WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006

Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność. 3 1.2. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych. 5 1.3. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e. 6 1.4. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny. 8 2. GRANICE FUNKCJI 10 2.1. Podstawowe definicje. 10 2.2. Twierdzenia o granicach funkcji. 13 2.3. Asymptoty funkcji. 14 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 15 3.1. Własności funkcji ciągłych. 16 3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe 16 4. SZEREGI LICZBOWE 17 4.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. 19 3

1. CIĄGI LICZBOWE 4 1. CIĄGI LICZBOWE Definicja 1.1. Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy Ciąg o wyrazach a n zapisujemy symbolem a n f(n), n N. (a n ) lub a 1, a 2,..., zaś zbiór wartości ciągu oznaczamy przez {a n } n N. Ciągi, których wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o wyrazach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wyrazy są funkcjami nazywamy ciągami funkcyjnymi. 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywistych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność. Definicja 1.2. a) Ciąg (a n ) jest rosnący def n N b) Ciąg (a n ) jest niemalejący def c) Ciąg (a n ) jest malejący def d) Ciąg (a n ) jest nierosnący def n N a n+1 > a n. n N n N a n+1 a n. a n+1 < a n. Twierdzenie 1.3. Jeśli a n > 0 dla n N, to a n+1 a n. ciąg (a n ) jest rosnący n N a n+1 a n > 1. Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego. Definicja 1.5. a) Ciąg (a n ) jest ograniczony z dołu def m R n N a n m. b) Ciąg (a n ) jest ograniczony z góry def M R n N a n M. c) Ciąg (a n ) jest ograniczony def (a n ) jest ograniczony z dołu i z góry.

Ćwiczenie 1.6. Zbadać własności ciągów o wyrazach ogólnych: a) a n = n; b) a n = ( 3) n ; c) a n = ( 1)n ; d) a n 1 n = 1 n 2 + 1. Definicja 1.7. Ciąg liczbowy (a n ) jest zbieżny do a R, gdy a n a < ε, czyli K N 1. CIĄGI LICZBOWE 5 K N n K n K a ε < a n < a + ε. Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a n ) i zapisujemy 1 Przykład 1.8. Wykazać, że n lim n = 0. Definicja 1.9. a) Ciąg (a n ) jest rozbieżny do +, gdy lim a n = a lub a n a. n K N b) Ciąg (a n ) jest rozbieżny do, gdy Zapisujemy odpowiednio: K N n K n K lim a n = + lub n a n > ε. a n < ε. lim a n =. n Jeśli ciąg (a n ) nie posiada granicy (właściwej lub niewłaściwej), to mówimy, że jest rozbieżny. Przykład 1.10. Wykazać, że lim n n 2 = +. Twierdzenie 1.11. Każdy ciąg posiada conajwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą). Definicja 1.12. Podciągiem ciągu (a n ) nazywamy każdy ciąg (a kn ), gdzie (k n ) jest dowolnym rosnącym ciągiem liczb naturalnych. Np. Podciągami ciągu (a n ) są ciągi: a 1, a 3, a 5,... a 2, a 4, a 6,... a 3, a 4, a 5,... (a 2n 1 ) (a 2n ) n N (a n ) n 3 Twierdzenie 1.13. Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg. Przykład 1.14. Wykazać, że nie istnieją granice: a) lim n ( 1) n, Ćwiczenie 1.15. Wykazać, że: b) lim n cos nπ 2.

1. CIĄGI LICZBOWE 6 a) lim n a n = ± 1 lim = 0; n a n b) lim n a n = 0 { 1 ± = 0} { 1 +, gdy an > 0 dla prawie wszystkich n N, lim = n a n, gdy a n < 0 dla prawie wszystkich n N. { 1 0 + = + } { 1 0 = } Ćwiczenie 1.16. Wykazać, że a) lim n q n = b) lim n n α = nie istnieje dla q 1, 0 dla q ( 1; 1), 1 dla q = 1, + dla q > 1. 0 dla α < 0, 1 dla α = 0, + dla α > 0. 1.2. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych. Twierdzenie 1.17. Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony. Uwaga 1.18. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.17 nie jest prawdziwe. Twierdzenie 1.19 (Bolzano-Weierstrassa). Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do lub +. Twierdzenie 1.20. Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny. Lemat 1.21. Jeśli ciągi (a n ), (b n ) są zbieżne oraz a n b n, to lim n a n lim n b n. K N n K Twierdzenie 1.22 (o trzech ciągach). Załóżmy,że ( ) a n b n c n, K N n K a) Jeśli lim n a n = lim n c n = a, to istnieje granica ciągu (b n ), przy czym lim n b n = a.

b) Jeśli lim n a n = +, to lim n b n = +. c) Jeśli lim n c n =, to lim n b n =. Twierdzenie 1.23. Jeśli n lim a n = a oraz c 0, to { c a, gdy a R, lim c a n= n ±, gdy a = ±. W szczególności dla c > 0 1. CIĄGI LICZBOWE 7 {c (+ ) = + } oraz {c ( ) = } Twierdzenie 1.24. Jeśli lim n a n = a oraz lim b n = b, to n Twierdzenie 1.25. Jeśli lim a n = a, lim b n = b oraz b n 0 dla n N, to n n Twierdzenie 1.26. Jeśli n lim a n = a, n lim b n = b oraz b n 0 dla n N, to

1. CIĄGI LICZBOWE 8 Symbole nieoznaczone: 0 0 0 0 1 0 0 1.3. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e. Twierdzenie 1.27. a) lim n n n = 1. b) lim n n a = 1. c) Jeśli a n 0 dla każdego n N oraz lim n a n = a > 0, to lim n n a n = 1. Uwaga 1.28. Tw. 1.27 c) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +. Twierdzenie 1.29. Ciąg a n = (1 + 1 n )n dla n N jest ograniczony i monotoniczny. Definicja 1.30. Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 + 1 n )n, n N. Twierdzenie 1.31. n a) 1 lim n k=0k! = e. b) Liczba e jest liczbą niewymierną. e = 2, 7182818284... Twierdzenie 1.32. Jeśli a n 0 dla każdego n N oraz lim n a n = ±, to lim n (1 + 1 a n ) an = e. Definicja 1.33. Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln. ln x def = log a x dla x > 0

1. CIĄGI LICZBOWE 9 1.4. Zbiory ograniczone na prostej. Kresy górny i dolny. Definicja 1.34. Niech E R, E. a) Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy M R x E x M. Lczbę M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru E. b) Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy m R x E x m. Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E. c) Zbiór E jest ograniczony, gdy zbiór E jest ograniczony z góry i z dołu. Definicja 1.35. Niech E R, E. a) Liczbę M 0 E taką, że x E x M 0 nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E. b) Liczbę m 0 E taką, że x E x m 0 nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E. Definicja 1.36. Niech E R, E. a) Jeśli zbiór E jest ograniczony z góry, to liczbę M R taką, że (1) x E x M, (2) M 1 <M x E x > M 1 nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E. (Liczba sup E jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E.) W przypadku gdy E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +. b) Jeśli zbiór E jest ograniczony z dołu, liczbę m R taką, że (1) x E x m, (2) m 1 >m x E x < m 1 nazywamy kresem dolnym zbioru E i oznaczamy przez inf E.

1. CIĄGI LICZBOWE 10 (Liczba inf E jest największym ograniczeniem dolnym zbioru E.) W przypadku gdy E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E =. Twierdzenie 1.37. Każdy niepusty zbiór E R posiada kresy górny i dolny, które należą do zbioru R. Twierdzenie 1.38. a) Jeśli ciąg (a n ) jest niemalejący, to sup{a n : n N} = lim n a n, inf{a n : n N} = a 1. b) Jeśli ciąg (a n ) jest nierosnący, to sup{a n : n N} = a 1, inf{a n : n N} = lim n a n.

2. GRANICE FUNKCJI 11 2. GRANICE FUNKCJI 2.1. Podstawowe definicje. Niech X R, X. Definicja 2.1. Niech x 0 R. Sąsiedztwem punktu x 0 nazywamy każdy zbiór gdzie a, b R, a < x 0 < b. Zbiory S(x 0 ) = (a, x 0 ) (x 0, b), S (x 0 ) = (a, x 0 ), S + (x 0 ) = (x 0, b), nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x 0. Otoczeniem punktu x 0 nazywamy zbiór Zbiory U(x 0 ) = S(x 0 ) {x 0 }. U (x 0 ) = S (x 0 ) {x 0 }, U + (x 0 ) = S + (x 0 ) {x 0 }. nazywamy odpowiednio lewostronnym i prawostronnym otoczeniem punktu x 0. Sąsiedztwem nazywamy zbiór S( ) = (, b), gdzie b R. Sąsiedztwem + nazywamy zbiór S(+ ) = (a, + ), gdzie a R. Definicja 2.2. Punkt x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x n ) taki, że {x n } X \ {x 0 } oraz lim n x n = x 0. Jeśli x n < x 0 dla n N (x n > x 0 dla n N), to x 0 nazywamy lewostronnym (prawostronnym) punktem skupienia zbioru X. Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi. Zbiór punktów skupienia (lewostronnych, prawostronnych punktów skupienia) zbioru X oznaczamy przez X d (X d, X d+ ).

Definicja 2.3 (Heinego granicy funkcji w + ). Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X 2. GRANICE FUNKCJI 12 [ lim n x n = + lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g x + b) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X [ lim n x n = + lim n f(x n ) = + ]. lim f(x) = + x + Analogicznie definiujemy lim f(x) =, lim x + f(x) = g oraz lim x Definicja 2.4 (Heinego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x 0 X d. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X\{x 0 } f(x) = ±. x [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g x x 0 b) Funkcja f posiada w x 0 granicę niewłaściwą +, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X\{x 0 } [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = + ]. lim f(x) = + x x 0 Analogicznie definiujemy lim x x0 f(x) =. Definicja 2.5. Niech f : X R. a) Niech x 0 X d. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X (,x 0 ) [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g].

2. GRANICE FUNKCJI 13 lim f(x) = g lub f(x x x 0 ) = g 0 b) Niech x 0 X d+. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy Zapisujemy (x n), {x n} X (x 0,+ ) [ lim n x n = x 0 lim n f(x n ) = g]. lim f(x) = g lub f(x + x x + 0 ) = g 0 Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie. Definicja 2.6 (Cauchy ego granicy funkcji w + ). Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) g < ε]. b) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą +, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) > ε]. c) Funkcja f ma w + granicę niewłaściwą, gdy δ>0 x X [x > δ f(x) < ε]. Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w +. Definicja 2.7 (Cauchy ego granicy funkcji w punkcie). Niech f : X R oraz x 0 X d. a) Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x 0, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) g < ε]. b) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą +, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) > ε]. c) Funkcja f ma w punkcie x 0 granicę niewłaściwą, gdy δ>0 x X [0 < x x 0 < δ f(x) < ε]. Twierdzenie 2.8. Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy ego granic funkcji są równoważne. Twierdzenie 2.9 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy). Jeśli x 0 X d X d+, to lim f(x) = g lim f(x) = lim f(x) = g. x x 0 x x 0 x x + 0

2. GRANICE FUNKCJI 14 2.2. Twierdzenia o granicach funkcji. Twierdzenie 2.10 (o arytmetyce granic właściwych funkcji). Jeśli f, g : X R, lim x x0 f(x) = a oraz lim x x0 a) lim x x0 (c f(x)) = c a dla dowolnego c R; b) lim x x0 (f(x) ± g(x) = a ± b; g(x) = b, to c) lim x x0 (f(x) g(x)) = a b; d) lim x x0 f(x) = a, o ile b 0; g(x) b e) lim x x0 (g(x)) f(x) = b a, o ile b > 0 i a 0. Twierdzenie 2.11 (o arytmetyce granic niewłaściwych funkcji). a + = + dla < a + a (+ ) = + dla < a + a = 0 dla < a < + a = + dla 0 < a + 0 + b = 0 dla 0 + b < 1, b = + dla 1 < b + a = 0 dla a < 0, a = + dla 0 < a + Twierdzenie 2.12 (o granicy funkcji złożonej). Niech f : X Y R, g : Y R. Jeśli (1) lim x x0 f(x) = a, (2) f(x) a dla każdego x S(x 0 ), to lim x x0 g(f(x)) = b. (3) lim x a g(x) = b,

2. GRANICE FUNKCJI 15 Twierdzenie 2.13 (o trzech funkcjach). Jeśli funkcje f, g, h : X R spełniają warunki to lim x x0 g(x) = a. (1) x S(x 0 ) f(x) g(x) h(x), (2) lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = a, Twierdzenie 2.14 (o dwóch funkcjach). Niech f, g : X R oraz x S(x 0 ) Jeśli lim x x0 f(x) = +, to lim x x0 g(x) = +. Jeśli lim x x0 g(x) =, to lim x x0 f(x) =. f(x) g(x). Powyższe twierdzenia o granicach funkcji zachodzą zarówno dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w ±. Twierdzenie 2.15. Twierdzenie 2.16. sin x lim = 1. x 0 x lim(1 + x) 1 x = e. x 0 2.3. Asymptoty funkcji. Definicja 2.17. Niech f : X R, x 0 X d. a) Prosta x = x 0 jest lewostronną (prawostronną) asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli lim f(x) = ± x x 0 ( lim f(x) = ± ). x x + 0 b) Prosta x = x 0 jest obustronną asymtotą pionową wykresu funkcji f, jeśli jest jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową. Definicja 2.18. Niech f : X R, X zbiór nieograniczony z dołu. Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w, gdy lim [f(x) (ax + b)] = 0. x Analogicznie definiujemy asymptotę ukośną w +. Przykład 2.19. Wykazać, że prosta y = x 1 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f(x) = x 2 x+1. Twierdzenie 2.20. a) Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w a = f(x) lim x x oraz b = lim (f(x) ax). x b) Prosta y = Ax + B jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w + A = f(x) lim x + x oraz B = lim (f(x) Ax). x +

Niech X R, X. 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 16 3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Definicja 3.1. Niech f : X R, x 0 X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d lub lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d lub lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, gdy x 0 / X d+ lub lim f(x) = f(x 0 ). x x + 0 Zbiór punktów ciągłości funkcji f (punktów lewostronnej, prawostronnej ciągłości) oznaczamy przez C f (C f, C+ f ). Twierdzenie 3.2. Niech f : X R, x 0 X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x 0. f jest Definicja 3.3. Niech f : X R, A X. Funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru. Przykład 3.4. Zbadać ciągłość funkcji sin x dla x < 0, x 1 dla x = 0, a) f(x) = 2 dla x (0, 1), x 2 x dla x [1, 2] {3}. { 1 dla x Q, b) f(x) = 0 dla x / Q. Definicja 3.5 (rodzaje nieciągłości). Niech f : X R, x 0 X \ C f. x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne lim f(x) oraz lim f(x) istnieją i są skończone. x x 0 x x + 0 x 0 jest punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona. Twierdzenie 3.6. Jeśli funkcje f, g : X R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje f, f + g, f g oraz f g (o ile g(x) 0 dla x X). Twierdzenie 3.7. Jeśli funkcje f : X Y, g : Y R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g f.

3. CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI 17 Twierdzenie 3.8. Jeśli funkcja f : X R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f 1 jest ciągła. Twierdzenie 3.9. Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach. 3.1. Własności funkcji ciągłych. Niech a, b R, a < b. Twierdzenie 3.10 (o lokalnym zachowaniu znaku). Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła oraz f(x 0 ) > 0 dla pewnego x 0 [a; b], to U(x 0 ) x U(x 0 ) f(x) > 0. Twierdzenie 3.11 (Weierstrassa o osiąganiu najmniejszej i największej wartości). Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to jest ograniczona na [a; b], przy czym istnieją punkty c 1, c 2 [a; b] takie, że x [a;b] f(c 1 ) f(x) f(c 2 ). Twierdzenie 3.12 (Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich). Niech m = inf f[[a; b]] oraz M = sup f[[a; b]]. Jeśli funkcja f : [a; b] R jest ciągła, to Wniosek 3.13. y [m;m] x [a;b] y = f(x). Przykład 3.14. Wykazać, że równanie posiada rozwiązanie w przedziale [0; 2]. x 3 = 2 x 3.2. Funkcje jednostajnie ciągłe Definicja 3.15. Niech f : X R oraz A X. Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze A, gdy δ>0 x 1,x 2 A [ x 1 x 2 < δ f(x 1 ) f(x 2 ) < ε ]. Twierdzenie 3.16. Jeśli funkcja f jest jednostajnie ciągła w A X, to jest ciągła w tym zbiorze. Uwaga 3.17. Twierdzenie 3.18. Niech a, b R, a < b oraz [a; b] X. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a; b] to jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.

4. SZEREGI LICZBOWE 18 4. SZEREGI LICZBOWE Definicja 4.1. Niech (a n ) będzie ciągiem liczbowym o wartościach rzeczywistych. Liczbę S n, gdzie S n def = a 1 + a 2 + + a n, nazywamy n-tą sumą częściową wyrazów ciągu (a n ). Ciąg (S n ) sum częściowych nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym a n. Definicja 4.2. Jeśli istnieje skończona granica S = n lim S n, to mówimy, że dany szereg jest zbieżny. Liczbę S nazywamy sumą szeregu i oznaczamy symbolem a n. Mówimy, że szereg jest rozbieżny, w przypadku gdy nie jest zbieżny. Uwaga 4.3. Symbolem a n (lub krótko a n ) oznaczać dalej będziemy zarówno szereg o wyrazie a n, jak i jego sumę. Przykład 4.4. Zbadać zbieżność szeregu a) n, b) ( 1) n, c) 1. n(n+1) Definicja 4.5. Szereg postaci q n, gdzie q R, nazywamy szeregiem geometrycznym o podstawie q. Twierdzenie 4.6. Szereg geometryczny jest zbieżny q < 1. Twierdzenie 4.7. Niech n 0 N. Wówczas szereg a n jest zbieżny szereg n=n 0 a n jest zbieżny. Twierdzenie 4.8. Jeśli szeregi a n i b n są zbieżne, to

a) szereg b) szereg 4. SZEREGI LICZBOWE 19 (a n + b n ) jest zbieżny oraz (a n + b n ) = a n + b n, ca n, gdzie c R, jest zbieżny oraz ca n = c a n. Twierdzenie 4.9 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeśli szereg a n jest zbieżny, to n lim a n = 0. Uwaga 4.10. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Wniosek 4.11. Twierdzenie 4.12. Szereg a n jest zbieżny spełnia warunek Cauchy ego, tzn. K N m,n N [m > n K a n+1 + a n+2 + + a m < ε]. Twierdzenie 4.13 (o zagęszczaniu). Załóżmy, że (a n ) jest nierosnącym ciągiem o wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg a n jest zbieżny szereg 2 n a 2 n jest zbieżny. Definicja 4.14. Szereg postaci 1, gdzie α R, n α nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α. Twierdzenie 4.15. Szereg harmoniczny jest zbieżny α > 1. Definicja 4.16. Niech a n będzie szeregiem zbieżnym. Mówimy, że szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, gdy zbieżny jest szereg a n. Mówimy, że szereg a n jest warunkowo zbieżny, gdy jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

4. SZEREGI LICZBOWE 20 Twierdzenie 4.17. Jeśli szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny. Uwaga 4.18. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Twierdzenie 4.19. Każdy szereg a n bezwzględnie zbieżny jest przemienny, tzn. dla dowolnej permutacji (k n ) liczb naturalnych szereg a kn jest zbieżny i ma taką samą sumę jak dany szereg. Twierdzenie 4.20 (Riemanna). Jeśli szereg a n jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego S R istnieje permutacja (k n ) liczb naturalnych taka, że S = a kn. 4.1. Kryteria zbieżności i rozbieżności szeregów liczbowych. Twierdzenie 4.21 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach nieujemnych). Załóżmy, że 0 a n b n. n N a) Jeśli b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny. b) Jeśli a n jest rozbieżny, to szereg b n jest rozbieżny. Wniosek 4.22 (kryterium porównawcze dla szeregów o wyrazach dowolnych). Jeśli a n b n n N oraz szereg b n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzględnie. Twierdzenie 4.23 (kryterium ilorazowe). Niech a n, b n 0 dla n N oraz Wówczas lim n a n b n = c (0; + ). szereg a n jest zbieżny szereg b n jest zbieżny. Przykład 4.24. Zbadać zbieżność szeregu

a) 2n 2 1 ; n 3 n+2 4. SZEREGI LICZBOWE 21 b) sin(2n) n 2. Twierdzenie 4.25 (kryterium Cauchy ego). n Niech g = lim a n n. Wówczas a) jeśli g < 1, to szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, b) jeśli 1 < g, to szereg a n jest rozbieżny. Twierdzenie 4.26 (kryterium d Alamberta). Załóżmy, że a n 0 dla n N oraz g = lim a n+1 n a n. Wówczas a) jeśli g < 1, to szereg a n jest bezwzględnie zbieżny, b) jeśli 1 < g, to szereg a n jest rozbieżny. Uwaga 4.27. Twierdzenie 4.28 (kryterium Raabego). Załóżmy, że a n > 0 dla n N oraz g = an lim n( n a n+1 1). Wówczas a) jeśli g > 1, to szereg a n jest zbieżny, b) jeśli g < 1, to szereg a n jest rozbieżny. Przykład 4.29. Zbadać zbieżność szeregu n! (x + 1)(x + 2)... (x + n) Twierdzenie 4.30 (kryterium Dirichleta). Jeśli (1) ciąg (a n ) jest monotonicznie zbieżny do 0, (2) ciąg (S n ) sum częściowych szeregu b n jest ograniczony, to szereg a n b n jest zbieżny. Wniosek 4.31 (kryterium Leibniza). dla x > 0.

Twierdzenie 4.32 (kryterium Abela). Jeśli (1) ciąg (a n ) jest monotoniczny i ograniczony, (2) szereg b n jest zbieżny, to szereg a n b n jest zbieżny. Przykład 4.33. Zbadać zbieżność szeregów: 4. SZEREGI LICZBOWE 22 a) ( 1) n n ; d) sin n n ; b) c) ( 1) n arc tg n n ; ( 1) n n 2 ln n ; Przykład 4.34. Wiedząc, że ( 1) n+1 π = 4 2n 1 wyznaczyć π z dokładnością do ε = 0, 5 (ε = 0, 001). e) ( 1) n ( n n 1 )n2.