3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która

Transkrypt

1 3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x 2,, x n, tzn. y i = f x i dla i=0,1,, n. Zbiór argumentów {x i },i=0,1,, n, nazywany jest węzłami interpolacji, przy czym zakłada się, że: a x 1, x 2,, x n b. Powyższą funkcję nazywa się funkcją tabelaryczną ponieważ można ją określić podając tabelę:

2 Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.1) Zagadnienie interpolacji w sensie Lagrange'a polega na znalezieniu funkcji y=f x należącej do pewnej określonej klasy funkcji, która w węzłach interpolacji przyjmuje te same wartości co funkcja y= f x, tj. F x i = y i dla i=0,1,,n. Funkcję y=f x nazywa się funkcją interpolującą, a y= f x - funkcją interpolowaną.

3 Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.2) Zagadnienie interpolacji wykorzystuje się najczęściej do wyznaczania przybliżonych wartości funkcji y= f x dla argumentów x leżących pomiędzy węzłami interpolacji. W związku z tym funkcję interpolującą y=f x dobra się tak, aby jeśli to możliwe, dobrze przybliżała funkcję y= f x a następnie oblicza się wartość F x przyjmując, że f (x) F (x). Wyznaczona ocena wartości f x obarczona jest błędem R x = f x F x zwanym błędem interpolacji (błędem metody), który (jeśli istnieją ku temu możliwości) powinien również zostać oszacowany. W zależności od wybranej klasy funkcji, zagadnienie interpolacji może mieć jedno rozwiązanie, wiele rozwiązań (nawet nieskończenie wiele) lub nie mieć rozwiązań wcale. W dlalszej części przyjęto, że funkcja interpolująca jest wielomianem uogólnionym, tzn, funkcją postaci: F (x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a n φ n (x). Gdzie: φ 0 (x), φ 1 (x),... φ n (x) są funkcjami określonymi na przedziale [a ;b], w którym tworzą układ liniowo niezależny nazywany bazą.

4 Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.3) Aby wielomian uogólniony stał się funkcją interpolującą, muszą zachodzić równości: F (x 0 )=a 0 φ 0 (x 0 )+a 1 φ 1 (x 0 )+...+a n φ n (x 0 )= y 0, F (x 1 )=a 0 φ 0 (x 1 )+a 1 φ 1 (x 1 )+...+a n φ n (x 1 )= y 1,..., F (x n )=a 0 φ 0 (x n )+a 1 φ 1 (x n )+...+a n φ n (x n )= y n. Równania powyższe tworzą układ n 1 równań liniowych z niewiadomymi a 0,a 1,, a n. Jeśli wyznacznik główny układu jest różny od zera tj.: φ 0(x0) φ 1(x0)... φ n( x0) φ 0 (x 1 ) φ 1 (x 1 )... φ n (x 1 ), φ 0 (x n ) φ 1 (x n )... φ n (x n ) 0 istnieje wówczas jedno rozwiazanie, którym są poszukiwane współczynniki funkcji interpolującej a 0,a 1,, a n.

5 Wzór Lagrange'a (3.2) Niech bazę funkcji interpolujących stanowi zbiór jednomianów: które tworzą układ liniowo niezależny dla przyjmuje postać zwykłego wielomianu a układ równań przyjmuje postać: a 0 +a 1 x 0 +a 2 x a n x 0 n = y 0, a 0 +a 1 x 1 +a 2 x a n x 1 n = y 1,..., a 0 +a 1 x n +a 2 x n a n x n n = y n. φ 0 (x)=1,φ 1 (x)= x,...,φ n (x)=x n F (x)=a 0 +a 1 x+...+a n x n Wyznacznik macierzy głównej układu jest wyznacznikiem Vandermonda > <x<+, wówczas funkcja 1 x0... x0 1 x 1... n x i> j 1 x n... x n = n W praktyce metoda powyższa jest rzadko stosowana ze wzgędu na czesto występujące złe uwarunkowanie zadania. n (x i x j ) 0

6 Wzór Lagrange'a (3.2.1) Do częściej stosowanych funkcji interpolacyjnych należy wielomian interpolacyjny Lagrange'a W praktyce wykorzystuje się inną postać wielomianu, wymagającą mniejszej liczby operacji arytmetycznych: gdzie Można pokazać, że wielomian Lagrange'a jest wielomianem stopnia conajwyżej n i że błąd uzyskiwany przy jego wykorzystaniu do interpolacji spełnia nierówność gdzie

7 Wzór Lagrange'a (3.2.2) Przykład: Odczytane wartości temperatury zestawiono w tabeli: Należy okereślić temperaturę o godzinie 14:30. Rozwiązanie: Do obliczenia T 14,5 zastosowano drugi wzór Lagrange'a. Stąd otrzymano:

8 Wzór Lagrange'a (3.2.3)

9 Wzór Lagrange'a (3.2.4) Odpowiedź: O godzinie 14:30 temperatura była w przybliżeniu równa 21,6 o C. Nie można ocenić błędu wyznaczonej temperatury, ponieważ nie jest znana 5 pochdna funkcji T t czyli T 5 t.

10 Wzór Lagrange'a (3.2.5) Uwaga: Chcąc zminimalizować błąd interpolacji w przedziale [a ;b], węzły interpolacji x 1, x 2,, x n powinny być zerami wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju i wyrażać się wzorami: W tym przypadku błąd interpolacji jest równy:

11 Interpolacja Czebyszewa (3.3) Jeśli za zbiór funkcji bazowych przyjmie się wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju określone wzorami: funkcja interpolująca przyjmie postać Wspólczynniki a 0,a 1,,a n wyznacza się rozwiązująć układ równań Uogólniony wielomian interpolacyjny F x z obliczonymi współczynnikami a 0,a 1,,a n nosi nazwę wielomianu interpolacjnego Czebyszewa.

12 Interpolacja Czebyszewa (3.3.1) Uwagi: Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są określone na przedziale [ 1;1]. Jeśli interpoluje się funkcję y= f t w przedziale [a ;b] to trzeba dokonać podstawienia t= a b /2 [ b a /2] x. Interpolacji poddana zostanie funkcja f 1 x powiązana z funkcją f t zależnością: f 1 x = f a b /2 [ b a / 2] x Interpolacja Czebyszewa jest mniej wrażliwa na błędy zaokrągleń od interpolacji z użyciem wzoru Lagrange'a. Przykład: Odczytane wartości temperatury zestawiono w tabeli: Korzystając z wielomianu interpolacyjnego Czebyszewa określić temperaturę o godzinie 14:30.

13 Interpolacja Czebyszewa (3.3.2) Rozwiązanie: Ponieważ w przykładzie występuje 5 węzłów interpolacyjnych ( n 1=5), należy wyznaczyć pięć wielomianów bazowych o rzędach od 0 do 4: gdzie 1 x 1. Funkcja interpolowana określona jest w przedziale [a ;b]=[12 ;16] zatem wielomian interpolacyjny musi zostać przeskalowany za pomocą zależności: (jest to wyrażenie odwrotne do omawianego na poprzedniej stronie). Funkcja T =T t będzie więc interpolowana wielomianem,

14 Interpolacja Czebyszewa (3.3.3) Współczyniki liniowych: a 0,a 1,, a n należy obliczyć rozwiązując układ równań Układ ten po podstawieniu danych przyjmuje postać Rozwiązaniem układu równań są wspólczynniki wielomianu Ponieważ dla t=14,5 x=14,5/2 7=0,25 stąd Odpowiedź: O godz. 14:30 temperatura była w przybliżenu równa 21,6 o C.

15 Interpolacja trygonometryczna (3.4) W wielu przypadkach konieczna jest interpolacja funkcji okresowej y= f t. O funkcji takiej zakłada się, że jest okresowa o okresie głównym [0 ;2 ] lub w przypadku ogólniejszym [a ;b]. Ponieważ jako bazę funkcji stosuje się funkcje trygonometryczne postaci których okresem głównym jest przedział [0 ;2 ] ''wielokrotności'') w przypadku okresu głownego przeskalowanie przedziału za pomocą zależności (lub jego całkowite [a ;b] konieczne jest Funkcja interpolująca jest wielomianem trygonometrycznym o postaci F (x)= a m (a k cos(k x)+b k sin (k x)). k=1 Przy czym n=2m (liczba węzłów interpolacji jest równa n+1). Współczynniki a 0,a 1,b 1,a m,b m wyznacza się rozwiązując układ równań

16 Interpolacja trygonometryczna (3.4.1) W praktyce najważniejszy jest przypadek, gdy węzły interpolacji są równoodległe tj. W tym przypadku macierz główna układu równań pomnożona przez 2/2m 1 staje się macierzą ortogonalną. Dzięki temu można podać bezpośrednie wzory na obliczanie współczynników a 0,a 1,b 1,a m,b m.

17 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5) Obecnie analizowany będzie przypadek, gdy argumenty funkcji dyskretnej są rozmieszczone w równych odstępach, tzn. x i+1 x i =h=const dla i=0,1,...,n 1. Omówione poniżej wzory interpolacyjne wykorzystują pojęcie różnicy skończonej. Różnicą skończoną progresywną rzędu pierwszego dla argumentu nazywa się różnicę Δ y i = f (x i +h) f (x i )= y i+1 y i dla i=0,1,...,n 1. x i Różnice skończone progresywne rzędu k+1 definiuje się rekurencyjnie Δ k +1 y i =Δ(Δ k y i )=Δ k y i+1 Δ k y i dla i=0,1,...,n k.

18 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.1) Wzór Stirlinga Numerując węzły interpolacji...,x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,... oraz oznaczając q= x x 0. h Wzór interpolacyjny Stirlinga rozpięty na węzłach wyraża zależność: S 2m (x)= y 0 +q Δ y 1 +Δ y q2 x m,..., x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,... x m 2! Δ2 y 1 + q(q2 1 2 ) Δ3 y 2 +Δ 3 y ! 2 + q(q2 1 2 )(q )... (q 2 (m 1) 2 ) Δ2m 1 y m +Δ 2 m 1 y m+1 (2 m 1)! 2 + q(q2 1 2 )(q )... (q 2 (m 1) 2 ) Δ 2m y (2 m)! m. Błąd interpolacji wynikający z użycia wzoru Stirlinga jest w przybliżeniu równy: R 2m (x)= f (x) S 2m (x)= = q(q2 1 2 )(q )... (q 2 m 2 ) Δ2 m+1 y m 1 +Δ 2 m+1 y m (2 m+1)! 2.

19 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.2) Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (0,5) z dokładnością ε =10 5. Tabela: Różnice skończone funkcji y= f (x)

20 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.3) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (0,5) zostanie zastosowany wzor Stirlinga. Pierwszym etapem bedzie takie ponumerowanie węzłów interpolacji aby węzeł x 0 znajdował się w pobliżu argumentu x=0,5, dla którego szukana jest przybliżona wartość funkcji. Dzięki temu współczynnik q=( x x 0 )/h= 0,5 0,6 = 0,5, gdzie h=x 0,2 i+1 x i =0,2,i= 3,...,0,...,5, przyjmie małą wartość, stąd kolejne składniki wzoru Stirlinga będą szybko malały stąd do wyznaczenia wartości S 2 m (x) z zadaną dokładnością ε we wzorze interpolacyjnym wystarczy wziąć pod uwagę tylko kilka początkowych składników. W tabeli zamieszczonej na poprzediej stronie zestawiono różnice skończone do rzędu szóstego. Tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią we wzorze Stirlinga. W kolejnych iteracjach k algorytmu należy wyznaczać S 2 k (x) oraz sprawdzać warunek końca obliczeń R 2 k (x) <ε.

21 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.4) Numerując węzły interpolacji wzorze Stirlinga rozpięty na węzłach q=( x x 0 )/h. x 0, x 1,..., x n P ' n (x)= y 0 +q Δ y 0 + q(q 1) 2! x 0, x 1,..., x n oraz oznaczając podobnie jak we Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona wyraża zależność: Δ 2 y 0 + q (q 1)(q 2) Δ 3 y 3! q(q 1)... (q n+1) Δ n y n! 0. Błąd interpolacji wynikający z użycia pierwszego wzoru Newtona jest w przybliżeniu równy: R' k (x)= f (x) P ' k (x)= q(q 1)(q 2)... (q k) Δ k +1 y (k+1)! 0. Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (0,1) z dokładnością ε =10 5.

22 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.5) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (0,1) zostanie zastosowany pierwszy wzór interpolacyjny Newtona. Węzły interpolacji należy tak ponumerować, aby węzeł x 0 znajdował się w pobliżu argumentu x=0,1, stąd przyjmuje się x 0 =0, x 1 =0,2,..., x 8 =1,6, daje to: q=(0,0 0,1)/0,2= 0,5. W tabeli poniżej zestawiono różnice skończone (tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią w pierwszym wzorze interpolacyjnym Newtona).

23 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.6) Wartość P ' k (0,1) obliczamy iteracyjnie sprawdzając w każdym kroku, czy spełniony jest warunek R' k (0,1) <ε.

24 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.7) Węzły interpolacji numerujemy podobnie jak w pierwszym wzorze interpolacyjnym Newtona x 0, x 1,..., x n jednak przez q oznaczamy q=( x x n )/h. Drugi wzór interpolacyjny Newtona rozpięty na węzłach x 0, x 1,..., x n wyraża zależność: P ' ' n (x)= y n +q Δ y n 1 + q(q+1) Δ 2 y 2! n 2 + q (q+1)(q+2) Δ 3 y 3! y q(q+1)... (q+n 1) Δ n y n! 0. Błąd interpolacji wynikający z użycia pierwszego wzoru Newtona jest w przybliżeniu równy: R' ' k (x)= f (x) P ' ' k (x)= q(q+1)(q+2)... (q+k ) Δ k +1 y (k+1)! n (k +1). Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (1,5) z dokładnością ε =10 5.

25 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.8) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (1,5) zostanie zastosowany drugi wzór interpolacyjny Newtona. Węzły interpolacji należy tak ponumerować, aby węzeł x n = x 8 =1,6 znajdował się w pobliżu argumentu x=1,5, stąd przyjmuje się x 0 =0, x 1 =0,2,..., x 8 =1,6, daje to: q=(1,5 1,6)/0,2= 0,5. W tabeli poniżej zestawiono różnice skończone (tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią w drugim wzorze interpolacyjnym Newtona).

26 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.9) Wartość P ' ' k (1,5) obliczamy iteracyjnie sprawdzając w każdym kroku, czy spełniony jest warunek R' ' k (1,5) <ε.