A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

Transkrypt

1 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1 Zadanie 1 Niech f b edzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem charakterystyki różnej od 2 takim, że M(f) nie jest diagonalizowalna ale M(f 2 ) jest diagonalizowalna Udowodnij, że f nie jest epimorfizmem Zadanie 2 Niech f L(C 2 ; C 2 ) ma w bazie standardowej macierz o wspó lczynnikach wymiernych Wykazać, że jeżeli f nie ma rzeczywistych [ wartości ] w lasnych to z 0 istnieje liczba z C i baza A, w której M(f) A A = 0 z Zadanie 3 Zadanie 4 Niech f End K n i W jest podprzestrzenia w lasna Niech g(x), h(x) i d(x) bed a takimi wielomianami, że d(x) = NW D(g(x), h(x)) Wykazać, że jeżeli dla pewnego wektora wektor α [g(f)](α) W i [h(f)](α) W to [d(f)](α) W n n 1 2 n 1 Zadanie 5 Udowodnij, że macierz jest diagonalizowalna nad C i opisz jej macierz Jordana Zadanie 6 Wypisz wszystkie macierze 5 5 nad R spe lniajace 1) Wielomianem charakterystycznym jest (5 x) 5 2) Wielomianem minimalnym jest (5 x) 2 3) Żadne dwie macierze z wypisanych macierzy nie s a podobne Zadanie 7 Oblicz Zadanie 8 Znajdź postać Jordana macierzy

2 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 2 Zadanie 9 Niech φ : R 3 R 3 bedzie przekszta lceniem majacym w bazie standardowej macierz a) Znajdź taka baze R 3, w której φ ma macierz diagonaln a b) Czy istnieje taka baza w której φ ma macierz [ ] 45 [ ] Zadanie 10 Policz Zadanie 11 Udowodnij, że każda symetryczna macierz z Q 2 2 jest diagonalizowalna t 0 0 Zadanie 12 Zbadaj dla jakich wartości parametru t macierz M = t 2 5 t 5 2 jest diagonalizowalna Zadanie 13 Niech f bedzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem liczb rzeczywistych takim, że M(f) Niech V bedzie przestrzenia cykliczna i w f (x) = (x 2 +1) 7 Wykazać, że V nie rozk lada sie na sume prosta podprzestrzeni w lasnych niższych wymiarów Zadanie 14 Wypisz postać macierz Jordana macierzy M spe lniajacej 1) w M (x) = (3 x) 2 (2 x) 4 2) (M 2I) 2 (M 2I) 3 = (M 2I) 4 Zadanie 15 Zbadaj czymacierze A i B sa podobne, gdy: A = i B = Zadanie 16 Opisać wszystkie podprzestrzenie w lasne endomorfizmu φ L (R 3 ; R 3 ) opisanego macierza

3 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 3 Zadanie 17 Udowodnij, że jeżeli f 2 = id to f jest symetria (niekoniecznie prostopad l a) Zadanie 18 Niech φ bedzie automorfizmem przestrzeni R 7 Udowodnij, że przekszta lcenia φ 4 7 id oraz φ 1 5φ 3 sa przemienne Zadanie 19 Opisz wszystkie macierze M R 2 2 spe lniajace 1) M 2 = I 2) Det(M) > Zadanie 20 Niech M = Kn n Znajdź postać Jordana macierzy M t a a 1 0 Zadanie 21 M = Cn n a Znajdź postać Jordana macierzy M t a a 1 0 Zadanie 22 M = K10 10 Wiedzac, że 3 jest a nieodwracalne w ciele K, znajdź postać Jordana macierzy M 15 Zadanie 23 Niech f L(R 3, R 3 ) b edzie określone wzorem: f(x, y, z) = (2x y z, y z, y + 3z) 1) Znajdź baz e w której macierz f ma postać Jordana 2) Wykaż, że istnieje taki izomorfizm g L(R 3, R 3 ), że f = g + g 1 3) Znajdź postać Jordana g z punktu 2) Zadanie 24Niech M(f) = a) Znajdź baze, w której macierz f jest w postaci Jordana b) Zbadaj, czy macierze M(f) i M(f 3 ) sa podobne

4 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 4 Zadanie 25 Niech A = a) Podaj postać Jordana macierzy A b) Wypisz wszystkie macierze Jordana, które maja ten sam wielomian charakterystyczny i ten sam wielomian minimalny Zadanie 26 Niech f bedzie endomorfizmem skończenie wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K Niech wielomian minimalny f v(x) = h(x)g(x) bedzie iloczynem wielomianów wzglednie pierwszych Definiujemy endomorfizmy ϕ(x) = h(f) i ψ(x) = g(f) Wykaż, że: 1) V = Im ϕ Im ψ 2) Im ϕ = Ker ψ jest podprzestrzenia w lasna wzgledem f 2) Im ψ = Ker ϕ jest podprzestrzenia w lasna wzgledem f Zadanie 27 Udowodnij, że każda macierz kwadratowa M C nad liczbami zespolonymi jest podobna do transponowanej ( M M T ) Zadanie 28 Udowodnij, że każda macierz kwadratowa M K nad dowolnym cia lem jest podobna do transponowanej ( M M T ) Rozwiazanie: Wystarczy udowodnić dla przestrzeni cyklicznych Wówczas dla bazy A = {α 1, α 2 = f(α 1 ), α 3 = f 2 (α 1 ),, α n = f n 1 (α 1 )} M = M(f) st st M(f) A A = 0 0 a a a = M(f) B B, 0 1 a n 1 a 0 a n 2 a n 1 gdzie B = {β 1, β 2,, β n } i β n = α 1, β n 1 = α 2 a n 1 α 1,, β j = α n j+1 n j i=1 a i+j 1α j, β 1 = α n n 1 i=1 a iα j Zadanie 29 Zbadaj czymacierze A i B sa podobne, gdy: A = i B =

5 A Strojnowski - Twierdzenie Jordana 5 Zadanie 30 Wypisz postać macierz Jordana macierzy M spe lniaj acej 1) w M (x) = (3 x) 2 (2 x) 4 2) (M 2I) 2 (M 2I) 3 = (M 2I) 4