3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
|
|
- Kamila Chmielewska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x 2,, x n, tzn. y i = f x i dla i=0,1,, n. Zbiór argumentów {x i },i=0,1,, n, nazywany jest węzłami interpolacji, przy czym zakłada się, że: a x 1, x 2,, x n b. Powyższą funkcję nazywa się funkcją tabelaryczną ponieważ można ją określić podając tabelę:
2 Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.1) Zagadnienie interpolacji w sensie Lagrange'a polega na znalezieniu funkcji y=f x należącej do pewnej określonej klasy funkcji, która w węzłach interpolacji przyjmuje te same wartości co funkcja y= f x, tj. F x i = y i dla i=0,1,,n. Funkcję y=f x nazywa się funkcją interpolującą, a y= f x - funkcją interpolowaną.
3 Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.2) Zagadnienie interpolacji wykorzystuje się najczęściej do wyznaczania przybliżonych wartości funkcji y= f x dla argumentów x leżących pomiędzy węzłami interpolacji. W związku z tym funkcję interpolującą y=f x dobra się tak, aby jeśli to możliwe, dobrze przybliżała funkcję y= f x a następnie oblicza się wartość F x przyjmując, że f (x) F (x). Wyznaczona ocena wartości f x obarczona jest błędem R x = f x F x zwanym błędem interpolacji (błędem metody), który (jeśli istnieją ku temu możliwości) powinien również zostać oszacowany. W zależności od wybranej klasy funkcji, zagadnienie interpolacji może mieć jedno rozwiązanie, wiele rozwiązań (nawet nieskończenie wiele) lub nie mieć rozwiązań wcale. W dlalszej części przyjęto, że funkcja interpolująca jest wielomianem uogólnionym, tzn, funkcją postaci: F (x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a n φ n (x). Gdzie: φ 0 (x), φ 1 (x),... φ n (x) są funkcjami określonymi na przedziale [a ;b], w którym tworzą układ liniowo niezależny nazywany bazą.
4 Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1.3) Aby wielomian uogólniony stał się funkcją interpolującą, muszą zachodzić równości: F (x 0 )=a 0 φ 0 (x 0 )+a 1 φ 1 (x 0 )+...+a n φ n (x 0 )= y 0, F (x 1 )=a 0 φ 0 (x 1 )+a 1 φ 1 (x 1 )+...+a n φ n (x 1 )= y 1,..., F (x n )=a 0 φ 0 (x n )+a 1 φ 1 (x n )+...+a n φ n (x n )= y n. Równania powyższe tworzą układ n 1 równań liniowych z niewiadomymi a 0,a 1,, a n. Jeśli wyznacznik główny układu jest różny od zera tj.: φ 0(x0) φ 1(x0)... φ n( x0) φ 0 (x 1 ) φ 1 (x 1 )... φ n (x 1 ), φ 0 (x n ) φ 1 (x n )... φ n (x n ) 0 istnieje wówczas jedno rozwiazanie, którym są poszukiwane współczynniki funkcji interpolującej a 0,a 1,, a n.
5 Wzór Lagrange'a (3.2) Niech bazę funkcji interpolujących stanowi zbiór jednomianów: które tworzą układ liniowo niezależny dla przyjmuje postać zwykłego wielomianu a układ równań przyjmuje postać: a 0 +a 1 x 0 +a 2 x a n x 0 n = y 0, a 0 +a 1 x 1 +a 2 x a n x 1 n = y 1,..., a 0 +a 1 x n +a 2 x n a n x n n = y n. φ 0 (x)=1,φ 1 (x)= x,...,φ n (x)=x n F (x)=a 0 +a 1 x+...+a n x n Wyznacznik macierzy głównej układu jest wyznacznikiem Vandermonda > <x<+, wówczas funkcja 1 x0... x0 1 x 1... n x i> j 1 x n... x n = n W praktyce metoda powyższa jest rzadko stosowana ze wzgędu na czesto występujące złe uwarunkowanie zadania. n (x i x j ) 0
6 Wzór Lagrange'a (3.2.1) Do częściej stosowanych funkcji interpolacyjnych należy wielomian interpolacyjny Lagrange'a W praktyce wykorzystuje się inną postać wielomianu, wymagającą mniejszej liczby operacji arytmetycznych: gdzie Można pokazać, że wielomian Lagrange'a jest wielomianem stopnia conajwyżej n i że błąd uzyskiwany przy jego wykorzystaniu do interpolacji spełnia nierówność gdzie
7 Wzór Lagrange'a (3.2.2) Przykład: Odczytane wartości temperatury zestawiono w tabeli: Należy okereślić temperaturę o godzinie 14:30. Rozwiązanie: Do obliczenia T 14,5 zastosowano drugi wzór Lagrange'a. Stąd otrzymano:
8 Wzór Lagrange'a (3.2.3)
9 Wzór Lagrange'a (3.2.4) Odpowiedź: O godzinie 14:30 temperatura była w przybliżeniu równa 21,6 o C. Nie można ocenić błędu wyznaczonej temperatury, ponieważ nie jest znana 5 pochdna funkcji T t czyli T 5 t.
10 Wzór Lagrange'a (3.2.5) Uwaga: Chcąc zminimalizować błąd interpolacji w przedziale [a ;b], węzły interpolacji x 1, x 2,, x n powinny być zerami wielomianu Czebyszewa pierwszego rodzaju i wyrażać się wzorami: W tym przypadku błąd interpolacji jest równy:
11 Interpolacja Czebyszewa (3.3) Jeśli za zbiór funkcji bazowych przyjmie się wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju określone wzorami: funkcja interpolująca przyjmie postać Wspólczynniki a 0,a 1,,a n wyznacza się rozwiązująć układ równań Uogólniony wielomian interpolacyjny F x z obliczonymi współczynnikami a 0,a 1,,a n nosi nazwę wielomianu interpolacjnego Czebyszewa.
12 Interpolacja Czebyszewa (3.3.1) Uwagi: Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju są określone na przedziale [ 1;1]. Jeśli interpoluje się funkcję y= f t w przedziale [a ;b] to trzeba dokonać podstawienia t= a b /2 [ b a /2] x. Interpolacji poddana zostanie funkcja f 1 x powiązana z funkcją f t zależnością: f 1 x = f a b /2 [ b a / 2] x Interpolacja Czebyszewa jest mniej wrażliwa na błędy zaokrągleń od interpolacji z użyciem wzoru Lagrange'a. Przykład: Odczytane wartości temperatury zestawiono w tabeli: Korzystając z wielomianu interpolacyjnego Czebyszewa określić temperaturę o godzinie 14:30.
13 Interpolacja Czebyszewa (3.3.2) Rozwiązanie: Ponieważ w przykładzie występuje 5 węzłów interpolacyjnych ( n 1=5), należy wyznaczyć pięć wielomianów bazowych o rzędach od 0 do 4: gdzie 1 x 1. Funkcja interpolowana określona jest w przedziale [a ;b]=[12 ;16] zatem wielomian interpolacyjny musi zostać przeskalowany za pomocą zależności: (jest to wyrażenie odwrotne do omawianego na poprzedniej stronie). Funkcja T =T t będzie więc interpolowana wielomianem,
14 Interpolacja Czebyszewa (3.3.3) Współczyniki liniowych: a 0,a 1,, a n należy obliczyć rozwiązując układ równań Układ ten po podstawieniu danych przyjmuje postać Rozwiązaniem układu równań są wspólczynniki wielomianu Ponieważ dla t=14,5 x=14,5/2 7=0,25 stąd Odpowiedź: O godz. 14:30 temperatura była w przybliżenu równa 21,6 o C.
15 Interpolacja trygonometryczna (3.4) W wielu przypadkach konieczna jest interpolacja funkcji okresowej y= f t. O funkcji takiej zakłada się, że jest okresowa o okresie głównym [0 ;2 ] lub w przypadku ogólniejszym [a ;b]. Ponieważ jako bazę funkcji stosuje się funkcje trygonometryczne postaci których okresem głównym jest przedział [0 ;2 ] ''wielokrotności'') w przypadku okresu głownego przeskalowanie przedziału za pomocą zależności (lub jego całkowite [a ;b] konieczne jest Funkcja interpolująca jest wielomianem trygonometrycznym o postaci F (x)= a m (a k cos(k x)+b k sin (k x)). k=1 Przy czym n=2m (liczba węzłów interpolacji jest równa n+1). Współczynniki a 0,a 1,b 1,a m,b m wyznacza się rozwiązując układ równań
16 Interpolacja trygonometryczna (3.4.1) W praktyce najważniejszy jest przypadek, gdy węzły interpolacji są równoodległe tj. W tym przypadku macierz główna układu równań pomnożona przez 2/2m 1 staje się macierzą ortogonalną. Dzięki temu można podać bezpośrednie wzory na obliczanie współczynników a 0,a 1,b 1,a m,b m.
17 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5) Obecnie analizowany będzie przypadek, gdy argumenty funkcji dyskretnej są rozmieszczone w równych odstępach, tzn. x i+1 x i =h=const dla i=0,1,...,n 1. Omówione poniżej wzory interpolacyjne wykorzystują pojęcie różnicy skończonej. Różnicą skończoną progresywną rzędu pierwszego dla argumentu nazywa się różnicę Δ y i = f (x i +h) f (x i )= y i+1 y i dla i=0,1,...,n 1. x i Różnice skończone progresywne rzędu k+1 definiuje się rekurencyjnie Δ k +1 y i =Δ(Δ k y i )=Δ k y i+1 Δ k y i dla i=0,1,...,n k.
18 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.1) Wzór Stirlinga Numerując węzły interpolacji...,x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,... oraz oznaczając q= x x 0. h Wzór interpolacyjny Stirlinga rozpięty na węzłach wyraża zależność: S 2m (x)= y 0 +q Δ y 1 +Δ y q2 x m,..., x 2, x 1, x 0, x 1, x 2,... x m 2! Δ2 y 1 + q(q2 1 2 ) Δ3 y 2 +Δ 3 y ! 2 + q(q2 1 2 )(q )... (q 2 (m 1) 2 ) Δ2m 1 y m +Δ 2 m 1 y m+1 (2 m 1)! 2 + q(q2 1 2 )(q )... (q 2 (m 1) 2 ) Δ 2m y (2 m)! m. Błąd interpolacji wynikający z użycia wzoru Stirlinga jest w przybliżeniu równy: R 2m (x)= f (x) S 2m (x)= = q(q2 1 2 )(q )... (q 2 m 2 ) Δ2 m+1 y m 1 +Δ 2 m+1 y m (2 m+1)! 2.
19 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.2) Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (0,5) z dokładnością ε =10 5. Tabela: Różnice skończone funkcji y= f (x)
20 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych (3.5.3) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (0,5) zostanie zastosowany wzor Stirlinga. Pierwszym etapem bedzie takie ponumerowanie węzłów interpolacji aby węzeł x 0 znajdował się w pobliżu argumentu x=0,5, dla którego szukana jest przybliżona wartość funkcji. Dzięki temu współczynnik q=( x x 0 )/h= 0,5 0,6 = 0,5, gdzie h=x 0,2 i+1 x i =0,2,i= 3,...,0,...,5, przyjmie małą wartość, stąd kolejne składniki wzoru Stirlinga będą szybko malały stąd do wyznaczenia wartości S 2 m (x) z zadaną dokładnością ε we wzorze interpolacyjnym wystarczy wziąć pod uwagę tylko kilka początkowych składników. W tabeli zamieszczonej na poprzediej stronie zestawiono różnice skończone do rzędu szóstego. Tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią we wzorze Stirlinga. W kolejnych iteracjach k algorytmu należy wyznaczać S 2 k (x) oraz sprawdzać warunek końca obliczeń R 2 k (x) <ε.
21 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.4) Numerując węzły interpolacji wzorze Stirlinga rozpięty na węzłach q=( x x 0 )/h. x 0, x 1,..., x n P ' n (x)= y 0 +q Δ y 0 + q(q 1) 2! x 0, x 1,..., x n oraz oznaczając podobnie jak we Pierwszy wzór interpolacyjny Newtona wyraża zależność: Δ 2 y 0 + q (q 1)(q 2) Δ 3 y 3! q(q 1)... (q n+1) Δ n y n! 0. Błąd interpolacji wynikający z użycia pierwszego wzoru Newtona jest w przybliżeniu równy: R' k (x)= f (x) P ' k (x)= q(q 1)(q 2)... (q k) Δ k +1 y (k+1)! 0. Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (0,1) z dokładnością ε =10 5.
22 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.5) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (0,1) zostanie zastosowany pierwszy wzór interpolacyjny Newtona. Węzły interpolacji należy tak ponumerować, aby węzeł x 0 znajdował się w pobliżu argumentu x=0,1, stąd przyjmuje się x 0 =0, x 1 =0,2,..., x 8 =1,6, daje to: q=(0,0 0,1)/0,2= 0,5. W tabeli poniżej zestawiono różnice skończone (tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią w pierwszym wzorze interpolacyjnym Newtona).
23 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, I wzór Newtona (3.5.6) Wartość P ' k (0,1) obliczamy iteracyjnie sprawdzając w każdym kroku, czy spełniony jest warunek R' k (0,1) <ε.
24 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.7) Węzły interpolacji numerujemy podobnie jak w pierwszym wzorze interpolacyjnym Newtona x 0, x 1,..., x n jednak przez q oznaczamy q=( x x n )/h. Drugi wzór interpolacyjny Newtona rozpięty na węzłach x 0, x 1,..., x n wyraża zależność: P ' ' n (x)= y n +q Δ y n 1 + q(q+1) Δ 2 y 2! n 2 + q (q+1)(q+2) Δ 3 y 3! y q(q+1)... (q+n 1) Δ n y n! 0. Błąd interpolacji wynikający z użycia pierwszego wzoru Newtona jest w przybliżeniu równy: R' ' k (x)= f (x) P ' ' k (x)= q(q+1)(q+2)... (q+k ) Δ k +1 y (k+1)! n (k +1). Przykład: Znane są nastepujące wartości funkcji y= f (x): Obliczyć y= f (1,5) z dokładnością ε =10 5.
25 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.8) Rozwiązanie: Do obliczenia przybliżonej wartości y= f (1,5) zostanie zastosowany drugi wzór interpolacyjny Newtona. Węzły interpolacji należy tak ponumerować, aby węzeł x n = x 8 =1,6 znajdował się w pobliżu argumentu x=1,5, stąd przyjmuje się x 0 =0, x 1 =0,2,..., x 8 =1,6, daje to: q=(1,5 1,6)/0,2= 0,5. W tabeli poniżej zestawiono różnice skończone (tłustym drukiem zostały wyróżnione liczby, które wystąpią w drugim wzorze interpolacyjnym Newtona).
26 Interpolacja w przypadku węzłów równoodległych, II wzór Newtona (3.5.9) Wartość P ' ' k (1,5) obliczamy iteracyjnie sprawdzając w każdym kroku, czy spełniony jest warunek R' ' k (1,5) <ε.
INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Ilorazy różnicowe. dr Artur Woike. Wzory interpolacyjne Newtona i metoda Aitkena.
Ćwiczenia nr 3. Ilorazy różnicowe Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości f (x 0 ),..., f (x n ). Definiujemy rekurencyjnie ilorazy różnicowe: f (x i, x i+1 ) = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i, i =
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur
Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 6
Metody numeryczne Wykład 6 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Interpolacja o Interpolacja
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoAproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoVII. WYKRESY Wprowadzenie
VII. WYKRESY 7.1. Wprowadzenie Wykres jest graficznym przedstawieniem (w pewnym układzie współrzędnych) zależności pomiędzy określonymi wielkościami. Ułatwia on interpretację informacji (danych) liczbowych.
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoLaboratorium 5 Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych
Uniwersytet Zielonogórski Wydział Informatyki, Elektrotechniki i Telekomunikacji Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Elektrotechnika niestacjonarne-zaoczne pierwszego stopnia z tyt. inżyniera
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Interpolacja wykorzystująca wielomian Newtona
Interpolacja Funkcja y = f(x) jest dana w postaci dyskretnej: (1) y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ), y 3 = f(x 3 ), y n = f(x n ), y n +1 = f(x n +1 ), to znaczy, że w pewny przedziale x 1 ; x 2 Ú ziennej niezależnej
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 7 a szeregi Fouriera (zarówno w przypadku ciągłym, jak i dyskretnym) jest szczegónym przypadkiem aproksymacji funkcjami ortogonanymi. Anaitycznie rozwiązanie zadania aproksymacji trygonometrycznej
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą prof. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowox y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoII. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski
II. RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Janusz Adamowski 1 1 Różniczkowanie numeryczne Rozważmy funkcję f(x) określoną na sieci równoodległyc węzłów. Funkcja f(x) może być dana za pomocą wzoru analitycznego
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoNewton vs. Lagrange - kto lepszy?
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
5. Aproksymacja Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Paweł Urban Jakub Ptak Łukasz Janeczko
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan
RÓWNANIA NIELINIOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Przykład 1 Prędkość v spadającego spadochroniarza wyraża się zależnością v = mg ( 1 e c t) m c gdzie g = 9.81 m/s 2. Dla współczynnika oporu c
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
METODY NUMERYCZNE Wykład 4. Numeryczne rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. Wykład 4 1 Rozwiązywanie równań nieliniowych z jedną niewiadomą
Bardziej szczegółowoSzukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych Marcin Orchel Spis treści Wstęp. Metody przybliżone dla równań pierwszego rzędu................ Metoda kolejnych przybliżeń Picarda...................2
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ
8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 1 8. 8. PODSTAWY ANALIZY NIELINIOWEJ 8.1. Wprowadzenie Zadania nieliniowe mają swoje zastosowanie na przykład w rozwiązywaniu cięgien. Przyczyny nieliniowości: 1) geometryczne:
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do Mathcada 1
Wprowadzenie do Mathcada Ćwiczenie. - Badanie zmienności funkcji kwadratowej Ćwiczenie. pokazuje krok po kroku tworzenie prostego dokumentu w Mathcadzie. Dokument ten składa się z następujących elementów:.
Bardziej szczegółowoWybrane metody przybliżonego. wyznaczania rozwiązań (pierwiastków) równań nieliniowych
Wykład trzeci 1 Wybrane metody przybliżonego wyznaczania rozwiązań pierwiastków równań nieliniowych 2 Metody rozwiązywania równań nieliniowych = 0 jest unkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy obliczeniowe
PG WETiI Katedra Systemów Automatyki Algorytmy obliczeniowe Dr inż. Krzysztof Cisowski Tel: 583471274, email: krci@eti.pg.gda.pl Kierunek studiów Automatyka i Robotyka Zakres i treść przedmiotu (1) 1.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoS n = a 1 1 qn,gdyq 1
Spis treści Powtórzenie wiadomości... 9 Zadania i zbiory... 10 Obliczenia... 18 Ciągi... 27 Własności funkcji... 31 Funkcje liniowe i kwadratowe... 39 Wielomiany i wyrażenia wymierne... 45 Funkcje wykładnicze
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne 2016/17 1
Wstęp do metod numerycznych Zadania numeryczne /7 Warunkiem koniecznym (nie wystarczającym) uzyskania zaliczenia jest rozwiązanie co najmniej 3 z poniższych zadań, przy czym zadania oznaczone literą O
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Bardziej szczegółowo