Podsawy ecaii waowej. a Rówaie Scödigea zależe od czasu b Pobabilisycza iepeacja fucji falowej c Zasada ieozaczoości i pobabilisyczy caae pzewidywań ecaii waowej, pacza falowa d Rówaie Scödigea iezależe od czasu, sa sacjoay. e Waui aładae a fucje falową
Fucja falowa dla cząsi swobodej Związe iędzy własościai opusulayi cząsi E oaz p a jej własościai falowyi ω, λ, : E v ω ω p π λ π ω-częsość ołowa λ-długość fali E-eegia Załóży iż cząsa wyazująca własości falowe pousza się w obszaze sałego poecjału V0 (a cząsę w ujęciu lasyczy ie działa wówczas żada siła. Gdy cząsa a pousza się w ieuu usaloy pzez zwo osi O i a eegię E o odpowiada jej fucja falowa ająca posać zespoloej fali płasiej aoiczej α (, i Ae ( ω Gdy A jes liczbą zeczywisą o część zeczywisa fucji Re( Acos ( ω p-pęd π λ -liczba falowa (-sała Placa e i cosα + i siα A-sała dowola (, i Ae jes ówa i oże opisywać fale płasą aoiczą (p. eleoageyczą popagującą wzdłuż osi O. Fucje ego ypu wyozysać oża do opisu zjawisa iefeecji i dyfacji ( ω
Re( Acos Fucja spełia asępujące ówaie falowe ( ω d 1 d 0 (* V-pędość fali d V d ω gdy zacodzi elacja 0 ω V (** V Wiąże oo z Pzy pzyjęciu iż Vc (c pędośćświała jes oo ówaie falowy dla fali eleoageyczej wyiający z ówań Mawella i oże opisywać ylo fooy czyli cząsi o zeowej asie spoczyowej pouszające się z pędością świała Pzy uwzględieiu elacji słuszyc dla cząse aeialyc ja i fooów E ω λ p wyia z iej bowie poiższy związe poiędzy eegią i pęde cząsi π E ω V V V pv π λ λ słuszy ylo dla cząse o zeowej asie spoczyowej czyli fooów pc
Poszuiwaie ówaia Scödigea. falowego dla cząse o iezeowej asie spoczyowej (w wesji iealaywisyczej Rówaie opisujące fale aeii związaą z cząsą o iezeowej asie spoczyowej pouszającą się z pędością zaczie iejszą od pędości świała w obszaze sałego zeowego poecjału V0 usi być zgode z elacją p E Uwzględiając elacje de Boglie a p λ E ω usi z iego wyiać poiższa elacja iedzy liczba falowa i częsością dgań ω Pzyjując fucję falową w posaci dla óej widać iż iω oża zauważyć iż ówaie o wio wiązać oża je pzyjąć w posaci i ( i( ω, Ae z i Uwaga: Rówaia (* ie spełia fucja Re( Acos( ω (*
Wyia sąd o iż w pzypadu gdy fucje są ozwiązaiai ówaia (* czyli zacodzi o i fucja spełia o sao ówaie, a zae spełioa jes zasada supepozycji i w pzyjęy foalizie oża zjawiso iefeecji fal aeii spełiającyc ówaie (* opisywać w sposób podoby ja w pzypadu fal ecaiczyc i eleoageyczyc i (* ( ( 1 1 1 1, i A e ω ( (, i A e ω 1 1 ω ω ( ( w,,, ( 1 + W pzypadu ucu w pzeszei ójwyiaowej ówaie (* zeba ieco zodyfiować + + z y i z y + + gdzie -opeao Laplace a Rówaie jes ówaie liiowy
i Wówczas gdy o i ω E i ówaie (* jes zgode z elacją ylo wówczas gdy cząsa pousza się w obszaze sałego poecjału V0 W pzypadu ucu w obszaze o V 0 w y w szczególości poecjale zależy od położeia (w óy lasyczie a cząsę działa siła ależy ówaie uzupełić o dodaowy czło Poecjał, w óy pousza się cząsa, ówy jej eegii poecjalej + V i Powyższe ówaie opisujące cząsę ieelaywisyczą o iezeowej asie zosało sfoułowae pzez Ewia Scödigea w 196 ou, pzy czy w ogóly pzypadu gdy V cos i( ω p, Ae ( (* i( ω (, Ae p E E + i V eegia ieycza ψ E i
Iepeacja Boa fucji falowej * Kwada odułu fucji falowej ρ jes iaą pawdopodobieńswa zalezieia cząsi waowej w day iejscu w daej cwili czasu. Wielość ą po odpowiedi uoowaiu fucji falowej oeśla się jao gęsość pawdopodobieńswa pzy czy pawdopodobieńswo zalezieia cząsi w daej cwili w eleecie objęości dv jes ówe dv ( widać aalogie do fali eleoageyczej o apliudzie aężeia pola eleyczego E 0,w pzypadu óej pawdopodobieńswo zalezieia foou w eleecie objęości dv jes popocjoale do E0dV Pawdopodobieńswo zalezieia cząsi w W pzeszei jedowyiaowej cały obszaze jes ówe 1 (pewość. + Wyia z ego waue oalizacji fucji (, d 1 falowej dv 1 Fale de Boglie a są falai V Uwaga: pawdopodobieńswa, Zajoość fucji falowej pozwala poado a oeśleie pawdopodobieńswa uzysaia oeśloyc wyiów w poiaze óżyc wielości fizyczyc a cząsce zajdującej się w saie waowy specyfioway pzez posać fucji falowej
Wielość popocjoalą do gęsości pawdopodobieńswa ρ zalezieia cząsi w oeśloy pucie pzeszei dla fali daej wzoe i Ae ( ω oeśla fouła ρ * A e ( ω * i i( ω * Ae A A A cos Gęsość pawdopodobieńswa jes sała w pzeszei i w czasie. Nie posiaday żadej ifoacji o położeiu cząsi. Za o posiaday pełą ifoację o jej pędzie i eegii. E p
Zasada ieozaczoości Heisebega w pzeszei jedowyiaowej Iloczy iepewości poiau pędu i poiau położeia cząsi ie oże być iejszy od połowy sałej Placa dzieloej pzez π p π I zay doładiej pęd cząsi y posiaday iejszą ifoacje doycząca jej położeia. p p 0 Jeżeli zay doładie pęd cząsi, o zay długość odpowiadającej jej zespoloej fali płasiej aoiczej λ/p,, óej wada odułu jes sały w całej pzeszei. Nie ożey wówczas powiedzieć, gdzie coćby w pzybliżeiu zajduje się cząsa. Położeie cząsi jes ieoeśloe. Zasada ieozaczoości wiąże się z opusulao-falową auą aeii Re Dla usaloego czasu λ y
Związe zasady ieozaczoości z falową auą cząse Cząsa, óej odpowiada długość fali λ, padając a szczelię o szeoości a pęd sieoway wzdłuż osi y o waości p y p/λ, sładowa p 0, po pzejściu pzez szczelię w wyiu dyfacji pojawia się sładowa p. Z lasyczej eoii dyfacji wyia iż położeie piewszego iiu dyfacyjego odpowiada ąowi θ i oeśloeu ówaie si( θ i λ si( θ i λ jes iaa ieozaczoości -owej sładowej położeia cząsi w oecie pzecodzeia cząsi pzez szczelię Jeżeli cząsa pojawia się a eaie w pucie odpowiadający ąowi θ > θ i o usi ieć sładową pędu p > p si( θi si( θi λ Poieważ więszość cząse pojawia się a eaie w puac dla óyc θ o oża pzyjąć iż ieozaczoość ej sładowej pędu cząsi p jes co do zędu wielości ówa p p Widać iż iloczy ieozaczoości położeia i pędu spełia elacje θ i >
Związe zasady ieozaczoości z poiaai Nie ożey wyzaczyć jedocześie ej saej sładowej położeia i pędu cząsi waowej (p. eleou. Jeśli ccielibyśy wyzaczyć położeie cząsi o usielibyśy oświelić ją, czyli bobadować ją fooai o eegii υ i pędzie o waości p υ /c. Powoduje o jeda oddziaływaie cząsi z fooe powadzące do ziay jej pędu, óej ie ożey oolować. I częsość użyego świała jes więsza czyli długość fali jes iejsza y doładiej oeślay położeie cząsi, za o aciy w więszy sopiu ifoacje wcześiejszą o jej pędzie. Uieożliwia o dołade wyzaczeie ou ucu cząsi cząsa pędość foo
θ oula obieyw cząsa Źódło świała Zdolość ozdzielcza iosopu będąca iaą ieozaczoości położeia cząsi λ siθ Nieozaczoość -owej sładowej pędu foou docieającego do obieywu będąca iaą ieozaczoości - owej sładowej pędu cząsi po jego oddziaływaiu z fooe p p siθ siθ λ A zae p
Zasada ieozaczoości Heisebega dla położeia i pędu (w pzeszei 3-wyiaowej Nie oża jedocześie wyzaczyć yc sayc sładowyc położeia i pędu cząsi z dowolą doładością. Iloczyy ieozaczoości (iepewości wyzaczeia yc wielości spełiają zależości p y p y z p z Zasada ieozaczoości ie ałada ogaiczeń a poia óżyc sładowyc weoów wodzącego i pędu cząsi
Zasada ieozaczoości dla eegii i czasu E π Zasada a wiąże ze sobą p. ieozaczoość eegii cząsi z czase pzez jai cząsa w y saie się zajduje. Wyia z iej ogaiczoa doładość poiau eegii gdy czas waia poiau jes sończoy. Z zasady ej wyia.i. sończoa auala szeoość speala liii widowyc eiowaego poieiowaia (węższa dla świała eiowaego pzez lase. Poieważ czas pzebywaia pzez ao w saie wzbudzoy jes sończoy, o eegia ego sau, ja i eegia foou będącego ośiie poieiowaia eiowaego pzez ao zajdujący się w y saie oaz saa częsoliwość poieiowaia ie jes ściśle oeśloa. Nieozaczoość eegii sau wzbudzoego jes odwoie popocjoala do czasu pzebywaia w saie wzbudzoy Związe z zasadą ieozaczoości dla pędu i położeia dla cząsi w poecjale V0 Poia doładości położeia cząsi oża powiązać z dogą pooaą pzez ią w z pędością v w acie poiau wającego v v p p E E p v p E v p p v
Pobabilisyczy caae pzewidywań ecaii waowej Z zasady ieozaczoości dla położeia i pędu wyia iż ie oża oeślić wszysic wielości pozebyc do deeiisyczego wyzaczeia zacowaia się cząsi waowej w pzyszłości (awe w pzypadu gdyby ewolucja a podległa pawo lasyczy gdy do wyzaczeia ucu ciała iezbęda jes zajoość jej położeia i pędu w cwili począowej Mio iż ówaie Scödigea pozwala opisać w sposób deeiisyczy ewolucje fucji falowej opisującej sa waowy cząsi o zajoość ej fucji ie pozwala a deeiisycze oeśleie wyiów więszości poiaów wielości fizyczyc caaeyzującyc według ecaii lasyczej sa cząsi. Wyii poiaów yc wielości oża dla cząsi waowej oeślić ylo w sposób pobabilisyczy. Poado sa poia wpowadza pewą iepzewidywalość co do dalszego zacowaia się cząsi odyfiując sa waowy w óy cząsa się zajduje w sposób zależy od iepzewidywalego w sposób deeiisyczy wyiu poiau.
Wielość popocjoalą do gęsości pawdopodobieńswa ρ dla fali daej wzoe ρ Ae i( ω A e oeśla fouła ( ω * * i i( ω * Ae Fali ozważaej ie oża uoować a by A A A ρ dv cos Poble ai pojawia się częso wedy ozważay uc cząsi w obszaze iesończoy i ozwiązujey go gdy jes o iezbęde p. ogaiczając obsza w óy pousza się cząsa i załadając iż ie odyfiuje o posaci fucji falowej, lub eż wpowadzay iy sposób oalizacji fucji falowej. Dla ozważaej płasiej fali aoiczej posiaday pełą ifoacje o pędzie cząsi i ie posiaday żadej ifoacji o położeiu cząsi. Zwyle posiaday częściową ifoację o pędzie i położeiu cząsi. Do opisu aiej cząsi ożey wyozysać fale będącą supepozycjązłożeie wielu fal płasic o óżyc waościac eegii i pędu - paczę falową, óą ożey uoować. Aaliza zacowaia cząsi opisywaej pzy poocy paczi falowej jes jeda z puu aeayczego udiejsza iż cząsi opisaej fala płasą. V dv 1 V
Pacza falowa W pzypadu fali płasiej posiaday peła ifoacje o pędzie za o ie posiaday żadej isoej ifoacji po położeiu cząsi. Syuacja zieia sięw pzypadu fali będącąsupepozycją(złożeie wielu fal płasic o óżyc waościac eegii i pędu Rozpazy fale będącą złożeie dwóc fal płasic w cwili czasu 0. Załóży iż, 0 ψ ( A ep( i, 0 ψ ( A ep( i Wówczas 1( 1 1 1 (, 0 1 (, 0 + (, 0 ψ ( A1 ep( i1 + A ep( i ( α e i cosα + i siα ozwiięcie Eulea Reϕ( W wyiu odpowiediego złożeia iesończoej ilości fal ożey ozyać obaz poazay obo pzedsawiający fucje falową zloalizowaą w pzeszei będącą paczą falową w pzypadu óej wzosła asza ifoacja o położeiu a zalała o pędzie cząsi Iϕ(
(, 0 + d A Pacza falowa ( ep ( i( ω 0 Paczę falową saowi supepozycja fal płasic, aa ω ω iż oduł fucji falowej posiada wyaźe asiu. Liczby falowe yc fal ogą p. pocodzić z pewego sończoego pzedziału woół waości 0 lub eż oża pzyjąć iż. A( dobieay a by gęsość pawdopodobieńswa posiadała wyaźe asiu. W pzypadu cząsi opisaej paczą falową posiaday więszą ifoację o położeiu cząsi, za o aleje wiedza o pędzie (i eegii cząsi. Wielości e ie są jedozaczie oeśloe (pzejaw zasady ieozaczoości Gdy cząsa pousza się w obszaze sałego poecjału V0 o załaday iż p poiędzy eegią i pęde cząsi zacodzi lasycza elacja E z óej wyia poiższa elacja poiędzy liczbą falową i częsością ołową ω p E p Pędość fazowa fali zależy od i dla fali o weoze falowy 0 jes óża od pędości cząsi ω E 0 p ω π Pędość pzeieszczaia się asiu odułu fucji falowej zacodzi z pędością gupową dω p ówą lasyczej pędości ( cząsi o pędzie p V g d 0 0 p 0 ( V f 0 0
Gaussowsa pacza falowa Dla paczi gaussowsiej gęsość pawdopodobieńswa zalezieia cząsi w pzeszei i gęsość pawdopodobieńswa dla poiau pędu cząsi jes opisaa fucją gaussowsą, Waui e są spełioe gdy uoowaą fucje falową pzyjie się w posaci (, 0 + 1 ep + i0 Wówczas Fucję ą uoowao a by iż gęsość pawdopodobieńswa spełiała waue d 1 ( ( ( 1/ 4 π 4 1 (, 0 ep ( ( 1/ π ( Waości oczeiwae położeia w cwili czasu 0 i pędu aiej cząsi są ówe 0 oaz p 0 Waości oczeiwae sąśedii wyiai poiaów pzepowadzoyc a wielu ideyczyc cząsac waowyc. Moża poazać iż ieozaczoości poiau położeia i pędu cząsi opisaej powyższa fucją są ówe p oaz odpowiedio czyli p
W celu pzedsawieia zaposulowaej fucji falowej za poocą wzou opisującego paczę falową (, 0 0 + d A ( ep( i iω zeba pzyjąć iż zaś A( wyaża się pzez odwoą asfoaę Fouiea 1 1 A ep i, 0 d π ep ( 4 π π π A( oeśla sopień władu do paczi falowej fal płasic scaaeyzowayc pzez óże waości pędu i ( ( ( ( p eegii cząsi E z óyc ażda pousza się z ią ( + b π a b d ep a 4a pędością fazową ω E p V óżą od pędości f p V pouszaia się cząsi lasyczej o pędzie Gdy uc cząsi w obszaze sałego poecjału V0 o ω ω( ep p 0
Moża poazać iż gęsość pawdopodobieńswa w cwili >0 będzie ówież opisaa fucją gaussowsą: Położeie asiu ozładu gęsości pawdopodobieńswa pzesuwa się w ieuu dodai osi O z pędością gupową daą wzoe ówą lasyczej pędości cząsi o pędzie Szeoość zywej Gaussa ośie z upływe czasu (pacza falowa się ozpływa y szybciej i badziej pacza była w cwili począowej zloalizowaa ( 0 0 d d p V g ω ( ( ( ( ep 1, (, o π ρ ( ( 4 4 1 + ω ( + a b a d b a 4 ep ep π ( ( i i d A ω ep, ( ( ( 0 4 ( ep 1 A π π π ( ( 4 4 1 + 0 p p
( 1 + 4 ( 4 Czas po óy szeoość paczi ośie dwuoie czyli ( jes ówy 1 Dla 1g, 1 (szacoway wie Wszecświaa 17 Dla 9,1*10-31 g, 10 10 10 16 s W y pzypadu aci ses pojęcie ou cząsi ( 3 5 10 s 10 s
Rówaie Scödigea zależe od czasu (, V V (, + V -fucja falowa -poecjał i + y + z Rówaie o oeśla ewolucje w czasie fucji falowej wpowadzoej dla opisu cząsi ieelaywisyczej o asie. Nazucoa oa eż waui a waości ej fucja w sąsiedic puac pzeszei dla usaloej cwili czasu. Jeżeli wysępujący w ówaiu Scödigea poecjał V ie zależy jawie od czasu, V V ( o ozwiązaie ówaia Scödigea oża poszuiwać w posaci: (, ψ ( f (
Po wsawieiu do ówaia Scödigea ozyujey ( ( ( f i f V f ψ ψ ψ ( ( ( ( + Po podzieleiu ówaia soai pzez ozyujey : ( ( f ψ ( ( ( f f i V ψ ψ ( ( 1 + Obie soy powyższego ówaia zależą od iyc zieyc Dooaliśy ozdzieleia zieyc. Rówaie powyższe jes spełioe wówczas gdy obie jego soy są ówe sałej, óa ja zobaczyy dalej jes ówa eegii cząsi.
ψ 1 f ( + V ψ f ( ( ( ( i cos E A zae f ( i Ef ( df ( i d Ef ( df f ie d l ie f + l( cos Część zależa od czasu fucji falowej f ( ie cos ep Poówaie z fucją falową opisującą cząsę pouszającą się w obszaze V0 w ieuu wyzaczoy pzez zwo osi OX Ae i ( ω i( E / i ie / Ae uzasadia ozaczeie cose Ae e
Część zależa od zieyc pzeszeyc fucji falowej spełia zw. ówaie Scödigea iezależe od czasu ψ ψ ( ( + V ( E ψ W pzeszei jedowyiaowej ( + V ( ψ ( Eψ ( d ψ d ( + V ( ψ ( Eψ ( Dodaowe waui ałożoe a fucje falową Fucja opisująca cząsę waową usi być sończoa, jedozacza i ciągła w cały obszaze. W pzypadu gdy poecjał ie zieia się o wielość iesończoą o ówież pocode ej fucji po zieyc pzeszeyc uszą być fucjai ciągłyi, co wyia z powyższego ówaia. Waui e wpowadzają dodaowe ogaiczeia a posać fucji falowej ogą powadzić do ogaiczeia ożliwyc waości eegii cząsi do waości dyseyc gdy uc cząsi jes ogaiczoy w pzeszei.
Ogóle ozwiązaie ówaia Scödigea zależego od czasu gdy poecjał od czasu ie zależy Rozwiązaie ogóle oże być liiową obiacją (supepozycją ozwiązań zalezioyc popzedio odpowiadającyc óży eegio (, gdzie ψ ( ep i E ( iω Z syuacją aą ay do czyieia w pzypadu paczi falowej, z y że wówczas ze względu a ba ogaiczeia a dozwoloe eegie cząsi sua we wzoze pzecodzi w całę ψ ( ep ψ ( spełia ówaie Scödigea iezależe od czasu z eegią E ω E ψ ( + V ( ψ ( E ψ (
W saie sacjoay o usaloej eegii EE (, ψ ( ep i W ai saie E ( ( ψ ψ Sa sacjoay E E ρ ψ * (, ψ ( ep i ψ ( ep i ψ ( ( + V ( ψ ( E ψ ( czyli gęsość pawdopodobieńswa zalezieia cząsi ie zależy od czasu
Pzyładowe pyaia opisowe 1 a Sfoułować zasadę ieozaczoości Heisebega dla położeia i pędu oaz eegii i czasu. Podać pzyłady wsazujące a zgodość opisu obieów lub zjawis waowyc z zasadą Heisebega b Rozważyć cząsę swobodą o asie i eegii E opisaą poiższą fucją falową E E (, A ep( i iω gdzie ω, Co oża powiedzieć o pędzie ej cząsi? Czeu ówa jes ieozaczoość poiau pędu dla ej cząsi? Czy oża wyóżić puy w pzeszei w óyc wysępuje podwyższoa gęsość pawdopodobieńswa zalezieia ej cząsi? Jaa usi być ieozaczoość położeia ej cząsi ażeby była spełioa zasada ieozaczoości? Sfoułować w ogólej posaci ówaie Scödigea zależe i iezależe od czasu. Wyjaśić zaczeie wszysic syboli pojawiającyc się w yc ówaiac.
Pzyładowe pyaia esowe 1 Kóe z poiższyc ówań jes ówaie Scödigea zależy od czasu a i + V b i + V c i [ + V ]ψ d i + V? (gdzie. Zazaczyć popawą odpowiedź Wiey iż cząsa pouszająca się w pzeszei jedowyiaowej opisaa jes zespoloą fucją falową (,. Ja oża oeślić dla cwili czasu gęsość pawdopodobieńswa zalezieia ej cząsi w pucie o współzędej? a ρ * b ρ c ρ d ρ e ρ * ( ozacza fucję spzężoą w sposób zespoloy do fucji Zazaczyć wszysie popawe odpowiedzi. Jai waue usi spełiać fucja falowa aby opisywaa wybayi wzoai wielość apawdę epezeowała gęsość pawdopodobieńswa a d 1 b d 1 c < 1 d fucja falowa usi pzyjować waości zeczywise Zazaczyć właściwą odpowiedź.
3 Rozważay fucję falową opisująca cząsę waową pouszającą się w obszaze poecjału pzyjującego we wszysic puac pzeszei sończoe waości. Kóe z podayc iżej wiedzeń doyczącyc własości ej fucji są wiedzeiai pawdziwyi? a Waości ej fucji uszą być liczbai zeczywisyi. b Fucja a ie oże osiągać waości iesończoyc. c Fucja a usi być fucją ciągłą swoic agueów pzeszeyc. d Fucja a usi być fucją jedozaczą. e Fucja a w żady pucie pzeszei ie oże pzyjować waości ówej zeo. f Piewsza pocoda ej fucji po ażdej ze zieyc pzeszeyc usi być fucją ciągłą. 4 Kóe z poiższyc swiedzeń doyczącyc właściwości sau sacjoaego w jai zajduje się cząsa waowa są swiedzeiai pawdziwyi? a w saie sacjoay fucja falowa opisująca cząsę waową ie zależy od czasu b w saie sacjoay gęsość pawdopodobieńswa zalezieia cząsi w pzeszei ie zależy od czasu c w saie sacjoay zaa jes eegia cząsi d w saie sacjoay zay jes pęd cząsi e w saie sacjoay fucja falowa opisująca cząsę saowi supepozycje co ajiej dwóc fucji będącyc ozwiązaie ówaia Scödigea iezależego od czasu o óżyc eegiac f w saie sacjoay fucje falową opisującą cząsę waową oża ie wyazić wzoe ( ψ (, ψ ep g w saie sacjoay fucje falową opisującą cząsę waową oża E wyazić wzoe ( ψ (, ψ ep w saie sacjoay fucje falową opisującą cząsę waową oża ie wyazić wzoe ( ( ψ (, c ψ ep w óy co ajiej dwa współczyii c są óże od zea