii rądu jako erowość nastęującego wnacnika: + j + k
i d j d k d 0 co o rowinięciu daje: i dalej: i d d ( d) + j ( d d) + k ( d) 0 d d 0 d d 0 d d 0 Ostatecnie równanie różnickowe linii rądu rbiera ostać: d d d 0 (.6) (,,, t) (,,, t) (,,, t) w której składowe rędkości są funkcjami wsółrędnch restreni i casu, co onaca, że równanie (.6) dotc rełwu nieustalonego. Dla ruchu ustalonego równanie linii rądu aisać można jako: d d d 0 (.7) (,,, ) (,,, ) (,,, ) co daje ostać identcną jak dla równania toru elementu łnu (w. (.4)). W ruchu ustalonm wdłuż tej samej linii rądu orusa się nieskońcenie wiele elementów łnu, które akreślają trajektorię identcną torem elementu łnu i linią wsnutą rechodącą re dals unkt restreni. Analitcne rowiąanie równania (.6), będącego układem dwóch równań różnickowch możliwe jest ore ich scałkowanie, rowadące do całki ogólnej danej również układem dwóch równań: F (,,, t, C, C ) 0 F (,,, t, C, C ) 0 Jeżeli nam wsółrędne unktu ( o, o, ) M o o re któr w chwili rądu, wówcas układu równań (.8) można wnacć wartości stałch które określają równanie linii rądu, rechodącej w danej chwili Jeżeli jednak w unkcie M.rędkość o (.8) t rechodi linia o C ora t re unkt C, M. o o równa jest eru wówcas jednonacne wnacenie stałch C i C, nie jest możliwe, gdż unkt M. jest wówcas unktem o osobliwm, re któr może rechodić nieskońcenie wiele linii rądu..4.3. Rurka rądu i włókno rądu Linia rądu stanowi użtecne ojęcie w analiie rostch rełwów, które srowadić można do tw. agadnień jednowmiarowch. Załóżm, że re każd unkt amkniętego konturu otacającego nieskońcenie małe ole ds okaane na rs..5 orowadim linie rądu, które utworą owierchnię waną rurką rądu. Jednoceśnie linie rądu rerowadić można re każd unkt owierchni ds i taki biór linii rądu nawam włóknem rądu. Jeżeli łn rełwać będie re owierchnię ds w ruchu 3
nieustalonm, wówcas kstałt obdwu tch biorów będie mieniał się i wówcas będiem mogli mówić o chwilowej rurce rądu i chwilowm włóknie rądu. Jeżeli będie to rełw ustalon, wówcas arówno kstałt rurki jak i włókna rądu będie niemienn w casie i co najważniejse, bior te będą wkawać własności bliżone do rełwu w stwnej rurce. Żadna bowiem linia rądu będąca cęścią składową włókna rądu nie będie mogła rebić rurki rądu, na której to owierchni utworonej linii rądu będą mogł istnieć jednie składowe stcne rędkości (atr rs..5). Żaden atem element łnu, któr nalał się wewnątr rurki rądu nie może jej ouścić, jeżeli tlko roatrwan rełw jest ustalon (w rełwie nieustalonm mienn w casie kstałt rurki rądu może w każdej chwili obejmować inne element łnu niż te, które bł wewnątr w chwili oredającej). W bardo urosconej analiie, włóknem rądu może bć n. rełw w kanale c rure, którch ścian mogą bć odworowane owierchnią rurki rądu. W tm jednak radku musim aniedbać mienność rędkości w orecnm rekroju włókna rądu, rjmując średnią wartość rędkości w całm orecnm rekroju ds. Prędkość będie mogła wówcas mieniać się tlko wdłuż długości włókna rądu i stąd nawa agadnienie jednowmiarowe. Można również cał rekrój orecn kanału odielić na nacnie mniejse włókna rądu co jednej stron owala na uwględnienie mienności rędkości w rekroju orecnm kanału, lec drugiej stron owoduje to komlikację oisu rełwu. 4
rurka rądu ds - rekrój element łnu ścianka rurki rądu Rs..5. Rurka rądu i włókno rądu..5. Warunek ciągłości rełwu Ois ola rełwu uwględniać musi ocwist warunek, ab w analiowanm układie masa łnu nie mogła ginąć ani też nie mogła ojawiać się nowa masa. Najłatwiej wraić ten warunek dla rełwu achodącego we włóknie rądu, w którm re każd kolejn rekrój orecn rełwać musi w jednostce casu taka sama masa łnu. Jeżeli re S onacm ole rekroju włókna, a re średnią rędkość rełwu, wówcas w każdm dowolnm rekroju włókna sełnion bć musi warunek: ρ S m idem (.9) w którm m onaca strumień mas. Warunek ten musi bć sełnion wdłuż całej długości włókna rądu, co onaca kolei, że dla rełwu ustalonego (dla którego kstałt włókna rądu jest niemienn w casie) włókno rądu nie może się nigdie końcć ani acnać. Jeżeli roatrwana restreń łnu jest 5
ogranicona, wówcas włókno rądu musi rociągać się od jednej granic do drugiej, natomiast w restreni nieograniconej musi mieć ono długość nieskońconą. Warunek (.9) nawan równaniem ciągłości dla włókna rądu będie również sełnion, jeżeli włókno będie amknięte. Jeżeli roatrwan rełw będie ściśliw, wówcas samego tlko warunku (.9) nie będie można oblicć rędkości, gdż w rełwie ściśliwm gęstość łnu ależ od ciśnienia. Dla rełwów łnów nieściśliwch (ρ idem) warunek (.9) daje się urościć do ostaci: S Q idem (.0) cli do warunku stałości strumienia objętości Q, której wmiar wnosi: Q [m 3 /s] Warunek ciągłości (.0) jest scególnie rdatn w rełwach, które mogą bć roatrwane jako jedno włókno rądu, co okaano schematcnie na rs..6. Pre rekrój S w jednostce casu dt rełwa strumień objętości: S dl S dt Q i w radku rełwu nieściśliwego identcn strumień objętości rełwać musi re rekrój S : S dl S dt Q S S dl Rs..6. Warunek ciągłości dla włókna rądu. dl Jeżeli atem rekroje włókna rądu są tożsame rekrojami całego relwu i jeżeli nan jest strumień objętości takiego rełwu, wówcas średnią rędkość rełwu dla każdego rekroju S wlicć można warunku (.0): i 6
S i i Q Zwiąki (.9) i (.0) wstarcają do oisu warunków achowania mas i objętości ustalonch i nieściśliwch rełwów jednowmiarowch, którm to wmiarem będie dla włókna rądu odległość od rekroju ocątkowego, mierona wdłuż osi włókna rądu. Nie wsstkie jednak rełw są aż tak rostmi radkami i dlatego też koniecnm jest sformułowanie warunku achowania mas dla radku najbardiej ogólnego tn. dla rełwu nieustalonego, ściśliwego i trójwmiarowego. Zastosujem metodę Eulera, wbierając do anali elementarną objętość w kstałcie rostoadłościanu o wmiarach d, d, d krawędi równoległch do osi kartejańskiego układu wsółrędnch, jak okaano na rs..7. Prełw jest nieustalon i ściśliw co, ciśnienie i gęstość ρ są onaca, że jego arametr hdrodnamicne tn. rędkość funkcjami casu i wsółrędnch restreni:,,, t ρ ρ ( ) (,,, t) (,,, t) ρ + (ρ ) d d ρ ρ d ρ + (ρ ) d Rs..7. d ρ + (ρ ) d Bilans mas w elementarnej objętości. ρ Ponieważ jest to ierwse, raktcne astosowanie metod Eulera w analiie ruchu łnu, stąd też rjrjm się bliżej odstawowm ałożeniom tej metod. Objętość kontrolna ostała ulokowana w dowolnm ale ściśle określonm ołożeniu i w objętości tej rejestrować będiem mienność arametrów hdrodnamicnch rełwu. Objętość kontrolna nie może akłócać rełwu i dlatego też możem ją sobie wobraić jako klatkę wkonaną nieskońcenie cienkich drutów, wnacającą granice nadorowanego re nas obsaru. Kolejn roblem wart roważenia, to sosób sformułowania warunku achowania mas w objętości kontrolnej w radku, gd arametr hdrodnamicne są funkcjami casu i wsółrędnch restreni. Wdawać b się mogło, że warunek achowania mas w metodie Eulera należ sformułować jako żądanie, ab masa objętości kontrolnej bła 7
niemienna w casie. Jeżeli jednak rędkość i gęstość łnu ouscającego objętość kontrolną będą różne od wartości tchże arametrów dla łnu wchodącego do nadorowanej objętości, wówcas masa awarta w rostoadłościanie rs..7 będie mieniać się w casie. Można tu rwołać analogię e biornikiem, w którm awarta jest ewna objętość łnu i jeżeli tlko biornik jest sceln, wówcas warunek achowania mas srowadi się do niemienności mas łnu awartej w tm biorniku. Jeżeli jednak acnie się włw, wówcas warunek achowania mas wmagać będie uwględnienia nie tlko łnu najdującego się w biorniku, lec także i tej mas, która niego włwa. W metodie Eulera warunek achowania mas należ atem sformułować nastęująco: miana mas różnica mas włwającch w objętości i włwającch kontrolnej objętości kontrolnej Załóżm, że wektor rędkości o składowch i + j + jest skierowan w taki sosób, że łn wchodi do objętości kontrolnej re owierchnie bliżse ocątkowi układu wsółrędnch, którmi na rs..7 są rostokąt anacone liniami rerwanmi. Roatrm oddielnie strumienie mas włwające do objętości kontrolnej w kierunkach godnch e wrotem osi układu wsółrędnch. W kierunku osi, re rostokąt o olu dd w jednostce casu dt włwa masa: ρ dd dt a o uwględnieniu strumieni mas włwającch wdłuż wsstkich osi otrmujem: m wł ( ρ dd+ρ dd+ ρ dd)dt (.) Jeżeli jednostkow strumień mas włwającej wdłuż osi radając na jednostkę owierchni i casu wnosi: ( ρ ) to jego mienność wdłuż osi achodąca na skutek mian gęstości i rędkości wnosić będie: ( ρ ) Prrost jednostkowego strumienia mas na owierchni włwającej wnosić będie: ( ρ ) d co o omnożeniu re ole owierchni i cas obserwacji i dodaniu strumienia mas włwającego do objętości kontrolnej da strumienie mas włwającej: - wdłuż osi : ( ρ ) ( ρ ) + d d d dt (.a) - wdłuż osi : ( ρ ) ( ρ ) + d d d dt (.b) - wdłuż osi : k 8
( ρ ) ( ρ ) + d d d dt (.c) Różnica strumieni mas włwającej i włwającej wnosi: m m wł - m wł o sumowaniu wiąków (.a c) i odjęciu w. (.) owala aisać: ( ρ) ( ρ) ( ρ) m + + ddd dt (.3) i różnica ta musi bć równa mianie mas łnu awartego w objętości kontrolnej. Jeżeli ierwotna masa awarta w objętości kontrolnej wnosiła ρ d dd to na skutek różnic mas włwającej i włwającej malała ona w temie: ( ρddd) ρ ddd t t i o casie dt miana mas w objętości kontrolnej wniesie: ρ ddd dt t Zmiana mas w objętości kontrolnej równa bć musi różnic mas włwającej i włwającej: ρ d dd dt m t i o uwględnieniu w. (.3) aisać można: ρ ρ ρ + + t Podstawiając do owżsego równania wiąki: ( ρ ) ρ ρ + ( ρ ) ρ ( ) ( ) ( ρ ) + ρ ( ρ ) ρ + ρ ora uwględniając wrażenie oisujące ochodną substancjalną gęstości: Dρ ρ ρ ρ ρ + + + Dt t otrmujem ostatecną ostać warunku achowania mas, nawanego równaniem ciągłości nieustalonego rełwu łnu ściśliwego Dρ + + + 0 (.4) ρ Dt lub w aisie wektorowm: Dρ + div 0 (.4a) ρ Dt Dla ruchu ustalonego łnu ściśliwego erową wartość rjmuje ochodna lokalna gęstości: 9
ρ 0 t i równanie ciągłości ustalonego ruchu łnu ściśliwego aisać można: ( ρ ) ( ρ ) ( ρ ) + + 0 (.5) lub: div ρ 0 (.5a) Jeżeli roatrwać będiem ustalon rełw nieściśliw, wówcas: Dρ 0 Dt i równanie ciągłości ustalonego ruchu łnu nieściśliwego rjmie ostać: + + 0 (.6) lub w ostaci wektorowej: div 0 (.6a) Równanie ciągłości musi bć sełnione w każdm rełwie i dlatego też ois ruchu łnu awierać musi jeden wrowadonch tu warunków (.4), (.5) lub (.6) odowiedni dla roatrwanego radku. Wrowadając równanie ciągłości nie cniliśm też jakichkolwiek ałożeń dotcącch wstęowania lub braku lekości i dlatego też równanie ciągłości obowiąwać będie arówno dla rełwów łnów nielekich jak i lekich. 30
3. Równania ruchu łnu Równania ruchu łnu, odobnie jak w mechanice ciała stałego, są wrowadone drugiej asad Newtona, która dla ciała o masie m mieniającego rędkość w chwili t do rędkości w chwili t, owala oblicć siłę ( ) m m F niebędną do wwołania tej mian: F t t (3.) Ilocn mas i rędkości jest wielkością wektorową nawaną ędem, aś ilocn sił i casu jej diałania nawan jest oędem sił, co owala wraić drugą asadę dnamiki w nastęującej ostaci: oęd miana sił ędu (3.a) układu Jeżeli ałożm, że roatrwać będiem mian achodące w nieskońcenie małm casie, wówcas drugą asadę dnamiki, o obustronnm odieleniu w. (3.) re cas wraić będie można nastęująco: siła bewładności suma sił ewnętrnch rsiesanego diałającch na (3.) elementu łnu element łnu Siłami ewnętrnmi są sił ciężkości (należące do gru sił masowch) ora sił ochodące od ciśnienia i sił lekości, które są siłami owierchniowmi. 0 n 0 δ Rs.3.. Ilustracja włwu lekości na obra ołwu rofilu. Wsstkie łn są ośrodkami lekimi, jednak nie we wsstkich rełwach lekość jest jednakowo istotna. Narsujm rokład rędkości wokół rofilu okaanego na rs. 3., któr anuron jest w łnie orusającm się rędkością o równolegle do osi smetrii rofilu. Lekość owoduje, że na owierchni rofilu rędkość jest erowa, gdż istnienie adheji łnu srawia, że molekuł łnu ołożone w beośrednim sąsiedtwie ścian musą mieć rędkość erową. Jeżeli oddalam się od ścian (kierunek n na rs. 3.) wówcas rędkość rośnie w sosób określon lekością łnu, tn. dla łnów o mniejsej lekości gradient rędkości może bć więks niż dla ośrodka o lekości więksej. n 3
Grubość warstw łnu onacona na rs. 3. smbolem δ, w której na skutek lekości istnieje nieerow gradient rędkości: 0 n wnaca granicę tw. warstw rściennej, w której lekość odgrwa istotną rolę. Grubość warstw rściennej jest jednak awcaj niewielka i rkładowo na owierchni łoatki wentlatora c turbin gaowej lub arowej wmiar ten jest rędu: δ mm a r ołwie wod wokół kadłuba statku o długości kilkuset metrów grubość δ jest co najwżej rędu kilkudiesięciu centmetrów. Onaca to, że kstałt linii rądu ołożonch w odległości więksej niż δ od owierchni ciała może bć wnacon be uwględnienia lekości łnu. Pominięcie lekości w równaniach ruchu urasca oblicenia i dlatego też, w rbliżonej analiie wielu agadnień stosuje się ois ruchu dla tw. łnu idealnego (nielekiego). Ponadto, e wględów ddaktcnch łatwiej jest wrowadić równanie ruchu dla łnu nielekiego a nastęnie wrowadić do niego sił lekości i ten sosób ostęowania ostanie astosowan w niniejsm rodiale. 3.. Równanie ruchu łnu idealnego równanie Eulera Do sformułowania oisu ruchu łnu idealnego astosujem metodę Eulera wodrębniając całej objętości łnu V jego element dv (rs. 3.) i elementarną owierchnię ds. Na roatrwan łn diała jednostkowa siła masowa, której składowe w kartejańskim układie wsółrędnch aisać można: F X i + Y j + Z k n -nds ds S V dv FρdV Rs.3.. Sił masowe i owierchniowe diałające na element łnu idealnego. Na element łnu o objętości dv diała siła masowa F ρ dv gdie ρ jest gęstością łnu, a całkowita siła masowa diałająca na objętość V roatrwanego łnu wnosi: F ρ dv (3.3a) V 3
W łnie idealnm nie wstęują składowe stcne sił owierchniowch i dlatego na każd element owierchni łnu diała wektor sił normalnej, skierowan reciwnie do wrotu osi n, co owala aisać: n gdie jest ciśnieniem w danm unkcie owierchni S. Elementarna siła owierchniowa wnosi: ds a całkowita siła owierchniowa będie równa: ds S Sił aisane ależnościami (3.3a) i (3.3b) są jednmi siłami ewnętrnmi wstęującmi w łnie idealnm i dla komletności równania (3.) otrebna jest jednie siła bewładności, która dla elementarnej objętości aisana bć może: D ρ dv Dt Całkowita siła bewładności będie równa: D dv v Dt ρ (3.3c) i o uwględnieniu w równ. (3.) wiąków (3.3a), (3.3b) i (3.3c) otrmam: D F ρdv+ ds 0 V Dt S Całkowanie owżsego wiąku wmaga rekstałcenia całki owierchniowej w objętościową wkorstaniem rekstałcenia Gaussa-Ostrogradskiego: ds n ds grad dv S S co owala aisać: D F grad ρdv 0 S Dt ρ Objętość V ostała wbrana w sosób całkowicie dowoln, co onaca, że wiąek owżs achowuje ważność w każdm unkcie łnu, co owala aisać: D F grad (3.4) Dt ρ Zależność owżsa to równanie ruchu łnu idealnego nawane również równaniem Eulera dla łnu idealnego, które wiąże e sobą jednostkową siłę masową F, gradient D ciśnienia w danm unkcie łnu gęstością ρi rsieseniem diałającm na dan Dt element łnu. Równanie (3.4) aisać można dla kartejańskiego układu wsółrędnch jako układ trech równań skalarnch: V 33
D Dt X ρ D Y (3.5) Dt ρ D Z Dt ρ a o rowinięciu wrażeń na ochodne substancjalne uskam nastęującą ostać równania Eulera dla rełwu niestacjonarnego łnu idealnego: + + + X t ρ + + + Y (3.6) t ρ + + + Z t ρ Jeżeli ogranicm roważania do rełwów ustalonch, wówcas wiąek owżs można urościć otrmując równanie Eulera dla rełwu ustalonego łnu idealnego: + + X ρ + + Y (3.7) ρ + + Z ρ W wiąkach (3.6) i (3.7) nie nakładaliśm żadnch ograniceń na gęstość łnu i stąd też równanie Eulera jest ważne arówno dla rełwu ściśliwego jak i nieściśliwego. 3.. Metodka rowiąwania równania Eulera Równanie Eulera będące oisem ruchu łnu idealnego D F grad (3.4) Dt ρ jest bilansem równowagi sił diałającch na element łnu i nawane jest tego owodu warunkiem dnamicnm możliwości rełwu. W równaniu tm aisanm w kartejańskim układie wsółrędnch wstęuje ięć niewiadomch:,,,, ρ odcas gd równanie Eulera, aisane w ostaci skalarnej to tlko tr równania, wiążące e sobą niewiadome dane owżsm wiąkiem. Każd jednak rełw sełniać musi równanie ciągłości: Dρ + div 0 ρ Dt które to równanie nawane jest również warunkiem kinetcnm możliwości rełwu, stanowiącm cwarte równanie układu oisującego ruch łnu. Do amknięcia układu równań (roumianego jako równanie licb równań i niewiadomch) otrebn jest jesce jeden warunek, którm jest równanie stanu oisujące mienność gęstości łnu. 34
Najrostsą ostacią tego wiąku można się osłużć w radku oisu ruchu ciec, dla której można rjąć, że gęstość nie ależ od ciśnienia i temeratur, co owala aisać iąte, brakujące równanie w ostaci: ρ idem (3.8a) Równanie owżse nie może bć równaniem stanu dla gaów, wśród którch wdielić należ dwie odrębne klas. Pierwsą nich tworć będą łn barotroowe dla którch gęstość ależ tlko od ciśnienia, cli: ρ f( ) (3.9) Dla łnów barotroowch o własnościach bliżonch do gau doskonałego, któr w całm roważanm rełwie będie miał stałą temeraturę, równanie stanu będie równaniem remian iotermicnej: const (3.8b) ρ Jeżeli natomiast w rełwie łnu barotroowego remian achodić będą r stałej wartości cieła właściwego, wówcas równaniem stanu będie równanie remian olitroowej: const (3.8c) m ρ w której to ależności m jest wielkością stałą nawaną wkładnikiem olitro. Drugą klasą łnów są tw. łn baroklinowe, dla którch gęstość nie jest włącnie funkcją ciśnienia lec ależ także od innch arametrów, n. temeratur: ρ f (, T,...) (3.0) W rełwach łnów baroklinowch wmiana cieła otoceniem jest utrudniona dwóch rnajmniej owodów. Po ierwse wsółcnnik rejmowania cieła dla gaów jest reguł niewielki (nacnie mniejs niż n. dla ciec) a o drugie wstęujące w raktce rełw charakterują się dużmi rędkościami, co srawia, że efektwn cas wmian cieła jednostką owierchni jest krótki. Obdwa te cnniki uasadniają możliwość ałożenia, że rełw może odbwać się be wmian cieła otoceniem i w tm radku równaniem stanu jest równanie remian adiabatcnej: ρ const (3.8d) κ ρ Ruch łnu idealnego będie atem oisan układem trech równań Eulera w. (3.4), równaniem ciągłości w. (.4a) ora jednm cterech możliwch równań stanu w. (3.8), którch należ wnacć rut wektora rędkości,,, ciśnienie i gęstość ρ. Koniecne będie atem scałkowanie równań Eulera i ciągłości, w wniku którego rowiąanie awierać będie stałe całkowania i dowolne funkcje. Dla wnacenia tch wielkości niebędne będą dodatkowe warunki, które musą bć sełnione ab rełw bł jednonacnie określon. Po ierwse sełnione musą bć warunki ocątkowe, które mogą bć rjęte w danej chwili rjmowanej jako ocątkowa, tn. dla t 0 musą bć nane wartości składowch rędkości:,,, 0 o o ( ) (,,, 0) (,,, 0) o ora ciśnienie: o (,,, 0) co owala także wnacć równania stanu gęstość w chwili ocątkowej: ρ ρ,,, 0 o ( ) 35
36 Rowiąanie sełniać musi także warunki bregowe arówno kinematcne jak i dnamicne. Kinematcn warunek bregow dotc rokładu rędkości na stwnej, nieruchomej ścianie ogranicającej rełw. Jeżeli w każdm unkcie ścian wektor rędkości rołożm na składowe normalną n ora stcną s : + s n s n gdie: s, n - wektor jednostkowe odowiednio normaln i stcn do owierchni, wówcas dla stwnej niereuscalnej ścian stcnej musi bć sełnion warunek: 0 n Jeżeli kstałt stwnej ścian dan będie równaniem: ( ) 0,, f wówcas w każdm unkcie tej owierchni rełw odbwać się będie tlko w kierunku stcnm. Składowa normalna rędkości wiąana będie niewiadommi składowmi rędkości,, nastęującm wiąkiem: + + k n, cos j n, cos i n, cos n (3.) a dla sełnienia kinematcnego warunku bregowego koniecne będie, ab składowe rędkości bł wiąane nastęującm wiąkiem: 0 k n, cos j n, cos i n, cos n + + (3.) Kosinus kierunkowe wstęujące w owżsm równaniu wlicć można nastęująco: f f f f i n, cos + + f f f f j n, cos + + f f f f k n, cos + + i o odstawieniu ich do warunku erowości składowej rędkości normalnej do ścian (w. (3.)) uskujem ostatecną ostać kinematcnego warunku bregowego: 0 f f f + + (3.) Dnamicn warunek bregow dotc rokładu rędkości i wartości ciśnienia na swobodnej owierchni łnu, której kstałt dan jest równaniem: ( ) 0 t,,, F (3.3) Zakładając, że swobodna owierchnia jest nieruchoma możem aisać nastęując warunek bregow: 0 F F F t F Dt DF + + + (3.4)