Mechanika uchu obotowego Fizyka I (Mechanika) Wykład VII: Ruch po okęgu Ruch w jednoodnym polu elektycznym i magnetycznym Pawa uchu w układzie obacajacym się
Pojęcia podstawowe Układ współzędnych Służy do okeślenia położenia ciała w danym układzie odniesienia Położenie możemy zapisać na wiele óżnych sposobów: Z z układ współzędnych katezjańskich: = x i x + y i y + z i z (x, y, z) układ współzędnych biegunowych: = (,Θ, φ) układ współzędnych walcowych: i i x z X x i y Θ φ l P y Y = (l, φ, z) A.F.Żanecki Wykład VII 1
Oscylato hamoniczny Równanie oscylatoa hamonicznego: d 2 x dt 2 = ω2 x Û ÒÝÑ ÛÝÑ ÖÞ µ ÖÙ d 2 dt 2 = ω2 ÔÓ Ø Ó ÐÒ µ Równanie oscylatoa dobze opisuje zachowanie badzo wielu układów fizycznych: ciężaek na spężynie, wahadło matematyczne (dla małych wychyleń), stuna, itp... Równanie oscylatoa hamonicznego jest pzykładem ównania óżniczkowego. Ogólna postać ozwiazania: ½ x = A sin(ωt + φ) = A cos(ωt) + B sin(ωt) = A cos(ωt) + B sin(ωt) W ogólnym pzypadku uch będzie płaski, w płaszczyźnie wyznaczonej pzez poczatkowe położenie i pędkość: A = (0) = 0 ω B = v(0) = v 0. A.F.Żanecki Wykład VII 2
Ruch po okęgu Ruch jednostajny po okęgu możemy ozpatywać jako złożeniem dwóch niezależnych uchów hamonicznych (z óżnica faz φ = ± π 2 ): Y V φ s X x = cos(ω t) = sin(ω t + π 2 ) y = sin(ω t) Składowe pzyspieszenia (jak dla uchu hamonicznego): { ax = ω 2 x a y = ω 2 a = ω 2 a n = ω 2 = V 2 y Pzyspieszenie to jest nazywane pzyspieszeniem dośodkowym lub pzyspieszeniem nomalnym (postopadłym do kieunku uchu). Gdy uch po okęgu nie jest jednostajny pojawia się też składowa styczna: a = a n + a s Ciekawostka: Ruch hamoniczny można pzedstawić jako złożenie dwóch uchów po okęgu... A.F.Żanecki Wykład VII 3
Ruch po okęgu Pzypadek ogólny: ÓÒ Ø = i z = 0 Położenie ciała opisane jest jedna zmienna: Y V kat w płaszczyźnie XY - φ, długość łuku okęgu - s = φ lub φ s X Watość pędkości: V = ds dt = dφ dt Pzyspieszenie katowe: α = dω dt Pzyspieszenie styczne: a s = dv dt = ω pędkość katowa ω = dφ dt = d2 φ dt 2 = d2 s dt 2 = α styczne: a s V Ruch jednostajny po okęgu: α = 0 ω = const V = const a s = 0 ale V const a n 0!!! A.F.Żanecki Wykład VII 4
Pędkość w zapisie wektoowym: V = ω Ruch po okęgu Z ω Pzyspieszenie: a = d V dt = d ω dt + ω d dt = α + ω V X φ s V Y = a s + a n Opócz pzyspieszenia stycznego a s V, opisujacego zmianę V, jest też pzyspieszenie nomalne a n, odpowiedzialne za zmianę kieunku V w czasie. a n = ω ( ω ) = ω 2 A (B C) = (A C) B (A B) C pzyspieszenie dośodkowe A.F.Żanecki Wykład VII 5
Równania uchu Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest ozwiazywanie ównań uchu, czyli okeślanie uchu ciała ze znajomości działajacych na nie sił. Siła działajaca na ciało może zależeć od położenia i pędkości czastki oaz czasu ównanie uchu: m d2 (t) dt 2 = F(, v, t) Ogólne ozwiazanie ma sześć stałych całkowania: = (t, C 1, C 2,..., C 6 ) Aby ściśle okeślić uch ciała musimy poza ozwiazaniem ównań uchu wyznaczyć watości wolnych paametów (w ogólnym pzypadku sześciu) Najczęściej dokonujemy tego okeślajac waunki poczatkowe: 0 = (t 0 ) v 0 = v (t 0 ) t 0 ¹ ÛÝ Ö Ò Û Ð ÔÓÞ Ø ÓÛ A.F.Żanecki Wykład VII 6
Rówanania uchu Pole elektyczne Rozważmy czastkę naładowana o masie m i ładunku q pouszajac a się w jednoodnym polu elektycznym o natężeniu E (np. wewnatz kondensatoa płaskiego). E + + + + + + + + + + + + + + + q>0 Na czastkę działa stała siła (z definicji natężenia): F E = q E Ruch odbywa się ze stałym pzyspieszeniem: y F V x E = (0, E,0) F a = E m = q m E Pełna analogia do pola gawitacyjnego: g q m E Np. enegia potencjalna: Ep g = mgy Ep E = qey A.F.Żanecki Wykład VII 7
Rówanania uchu Pole elektyczne y + + + + + + + + + + + + + + + F q<0 V E Stałe jednoodne pole elektyczne E = (0, E,0) W chwili t 0 = 0 w punkcie 0 = (0,0,0) w pole wlatuje z pędkościa v 0 = (v 0,0,0) czastka o masie m i ładunku Q F E = Q E L x Równania uchu: m d2 x dt 2 = 0 m d2 y dt 2 = Q E Całkowanie + waunki poczatkowe x(t) = v 0 t y(t) = Q E 2m t2 ównanie tou: y = Q E 2mv0 2 Kat odchylenia: x 2 tan θ = dy = Q E L dx x=l m v0 2 A.F.Żanecki Wykład VII 8
Rówanania uchu Pole magnetyczne B z Stałe jednoodne pole B = (0,0, B) V W chwili t 0 = 0 w punkcie 0 = (0,0,0) w pole wlatuje z pędkościa v 0 = (0, v 0,0) czastka o masie m i ładunku Q F B = Q v B ÄÓÖ ÒÞ y x Z definicji iloczynu wektoowego i x i y i z m d2 dt 2 = Q dx dy dz dt dt dt 0 0 B Układ dwóch ównań: m d2 x dt 2 = Q B dy dt m d2 y dx = Q B dt2 dt Całkujac piewsze ównanie m dx = Q B (y y c ) dt d2 ( ) y Q B 2 dt 2 = (y y c ) m A.F.Żanecki Wykład VII 9
Rówanania uchu Pole magnetyczne Otzymujemy ównania uchu: d 2 y dt 2 = ω2 (y y c Ó ÝÐ ØÓÖ ) dx = ω (y y c ) ω = Q B dt m uch po okęgu ω - częstość cyklotonowa y V Q F B Rozwiazanie: x = sin(ωt + φ 0 ) + x c y = cos(ωt + φ 0 ) + y c gdzie - pomień cyklotonowy: = m v 0 Q B Z waunków poczatkowych ( (0) = 0 i v(0) = v 0 ): x = (1 cos ωt) y = sin ωt B x Ruch w polu magnetycznym jest jednostajny: v = const = m v Q B = p Q B A.F.Żanecki Wykład VII 10
Rówanania uchu W fizyce czastek pole magnetyczne powszechnie wykozystywane jest do pomiau pędu czastek. Wszystkie długożyciowe czastki naładowane maja ładunek ±1e... Komoa pęchezykowa w CERN Detekto CDF w Femilab A.F.Żanecki Wykład VII 11
Rówanania uchu Pole magnetyczne W ogólnym pzypadku pędkość czastki V nie musi być postopadła do wektoa indukcji pola magnetycznego B. Jednak siła Loenza zawsze postopadła do B na kieunku ównoległym do pola znika! W kieunku wektoa pola uch czastki jest uchem jednostajnym. W ogólnym pzypadku toem uchu jest spiala. A.F.Żanecki Wykład VII 12
Rówanania uchu Pole magnetyczne y V B L x Odchylenie czastki pzelatujacej pzez waski obsza jednoodnego pola zakładamy ωt 1: x y ωt [( 1 (ωt)2 2 ) 1 ] = x2 2 Kat odchylenia: tan θ = dy = L dx x=l = Q B L m v 0 A.F.Żanecki Wykład VII 13
Rówanania uchu Selekto pędkości z Czastka w skzyżowanych jednoodnych polach E B B V E y V<V o x V=V o F E F B = Q E = Q v B Dla pędkości V 0 = E B wypadkowa sił F E + F B = 0 to postoliniowy Q > 0 V>V o metoda selekcji czastek o ustalonej pędkości niezależnie od ich Q i m A.F.Żanecki Wykład VII 14
Rówanania uchu Spektomet Bainbidge a wiazka jonow E Miezymy pomień cyklotonowy = m v 0 Q B dla cz astek o ustalonej pędkości v 0 = E B pomia m Q B selekto pedkosci m <m <m 1 2 3 B o m 1 klisza fotogaficzna m Czastki o óżnych masach zaczenia kliszę w óżnych odległościach od szczeliny 2 m 3 A.F.Żanecki Wykład VII 15
Ruch po okęgu Siła dośodkowa Czastka naładowana w polu magnetycznym y V Q F B B x Siła Loenza: Dla v B: F B = Q v B F B = Q v B Pomień cyklotonowy: = m v Q B = p Q B F B = Q B m v m v2 = 1 m v2 F B = m v2 = m ω 2 A.F.Żanecki Wykład VII 16
Ruch po okęgu Zasada bezwładności Każde ciało twa w swym stanie spoczynku lub uchu postoliniowego i jednostajnego, jeśli siły pzyłożone nie zmuszajż ciała do zmiany tego stanu. I.Newton aby ciało pozostawało w uchu po okęgu konieczne jest działanie siły siła dośodkowa y V Q F B B x Ruch po okęgu może być wynikiem działania óżnego odzaju sił: siły zewnętzne siła Loenza (pole magnetyczne) siły spężystości siły eakcji więzów (kulka na nitce) wypadkowej sił eakcji i sił zewnętznych (egulato Watta, kulka w wiujacym naczyniu...) A.F.Żanecki Wykład VII 17
Ruch po okęgu Siła dośodkowa Regulato Watta Kulka w wiujacym naczyniu ω R R F mg F ω mg Siła dośodkowa jest wypadkowa siły eakcji i siły ciężkości: F = m g + R A.F.Żanecki Wykład VII 18
Siła dośodkowa Ruch po okęgu X Z φ ω s V Y a = d v dt dv = v dφ = v ω dt a = v ω = ω 2 = v2 dφ dv x = cos(ω t) y = sin(ω t) z 0 W zapisie wektoowym: dφ = ω dt ω = const V a x = ω 2 cos(ω t) a y = ω 2 sin(ω t) a = ω 2 F = m ω 2 a = d V dt = d( ω ) dt = ω d dt = ω V = ω ( ω ) = ω 2 = (x, y,0) A.F.Żanecki Wykład VII 19
Ruch po okęgu Siła dośodkowa Kulka w wiujacym naczyniu mg R F ω α F = m g + R Siła dośodkowa skieowana poziomo ze składania sił: R cos α mg = 0 F = R sin α = mg tan α Z ównania uchu: F = m ω 2 = m ω 2 sin α cos α = g ω 2 Kulka odchyli się dopieo dla ω > g = ω ω - częstość dgań wahadła matematycznego o długości A.F.Żanecki Wykład VII 20
Pawa uchu Układy nieinecjalne Niech układ O pousza się względem układu inecjalnego O. Osie obu układów pozostaja cały czas ównoległe (bak obotów) Niech (t) opisuje położenie układu O w O. Pzyspieszenie: a = d2 dt 2 Pawa uchu w układzie inecjalnym O: w układzie nieinecjalnym O : m a = F(, v, t) + F R m a = F(, v, t) + F R m a w układzie nieinecjalnym musimy wpowadzić siłę bezwładności Fb = m a Czy możemy to podejście zastosować także w pzypadku, gdy układy obacaja się względem siebie? Poblem komplikuje się, bo pzyspieszenie względne zależy od położenia... A.F.Żanecki Wykład VII 21
Układ obacajacy się Niech układ O obaca się z pędkościa katow a ω względem układu inecjalnego O. Dla uposzenia pzyjmijmy, że poczatki obu układów pokywaja się. Rozważmy uch punktu mateialnego spoczywajacego w układzie O : Z punktu widzenia obsewatoa O ciało pousza się po okęgu i musi na nie dzialać siła dośodkowa: F = m ω 2 W układzie O, aby opisać ównowagę sił ( ciało pozostaje w spoczynku) musimy wpowadzić siłę bezwładności: F b = +m ω 2 siła odśodkowa Siły bezwładności sa siłami pozonymi, wynikajacymi z nieinecjalnego chaakteu układu odniesienia A.F.Żanecki Wykład VII 22
Układ obacajacy się Siła odśodkowa Regulato Watta Kulka w wiujacym naczyniu ω=0 F B R F B R mg ω=0 mg Równowaga sił w układzie obacajacym się: m g + R + F b = m a = 0 A.F.Żanecki Wykład VII 23
Układ obacajacy się Siła odśodkowa Ciecz w wiujacym naczyniu α R ω=0 y F B mg Równowaga dobiny na powiezchni cieczy: mg sin α mω 2 cos α = 0 Powiezchnia cieczy pzyjmuje kształt paaboliczny dy d (zut na powiezchnie cieczy) = tan α = ω2 g y = ω2 2g 2 +y A.F.Żanecki Wykład VII 24
Układ obacajacy się Ruch obotowy Ziemi Ciała nieuchome względem powiezchni Ziemi. Zmiana efektywnego pzyspieszenia ziemskiego zwiazana z uchem obotowym Ziemi: g = ω 2 cos φ = ω 2 Z cos 2 φ 0.033 m s 2 cos2 φ φ Þ ÖÓ Ó Óº Wyniki pomiaów: biegun N g = 9.83216 m s 2 Waszawa g = 9.81230 m s 2 ω 2π 23 h 56 m 04 s 7.3 10 5 1 s ównik g = 9.78030 m s 2 Efekt większy ze względu na spłaszczenie Ziemi A.F.Żanecki Wykład VII 25
Układ obacajacy się Układ O obaca się z pędkościa katow a ω względem układu inecjalnego O. Rozważmy teaz uch punktu mateialnego spoczywajacego w układzie O: Z punktu widzenia obsewatoa O ciało pousza się po okęgu i musi na nie dzialać siła dośodkowa: F = m ω 2 W układzie O działa tymczasem pozona siła odśodkowa musimy wpowadzić kolejna siłę?! F b = +m ω 2 Aby uatować ównania uchu potzebujemy F c = 2 m ω 2 czy to w ogóle ma sens?... A.F.Żanecki Wykład VII 26
Układ obacajacy się Punkt mateialny pouszajacy się po okęgu w układzie O, siła dośodkowa F d = m V 2. W układzie obacajacym się O pędkość punktu wynosi V = V ω Układ O Układ O y y ω v v F c x Siła wypadkowa w O : F d = mv 2 F d x = m (V + ω) 2 ω F F d b 2mωV mω 2 = F d F c F b Dodatkowa siła pozona F c (siła Coiolisa) konieczna do opisania uchu po okęgu w O A.F.Żanecki Wykład VII 27
Układ obacajacy się Rozważmy teaz punkt mateialny pouszajacy się adialnie w układzie O. W inecjalnym układzie O zbliżajacy się do centum układu punkt mateialny zaczyna wypzedzać punkty układu O, gdyż ich pędkość w uchu obotowym maleje... Układ O y Układ O y v Fc ω v ω x x Pozona siła Coiolisa pojawia się w układzie obacajacym się (nieinecjalnym), żeby opisać odchylenie od tou postoliniowego... A.F.Żanecki Wykład VII 28
Układ obacajacy się Układ O obaca się z pędkościa katow a ω względem układu inecjalnego O. Z Dodawanie pędkości: Z ω V ot V Y V Y v = v + v ot = v + ω Pzyspieszenie: a = d v dt = d v dt + d ω dt + ω d dt i x Pochodna dla wektoa o z układu O : ( i v ) X X d o dt = d o dt + ω o pochodna w O + obót osi O a = a + d ω dt + ω ( ω ) + 2 ω v pzysp. w O pzysp. O pzysp. dośodkowe pzysp. Coiolisa A.F.Żanecki Wykład VII 29
Układ obacajacy się Równanie uchu W układzie inecjalnym O: m a = F(, v, t) + F R w układzie nieinecjalnym O : m a = F(, v, t) + F R m ω ( ω ) 2 m ω v W układzie obacajacym się wpowadzamy dwie pozone siły bezwładności: siłę odśodkowa F o = m ω ( ω ) = +m ω 2 siłę Coiolisa Fc = 2 m ω v A.F.Żanecki Wykład VII 30
Układ obacajacy się Ruch obotowy Ziemi Spadek swobodny z dużej wysokości Spadek swobodny z wysokości h=5.5 km, zaniedbujac opoy powietza: y = h gt2, v y = g t 2 Zaniedbujac odchylenie od pionu: a c = 2 ω v y cos φ = 2 ω g cos φ t Ruch w poziomie (całkujac a x = a c ): v x = ω g cos φ t 2, x = 1 ω g cos φ t3 3 Końcowe odchylenie tou od pionu: Siła Coiolisa odchyla to ciała w kieunku wschodnim (obie półkule!) t = 2h g 33s 9 m cos φ w Waszawie około 5.5 m A.F.Żanecki Wykład VII 31
Układ obacajacy się Ruch obotowy Ziemi Spadek swobodny z dużej wysokości Opoy powietza pzez większość czasu spadek z pędkości a v 55 m/s: a c = 2 ω v cos φ 0.008 m s 2 cos φ Spadek z 5.5 km zajmie t 100 s. Końcowe odchylenie tou od pionu: = a c t 2 2 40 m cos φ Siła Coiolisa odchyla to ciała w kieunku wschodnim (obie półkule!) w Waszawie około 25 m A.F.Żanecki Wykład VII 32
Układ obacajacy się Siła Coiolisa Fc = 2 m ω v Półkula północna Półkula południowa 0000 1111 ω V W Fc ω F c V W Wiaty zakęcaja w pawo ; wyż kęci się zgodnie z uchem wskazówek zegaa Wiaty zakęcaja w lewo ; wyż kęci się pzeciwnie do uchu wskazówek zegaa A.F.Żanecki Wykład VII 33
Układ obacajacy się Wahadło Foucault a 1851. N pólkula pólnocna Dla obsewatoa na Ziemi płaszczyzna uchu wahadła obaca się z pędkościa katow a ω 1 = ω sin φ W E w Waszawie (φ = 52 ): ω 1 12 /h dla statu z położenia ównowagi: stat z wychylenia maksymalnego S A.F.Żanecki Wykład VII 34
Egzamin Pzykładowe pytania testowe: 1. W jednoodnym polu magnetycznym czastka naładowana nie może pouszać się po A linii śubowej B okęgu C elipsie D postej 2. W uchu jednostajnym po okęgu watość siły dośodkowej wynosi A mω 2 B mω2 C 0 D mv 2 3. Pzyspieszenie ziemskie wyznaczane z pomiau spadku swobodnego A jest największe dla φ = 45 B nie zależy od położenia na Ziemi C jest największe na biegunie D jest największe na ówniku 4. W idealnie pionowa studnię upuszczamy kamień. W któa ścianę studni udezy A wschodnia B południowa C północna D zachodnia 5. Okes pecesji (obotu płaszczyzny dgań) wahadła Foucaulta znajdujacego się na ówniku wynosi A 24 h B nie ma pecesji C 12 h D 48 h A.F.Żanecki Wykład VII 35
Pojekt współfinansowany ze śodków Unii Euopejskiej w amach Euopejskiego Funduszu Społecznego