Dr ab. inż. Waldemar Magda Politecnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Katedra Geotecniki, Geologii i Budownictwa Morskiego e-mail: waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl Fala stojaca Stokesa aproksymacja ciśnienia ydrodynamicznego czy 5 rzędu? artykuł opublikowany w czasopiśmie Inżynieria Morska i Geotecnika, nr /1, str. 15 158 Gdańsk, 9 kwietnia 13
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 1 Fala stojaca Stokesa aproksymacja ciśnienia ydrodynamicznego czy 5 rzędu? dr ab. inż. Waldemar Magda Politecnika Gdańska, Wydział Inżynierii Ladowej i Środowiska Katedra Geotecniki, Geologii i Budownictwa Morskiego WPROWADZENIE (e-mail: waldemar.magda@wilis.pg.gda.pl) Znaczenie zjawiska fali stojącej jest oczywiste dla praktyki inżynierskiej z zakresu budownictwa morskiego i inżynierii brzegowej. Wartość obciążenia morskiej konstrukcji ydrotecnicznej falą stojącą zależy od carakterystyki samej konstrukcji (budowla niska, budowla wysoka, budowla na fundamencie narzutowym itp.), ale także od rodzaju falowania przyjętego do rozważań. O ile odpowiednie wzory dla ciśnienia ydrodynamicznego pod falą progresywną można znaleźć w wielu publikacjac polsko- i obcojęzycznyc, o tyle w przypadku fali stojącej sprawa przedstawia się już dużo gorzej. Okazuje się bowiem, że poza wzorem wynikającym z liniowej teorii fali powierzcniowej trudno jest natrafić w literaturze facowej na odpowiednie i do tego jeszcze poprawne (!) wzory otrzymane na bazie teorii fali Stokesa. Jeżeli już mowa o fali Stokesa, to należałoby postawić sobie pytanie o rząd aproksymacji (przybliżenia) rozwiązania, którym trzeba się posłużyć w celu obliczenia wartości obciążenia (siły poziomej i w konsekwencji momentu wywracającego) satysfakcjonującej z praktycznego punktu widzenia. Poniżej przedstawiono w zwięzłej formie rozwiązanie dla ciśnienia ydrodynamicznego, otrzymane dla fali stojącej Stokesa o aproksymacji rzędu. Dodatkowo, na przykładzie wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej obciążającej falocron pionowo-ścienny, dokonano także analizy porównawczej odpowiednic rozwiązań w przypadku fali stojącej Stokesa rzędu i rzędu 5 dla wybranyc warunków wodno-falowyc. ROZWIAZANIE PROBLEMU METODA PERTURBACJI Ostatnio zaprezentowano w pracy [3] bardzo eleganckie rozwiązanie, pozwalające na opis zmienności parametrów fali stojącej Stokesa. Rozwiązanie to uzyskano metodą perturbacji (metodą małego błędu). Metoda ta dąży do przedstawienia rozwiązania danego problemu za pomocą szeregu potęgowego z niewielkim parametrem określającym odcylenie (zaburzenie) od dokładnie rozwiązywalnego problemu. Odcylenie to oznaczane jest zwykle przez ǫ. Dla małyc wartościǫczynniki coraz wyższyc rzędów stają się zaniedbywalne. Oto postać podstawowej funkcji potencjału prędkości, aproksymowanej szeregiem potęgowym [3] φ(x,z,t)= ( g/k 3) 1/ N i ǫ i i=1 i j=m= A ijm cos[jk(+z)] cos(jk) cos(jkx) sin(mωt) (1)
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 gdzie:φ funkcja potencjału prędkości [m/s ], g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s ), k liczba falowa (k=π/l) [1/m], L długość fali [m], N rząd aproksymacji fali stojacej Stokesa [ ], ǫ parametr aproksymacji [ ], A ijm współczynniki aproksymacji [ ], głębokość wody [m], ω częstość kołowa fali (ω = π/t ) [1/s], T okres fali [s], t czas [s], x, z współrzędne (pozioma i pionowa) płaskiego prostokatnego układu odniesienia [m]. Parametr aproksymacji określony jest następująco ǫ=k H s () gdzie:h s wysokość fali stojacej przy pełnym odbiciu (współczynnik odbiciak r =1,) [m], H wysokość fali progresywnej inicjujacej zjawisko fali stojącej [m]. Oczywiście dla zjawiska pełnego odbicia fali (K r =1,) zacodzi poniższa równość H s =H (3) Ciśnienie ydrodynamiczne pod falą stojącą jest opisane równaniem Bernoulliego p ρ =B φ t 1 ( u +w ) (4) gdzie: p ciśnienie ydrodynamiczne pod falą stojac a Stokesa [kpa], ρ gęstość wody morskiej [t/m 3 ], B stała Bernoulliego [m /s ], u, w składowe (pozioma i pionowa) prędkości orbitalnej cząsteczki wody w rucu falowym [m/s]. Stała Bernoulliego w metodzie perturbacji zadana jest następującym szeregiem potęgowym gdzie:d i współczynniki aproksymacji fali stojącej Stokesa [ ], B= g N ǫ i D i (5) ki=1 a składowe prędkości orbitalnej cząsteczki wody w rucu falowym są obliczane ze wzorów u= φ x w= φ z (6a) (6b)
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 3 Poniżej podano wzory opisujące 7 współczynników aproksymacji niezbędnyc dla określenia ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa do rzędu (N=) włącznie: C 1 = q (7a) C = (7b) D 1 = (7c) D = 1 q 1 8 q (7d) A 1,1,1 = 1 q (7e) w któryc A,, = 1 1+3q 16 q 3/ A,, = 3 1+q 4 16 q 7/ (7f) (7g) q=tg(k) (8) Długość fali należy dla każdego rzędu aproksymacji obliczać ze związku dyspersyjnego opisanego w metodzie perturbacji następującym szeregiem potęgowym ω=(gk) 1/ N ǫ i 1 C i (9) i=1 gdzie:c i współczynniki aproksymacji fali stojacej Stokesa [ ]. W pracy [3] podano postaci wszystkic 54 współczynników wymaganyc do obliczenia rzędnej swobodnej powierzcni i ciśnienia ydrodynamicznego dla fali stojącej Stokesa w aproksymacji do 5 rzędu włącznie. Niestety niektóre ze współczynników, dotyczącyc aproksymacji 4 i 5 rzędu, podano w pracy [3] błędnie. Jednak ogólnie bardzo wysoka jakość pracy [3] zacęciła Autora niniejszej publikacji do poświęcenia jej więcej czasu w celu skorygowania wspomnianyc błędów. W wyniku krótkiej lecz bardzo owocnej współpracy z autorem pracy [3] prof. R.J. Sobey em z Imperial College (Department of Civil and Environmental Engineering) w Londynie udało się zidentyfikować wszystkie istotne błędy w pracy [3]. W Tabl. 1 zaprezentowano erratę do artykułu [3], która wkrótce ukaże się drukiem w tym samym czasopiśmie, co przedmiotowa praca [3]. W celu zapoznania się z postaciami pozostałyc współczynników Czytelnika odsyła się do pracy [3], gdyż przytoczenie w niniejszym artykule postaci wszystkic współczynników znacznie wykracza poza jego ramy. W pracy [3] udowodniono, że zaprezentowane tam analityczne rozwiązanie jest rozwiązaniem dokładnym do 5 rzędu włącznie. Poprawność rozwiązania wykazano z zastosowaniem
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 4 Tabl. 1: ERRATA do artykułu R.J. Sobeya Analytical Solutions for Steep Standing Waves, Engineering and Computational Mecanics, 16:185-197, 15 November 11 [3] Pozycja w artykule [3] Postać członu w artykule [3] Powinno być Wzór (18) 1/ 1/ φ ( t =w g/k 3) φ ( t =ω g/k 3) Wzór (5) cosjk(+z) cosk(+z) cos k cos k Appendix 1.4 (b 4,,4 ) +38q 6 +83q 6 Appendix 1.5 (A 5,1,3 ) 654q 8 +3864q 6 7833q 8 3417q 6 7833q 8 3417q 6 Appendix 1.5 (A 5,5,3 ) 1555q 4 +1555q 4 Appendix 1.5 (A 5,5,5 ) 837q +837q Appendix 1.5 (A 5,3,3 ) 199q 1 +199q 1 Appendix 1.5 (A 5,1,1 ) +1319q 3 +1319q 3 Appendix 1.5 (A 5,3,1 ) 483q 6 +483q 6 Appendix 1.5 (A 5,3,5 ) 11618q 8 +11618q 8 Appendix 1.5 (b 5,1,1 ) +4996566q +4996566q Appendix 1.5 (b 5,3,3 ) +15388q 15388q Appendix.4 A(4, 4, ) =,4177683 A(4, 4, ) =,4177638 metody ekstrapolacyjnej Ricardsona. Jednocześnie poddano w wątpliwość inne istniejące teorie fali stojącej Stokesa w aproksymacji 3 i 4 rzędu (np. [1,, 4]), wykazując, że ic dokładność jest ograniczona do aproksymacji o jeden lub nawet dwa rzędy mniej, niż podali to autorzy odpowiednic teorii. Aproksymacja 1 rzędu Poniżej przedstawiono wyniki aproksymacji dla ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa 1 rzędu (N = 1, parametr oznaczony górnym indeksem I) w celu ic konfrontacji z powszecnie znanymi i stosowanymi wzorami. I tak, korzystając z podstawowego wzoru (4) i po wykonaniu odpowiednic operacji matematycznyc, otrzymano p I ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) cos(k) kh sin (ωt) sin(k) cos(k) { cos [k(+z)]sin (kx)+sin [k(+z)]cos (kx) } (1) Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u=w=) prowadzi do następującego wzoru na ciśnienie ydrodynamiczne p I ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) (11) cos(k) Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) (1) oraz równanie zlinearyzowane (11) przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej czą-
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 5 steczki wody w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe dla faz szczytu i dna fali stojącej. I tak, dla fazy szczytu (dolny indeks s) fali (dla t = zacodzi: sin(ωt) = i cos(ωt) = 1) w profilu ściany pionowej (dlax= zacodzi:sin(kx)= icos(kx)=1) oba równania (1) i (11) można uprościć do postaci p I s ρg =Hcos[k(+z)] cos(k) (1) natomiast dla fazy dna (dolny indeksd) fali (dlat=t/ zacodzi:sin(ωt)= icos(ωt)= 1) w profilu ściany pionowej (dlax= zacodzi:sin(kx)= icos(kx)=1) oba równania (1) i (11) można uprościć do postaci p I d ρg = Hcos[k(+z)] cos(k) (13) Aproksymacja rzędu W dalszej części artykułu przedstawiono wyniki aproksymacji dla fali stojącej Stokesa rzędu (N =, parametry oznaczone górnym indeksem II). I tak, ciśnienie ydrodynamiczne pod falą stojącą w rozwiązaniu przybliżonym rzędu opisane jest wzorem p II ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) cos(k) kh 1 8 tg(k) tg (k) 1+cos(ωt) { } 1+3tg (k)+ 3[tg4 (k) 1] cos[k(+z)] tg cos(kx) + (k) cos(k) + 4sin (ωt){ cos cos [k(+z)]sin (kx)+sin [k(+z)]cos (kx) } + (k) + 3k H 3 tg 4 (k) 1 sin(ωt) sin(ωt) 8 tg 4 (k) cos(k)cos(k) {cos[k(+z)]cos[k(+z)]sin(kx)sin(kx)+ +sin[k(+z)]sin[k(+z)]cos(kx)cos(kx)} [ 9k3 H 4 tg 4 (k) 1 ] sin (ωt) 18 tg 7 (k) cos (k) { cos [k(+z)]sin (kx)+sin [k(+z)]cos (kx) } (14) dużo bardziej skomplikowanym niż miało to miejsce w przypadku aproksymacji 1 rzędu (patrz wzór (1)). Linearyzacja równania Bernoulliego ze względu na prędkości orbitalne cząsteczki wody (u = w = ) prowadzi do następującego znacznie prostszego wzoru na ciśnienie ydrodynamiczne
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 6 p II ρg =Hcos[k(+z)] cos(kx) cos(ωt) cos(k) kh 8 { 1 tg(k) tg (k) 1+cos(ωt) 1+3tg (k)+ 3[tg4 (k) 1] tg (k) cos[k(+z)] cos(k) cos(kx)} (15) Równanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) (14) oraz równanie zlinearyzowane (15) przyjmują taką samą postać, gdy rozpatrywane są przypadki ekstremalnego położenia zwierciadła wody w profilu ściany pionowej. Jest to oczywiste, gdyż składowe prędkości orbitalnej cząsteczki wody w profilu pionowym pokrywającym się z profilem strzałki fali stojącej są zerowe dla faz szczytu i dna fali stojącej. I tak, dla fazy szczytu fali w profilu ściany pionowej oba równania (14) i (15) można uprościć do postaci p II s ρg =Hcos[k(+z)] cos(k) { kh 8 4tg(k)+ 3[tg4 (k) 1] tg 3 (k) } (16) cos[k(+z)] cos(k) natomiast dla fazy dna fali w profilu ściany pionowej oba równania (14) i (15) można uprościć do postaci p II d ρg = Hcos[k(+z)] cos(k) { kh 8 4tg(k)+ 3[tg4 (k) 1] tg 3 (k) } (17) cos[k(+z)] cos(k) W pracy [3] przedstawiono wyniki obliczeń dla aproksymacji fali Stokesa 1 rzędu (N=1) zlinearyzowanej po przyjęciu warunkuu=w= oraz dla aproksymacji fali Stokesa 5 rzędu (N = 5), przy czym przyjęte w pracy [3] wartości parametrów wodno-falowyc wskazywały na warunki głębokowodne. Znana jest powszecnie opinia o potrzebie stosowania aproksymacji 5 rzędu do opisu progresywnej fali Stokesa w sytuacji istnienia warunków głębokowodnyc oraz znacznej, bliskiej granicznej stromości fali. Trudno jest jednak sobie wyobrazić aby w warunkac pełnego morza lub oceanu istniała praktyczna sytuacja, w której docodzi do powstania fali stojącej. Oddziaływanie falowania na pełnomorskie konstrukcje ydrotecniczne (np. pionowe kolumny nośne platformy półzanurzanej, czy też stałej stalowej lub betonowej platformy morskiej) ma carakter opływu, a obciążenie carakteryzuje się przewagą sił bezwładności z udziałem procesów dyfrakcyjnyc. Z falą stojącą można mieć bez wątpienia do czynienia w warunkac o ograniczonej głębokości akwenu i posadowionyc tam morskic konstrukcji ydrotecnicznyc, jakimi są masywne falocrony pionowo-ścienne. Czy dla takic sytuacji może zaistnieć konieczność stosowania aproksymacji 5 rzędu dla opisu fali stojącej Stokesa? Jakiej różnicy w takim wypadku można się spodziewać dla ciśnienia ydrodynamicznego, i w konsekwencji obciążenia ydrodynamicznego, otrzymanyc przy użyciu aproksymacji i 5 rzędu? W dalszej części artykułu podjęto próbę odpowiedzi na te pytania.
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 7 H gt L =,4 L =,5 gt =,155 gt =,79 Strefa Strefa p³ytkowodna Strefa ograniczonej g³êbokoœci g³êbokowodna Stromoœæ graniczna fali H / L =,14 Strefa fal za³amanyc L H 3 6 Parametr Ursella Kryterium za³amania fali (teoria fali samotnej H/,78) P3 P P1 STOKES 4-go rzêdu STOKES 3-go rzêdu Teoria -go rzêdu (STOKES) Teoria fal knoidalnyc Teoria liniowa fal (AIRY) gt Rys. 1: Zakresy stosowalności teorii falowyc (wg [5, 6]) z zaznaczonymi punktami obliczeniowymi Przykład obliczeniowy W tym celu posłużono się diagramem przedstawiającym zakresy stosowalności teorii falowyc (Rys. 1), na którym zaznaczono wybrane trzy punkty obliczeniowe. Wartości parametrów wodno-falowyc, wspólne dla punktów od P1 do P3, przedstawiają się następująco: głębokość wody=1 m okres falit=7,14 s długość falil=61,39 m co implikuje wartości parametrów bezwymiarowyc/(gt )=, iω /g,79. Zmienność pozostałyc parametrów falowyc, przyjętyc do analizy obliczeniowej, przedstawiono w Tabl.. Punkty P1 do P3 znajdują się w strefie ograniczonej głębokości wody (patrz Rys. 1), przy czym punkt P1 carakteryzuje się najmniejszą stromością fali (δ =,81) a punkt P3 największą (δ =,814). Ponadto warunki wodno-falowe carakteryzujące położenie punktu P3 można uznać za bliskie ekstremalnyc dla pracy morskic budowli ydrotecnicznyc, jakimi są falocrony pionowo-ścienne. Na podstawie wyników analizy stosowalności, przedstawionej w pracy [3] w odniesieniu do opracowanej teorii fali stojącej Stokesa, można stwierdzić, że wybrane w niniejszym artykule
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 8 Tabl. : Wartości zmiennyc parametrów wodno-falowyc dla wybranyc punktów obliczeniowyc (do obliczeń przyjętog=9,81 m/s ) Punkt (Rys. 1) H gt [ ] Wysokość fali H [m] Stromość fali δ [ ] ω H g [ ] P1,1,5,81,39 P,5,5,47,197 P3,1 5,,814,395 punkty obliczeniowe (carakteryzowane parametrami bezwymiarowymiω /g iω H/g) są do zaakceptowania z punktu widzenia odpowiednio małej wartości parametru aproksymacjiǫ. Na rysunkac Rys. i 3, odpowiednio dla punktów P1 i P3 (patrz Rys. 1), przedstawiono dla profilu ściany pionowej (x = ) przebiegi w czasie (t = T/): (a) ciśnienia ydrodynamicznego, p, (b) względnej różnicy ciśnienia ydrodynamicznego, p, pod falą stojącą Stokesa na głębokościz= /3= 3,3 m, przy czym ciśnienie ydrodynamiczne została wyrażona w postaci wysokości ciśnienia p= p ρg =p γ (18a) gdzie: p wysokość ciśnienia ydrodynamicznego [m], ρ gęstość wody morskiej (ρ=1,5 t/m 3 ), g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s ), γ ciężar właściwy wody morskiej (γ=1,6 kn/m 3 ), a względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego została obliczona ze wzoru p= p N=i p N= P + N= 1 (18b) gdzie: p względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojąca Stokesa [%], p N=i ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacjii rzędu (i=1,1l,,l i5) [m], p N= ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacji rzędu [m], P N= + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnic) oscylacji ciśnienia ydrodynamicznego według aproksymacji rzędu [m]. Dodatkowo, w celu zbadania wpływu efektu linearyzacji równania Bernoulliego na wartość ciśnienia ydrodynamicznego, posłużono się następującym wzorem porównawczym p L = p N=iL p N=i P + N=i 1 (18c)
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 9 (a),5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m],4,3,,1 -,1 -, -,3 -,4 N=1L L N=1 N=L L N= N=5 -,5,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas oscylacji, tt [s] [s] (b) Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] 1,5 1,5 -,5-1 -1,5 N=1L L N=1 N=L L N= N=5 -,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas oscylacji, tt [s] [s] Rys. : Rozkład w czasie (t= T/) w profilu ściany pionowej (x=): (a) ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa, (b) względnej różnicy ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa (punkt P1, patrz Tabl. ); dane wodno-falowe:h=,5 m,t=7,14 s,=1 m, z = /3 = 3,33 m; oznaczenia aproksymacji rozwiazania:n=1l 1 rzędu zlinearyzowana,n=1 1 rzędu,n=l rzędu zlinearyzowana,n= rzędu,n=5 5 rzędu)
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 1 (a) 5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m] 4 3 1-1 - -3-4 N=1L L N=1 N=L L N= N=5-5,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas Czas oscylacji, oscylacji, t t [s] (b) Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] Wzglêdna ró nica ciœnienia, p [%] 1-1 - -3 N=1L L N=1 N=L L N= N=5-4,5 1 1,5,5 3 3,5 4 Czas oscylacji, t [s] [s] Rys. 3: Rozkład w czasie (t= T/) w profilu ściany pionowej (x=): (a) ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa, (b) względnej różnicy ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa (punkt P3, patrz Tabl. ); dane wodno-falowe:h=5, m,t=7,14 s,=1 m, z = /3 = 3,33 m; oznaczenia aproksymacji rozwiazania:n=1l 1 rzędu zlinearyzowana,n=1 1 rzędu,n=l rzędu zlinearyzowana,n= rzędu,n=5 5 rzędu)
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 11 gdzie: p L względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojac a Stokesa [%], p N=iL ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacjii rzędu zlinearyzowanej po przyjęciu założeniau=w= (i=1,) [m], p N=i ciśnienie ydrodynamiczne według aproksymacjii rzędu nie zlinearyzowanej (i=1,) [m], P N=i + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnic) oscylacji ciśnienia ydrodynamicznego według aproksymacji i rzędu nie zlinearyzowanej (i = 1, ) [m]. Oznaczenia N = 1L i N = L w legendac rysunków symbolizują aproksymacje ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa, odpowiednio 1 i rzędu w postaci zlinearyzowanej, co uzyskano poprzez przyjęcie zerowyc składowyc prędkości orbitalnej cząstki wody (u=w=) w równaniu Bernoulliego (patrz wzór (4)), z którego wyprowadzono odpowiednie wzory na ciśnienie ydrodynamiczne (patrz wzory (11) i (15)). Jak wykazuje praktyka, najwyższym rzędem aproksymacji progresywnej fali Stokesa, wykorzystywanym przez inżyniera-projektanta, jest rząd. Z tego względu wartości względne ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa zostały odniesione właśnie do rozwiązania rzędu, w jego pełnej nie zlinearyzowanej postaci (N=). Ze względu na symetrię rozwiązań względem czasut=t/, na Rys. i 3 przedstawiono przebiegi badanyc funkcji tylko w przedziale czasowym równym połowie okresu fali (t= T/). Obliczenia wykonano z krokiem czasowym t = 1/3 T. Na podstawie analizy wyników obliczeń porównawczyc ciśnienia ydrodynamicznego, zilustrowanyc przykładowo na Rys. (dla punktu P1) i 3 (dla punktu P3), można wysnuć następujące wnioski: Rozwiązania zlinearyzowane rzędu 1 (N=1L) i (N=L) niewiele różnią się od odpowiednic rozwiązań pełnyc (tzn. nie zlinearyzowanyc) rzędu 1 (N = 1) i (N = ) w przypadku stosunkowo mniejszej stromości fali. Wzrost stromości fali powoduje pewne zwiększenie różnic. W analizowanyc 3 przypadkac obliczeniowyc, dla któryc głębokość obliczeniowa wynosiła z = /3 = 3,3 m, względna różnica ciśnienia ydrodynamicznego, obliczona ze wzoru (18c), wyniosła: w przypadku rozwiązań 1 rzędu (N=1iN=1L): * punkt P1: p L=,9% (t=1/4 T it=3/4 T) * punkt P: p L=4,61% (t=1/4 T it=3/4 T) * punkt P3: p L=9,% (t=1/4 T it=3/4 T) w przypadku rozwiązań rzędu (N=iN=L): * punkt P1: p L=,9% (t=1/4t it=3/4t ; patrz Rys. ) * punkt P: p L=4,75% (t=7/3t it=5/3t ) * punkt P3: p L=1,7% (t=6/3t it=6/3t ; patrz Rys. 3) Dla fazy szczytu fali stojącej (t=) rozwiązania zlinearyzowane (rzędu 1 (N=1L) i rzędu (N = L)) są identyczne z odpowiednimi rozwiązaniami pełnymi (nie zlinearyzowanymi). Jest to oczywiste, gdyż dla tej fazy rucu falowego zacodziu=w=, co z drugiej strony stanowi założenie w procesie linearyzacji równania Bernoulliego. W przypadku umiarkowanej stromości fali (punkt P1, δ =,81, Rys. ) rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) dla ciśnienia ydrodynamicznego otrzymane z aproksymacji rzędu 1 (N=1) jest zbliżone do rozwiązania pełnego z aproksymacji rzędu (N=). Maksymalna różnica w tym wypadku wynosi p=1,46% (t=9/3 T
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 1 it=3/3 T ). Dziesięciokrotne zwiększenie stromości fali doδ=,83 (punkt P3, Rys. 3) skutkuje także około dziesięciokrotnym wzrostem różnicy pomiędzy tymi rozwiązaniami, przy czym maksymalna wartość tej różnicy wynosi p=15,3% (t=9/3 T it=3/3 T). W przypadku umiarkowanej stromości fali (punkt P1, δ =,81, Rys. ) rozwiązanie pełne (tzn. nie zlinearyzowane) dla ciśnienia ydrodynamicznego otrzymane z aproksymacji rzędu 5 (N=5) jest także zbliżone do rozwiązania z aproksymacji rzędu (N=) w całym badanym przedziale czasowym (t= T ). Maksymalna różnica w tym wypadku wynosi p =,61% (t = ). Dziesięciokrotne zwiększenie stromości fali do δ =,83 (punkt P3, Rys. 3) skutkuje stosunkowo znacznym wzrostem różnicy pomiędzy tymi rozwiązaniami, przy czym maksymalna wartość tej różnicy wynosi p= 37,14% (t=). Rozwiązania wynikające z aproksymacji 1 rzędu (N=1L in=1) i rzędu (N=L, N=) wykazują w przedziale czasowymt= T istnienie tylko jednego maksimum lokalnego właściwego (dla t = faza szczytu fali stojącej) i jednego minimum lokalnego właściwego (dlat=t/ faza dna fali stojącej). Oba ekstrema lokalne są w tym przypadku jednocześnie ekstremami globalnymi. Przy większej stromości fali (punkt P3, Rys. 3) w przypadku aproksymacji 5 rzędu (N = 5) zaobserwowano pojawienie się w przedziale czasowym t = T dwóc identycznyc maksimów lokalnyc właściwyc (dlat it T/) i dwóc różnyc minimów lokalnyc właściwyc (dlat= it=t/), przy czym minimum lokalne właściwe osiągane dlat=t/ jest jednocześnie minimum globalnym. Kolejny etap analizy porównawczej aproksymacji i 5 rzędu rozwiązania dla ciśnienia ydrodynamicznego pod falą stojącą Stokesa poświęcono bardziej praktycznej stronie zagadnienia, a mianowicie obliczenia i porównania obciążenia falą stojącą Stokesa, działającego na pionową ścianę morskiej konstrukcji ydrotecnicznej, jaką jest grawitacyjny (masywny) falocron pionowo-ścienny (Rys. 4). W tym celu wykonano obliczenia ciśnienia ydrodynamicznego w profilu ściany pionowej (x=) dla 6 poziomów:z= (poziom spokoju),,1,,, /3,,5 i (poziom dna morskiego) dla punktów od P1 do P3 (patrz Rys.1). Przykładowe wyniki obliczeń, wykonanyc dla punktu P3, zilustrowano na Rys. 5. W celu porównania na Rys. 5 pokazano także rozwiązanie dlaz= (oznaczone w legendzie rysunku jako z= (L) ), wynikające z teorii liniowej, czyli zlinearyzowanej postaci aproksymacji fali stojącej Stokesa 1 rzędu. Następnie po scałkowaniu otrzymanyc rozkładów ciśnienia po wysokości ściany na odcinku, na którym oddziałuje fala stojąca Stokesa, uzyskano wartość wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej działającej na konstrukcję falocronu, a odpowiednie rozkłady tej siły w czasie przedstawiono na Rys. 6 do Rys. 8, odpowiednio dla punktów od P1 do P3. Dodatkowo na tyc samyc rysunkac pokazano przebieg w czasie względnej różnicy siły poziomej wynikającej z porównania rozwiązań dla aproksymacji 5 rzędu z odpowiednim rozwiązaniem uzyskanym z aproksymacji rzędu. W obliczeniac względnej różnicy siły poziomej posłużono się następującymi wzorami: F= F ρg =F γ (18d) F= F N=5 F N= V + N= 1 (18e)
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 13 (a) Faza grzbietu fali stoj¹cej Port Poziom falowania Poziom spokoju ( z = ) Fala stoj¹ca p 1 Morze z(-) A Falocron B F Rozk³ad ciœnienia ydrodynamicznego Dno morza ( z = - ) p b W (b) Faza doliny fali stoj¹cej Port Fala stoj¹ca Morze Poziom falowania Poziom spokoju ( z = ) p z(-) A Falocron B F Rozk³ad ciœnienia ydrodynamicznego Dno morza ( z = - ) p b W Rys. 4: Scemat obciażenia falocronu pionowo-ściennego falą stojac a Stokesa (a) faza grzbietu (w szczególności szczytu) fali, (b) faza doliny (w szczególności dna) fali
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 14 (a) Fala stoj¹ca Stokesa (przybli enie -go rzêdu) 6 5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m] 4 3 1-1 - -3-4 -5 z = (L) z = z = -, z = -,5 z = -1, -6 1 3 4 5 6 7 Czas oscylacji, t [s] t [s] (b) Fala stoj¹ca Stokesa (przybli enie 5-go rzêdu) 6 5 Ciœnienie ydrodynamiczne, p/g [m] Ciœnienie ydrodynamiczne, p [m] 4 3 1-1 - -3-4 -5 z = (L) z = z = -, z = -,5 z = -1, -6 1 3 4 5 6 7 Czas oscylacji, tt [s] [s] Rys. 5: Przebieg ciśnienia ydrodynamicznego w czasie w profilu ściany (x = ) pod falą stojac a Stokesa: (a) aproksymacja rzędu (N=), (b) aproksymacja 5 rzędu (N=5) (dane wodno-falowe: H=5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P3, patrz Tabl. )
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 15 4,8 3 Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [kn/m / kn/m ] Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [1/m] 3 1-1 - -3-4 F (N=) F (N=5) df F 1 3 4 5 6 7 F N= F N=5,6,4, -, -,4 -,6 -,8 Wzglêdna ró nica si³y poziomej, F [%] Wzglêdna ró nica si³y poziomej, df [%] Czas oscylacji, t t[s] Rys. 6: Rozkład w czasie (t= T) w profilu ściany pionowej (x=): (a) wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, (b) względnej różnicy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji i 5 rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe:h=,5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P1, patrz Tabl. ) gdzie: F względna wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna w wyniku oddziaływania fali stojącej Stokesa [(kn/m)/(kn/m 3 )], F wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna w wyniku oddziaływania fali stojacej Stokesa [kn/m], ρ gęstość wody morskiej (ρ=1,5 t/m 3 ), g przyspieszenie ziemskie (g=9,81 m/s ), γ ciężar właściwy wody morskiej (γ=1,6 kn/m 3 ), F względna różnica wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej w wyniku oddziaływania fali stojacej Stokesa [%], F N=5 wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna dla aproksymacji 5 rzędu [(kn/m)/(kn/m 3 )], F N= wypadkowa pozioma siła ydrodynamiczna dla aproksymacji rzędu [(kn/m)/(kn/m 3 )], V N= + amplituda górna (tzn. dla wartości dodatnic) oscylacji wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji rzędu [(kn/m)/(kn/m 3 )]. W przypadku punktu P1 różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji i 5 rzędu są znikome. Oto zestawienie carakterystycznyc wartości (patrz Rys. 6): dlat= F N= =3,91 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F N=5 =3,88 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F=,61%
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 16 5 5 3 Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [kn/m / kn/m ] Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [1/m] 15 1 5-5 -1-15 - -5 F (N=) 1 3 4 5 6 7 F N= F (N=5) F N=5 df F 15 1 5-5 -1-15 - -5 Wzglêdna ró nica si³y poziomej, F [%] Wzglêdna ró nica si³y poziomej, df [%] Czas oscylacji, t [s] Rys. 7: Rozkład w czasie (t= T) w profilu ściany pionowej (x=): (a) wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, (b) względnej różnicy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji i 5 rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe:h=,5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P, patrz Tabl. ) dlat=t/ F N= = 3,61 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F N=5 = 3,59 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F=,54% W przypadku punktu P, gdzie stromość fali jest 5-krotnie większa niż dla punktu P1, różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji i 5 rzędu ulegają znaczącemu zwiększeniu. Oto zestawienie carakterystycznyc wartości (patrz Rys. 7): dlat= F N= =,1 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F N=5 =18,7 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F= 15,7% dlat=t/ F N= = 15,46 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F N=5 = 13,93 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F= 6,9% Przejście z punktu P do punktu P3 oznacza dalsze dwukrotne powiększenie stromości fali. Różnice pomiędzy rozwiązaniami otrzymanymi z aproksymacji i 5 rzędu ulegają dalszemu zwiększeniu, ale wyłącznie w rejonie czasowym t =. Oto zestawienie carakterystycznyc wartości (patrz Rys. 8):
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 17 6 6 3 Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [kn/m / kn/m ] Si³a pozioma ydrodynamiczna, F [1/m] 4 - -4-6 F (N=) 1 3 4 5 6 7 F N= F (N=5) F N=5 df F 4 - -4-6 Wzglêdna ró nica si³y poziomej, F [%] Wzglêdna ró nica si³y poziomej, df [%] Czas oscylacji, t [s] Rys. 8: Rozkład w czasie (t= T) w profilu ściany pionowej (x=): (a) wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, (b) względnej różnicy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji i 5 rzędu fali stojącej Stokesa (dane wodno-falowe:h=5 m,t=7,14 s,=1 m; punkt P3, patrz Tabl. ) dlat= F N= =54,47 (kn/m)/(kn/m 3 ) maksimum lokalne włściwe i maksimum lokalne F N=5 =9,63 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F= 45,61% dlat=t/ F N= = 9,47 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F N=5 = 8,15 (kn/m)/(kn/m 3 ) minimum lokalne włściwe i minimum lokalne F=,43% maksimum lokalne właściwe i maksimum globalne dla aproksymacji 5 rzędu F N=5 =37,51 (kn/m)/(kn/m 3 ) dlat=3/3 T it=9/3 T, gdzie jednocześnie F N= =39,3 (kn/m)/(kn/m 3 ) oraz F= 3,3% PODSUMOWANIE W niniejszym artykule dokonano analizy wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej działającej na ścianę falocronu pionowo-ściennego i generowanej falą stojącą Stokesa. W analizie porównano ze sobą rozwiązania wynikające z aproksymacji fali stojącej Stokesa i 5 rzędu, które zastosowano do trzec przypadku warunków ograniczonej głębokości wody (punkty P1, P i P3, patrz Rys. 1). Na podstawie wyników przeprowadzonyc obliczeń można stwierdzić, co następuje:
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 18 W przypadku mniejszej stromości fali (punkt P1) względna różnica wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, F (patrz wzór (18e)), pomiędzy wartością wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej otrzymaną z aproksymacji fali stojącej Stokesa 5 rzędu, a odpowiednią wartością wynikającą z aproksymacji rzędu, jest: bardzo mała w strefac stosunkowo mniejszyc wartości siły (t 1/4T it 3/4T ), mała (rzędu kilku procent) w strefac zbliżonyc do punktów czasowyct= it=t/. W przypadku znacznej stromości fali (punkt P3) względna różnica wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej, F, jest: mała w znacznej środkowej strefie analizowanego okresu oscylacji fali, a wykazane różnice nie przekraczają kilku procent, istotna (rzędu nawet kilkudziesięciu procent) w punkcie czasowymt=. Trzeba jednak zauważyć, że w punkcie czasowym t = dokładniejsze rozwiązanie otrzymane z aproksymacji 5 rzędu nie osiąga swego maksimum globalnego. Identyczne maksima globalne dla aproksymacji 5 rzędu występują w punktac czasowyc t = 3/3 T it=9/3 T i dla tyc właśnie punktów czasowyc ic wartość praktycznie pokrywa się z rozwiąniem wynikającym z aproksymacji rzędu (różnica wynosi tylko około3%). Biorąc jednak pod uwagę tylko maksima globalne rozwiązań otrzymanyc z aproksymacji fali stojącej Stokesa i 5 rzędu, wykazano, że maksimum globalne wypadkowej siły ydrodynamicznej dla aproksymacji 5 rzędu jest mniejsze o około trzydzieści procent (dokładnie 31,14%) od maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej wynikającej z aproksymacji rzędu. Stosunek maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej do bezwzględnej wartości minimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej ulega zmianie wraz ze wzrostem stromości fali i dla analizowanyc przypadków wynosi: dla punktu P1 (δ =,81) * 1,8 (aproksymacja rzędu) * 1,8 (aproksymacja 5 rzędu) dla punktu P (δ =,47) * 1,44 (aproksymacja rzędu) * 1,34 (aproksymacja 5 rzędu) dla punktu P3 (δ =,814) * 1,85 (aproksymacja rzędu) * 1,33 (aproksymacja 5 rzędu) W analizowanyc przypadkac obliczeniowyc dla punktów P1 do P3 maksimum globalne wypadkowej siły ydrodynamicznej przewyższa bezwzględną wartość minimum globalnego. Obserwacja ta ma istotne znaczenie dla większości praktycznyc przypadków projektowyc, w obliczeniac któryc wystarczy uwzględniać maksimum globalne wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej. Nie należy jednak zapominać, że niektóre przypadki analizy stateczności falocronu pionowo-ściennego mogą również wymagać znajomości minimum globalnego wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej oddziałującej na falocron.
artykuł opublikowany w Inżynierii Morskiej i Geotecnice, nr /1, str. 15 158 19 Wykazane różnice w wartościac wypadkowej poziomej siły ydrodynamicznej działącej na falocron pionowo-ścienny w wyniku powstania stojącej fali Stokesa wykazują konserwatywność rozwiązania otrzymanego z aproksymacji fali Stokesa rzędu. Obecnie w większości procedur projektowyc są wykorzytywane odpowiednie wzory wynikające z aproksymacji fali Stojącej Stokesa rzędu, które co trzeba wyraźnie podkreślić są o wiele prostsze w matematycznym zapisie w porównaniu z odpowiednimi wzorami dla aproksymacji 5 rzędu. Dokładniejsze rozwiązanie otrzymane z aproksymacji 5 rzędu, wymagające znajomości wartości wielu odpowiednic współczynników szeregów potęgowyc opisanyc na początku niniejszego artykułu, pozwala otrzymać wartości maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej mniejsze od wartości wynikającyc z aproksymacji rzędu, przy czym maksymalna różnica wykazana w analizowanyc przypadkac wyniosła około 3% (punkt P3) wartości maksimum globalnego wypadkowej siły ydrodynamicznej wynikającej z aproksymacji rzędu. Czy fakt ten wart jest uwzględnienia w procesie projektowym rzeczywistyc konstrukcji? Odpowiedź na to pytanie Autor niniejszego artykułu pozostawia projektantom, którzy sami muszą zdecydować, czy mniejsza wartość ekstremalnego obciążenia falocronu poziomą siłą ydrodynamiczną będzie miała swoje konsekwencje w istotnyc zmianac konstrukcyjnyc falocronu, a co za tym idzie czy tą drogą można poczynić oszczędności materiałowe, dające oczywiście wymierne korzyści finansowe. LITERATURA [1] Goda Y.: Te fourt order approximation to te pressure of standing waves. Coastal Engineering in Japan, Vol. 1, 1967, str. 1 1. [] Hsu J.R.C., Tsuciya Y., Silvester R.: Tird-order approximation to sort-crested waves, Journal of Fluid Mecanics, Vol. 9, 1979, str. 179 196. [3] Sobey R.J.: Analytical solutions for steep standing waves. Engineering and Computational Mecanics 16, Proceedings of te Institution of Civil Engineers, Issue EM4, December 9, str. 185 197. [4] Tadjbaks I., Keller J.B.: Standing surface waves of finite amplitude. Journal of Fluid Mecanics, Vol. 8, No. 3, 196, str. 44 451. [5] Recommendations of te Committee for Waterfront Structures, Harbours and Waterways (EAU 1996).7 t Englis Edition, Englis Translation of te9 t German Edition, Issued by te Committee for Waterfront Structures of te Society for Harbour Engineering and te German Society for Soil Mecanics and Foundation Engineering, ISBN 3-433-179-5, Ernst & Son, Berlin,. [6] Sore Protection Manual. Coastal Engineering Researc Center, Department of te Army, Waterways Experiment Station, Corps of Engineers, Vol. I i II, Vicksburg, Mississippi, USA, 1984.