Funkcje wielu zmiennych (c.d.)

Funkcje wielu zmiennych (c.d.) Ekstrema funkcji wielu zmiennych Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 1/40

Minimum lokalne Niechf:D f R,D f R n będzie funkcjąn-zmiennych. Niech U D f będzie zbiorem otwartym i P 0 (x 01,...,x 0n ) U. Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktu P U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ). Funkcjaf ma w punkciep 0 minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)>f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 2/40

Maksimum lokalne Niechf:D f R,D f R n będzie funkcjąn-zmiennych. Niech U D f będzie zbiorem otwartym i P 0 (x 01,...,x 0n ) U. Funkcjaf ma w punkciep 0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktu P U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p) f(p 0 ). Funkcjaf ma w punkciep 0 maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie U D f punktup 0, takie że dla każdego punktup U ip P 0 spełniona jest nierówność f(p)<f(p 0 ). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 3/40

Ekstrema lokalne Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYMI. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 4/40

Minimum globalne Liczbamjest najmniejsza wartościa funkcjif na zbiorzea D f, jeżeli istnieje punkt P 0 (x 01,...,x 0n ) A, taki że f(p 0 )=m i dla każdego punktup A Liczbęmnazywamy f(p) f(p 0 )=m. minimum globalnym funkcjif na zbiorzea. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 5/40

Maksimum globalne LiczbaM jest największa wartościa funkcjif na zbiorzea D f, jeżeli istnieje punkt P 0 (x 01,...,x 0n ) A, taki że f(p 0 )=M i dla każdego punktup A LiczbęM nazywamy f(p) f(p 0 )=M. maksimum globalnym funkcjif na zbiorzea. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 6/40

Ekstrema globalne Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 7/40

Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeżeli f ma ekstremum w punkciep 0, istnieja pochodne f,i=1,...,n cząstkowe w punkcie x i P 0, to f x 1 (P 0 )=0, f x 2 (P 0 )=0,..., f x n (P 0 )=0 f(p 0 )=[0,0,...,0]= 0 Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 8/40

Uwaga Z twierdzenia tego wynika, że funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe są równe 0 albo w punktach, w których przynajmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje. Zerowanie się pochodnych cząstkowych nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego. Np. funkcjef(x,y)=x 3,f(x,y)=x 2 y 2 f spełniają warunki x (0,0)=0, f (0,0)=0 i nie y posiadają ekstremów w punkcie(0,0). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 9/40

Punkty krytyczne PunktP 0 R n, w którym przynajmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje lub w którym wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero nazywamy punktem krytycznym funkcjif Punkt krytycznyp 0, w którym jest spełniony warunek f(p 0 )= 0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcjif. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 10/40

Hesjan Macierz Hf:= 2 f x 2 1 2 f 2 f x 2 x 1 x 2 2 2 f x 1 x 2........... 2 f 2 f x n x 1 x n x 2... 2 f x 1 x n 2 f x 2 x n. 2 f x 2 n nazywamy HESJANEM funkcjif. Hesjan jest macierzą zależną od tych samych zmiennych, od których zależy funkcja. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 11/40

Rozważmy funkcjęf: R n R oraz zdefiniujmy funkcje i := 2 f x 2 1 2 f 2 f x 2 x 1 x 2 2.. 2 f x 1 x 2......... 2 f 2 f x i x 1 x i x 2... 2 f x 1 x i 2 f x 2 x i. 2 f x 2 i, i=1,...,n. Zauważmy, że 1 := 2 f x 2 1 i n =dethf. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 12/40

Warunek wystarczający istnienia ekstremum Załóżmy, że f f f (P 0 )=0, (P 0 )=0,..., (P 0 )=0 x 1 x 2 x n (punktp 0 jest punktem stacjonarnym funkcjif). Jeżeli i (P 0 )>0,dlai=1,2,...,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma minimum lokalne właściwe. 1 (P 0 )<0, 2 (P 0 )>0, 3 (P 0 )<0,..., ( 1) i i (P 0 )>0,i=1,...,n, to w punkciep 0 funkcjaf ma maksimum lokalne właściwe. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 13/40

Uwaga NiechP 0 będzie punktem krytycznym funkcji f: R 2 R. Jeżeli 2 (P 0 )<0, to w punkciep 0 funkcjaf nie ma ekstremum. Np. dlaf(x,y)=x 2 y 2 mamy f x (0,0)=0, f y (0,0)=0 i 2 =dethf= 2 0 0 2 = 4<0, więc funkcjaf nie ma ekstremum w punkcie krytycznym(0,0). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 14/40

Niechf: R 3 R i Przykład f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 xy+x+2z. Wtedy f x =2x y+1, f y =2y x, f z =2z+2. Ponieważ 2x y+1=0 2y x=0 2z+2=0 więcp 0 ( 2 3, 1 3, 1 ) x= 2 3 y= 1 3 z= 1 jest punktem krytycznym., Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 15/40

Przykład f(x,y,z)=x 2 +y 2 +z 2 xy+x+2z Ponadto Hf= 2 1 0 1 2 0 0 0 2 i 1 (P 0 )=2>0, 2 (P 0 )=3>0, 3 (P 0 )=6>0, ( więc funkcjaf ma w punkciep 0 2 ) 3, 1 3, 1 minimum lokalne, które wynosi f min =f(p 0 )= 4 9 +1 9 +1 2 9 2 3 2= 4 3. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 16/40

Niechf: R n R,n 2i Wtedy Ponieważ Przykład f(x 1,x 2,...,x n )= x 2 1 x2 2 x2 n. f x i = 2x i,i=1,...,n. 2x 1 =0. 2x n =0 x 1 =0. x n =0 więcp 0 (0,...,0) jest punktem krytycznym., Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 17/40

Przykład f(x 1,x 2,...,x n )= x 2 1 x 2 2 x 2 n Ponadto Hf= 2 0... 0 0 2... 0...... 0 0... 2 i 1 (P 0 )= 2<0, 2 (P 0 )=4>0,..., n (P 0 )=( 2) n, więc ( 1) i i (P 0 )=( 1) i ( 2) i =2 i >0, funkcjaf ma w punkciep 0 (0,...,0) maksimum lokalne, które wynosif max =f(p 0 )=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 18/40

Ekstrema globalne NiechA R n if:a R. JeżeliAjest domknięty i ograniczony, af jest funkcja ciagł a, to funkcjaf osiaga w zbiorzea wartość najmniejsza i największa. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 19/40

Algorytm znajdowania ekstremów globalnych funkcji na obszarze domkniętym Znajdujemy wszystkie punkty krytyczne wewnątrz zbioruaiobliczmy wartości funkcji w tych punktach. Znajdujemy punkty krytyczne na brzegu obszaru A i obliczmy wartości funkcji w tych punktach. Porównujemy otrzymane wartości funkcji znajdując wartość najmniejszą i największą. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 20/40

Przykład Niechf:A R 2 R i f(x,y)=x 2 +2xy 4x+8y, gdzieajest trójkątem ograniczonym prostymix=0, y=0ix+y=4. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 21/40

Przykład Niechf:A R 2 R i f(x,y)=x 2 y 2 +18, gdziea= { (x,y):x 2 +y 2 9 }. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 22/40

Ekstrema warunkowe Ekstrema funkcjif: D R n R z ograniczeniem g(x 1,x 2,...,x n )=0.nazywamy ekstremami warunkowymi lub względnymi. Jeżeli potrafimy wyliczyć z równania ( ) g(x 1,x 2,...,x n )=0 jedną ze zmiennych, np.x n =φ(x 1,x 2,...,x n ), to możemy podstawić tę zależność zamiast zmiennejx n do wzoru badanej funkcji, redukując w ten sposób liczbę zmiennych o jeden. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 23/40

Metoda mnożników Lagrange a wyznaczania ekstremów Funkcję warunkowych L(λ,x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n )+λ g(x 1,x 2,...,x n ) nazywamy funkcja Lagrange a. Załóżmy, że g(x 01,x 02,...,x 0n )=0 i g(x 01,x 02,...,x 0n ) 0. Twierdzenie: JeżeliP 0 (x 01,x 02,...,x 0n ) jest punktem ekstremalnym, to istnieje λ, taka że( λ,p 0 ) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange a, tzn. L λ ( λ,p 0 )=0, L x i ( λ,p 0 )=0,i=1,...,n. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 24/40

Macierz HL= g 0 x 1 g 2 L x 1 x 2 1.. g g x n x 2... 2 L x 1 x 2... 2 L x 1 x n g 2 L 2 L x 2 x 2 x 1 x... 2 L 2 2.... g 2 L 2 L x n x n x 1 x n x 2... 2 L x 2 n x 2 x n. jest hesjanem funkcji Lagrange a. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 25/40

Zdefiniujmy W i := g g 0 x 1 g 2 L x 1 x 2 1 g 2 L 2 L x 2 x 2 x 1 x 2 2... g x i x 2 x i. x 2... 2 L x 1 x 2... 2 L x 1 x i... 2 L... g 2 L 2 L x i x i x 1 x i x 2... 2 L x 2 i, i=2,3,...,n. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 26/40

Warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego Załóżmy, że L λ ( λ,p 0 )=0, L x i ( λ,p 0 )=0,i=1,...,n. (( λ,p 0 ) jest punktem krytycznym funkcji Lagrange a). Jeżeli W i (P 0 )<0, dlai=2,3,...,n, to w punkciep 0 funkcja f osiąga minimum względne przy ograniczeniu g(x 1,x 2,...,x n )=0. i W i (P 0 )>0, dlai=2,3,...,n, to w punkciep 0 funkcjaf osiąga maksimum względne przy ograniczeniu g(x 1,x 2,...,x n )=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 27/40 ( 1)

Warunek wystarczający istnienia ekstremum warunkowego Niechn=2iniech( λ,x 0,y 0 ) będzie punktem krytycznym funkcji Lagrange al(λ,x,y)=f(x,y)+λ g(x,y), tzn. L λ ( λ,x 0,y 0 )=0, Jeżeli dethl( λ,x L x ( λ,x 0,y 0 )=0, L y ( λ,x 0,y 0 )=0. 0,y 0 )<0, to w punkcie(x 0,y 0 ) funkcjaf osiąga minimum lokalne warunkowe przy warunku g(x,y)=0. 0,y 0 )>0, to w punkcie(x 0,y 0 ) funkcjaf osiąga maksimum lokalne warunkowe przy warunku g(x,y)=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 28/40 dethl( λ,x

Przykład Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcjif: R 2 R i f(x,y)= 2x+3y+2 przy ograniczeniux 2 +y 2 1=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 29/40

Przykład Wyznaczmy ekstrema lokalne funkcjif: R 2 R i f(x,y)=x 2 +y 2 przy ograniczeniux 2 y 2 =1. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 30/40

Funkcje uwikłane Funkcja uwikłana określoną przez warunek F(x,y)=0 nazywamy każdą funkcję y = ϕ(x), spełniajacą równość F(x, ϕ(x)) = 0 dla wszystkich x z pewnego przedziału I R. Podobnie określa się funkcję uwikłaną x=ψ(y), gdzie y J R. Wówczas F x + F y y =0 y = F x F y Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 31/40

Przykłady Funkcja y= 1 x 2 jest funkcją uwikłaną określoną w przedziale 1,1 za pomocą równania x 2 +y 2 1=0 ponieważ dla każdegox 1,1 spełniony jest warunek x 2 + ( 1 x 2) 2 1=0. Równanie x 2 +y 2 +1=0 nie określa żadnej funkcji. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 32/40

Twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej Jeżeli funkcjaf ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na otoczeniu punktu(x 0,y 0 ) i spełnia warunki 1 F(x 0,y 0 )=0 2 F y (x 0,y 0 ) 0, to na pewnym otoczeniu O punktux 0 istnieje jednoznacznie określona funkcja uwikłana y = ϕ(x) spełniająca warunki: dla każdegoxztego otoczenia, 0 )=y 0, F(x,ϕ(x))=0 ϕ(x =ϕ (x)= F x (x,ϕ(x)) F y (x,ϕ(x)), dla każdegox O. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 33/40 y

Przykłady Niechx+siny=xy. Obliczy (0)=... i y (0)=... Niechx=y+lny. Obliczy =... iy =... Napisz równanie stycznej do krzywej określonej równaniemx+x 3 =y 3 +y 5 w punkciea(1,1). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 34/40

Twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej Niech funkcjaf będzie określona na otoczeniu punktu(x 0,y 0 ) i niech ma tam ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego. Ponadto niech 1 F(x 0,y 0 )=0 2 F x (x 0,y 0 )=0, F y (x 0,y 0 ) 0, 3 A= 2 F x 2(x 0,y 0 ) F y (x 0,y 0 ) 0. Wtedy funkcja uwikłanay=ϕ(x) określona przez równanie F(x,y)=0 ma w punkcie(x 0,y 0 ) ekstremum lokalne właściwe: minimum, gdya>0 maksimum, gdya<0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 35/40

Uwaga RównośćF(x 0,y 0 )=0 jest warunkiem koniecznym, a nierówność 2 F x 2(x 0,y 0 ) 0 jest warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum funkcji uwikłanej. Prawdziwe jest także analogiczne twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci x=ψ(y). Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 36/40

Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej 1 Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema, znajdujemy korzystając z warunku koniecznego istnienia ekstremum. W tym celu rozwiązujemy układ warunków: F F(x,y)=0, x (x,y)=0, F y (x,y) 0, 2 W otrzymanych punktach(x 0,y 0 ) sprawdzamy warunek wystarczający istnienia ekstremum, tj. określamy znak 2 F wyrażenia A= x 2(x 0,y 0 ) 0. Na podstawie znaku tego F y (x 0,y 0 ) wyrażenia ustalamy rodzaj ekstremum. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 37/40

Przykład Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = ϕ(x) określonej przez warunek x 3 +y 3 8xy=0. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 38/40

Podsumowanie Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych. Ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych. Warunki na istnienie ekstremów lokalnych. Algorytm znajdowania ekstremów globalnych. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych. Funkcje uwikłane. Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 39/40

Dziękuję za uwagę Funkcje wielu zmiennych (c.d.) str. 40/40