Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R n, ) jest grup przemienna, jeżeli dzia lanie określić nastepuj (a 1, a 2,..., a n ), (b 1, b 2,..., b n ) R n (a 1, a 2,..., a n ) (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) Zadanie 3. Pokazać, że ((0, ),, ) jest cia lem jeżeli dzia lanie jest zwyk lym mnożeniem, a dzia lanie określić nastepuj a, b (0, ) a b = a log2b. Zadanie 4. Czy (R, ), gdzie a b = a b + 3 a + 3 b + 6 jest grupa? Czy (R,, ), gdzie a b = a b + 3 a + 3 b + 6, a b = a + b + 3 jest cia lem? Zadanie 5. Zbiór Q[ 2] liczb rzeczywistych postaci a + 2 b, gdzie a, b Q z dzia laniami dodawania i mnożenia jak w zbiorze liczb rzeczywistych jest cia lem. Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych Zadanie 6. Sprawdzić czy zbiór odwzorowań liniowych L (R, R) to jest odwzorowań postaci A : R x ax R, gdzie a R jest grup ze sk ladaniem odwzorowań ( A, B L (R, R) x R (B A)(x) = B(A(x))). Zadanie 7. Wykazać, że V = {f : R R} z dzia laniami (f + g)(x) = f(x) + g(x), (λf)(x) = λ(f(x)) jest przestrzeni liniow nad R. Zadanie 8. Wykazać, że (V,, ), gdzie V = {(x 1, x 2,..., x n ) R n : i {1, 2, 3..., n} x i > 0} jest przestrzeni liniow nad R jeżeli dzia lania określić nastepuj (x 1, x 2,..., x n ), (y 1, y 2,..., y n ) V (x 1, x 2,..., x n ) (y 1, y 2,..., y n ) = (x 1 y 1, x 2 y 2,..., x n y n ) α R (x 1, x 2,..., x n ) V α (x 1, x 2,..., x n ) = (x α 1, x α 2,..., x α n). Wyznaczyć baze tej przestrzeni. Znaleźć wspó lrzedne wektora (1, 2, 2 2,..., 2 n 1 ) w wybranej wcześniej bazie. Zadanie 9. Pokazać, że uk lady wektorów s liniowo niezależne w przestrzeni liniowej określonej w zadaniu 7. a) f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = x. b) f(x) = x, g(x) = 1, h(x) = x 2 1. Zadanie 10. Pokazać, że (1, 1, 2), (1, 1, 1), (0, 1, 2) stanowi baze R 3. Znaleźć wspó lrzedne wektorów (2, 1, 1) oraz (3, 4, 7) w tej bazie. Zadanie 11. Pokazać, że x 1, x 2, x 2 + 2x stanowi baze przestrzeni W 2 [x] = {ax 2 + bx + c : a, b, c R}. Znaleźć wspó lrzedne wektorów 1, x, x 2 oraz 2x 2 + 3 w tej bazie. Zadanie 12. Znaleźć baz e i wymiar przestrzeni W = {w(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d : w(1) = 0, a, b, c, d R}. Zadanie 13. Znaleźć baz e podprzestrzeni R 4 generowanej przez wektory ( 1, 2, 3, 2), ( 2, 3, 5, 3), (2, 2, 4, 2), ( 2, 0, 1, 1), (0, 4, 4, 4). 1
Zadanie 14. Znaleźć baze przestrzeni {(x, y, z, t) R 4 : x 2y + z = 0} zawierajac wektory (1, 2, 3, 2), ( 2, 1, 4, 3). Problem 1. Pokazać, że n N wektory {1, x, x 2, x 3,..., x n } s liniowo niezależne w przestrzeni określonej w zadaniu 7. Uzasadnić, że wektory {1, x, x 2, x 3,..., x n,... } nie s baza tej przestrzeni. Problem 2. Uzasadnić, że wektory 1, 2, 3 s liniowo niezależne w przestrzeni R nad Q. Czy prawdziwe jest twierdzenie, że jeżeli p, q Q p q oraz p, q nie s kwadratami liczb wymiernych to 1, p, q s liniowo niezależne w przestrzeni R nad Q? Jaki jest wymiar przestrzeni R nad Q? Odwzorowania liniowe Zadanie 15. Sprawdzić, które z poniższych owzorowań s liniowe: a) f : R 2 (x, y) (x + y, x 1) R 2 b) f : R 2 (x, y) (x + y, x y) R 2 c) f : R 2 (x, y) (x + y, x y) R 2 d) f : R 2 (x, y) (x y, x) R 2 e) f : R 2 (x, y) (3x + y, x 2y) R 2 f) f : W 3 [x] w w(1) x + w(0) W 1 [x] g) f : W n [x] w w x + w W n [x] h) f : W 3 [x] w max{w(0), w(1)} R Zadanie 16. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R 3 (x, y, z) f(x, y, z) R 3, takie, że f(1, 0, 1) = (1, 0, 1), f(1, 1, 1) = (2, 1, 0), f(1, 1, 0) = (0, 0, 1). Wyznaczyć f(1, 0, 0), f(0, 1, 0), f(0, 0, 1), f(x, y, z). Zadanie 17. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R 3 (x, y, z) f(x, y, z) R 2, takie, że f(1, 0, 1) = ( 1, 0), f(1, 1, 1) = (1, 1), f(2, 1, 2) = (0, 1). Wyznaczyć f(0, 1, 0), f(x, y, z). Zadanie 18. Znaleźć baz e przestrzeni wektorowej macierzy kwadratowych symetrycznych wymiaru 3 3. Zadanie 19. Sprawdzić czy odwzorowanie f : M 3 3 {a i j } {b i j } M 3 3 określone wzorem b i j = 1 2 (a i j + a j i ) jest liniowe. Zadanie 20. Sprawdzić czy odwzorowanie f : M 3 3 {a i j } {b i j } M 3 3 określone wzorem b i j = 1 2 (a i j a j i ) jest liniowe. Zadanie 21. Sprawdzić czy iloczyn macierzy symetrycznych (antysymetrycznych, trójkatnych górnych, trójkatnych dolnych) jest macierz symetryczn (antysymetryczna, trójkatn górna, trójkatn dolna). Problem 3. Wykazać, że jeżeli odwzorowanie liniowe jest bijekcj to odwzorowanie odwrotne też jest liniowe. Wykazać, że jeżeli odwzorowanie f : V W jest izomorfizmem to wektory v 1, v 2,..., v k s liniowo niezależne wtw gdy s liniowo niezależne wektory f(v 1 ), f(v 2 ),..., f(v k ). Macierz odwzorowania liniowego, macierz przejścia 2
Zadanie 22. Znaleźć baze przestrzeni wektorowej V = {A M 3 3 : A T = A}. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V V określone wzorem 0 a b 0 b a 2a Λ a 0 c = a b 0 c a. b c 0 2a a c 0 Wyznaczyć macierz tego odwzorowania w wybranej wcześniej bazie. Zadanie 23. Znaleźć baze przestrzeni wektorowej V = {A M 2 2 }. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V V określone wzorem ( ) ( ) a b a + 2b + c a + 2b + c Λ =. c d a + 2b + c a + 2b + c Wyznaczyć macierz tego odwzorowania w wybranej wcześniej bazie. Zadanie( 24. Dana) jest macierz A odwzorowania liniowego f : R 3 R 2 1 1 2 1 2 1 w bazach ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)) oraz ((1, 1), (2, 1)). Znaleźć macierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych. Zadanie 25. Dana jest macierz A odwzorowania liniowego f : R 2 R 3 1 0 2 1 w bazach kanonicznych. Znaleźć macierz tego odwzorowania w w bazach ((1, 1), (2, 1)) oraz ((0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)). Zadanie 26. Dana jest(( macierz ) odwzorowania ( ) ( liniowego )) f : V V, gdzie V = {A M 2 2 : 0 1 A T } w bazie v =,,. Obliczyć f(x) wiedzać, 1 0 że x = [1, 1, 2] v, 1 2 1 M f v v = 0 1 0 1 Zadanie( 27. Dana ) jest macierz przejścia od bazy v do bazy v 1 2 2 1 oraz baza R 2 v = ((2, 3), (2, 2)). Znaleźć baze v. Zadanie( 28. Dana ) jest macierz przejścia od bazy v do bazy v 1 1 oraz baza R 2 v = ((1, 2), (2, 2)). Znaleźć baze v. Zadanie( 29. Dana ) jest macierz przejścia od bazy v do bazy v 1 0 1 1 oraz wspó lrzedne wektora x w bazie v x = [1, 1] v. Znaleźć wspó lrzedne wektora x w bazie v. Zadanie( 30. ) Dana jest macierz przejścia od bazy v do bazy v 1 2 oraz wspó lrzedne wektora x w bazie v x = [2, 1] v. Znaleźć wspó lrzedne wektora x w bazie v. 3
Zadanie 31. Dana jest macierz odwzorowania liniowego f : R 3 R 3, 1 2 1 0 1 0 1 w bazach v = ((1, 1, 2), (1, 1, 0), (1, 0, 1)) w = ((1, 0, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1)). Znaleźć macierz odwzorowania f a) w bazie kanonicznej, b) bazach v = ((1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1)) w = ((0, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 0)). Jadro i obraz odwzorowania liniowego Zadanie 32. Dane s macierze odwzorowań liniowych 1 2 0 1 1 1 2 1 a 1 2 2 0 1 1 a 1 4 2 1 2 1 0 a 2a 4 a 1 1 2 3 3 1 3 1 0 Znaleźć wymiary jadr i obrazu tych odwzorowań. 2 0 1 2 0 1 1 4 2 1 1 1 2 3 1 0 Zadanie 33. Niech V = {A M 3 3 : A T = A}. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V V określone wzorem 0 a b 0 b a 2a Λ a 0 c = a b 0 c a. b c 0 2a a c 0 Znaleźć bazy jadr Zadanie 34. Niech V = M 3 3. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V V określone wzorem a b c 0 b + d c + g Λ d e f = 0 0 f + h. g h i 0 0 0 Znaleźć bazy jadr Zadanie 35. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R 5 (x, y, z, u, v) (x + y v, z + v u, x + y + z u, x + y z 2v + u) R 4. Znaleźć bazy jadr 4
Wektory i wartości w lasne odwzorowania liniowego Zadanie 36. Znaleźć wektory w lasne i wartości w lasne odwzorowania linio-wego A : R 3 R 3 jeżeli jego macierz w bazie v = ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 1, 1)) ma postać 3 4 5 1 6 5 1 7 13 Wyznaczyć macierz odwzorowania w bazie z lożonej z wektorów w lasnych. Zadanie 37. Znaleźć przy pomocy macierzy przejścia macierz odwzorowania liniowego w bazie kanonicznej jeżeli jego wartości w lasne to λ 1 = 2, λ 2 = 2, λ 3 = 2 zaś odpowiadajace im wektory w lasne to v 1 = ( 1, 0, 1), v 2 = ( 1, 1, 1), v 3 = ( 1, 0, 2). Zadanie 38. Sprawdzić czy s diagonalizowalne macierze odwzorowań liniowych 1 2 1 1 4 6 6 0 4 1 1 2 5 4 3 0 1 1 3 1 1 4 1 1 0 10 6 0 3 1 0 2 3 4 1 0 5 1 2 6 0 0 0 12 8 0 0 6 6 4 Zadanie 39. Znaleźć wartości i wektory w lasne odwzorowanioa liniowego f : M 2 2 M 2 2 danego wzorem ( ) ( ) a b a + b c d a + b c d f = c d a + b c d a + b c d Zadanie 40. Znaleźć wartości i wektory w lasne odwzorowanioa liniowego f : R 3 R 3 danego wzorem f(x, y, z) = (7x 4y z, 9x 6y z, 6x 4y) 2 2 1 Zadanie 41. W jakiej bazie macierz odwzorowania liniowego A ma postać 5 5 1 jeżeli 4 2 3 wektory w lasne w kolejności rosnacych odpowiadajacym ich wartości w lasnych to (1, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 2)? 5