Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Podobne dokumenty
Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Definicja interpolacji

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

Ekonomia matematyczna - 1.1

Ciągi liczbowe wykład 3

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I kolokwium z Analizy Matematycznej

3. Funkcje elementarne

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Szkic notatek do wykładu Analiza Funkcjonalna MAP9907

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Wykład 11. a, b G a b = b a,

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

CAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

4. Aproksymacja Wprowadzenie (4.1) aproksymowana aproksymującej przybliżającej błędami aproksymacji przybliżenia

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Fraktale - ciąg g dalszy

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

I. Podzielność liczb całkowitych

Ekonomia matematyczna 2-2

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

Podróże po Imperium Liczb

Zadanie 3. ( ) Udowodnij, że jeśli (X n, F n ) jest martyngałem, to. X i > t) E X n. . t. P(sup

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Wykład 6. Przestrzenie metryczne ośrodkowe i zupełne. ρ, gdzie r

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Podprzestrzenie macierzowe

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Podstawowe struktury algebraiczne

APROKSYMACJA I INTERPOLACJA. funkcja f jest zbyt skomplikowana; użycie f w dalszej analizie problemu jest trudne

x t 1 (x) o 1 : x s 3 (x) Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

Podprzestrzenie macierzowe

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

1 Pochodne wyższych rzędów

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

gi i szeregi funkcyjne

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

2. Nieskończone ciągi liczbowe

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

8. Jednostajność. sin x sin y = 2 sin x y 2

(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe

Prawdopodobieństwo i statystyka

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

Zdarzenia losowe, definicja prawdopodobieństwa, zmienne losowe

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Estymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7

Analiza Matematyczna I.1

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Funkcja wykładnicza i logarytm

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Parametryzacja rozwiązań układu równań

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

Transkrypt:

http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy uormowaą, jeśli jest określoa w iej fukcja o wartościach rzeczywistych, zwaa ormą, : X R, która spełia astępujące waruki:. f 0; f = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f = 0;. αf = α f ; 3. f + g f + g dla dowolych f, g X, α R. Przykład. W przestrzei fukcji ciągłych w ustaloym przedziale domkiętym [a, b], ozaczaej symbolem C[a, b], ormę fukcji f C[a, b] ozaczamy i określamy tak: f := max a x b f(x). Przykład.3 Niech p będzie fukcją wagową, tj. ciągłą w przedziale [a, b], dodatią w (a, b) i taką, że całki b a xk p(x) dx istieją dla wszystkich k = 0,,.... Symbolem C p [a, b] ozaczymy przestrzeń fukcji ciągłych w przedziale [a, b], z ormą b f := a p(x) f (x) dx. Ograiczamy się do aproksymacji za pomocą wielomiaów. Najważiejsze w teorii i praktyce są. aproksymacja jedostaja z błędem f w ; stosuje się ją do dowolych fukcji ciągłych w przedziale [a, b];. aproksymacja średiokwadratowa z błędem f w ; stosuje się ją do fukcji z przestrzei C p [a, b]. Dla daej fukcji f i daego N wprowadźmy wielkość (.) E (f) := if f w. w Π Wielomia w Π o własości f g = E (f) azywamy -tym wielomiaem optymalym dla f. Jeśli o istieje, to wielkość (.) azywamy -tym błędem aproksymacji optymalej.

Aproksymacja średiokwadratowa Defiicja. Przestrzeń liiową X ad ciałem R liczb rzeczywistych azywamy uitarą, jeśli w X X określoe jest odwzorowaie, zwae iloczyem skalarym, które każdej parze f, g X przyporządkowuje liczbę rzeczywistą f, g i spełia waruki: (i) dla każdego f X jest f, f 0; f, f = 0 f = 0; (ii) dla każdych f, g X jest f, g = g, f, (iii) dla każdych f, g X i α R jest αf, g = α f, g, (iv) dla każdych f, g, h X jest f + g, h = f, h + g, h. Przykład. Moża sprawdzić, że wzór (.) f, g := b a p(x)f(x)g(x) dx defiiuje iloczy skalary w przestrzei C p [a, b]. Twierdzeie.3 Jeśli X jest przestrzeią uitarą, to f := f, f jest ormą w X. Defiicja.4 Elemety f, g przestrzei uitarej X azywamy ortogoalymi, jeśli iloczy f, g jest rówy zeru. Niepusty zbiór A X azywamy układem ortogoalym, gdy 0 A i gdy każde dwa elemety f, g A (f g) są ortogoale. Jeśli prócz tego f = dla każdego f A, to układ A azywamy ortoormalym. Twierdzeie.5 Jeśli A = {f, f,..., f m } jest układem ortoormalym w przestrzei uitarej X, to elemety f, f,..., f m są liiowo iezależe. Najczęstsze w praktyce zadaia aproksymacyje w przestrzeiach uitarych dotyczą przestrzei C p [a, b], a fukcjami przybliżającymi są przeważie wielomiay. Szczególie waże są więc układy ortogoale wielomiaów. Zajdują oe zastosowaie w wielu działach aalizy umeryczej. Defiicja.6 Ciąg {P k }, dla k = 0,,... P k jest wielomiaem stopia k-tego, azywamy ciągiem wielomiaów ortogoalych w przedziale [a, b] z wagą p, jeśli {P k } jest układem ortogoalym w przestrzei C p [a, b]. Twierdzeie.7 Wielomiay ortogoale P 0, P,..., P ( N) tworzą bazę przestrzei Π : Π = li{p 0, P,..., P }. Twierdzeie.8 Niech { P k } będzie ciągiem wielomiaów ortogoalych o współczyikach wiodących rówych : P k (x) = x k +... (k = 0,,... ). Zachodzi związek rekurecyjy P 0 (x) =, P (x) = x c, P k (x) = (x c k ) P k (x) d k Pk (x) (k =, 3,... ), c k = x P k, P k / P k, P k (k =,,... ), d k = P k, P k )/ P k, P k (k =, 3,... ). Dla pewych przedziałów [a, b] i fukcji wagowych p wielomiay ortogoale wyrażają się jawymi wzorami.

Twierdzeie.9 Niech f będzie fukcją ależącą do C p [a, b]. Jeśli ciąg {P k } jest ciągiem wielomiaów ortogoalych, to -ty wielomia optymaly w dla f istieje, jest określoy jedozaczie i wyraża się wzorem w f, P k = P k, P k P k, a -ty błąd aproksymacji optymalej fukcji f jest rówy f w = f f, P k P k, P k. 3 Aproksymacja jedostaja Aproksymacją jedostają azywamy aproksymację w przestrzei C(T ) fukcji rzeczywistych ciągłych a zbiorze domkiętym i ograiczoym T R, z ormą f f T := max x T f(x), zwaą ormą jedostają. Zasadicze zadaie aproksymacji jedostajej za pomocą wielomiaów brzmi astępująco. Dla ustaloej fukcji f z przestrzei C(T ) zaleźć taki wielomia w Π, że wielkość E (f) defiiujemy wzorem f w = E (f). E (f) E (f; T ) := if f w. w Π Wielomia w azywamy -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f a zbiorze T, a E (f) -tym błędem aproksymacji optymalej fukcji f a zbiorze T. Twierdzeie 3. Dla dowolej fukcji f C(T ) i dla dowolego N istieje dokładie jede -ty wielomia optymaly. Twierdzeie 3. (twierdzeie Czebyszewa o alterasie) Niech N i iech zbiór T zawiera co ajmiej + pukty. Na to, by wielomia w był -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f C(T ) potrzeba i wystarcza, żeby istiały takie pukty x 0, x,..., x + T (x 0 < x <... < x + ), że dla e := f w jest e (x k ) = e (x k ) (k = 0,,..., + ), e (x j ) = e T (j = 0,,..., + ). Zbiór puktów x 0, x,..., x +, w których różica e przyjmuje wartość e T = max x T e (x) z aprzemieymi zakami, azywamy -tym alterasem fukcji f (związaym ze zbiorem T ). Twierdzeie 3.3 Niech s będzie fukcją określoą w zbiorze T = {x 0, x,..., x + } ( x 0 < x <... < x + ) i taką, że s(x k ) = ( ) k (k = 0,,..., + ). -ty wielomia optymaly dla fukcji f a zbiorze T wyraża się wzorem w (x) = d(x 0 ) + d[x 0, x ](x x 0 ) +... + d[x 0, x,..., x ](x x 0 )... (x x ), (Oczywiście jest ε = E (f; T ).) d := f εs, ε = f[x 0, x,..., x + ] s[x 0, x,..., x + ]. 3

Twierdzeie 3.4 -tym wielomiaem optymalym dla jedomiau x + w przedziale [, ] jest wielomia x + T + (x), a -ty błąd aproksymacji optymalej tej fukcji jest rówy. Spośród wszystkich wielomiaów postaci x + + a x +... + a + (z dowolymi współczyikami a, a,..., a + ) ajmiejszą ormę [, ], rówą, ma wielomia T + := T +. Twierdzeie 3.5 (Weierstraß) Jeśli fukcja f jest ciągła a zbiorze domkiętym T, to. dla dowolego ε > 0 istieje wielomia w taki, że f w < ε,. istieje ciąg wielomiaów {W m } zbieży jedostajie do f a T, 3. zachodzi rówość lim E (f) = 0. Ze względu a trudości wyikające przy obliczaiu wielomiaów optymalych często z góry rezygujemy z ich, zadowalając się wielomiaami prawie optymalymi, które oblicza się łatwo. Przykładem wielomiau prawie optymalego jest wielomia a k [f] := π S (x) := a k [f] T k (x), f(x)t k (x)( x ) / dx (k = 0,,...), który pozaliśmy jako -ty wielomia optymaly w sesie aproksymacji w przestrzei L (,, ( x ) / ), z ormą ( / f = f (x)( x ) dx) /. Udowodioo, że dla dowolej liczby aturalej i dla każdej fukcji f ciągłej w przedziale [, ] jest f S K E (f), K := + + + π k kπ tg +. Czyik K określa pogorszeie dokładości aproksymacji zachodzące wtedy, gdy zastępuje się wielomia optymaly w (taki, że f w = E (f)) wielomiaem S. Okazuje się, że K 4 π l ; p. K 5 =.96, K 0 = 3.3, K 0 = 3.494, K 00 = 4.39. Aproksymując fukcję za pomocą wielomiau iterpolacyjego korzystamy często z astępującego twierdzeia: Twierdzeie 3.6 Jeśli fukcja f ma w przedziale [a, b] ciągłą ( + )-szą pochodą, a wielomia w Π spełia waruki iterpolacyje k= w(x k ) = f(x k ) (k = 0,,..., ), x 0, x,..., x [a, b], to (3.) f w ( + )! ω f (+), 4

ω(x) := (x x 0 )(x x )... (x x ), przy czym [a, b]. Jeśli [a, b] = [, ], to prawa stroa ierówości (3.) jest ajmiejsza i rówa ( + )! f (+) [, ] wtedy i tylko wtedy, gdy ω = T +, tj. gdy węzłami x 0, x,..., x są pukty (3.) (zera ( + )-go wielomiau Czebyszewa T + ). t +,k = cos k + π (k = 0,,..., ) + Wielomia iterpolacyjy I z węzłami (3.), o którym mówi ostatia część twierdzeia 3.6, wyraża się wzorami Moża wykazać, że I (x) = = + T +(x) + i=0 j+ si ( ) j + f(t +,j ) π x t j=0 +,j f(t +,j )T i (t +,j ) T i (x). j=0 f I L E (f), L := + + tg k + π l. 4 + 4 Zatem czyik L rośie wolo wraz z. Np. L 5 = 3.04, L 0 = 3.489, L 0 = 3.90, L 00 = 4.90. Pozamy jeszcze metodę Remeza wyzaczaia -tego wielomiau optymalego z (teoretyczie) dowolie dobrą dokładością. Algorytm 3.7 (Remez) Dae są: zbiór domkięty T zawierający co ajmiej + pukty i fukcja f, która a T jest ciągła i ie jest tam wielomiaem klasy Π. Niech dla m = 0,,... będzie -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f a podzbiorze w (m) D m = {x m0, x m,..., x m,+ } (x m0 < x m <... < x m,+ ) zbioru T, określoym w astępujący sposób:. Podzbiór D 0 jest dowoly.. Niech m. Jeśli E (f; D m ) = f w (m ) T, to wielomia w (m ) jest -tym wielomiaem optymalym dla fukcji f a zbiorze T ; w przeciwym wypadku podzbiór D m określamy tak, żeby (R) różice f(x mk ) w (m ) (x mk ) (k = 0,,..., +) są a przemia dodatie i ujeme, (R) f(x mk ) w (m ) (x mk ) E (f; D m ) (k = 0,,..., + ), (R3) max f(x mk) w (m ) (x mk ) = f w (m ) T. 0 k + Jeśli powyższy algorytm określa ciąg ieskończoy {w (m ) }, to jest o zbieży do -tego wielomiau optymalego w dla fukcji f a zbiorze T. Zauważmy, że wersje algorytmu Remeza mogą różić się krokiem, tj. sposobem wymiay puktów {x m,k } a {x mk }. Uproszczoy algorytm polega a wymiaie tylko jedego puktu zbioru D m. Peły algorytm wymaga wymiay wszystkich puktów tego zbioru a owe; przyspiesza to istotie zbieżość procesu. 5