MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.

Transkrypt

1 MAIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI. k { 1,,..., k} Definicja 1. Macierzą nazyway każde odwzorowanie określone na iloczynie kartezjański.wartość tego odwzorowania na parze (i,j) k j oznaczay aij i nazyway eleente tej acierzy. Zbiór wartości zapisujey w forie: a a a a a a a a a n 1 n k1 k kn Ten zbiór utożsaiay z acierzą. Eleentai acierzy ogą być różne obiekty ateatyczne np. liczby, wieloiany, inne funkcje. Definicja. a a a a a a a a a a a a a a a a j 1 1 j i1 i ij i k1 k kj k O eleentach a i1, a i, a i ówiy, że tworzą i-ty wiersz acierzy. O eleentach a 1j, a j, a nj ówiy, że tworzą j-tą kolunę acierzy. Jeżeli acierz a k wierszy i kolun, to ówiy, że jest to acierz o wyiarach k. PRZYKŁAD 1. A Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 z 11 zęść 6 - Macierze

2 Macierze oznaczay najczęściej dużyi literai Definicja 3. A [a ij ] [a ij ] k A k a) Macierzą transponowaną do acierzy A nazyway acierz A T, powstała z acierzy A przez zaianę jej wierszy na koluny bez ziany ich kolejności. PRZYKŁAD. A T [b ij ] k A A T b) Macierz nazyway acierzą zerową jeżeli wszystkie jej eleenty równe są zero. Oznaczenie: 0 k c) Jeżeli ilość wierszy acierzy równa jest ilości jej kolun, to acierz taką nazyway acierzą kwadratową. A n Definicja 4. A n[a ij ] a) O eleentach a ii i1,,..., n ówiy, że tworzą przekątną główną acierzy. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona z 11 zęść 6 - Macierze

3 a a ann b) Macierz kwadratową nazyway acierzą diagonalną, jeżeli wszystkie jej eleenty poza przekątną główną są równe zero. PRZYKŁAD c) Macierz jednostkowa to acierz diagonalna, w której wszystkie eleenty na głównej przekątnej są równe jeden. PRZYKŁAD 4. I d) Macierz nazyway trójkątną górną jeżeli wszystkie jej eleenty poniżej głównej przekątnej są równe zero. PRZYKŁAD Macierz nazyway trójkątną dolną jeżeli wszystkie jej eleenty powyżej głównej przekątnej są równe zero. PRZYKŁAD Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 3 z 11 zęść 6 - Macierze

4 e) Macierz nazyway syetryczną jeżeli: A T A PRZYKŁAD DZIAŁANIA NA MAIERZAH. 1) Równość dwóch acierzy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy acierze ają takie sae wyiary i odpowiednie ich eleenty są sobie równe. A [a ij ] k B [b ij ] l p a ij b ij kl p ) Sua dwóch acierzy dodając do siebie dwie acierze dodajey do siebie odpowiednie eleenty. A k [a ij ] B l p [b ij ] AB[c ij ]: c ij a ij b ij 3) Mnożenie acierzy przez liczbę nożąc acierz przez liczbę nożyy każdy eleent acierzy przez tę liczbę. A [a ij ], αa α[a ij ] 4) Mnożenie dwóch acierzy A p [a ij ] B p n [b ij ] Jest ono wykonalne tylko wtedy, gdy ilość wierszy acierzy B równa jest ilości kolun acierzy A. A p [a ij ] B p n [b ij ] AB i c : c a i b ij ij ik kj k 1 p Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 4 z 11 zęść 6 - Macierze

5 a a a a b b b b a a a a b b b b i a a a a b b b b a a a a b b b b j 1p j 1 1 j p 1 j i1 i ij ip i1 i ij i n1 n nj np p1 p pj p c a b a b a a b 31 1p p1 c a b a b a b... a b p p c a b a b a b... a b p p c a b a b a b... a b p p4 c a b a b a b... a b ij i1 1j i j i3 3j ip pj b WNIOSEK Eleent c ij acierzy A B to iloczyn skalarny i-tego wiersza acierzy A przez j-tą kolunę acierzy B. PRZYKŁAD i UWAGA Mnożenie acierzy nie jest przeienne, B A oże być niewykonalne i Jeśli jest wykonalne to na ogół AB BA Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 z 11 zęść 6 - Macierze

6 MAIERZ ODWZOROWANIA LINIOWEGO (X,K,, ) dix (Y,K,, ) diyn ( 1,,..., ) ( 1,,..., n) B e e e l l l yf x f:x Y - odwzorowanie liniowe X x x e x e... x e 1 1 Y yy l y l... y l 11 nn ( xe 1 1 xe xe) xf 1 ( e1) xf ( e) xf( e) ( 1) n1 n 1 1 n n 1 1 n n ( xe 1 1 xe xe) xf( e) xf( e ) x f( e ) f f e a l a l a l f e a l a l a l f e a l a l a l f ( n n) ( n n) x ( a1l1 al anln) x a1l1 al a l ( a11x1 a1x a1 x) l1 ( a1x1 ax a x) l ( ) n1 1 n n n x1 a11l1 a1l a 1l y1 a11x1 a1x a1 x y a x a x a x y a 1x1 a x a x a x a x a x l 1 1 n n n n a11 a1 a1 a1 a a Mf ( B, ) an1 an an Jest to acierz odwzorowania liniowego f względe baz B, przestrzeni X,Y. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 z 11 zęść 6 - Macierze

7 WNIOSEK 1) Pierwszą kolunę acierzy stanowią współrzędne wektora f e w bazie przestrzeni X, Y. Drugą kolunę acierzy stanowią współrzędne wektora f e w bazie przestrzeni X, Y.. n-tą kolu nę acierzy stanowią współrzędne wektora f e n w bazie przestrzeni X, Y. 1 ) Przy ustalonych bazach w przestrzeni X i Y daneu odwzorowaniu linioweu odpowiada dokładnie jedna acierz i na odwrót: acierz odpowiednich wyiarów definiuje na poprzez powyższy związek dokladnie jedno odwzorowanie. zyli przy ustalonych bazach w przestrzeni X, Y każdeu odwzorowaniu odpowiada dokładnie jedna acierz. Istnieje wzajenie jednoznaczna odpowiedniosć poiędzy odwzorowanie okreslony w tych ptrzestrzeniach i acierzai. 3) dix diy n f:x Y B AM f B, n UMOWA Macierz odwzorowania liniowego będzie synonie acierzy. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 z 11 zęść 6 - Macierze

8 REPREZENTAJA MAIERZOWA ODWZOROWANIA LINIOWEGO Oznaczenia jak wyżej f:x Y yf x x x 1, x,..., x y y 1,y,...,yn n y1 x1 y x y x B ( B) y x AM f, n n yax y1 a11 a1 a1 x1 y a1 a a x i y a a a x n n1 n n n Jest to postać acierzowa odwzorowania. PRZYKŁAD 1. 3 ( R, R,, ) ( R, R,, ) ( ) B e (1,0,0), e (0,1,0), e (0,0,1) 1 3 ( l1 l ) (1,0), (0,1) R R 3 f: : f( x1, x, x3) ( x1 x x3, x1 x x3) Łatwo sprawdzić, że jest to odwzorowanie liniowe. f(e 1) f (1,0,0) (1,1) 1(1,0) 1(0,1) 1,1 f(e ) f (0,1,0) (1, ) 1(1,0) (0,1) 1, f(e 3) f (0, 0,1) ( 1,1) 1(1, 0) 1(0,1) 1, Mf ( B, ) 1 1 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 8 z 11 zęść 6 - Macierze

9 PRZYKŁAD. ( R, R,, ) f: R R -endoorfiz f(-1,1)(,3) f(1,-)(3,-1) R R A) Znaleźć acierz tego odwzorowania w bazach kanonicznych ( ) : B e (1,0),e (0,1) 1 1 ( l l ) : (1,0), (0,1) 1 (-1,1)-1e1 1e 1,1 B f(-1,1)f(-1e 1e ) (,3) e 3e 1 1 f(1,-)f(1e -e ) (3,-1)3e 1e f(e ) f(e ) 3e 1e -f(e 1) f(e ) e 13e f(e ) 7e 5e f(e ) 5e e Mf ( B, ) 5 y y, y f(x, x ) 1 1 y1 7 5 x1 y 5 i x Znaleźć f(,4), 4, 4 f(,4) i 4 B f(,4) 34, 18-34,-18 B Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 z 11 zęść 6 - Macierze

10 Znaleźć acierz tego saego odwzorowania w bazach: R R { b b } { l l } : B ( 1,1), (1, ) 1 1 : (,3), (3, 1) 1 f(b 1) f( 1,1) (,3) 1(,3) 0(3, 1) 1l1 0l 1,0 f(b ) f(1, ) (3, 1) 0(,3) 1(3, 1) 0l1 1l 0, 1 Mf 1 0 ( B, ) 0 1 Twierdzenie 1. ( i ) ( ) Z : X, K,, -przestrzeń wektorowa z bazą D e,e,,e 1 ( Y, K,, i )-przestrzeń wektorowa z bazą ( l1, l,, ln) di X diy n f:x Y g:x Y f i g LXY (, ) A Mf( D, ) a ij B Mg( D, ) b ij T : a) M M M f g f g b) α K M αm α f f Twierdzenie. Z: f:x U g:u Y f L(X,U), g L(U,Y) D-baza przestrzeni X -baza przestrzeni Y G-baza przestrzeni U A M ( D, G) B M ( G, ) f g f : X Y T : M M M gf g f g Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 z 11 zęść 6 - Macierze

11 WŁASNOŚI DZIAŁAŃ NA MAIERZAH. M ( K) zbiór acierzy o wyiarach n o eleentach z ciala K AB,, M ( K) ( A B) A ( B ) 1 : : A B B A AB,, M ( K) 3 : : A 0 0 M ( K) A M ( K) A A M ( K) A M ( K) ( A) 4 : : A 0 5 αβ, K A M ( K ) :( α β) A αa βa ( αβ ) A α ( β A) α, K AB, M ( K) 6 : α AB αa αb 7 :1A A A M ( K) WNIOSEK: ( Mn, ( K), K,, ) - jest przestrzenią wektorową. Ponadto, o ile dane działania są wykonalne zachodzą następujące własności dodatkowe: 8 ( A B) A ( B ) 9 : I A A I A n n : A I A I A n n 10 A ( B ) AB A ( A B) A B 11 ( A B) A B ( αa) T ( AB) T T T αa T B A T T T Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 11 z 11 zęść 6 - Macierze