MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

Transkrypt

1 MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym. Będziemy oznaczać : a n (b n, c n itd.) - n-ty wyraz ciągu (wyraz o numerze n), (a n ) 0 n=, (b n ) n= (lub krócej (a n ), (b n )...) cały ciąg. (Niektóre) sposoby określania ciągów liczbowych Przez wypisanie wszystkich wyrazów (tylko dla ciągu skończonego), np. 2, 5, 5 2,, 6,, 2, 5 (czyli: a = 2, a 2 = 5,..., a 8 = 5 ). Przez podanie wzoru na wyraz ogólny, np. a n = n 2 6 więc w tym przypadku a = 5, a 2 = 2, a =,... a 0 = Suma wyrazów ciągu liczbowego: Dla dwóch liczb całkowitych z, Z takich że z Z, n=z a n = a z + a z a Z. (suma Z z + składników) W szczególności: (suma m składników). m n= a n = a + a a m.

2 Proste przykłady: 8 n= n = = = 6 ; 0 k=7 k = = = 4 ; 8 i=4 (i ) = = (4 ) + (5 ) + (6 ) + (7 ) + (8 ) = 5 ; j= 5 j 2 = = ( 5) 2 + ( 4) = 0. n=0 2 n = = = = NAJWAŻNIEJSZE WŁASNOŚCI (a) Z n=z (a n + b n ) = Z n=z a n + Z (b) z n=z a n = a z np. n=5 n=z b n n = 5 (c) Z n=z (c a n) = c (d) dla z w Z n=z a n np. 8 n=0 (7 n 2 ) = 7 8 n 2 n= w n=z a n + n=z a n Z n=w+ (np. 7 n= a n = (2n ) + 9 n=8 (2n ) = 9 n= (2n ) )

3 (e) Z 9 c = (Z z + ) c np n=z = = 7 5 = 5. n= 5 =.. OBLICZANIE 9 4 j=6 = = 27; n= 2 (2n + ) = = 2 ( 2) ( ) k= k 2 0 i= 0 i j=0 (2 j ).4. ZAPISYWANIE Zapisać z użyciem znaku sumy: ; x + x 2 + x + x 4 ; x 2 + x x 50 5 k= oraz k x n 25 x 2k n= k= ; 5x 2 + 6x 4 + 7x x n=5 n (lub 25 n= (n + 4)) 25 n= (n + 4)x 2n

4 .5. INTERPRETACJA Przykład: Sieć ma w mieście M = 4 bary (A, B, C, D), w każdym jest sprzedawane N = 5 gatunków piwa (H, K, L, T, Ż). Oznaczamy przez x ij liczbę litrów piwa typu j sprzedanych dziś w barze nr i. Wówczas: liczba litrów piwa sprzedanych dziś w barze nr to x j a liczba litrów Żywca nalanych dziś w całym mieście to i= x i5. Jeżeli bar nr i kupuje piwo typu j po cenie p ij, a sprzedaje po z ij za litr, to jego dzisiejszy utarg na piwie wynosi a zysk (z ij x ij ), ((z ij p ij ) x ij ). A ile litrów piwa nalano dziś łącznie we wszystkich barach tej sieci? Sumując kolejno po wszystkich barach i łączną sprzedaż w barze (s i ) dostaniemy i= s i = 4 i= x ij. Sumując kolejno po wszystkich typach piwa j łączną sprzedaż tego piwa w mieście (r j ) dostaniemy r j = 5 x ij. i= Tę wielkość zapisujemy jako sumę podwójną: i= x ij = 5 i= x ij.

5 .6. SUMA PODWÓJNA Definicja jak wyżej: Y x ij = Z Y x ij = i=y j=z j=z i=y = Y x ij = Z Y x ij. i=y j=z j=z i=y Podstawowe właściwości: Y i=y j=z Y i=y j=z Przykład: ale prościej: = (a ij + b ij ) = Y (a i b j ) = Y m=0 m=0 n= i=y i=y j=z a i m + n (m + ) j=z = m=0 n= n= a ij + Y b j. i=y j=z b ij ; = = 65 6 m + = 4 (m + ) n m=0 n= n = 5 n = = 5 6 = 65 6 = ILOCZYN Na przykład: 5 Z n=z a n = a z a z+... a Z. j = = 20 = 5! ; 9 j= j = 0 ; n k= n k = n! ; a = a n.

6 2. Algebra liniowa 2.. WEKTORY DZIAŁANIA, LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ Wektor n-wymiarowy x układ n liczb rzeczywistych: x = (x, x 2,..., x n ). Często wektory utożsamia się z punktami przestrzeni n-wymiarowej R n. Będziemy je zapisywać jako wektory kolumnowe: x = lub jako wektory wierszowe: x = [x x 2... x n ]. Działania na wektorach Dodawanie (tylko wektorów tego samego wymiaru) : Dla x = [x x 2... x n ], y = [y y 2... y n ] R n np. [2 5] + [ 0 ] = [5 4]. Mnożenie wektora przez liczbę Dla x = [x x 2 np. [2 5] = [6 9 5]. x x 2... x n x + y = [x + y x 2 + y 2... x n + y n ]... x n ] R n i liczby c R c x = [cx cx 2... cx n ] Iloczyn skalarny (tylko wektorów tego samego wymiaru) Dla x = [x x 2... x n ], y = [y y 2... y n ] R n x y = x y + x 2 y x n y n = n np. [2 5] [ 0 ] = ( 5) =. x j y j (liczba),

7 Wektor d R n jest kombinacją liniową wektorów a, a 2,..., a k jeżeli istnieją liczby z, z 2,..., z k (współczynniki kombinacji) takie że d = z a + z 2 a z k a k. Jeśli z, z 2,..., z k 0 i k z j =, to taka kombinacja jest kombinacją wypukłą. Np. wektor d = 8 jest kombinacją liniową wektorów a = i a 2 = 0 2 (bo d = a a 2 ), a wektor e = 0 nie jest; wektor 2 5 jest kombinacją wypukłą wektorów 6 i 0 6, a wektor 2 2 jest ich kombinacją liniową, ale nie wypukłą. Wektory a, a 2,..., a k R n są liniowo niezależne, jeżeli żaden z nich nie jest kombinacją liniową pozostałych. Np. wektory a =, a 2 = 0 2 i a = 0 są liniowo niezależne, a wektory a, a 2 i a 4 = nie są (bo a 4 = a 2a 2 ), czyli są liniowo zależne. Uwaga. Układ liniowo niezależnych wektorów w R n może składać się z co najwyżej n wektorów. Najprostszy układ wektorów liniowo niezależnych w R n : [ ], [ ],..., [ ] (baza kanoniczna układ wszystkich wersorów).

8 2.2. MACIERZE OKREŚLENIE Macierz wymiaru m n = Prostokątna tablica liczb o m wierszach i n kolumnach. A = a a 2... a n a 2 a a 2n a m a m2... a mn Macierz wymiaru n wektor wierszowy długości n Macierz wymiaru m wektor kolumnowy długości m. 2.. DZIAŁANIA NA MACIERZACH Transpozycja A T = a a 2... a m a 2 a a m a n a 2n... a nn ( A transponowana, wymiaru n m). Np. gdy A = (A T ) T =? 0 2 4, to A T =

9 Mnożenie przez liczbę Gdy c R, A macierz wymiaru m n to c A taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = c a ij. Np. gdy A = 0 2 4, to 4 A = Dodawanie macierzy TYLKO TEGO SAMEGO WYMIARU! Gdy A, B macierze wymiaru m n to A + B taka macierz C wymiaru m n że dla każdego i, j c ij = a ij + b ij. Np. gdy A jak wyżej, B = A + B = , to., A + 2 B = Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne. Mnożenie macierzy przez wektor kolumnowy Gdy A macierz wymiaru m n, x wektor kolumnowy długości n, to y = A x wektor kolumnowy długości m otrzymany tak: y k = n (a kj x j ) dla k =, 2,... m (iloczyn skalarny k-tego wiersza macierzy A i wektora x). Np = ( 2) ( 2) =

10 Przykład. W przykładzie z piwem z poprzednich zajęć: gdy X macierz liczb litrów piwa poszczególnych rodzajów nalanych w poszczególnych barach (4 5), q wektor kolumnowy długości 5, gdzie x j cena sprzedaży litra piwa typu j to z = X q jest wektorem długości 4 ; q k = co? Mnożenie macierzy Gdy A macierz wymiaru m n, B macierz wymiaru n p (TYLKO TAKIE MOŻNA MNOŻYĆ!) to C = A B macierz wymiaru m p otrzymana tak: c kl = n (a kj b jl ) dla k =, 2,... m, l =, 2,... p. c kl = k-ty wiersz A l-ta kolumna B. Czyli: kolumny macierzy C powstają z pomnożenia A przez odpowiednie kolumny macierzy B. Na przykład: Innymi słowy : A B istnieje = = ( 2) ( 2) A ma tyle samo kolumn ile B ma wierszy wiersze A są tej samej długości co kolumny B.

11 Macierze do poćwiczenia działań : E = A = B = C = D = F =

12 Macierz kwadratowa A (n n) jest : symetryczna A = A T i,j a ij = a ji trójkątna górna (i > j a ij = 0) trójkątna dolna (i < j a ij = 0) diagonalna (i j a ij = 0) jednostkowa a ij = gdy i = j, 0 gdy i j np. np. np. np ; ; ; ;. Macierz jednostkową wymiaru n n oznaczamy przez I n. Własności mnożenia macierzy: jest łączne (tj. A (B C) = (A B) C ), nie jest przemienne może zachodzić A B B A nawet gdy oba iloczyny istnieją, iloczyn A A T zawsze istnieje i jest macierzą symetryczną, (A B) T = B T A T, dla dowolnej macierzy A wymiaru m n A I n = I m A = A.