Zasada zachowania energii

Transkrypt

1 Zasada zachowania energii Fizyka I (Mechanika) Wykład VI: Praca, siły zachowawcze i energia potencjalna Energia kinetyczna i zasada zachowania energii Zderzenia elastyczne Układ środka masy

2 Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: F P F Stała siła F działa na ciało P powodujac jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o s. Praca jaka wykona przy tym siła F A s B W AB = F s A P F n s Θ F B W przypadku siły działajacej pod katem w stosunku do przesunięcia praca jaka wykonuje W AB = F s cos θ = F s F t Składowa prostopadła nie wykonuja pracy! Liczy się tylko równoległa składowa siły... A.F.Żarnecki Wykład VI 1

3 dr P F n Θ F F t Praca i energia Praca Dowolna siła F działa na punkt materialny P Praca jaka wykonuje siła przy przesunięciu o d r dw = F d r = F cos θds = F t ds Aby policzyć pracę siły F dla dowolnej drogi, musimy posumować wkłady od kolejnych małych przesunięć całkowanie. Praca siły F( r) na drodze między A i B W AB = B A F( r) d r Siły prostopadłe do przesunięcia nie wykonuja pracy! siła Lorenza, siła Coriolisa, siły reakcji więzów... A.F.Żarnecki Wykład VI

4 Praca i energia Praca s F Przykład: Rozciagnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy przeciwko sile sprężystości: F(x) = kx F(x) Wykonana praca: W W = s 0 F(x) dx s x = s 0 kx dx = [ ] 1 s kx 0 = 1 ks A.F.Żarnecki Wykład VI 3

5 Praca i energia Praca W ogólnym przypadku praca W AB jaka wykonujemy podczas ruchu punktu z A do B może zależeć od: przebytej drogi l np. praca sił tarcia będzie proporcjonalna do l toru ruchu np. jeśli siły oporu zależa od wyboru toru prędkości siły oporu w ośrodku zależa od prędkości czasu jeśli działajace siły zależa od czasu A.F.Żarnecki Wykład VI 4

6 Praca i energia Energia kinetyczna Przyjmijmy, że siła F jest siła wypadkowa działajac a na ciało P. Zmiana prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym: F P F v B v A = F m t A s B = F m s v = F m s v A + v B Gdzie skorzystaliśmy z wyrażenia na prędkość średnia: v = v A+v B Otrzymujemy: v B v A = (v B v A )(v B + v A ) = m F s = m W AB W AB = mv B mv A = E B k EA k = E k Pracę możemy wyrazić poprzez zmianę energii kinetycznej ciała E k = mv A.F.Żarnecki Wykład VI 5

7 Praca i energia Energia kinetyczna Praca jaka wykonuje siła F przy przesunięciu P o ds dv dt ds = dv ds dt dw = F t ds = m a t ds = m dv dt ds = m ds dv = m v dv dt Praca siły F( r) na drodze między A i B W AB = B A F t (s) ds = B A mv dv = mv B mv A = E B k EA k = E k Niezależnie od postaci siły F i drogi praca siły jest równa zmianie energii kinetycznej ciała E k = mv na ciało nie działaja inne siły, układ inercjalny A.F.Żarnecki Wykład VI 6

8 Praca i energia Moc Moc średnia opisuje średnia pracę wykonywana na jednostkę czasu: P Öµ Moc chwilowa P = lim t 0 = W t W t Wstawiajac dw = F d s: P = F v = dw dt Moc siły jest proporcjonalna do prędkości ciała! Jednostka pracy jest Dżul: 1J = 1N 1m = 1 Jednostka mocy jest Wat: 1W = 1J 1s kg m s = 1 kg m s 3 Kiedyś używano jako jednostki mocy konia mechanicznego: 1 KM = W A.F.Żarnecki Wykład VI 7

9 Praca i energia Energia potencjalna Ruch w stałym i jednorodnym polu grawitacyjnym g. Siła ciężkości działajaca na masę m: F = m g = m (0, g,0) W AB = F r = F ( r B r A ) = m g ( r A r B ) = m g (y A y B ) Możemy wprowadzić energię potencjalna dla jednorodnego pola grawitacyjnego E p ( r) = m g r = m g y Pracę możemy wtedy wyrazić przez zmianę energii potencjalnej W AB = E p ( r A ) E p ( r B ) = E p Mówimy, że siła ciężkości jest siła zachowawcza. A.F.Żarnecki Wykład VI 8

10 Praca i energia Energia potencjalna Siła F( r) jest zachowawcza (konserwatywna), jeśli praca przez nia wykonana zależy tylko od położenia punktów poczatkowego (A) i końcowego (B) można ja wyrazić przez zmianę energii potencjalnej W AB = B A F( r) d r = E p ( r A ) E p ( r B ) = E p Siła zachowawcza nie może zależeć od czasu ani od prędkości. Jeśli droga jest zamknięta to praca jest równa zeru A F( r) d r = F( r)d r = 0 A F Siłami zachowawczymi sa też wszystkie siły centralne, zależne tylko od odległości F = F(r) i r siła kulombowska, siła grawitacyjna, siły sprężystości... ÝÖ ÙÐ Ö Ò µ A.F.Żarnecki Wykład VI 9

11 Praca i energia Siła a energia potencjalna Praca wykonana przy infintezymalnym przesunięciu d r = (dx, dy, dz) dw = F( r) d r = de p ÞÑ Ò Ò Ö ÔÓØ Ò ÐÒ = E p x dx E p y dy E p z dz Otrzymujemy: F = ( E ) p x, E p y, E p z Znajomość potencjału siły zachowawczej jest rownoważna znajomości samej siły. Energia potencjalna jest określona z dokładnościa do stałej, istotne sa tylko jej zmiany. A.F.Żarnecki Wykład VI 10

12 Praca i energia Siła a energia potencjalna E (x) p x F spr Przykład: Rozciagnięcie sprężyny wymaga wykonania pracy. W = s 0 F(x) dx = 1 ks Kosztem tej pracy rośnie energia potencjalna: E p (x) = 1 kx Siła sprężystości: F spr x (x) = de p(x) = kx x dx W momencie puszczenia sprężyny energia potencjalna zamienia się na kinetyczna... A.F.Żarnecki Wykład VI 11

13 Praca i energia Gradient Gradient wskazuje kierunek w którym następuje największa zmiana wartości funkcji skalarnej f(x, y, z). Wartość gradientu odpowiada wartości pochodnej funkcji f(x, y, z) wzdłuż tego kierunku. grad f = f = i x f x + i y f y + i z f z = Ò Ð = i x x + i y y + i z z f = i n f n ( f x, f y, f ) z n ¹ Û ØÓÖ ÒÓÖÑ ÐÒÝ Ó f ÓÒ Ø Siłę zachowawcza wyrażamy jako gradient energii potencjalej: F = E p ( r) A.F.Żarnecki Wykład VI 1

14 Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca siły zachowawczej F( r) pomiędzy A i B wyraża się przez energię potencjalna W AB = B F( r) d r = E A p EB p A Z drugiej strony, praca siły działajacej na ciało zmienia energię kinetyczna: W AB = E B k EA k E B k EA k = E A p EB p E B k + EB p = E A k + EA p E = E p + E k = ÓÒ Ø W ruchu pod działaniem sił zachowawczych energia całkowita jest zachowana. A.F.Żarnecki Wykład VI 13

15 Zasada zachowania energii Wahadło Galileusza Wysokość na jaka wznosi się wahadło nie zmienia się przy zmianie długości nici: Koło Maxwella h E p + E k = E ÓÒ Ø = E k = 0 m g h = E siły reakcji więzów nie wykonuja pracy Przemiana energii potencjalnej w energię kinetyczna ruchu obrotowego. A.F.Żarnecki Wykład VI 14

16 Zasada zachowania energii Spadek swobodny g W jednorodnym polu g ciało spada swobodnie z wysokości h ( v(0) = 0). g Prędkość końcowa z zasady zachowania energii: h V E k m v v = = E p = m g h g h h V Taka sama prędkość uzyska wahadło puszczone z wysokości h A.F.Żarnecki Wykład VI 15

17 Zasada zachowania energii Siły sprężystości Ruchu pod wpływem sił sprężystości: V V=0 E = E p (x) + E k ÓÒ Ø (x) = 1 kx + 1 mv = ÓÒ Ø Ruch harmoniczny ω = km : m V=0 E p x = A sin(ωt + φ) E p (x) = 1 ka sin (ωt + φ) E k v = ω A cos(ωt + φ) E k (x) = 1 m ω A cos (ωt + φ) t E = E p + E k = 1 ka A.F.Żarnecki Wykład VI 16

18 Zasada zachowania energii Równania ruchu Znajomość energii potencjalnej jest rownoważna znajomości siły (zachowawczej): F = E p Czy znajac E p ( r) możemy rozwiazać równania ruchu ciała? Możemy wyznaczyć zależność F( r) i skorzystać z II zasady dynamiki... albo Możemy wykorzystać zasadę zachowania energii: E = E k ( r) + E p ( r) = const W zależności od zagadnienia jeden albo drugi sposób może być bardziej użyteczny... A.F.Żarnecki Wykład VI 17

19 Zasada zachowania energii Dla ruchu prostoliniowego pod działaniem siły zachowawczej F(x), energia potencjalna E p = E p (x) ( ) dx + E p (x) = const E = m dt dx = dt m (E E p(x)) Rozdzielajac zmienne i całkujac otrzymujemy: dt = dx m (E E p (x)) t = x dx m ( x E Ep (x ) ) Znajac E p (x) możemy zawsze znaleźć zwiazek między x i t. A.F.Żarnecki Wykład VI 18

20 Zasada zachowania energii Przykład: F = F i x = const E p (x) = F x F x = de p dx Przyjmujac, że x = 0 w chwili t = 0 mamy: m t = F [ E + F x ] x 0 t = m x 0 dx E + F x = E + F x E F F F m t + E = E + F x x = 1 ( F m ) t + E m t 1 a t + v t v - predkość w chwili t = 0 energia całkowita E = mv > 0 A.F.Żarnecki Wykład VI 19

21 Zderzenia Poprzednio rozpatrywaliśmy zderzenia ciał z punktu widzenia zasady zachowania pędu (i momentu pędu) zasada zachowania pędu jest zawsze bezwzględnie spełniona Czy zachowana jest energia kinetyczna? TAK - jeśli działajace siły maja charakter zachowawczy siły kulombowskie, siły spężystości E p = 0 E k = 0 NIE - jeśli mamy wkład sił niezachowawczych w wyniku zderzenia następuja trwałe zmiany (np. odkształcenia) w zderzajacych się ciałach A.F.Żarnecki Wykład VI 0

22 Zderzenia Zderzenia sprężyste Przypadek jednowymiarowy: Z zasad zachowania: ÔÖÞ ÔÓ p : m 1 V 1 + m V = m 1 V 1 M M 1 V =0 V 1 E : m 1 V 1 Przekształcamy: + m V = m 1 V 1 p : m V = m 1 (V 1 V 1 ) M M 1 E : m V = m 1 (V 1 V 1 ) = m 1 (V 1 V 1 )(V 1 + V 1 ) V V 1 V = V 1 + V 1 V V 1 = V 1 wartość bezwzględna prędkości względnej przed i po zderzeniu jest taka sama A.F.Żarnecki Wykład VI 1

23 Zderzenia Zderzenia sprężyste Przekształcajac dalej otrzymujemy: m (V 1 + V 1 ) = m 1 (V 1 V 1 ) V 1 (m 1 + m ) = V 1 (m 1 m ) Ostatecznie: V 1 = m 1 m m 1 + m V 1 V = m 1 m 1 + m V 1 Przypadek szczególny: m 1 = m V 1 = V = 0 V = V 1 Zderzajace się ciała wymieniaja się prędkościami; rozwiazanie słuszne także w przypadku V 0 A.F.Żarnecki Wykład VI

24 Zderzenia Zderzenia sprężyste m 1 > m Masa pocisku większa od masy tarczy : Przypadek graniczny: m 1 m V 1 = m 1 m m 1 + m V 1 = V 1 V = m 1 m 1 + m V 1 = V 1 Pocisk nie zauważa zderzenia Tarcza uzyskuje prędkość V 1 Otrzymujemy: V > V 1 > 0 Po zderzeniu oba ciała poruszaja się w ta sama stronę. A.F.Żarnecki Wykład VI 3

25 Zderzenia Zderzenia sprężyste m 1 < m Masa pocisku mniejsza od masy tarczy : Otrzymujemy: Przypadek graniczny: m 1 m V 1 = V 1 V = 0 V 1 = m 1 m m 1 + m V 1 < 0 V = m 1 m 1 + m V 1 > 0 Prędkość pocisku zmienia znak pocisk odbija się od tarczy Sprężyste odbicie od nieruchomej ściany A.F.Żarnecki Wykład VI 4

26 Zderzenia m 1 m Tarcza oddala się od pocisku ( ściana ) Tarcza przybliża się do pocisku ( ściana ) pocisk traci energię pocisk zyskuje energię Mikroskopowy obraz ochładzania (ogrzewania) się gazu przy rozprężaniu (sprężaniu) A.F.Żarnecki Wykład VI 5

27 Zderzenia nie centralne Zderzenia Do tej pory rozpatrywaliśmy tzw. zderzenia centralne, dla których parametr zderzenia b = 0 pocisk trafia w sam środek tarczy W przypadku gdy b 0 zderzenie trzeba rozpatrywać w dwóch wymiarach: V 1 V =0 Θ 1 Θ b V Zasada zachowania pędu: p x : m V cos θ + m 1 V 1 cos θ 1 = m 1 V 1 ÔÓ Þ ÖÞ Ò Ù p y : m V sin θ m 1 V 1 sin θ 1 = 0 ÔÖÞ y x V 1 Dla zderzeń spężystych: E k : m 1 V 1 + m V = m 1 V1 Znajomość m 1, m i V 1 (V = 0) nie wystarcza do wyznaczenia pełnej kinematyki zderzenia ( V 1, V, θ 1 i θ )! musimy ustalić b albo jeden z parametrów rozproszenia (np. kat θ 1 ). A.F.Żarnecki Wykład VI 6

28 Zderzenia Zderzenia nie centralne Jeśli masy zderzajacych się sprężyscie ciał sa równe m 1 = m zagadnienie bardzo się upraszcza Z zasad zachowania: V 1 + V = V 1 Θ V V 1 Θ 1 V 1 + V = V 1 Θ 1 Θ wektory V 1, V 1 i V tworza trójkat prostokatny. V 1 θ 1 + θ = π A.F.Żarnecki Wykład VI 7

29 Zderzenia m 1 = m Fotografia zderzajacych się kul: Zderzenie proton-proton w komorze pęcherzykowej: V 1 V 1 V niska energia padajacej wiazki dynamika nierelatywistyczna A.F.Żarnecki Wykład VI 8

30 Zderzenia m 1 = m b=r Stan końcowy zależy od parametru zderzenia b b=r b=0 V V 1 b=0 b=r b = 0 zderzenie centralne V = V 1 V 1 = 0 b >= R brak zderzenia (kule mijaja się) V = 0 b=r V 1 = V 1 A.F.Żarnecki Wykład VI 9

31 Układ izolowany Izolowany układ wielu ciał: m 1 p 1 m 4 CM m VCM p 4 3 m Zasada zachowania pędu: P = i Układ środka masy p 3 p układ inercjalny p i = ÓÒ Ø Środek masy Klasyczna definicja położenia środka masy: i m R = i r i i m i średnia ważona z r i (z wagami w i = m i ) Ruch środka masy: m i =const V CM = d dt R = i m i VCM = i P = M V CM = i i m i d dt r i i m i m i v i pęd układu możemy zwiazać z ruchem środka masy A.F.Żarnecki Wykład VI 30 p i

32 Układ środka masy Prędkość środka masy: V CM = i p i i m i (klasycznie) = P M Zawsze możemy tak zmienić układ odniesienia, żeby środek masy spoczywał Układ środka masy Układ środka masy jest w wielu przypadkach najwygodniejszym układem odniesienia szereg relacji bardzo się upraszcza p CM p 3 Zasada zachowania pędu w CMS: (zmienne w CMS oznaczamy ) P = i p i = 0 p p 4 układ środka masy (CMS) 4 ogólna definicja układu środka masy słuszna także w przypadku v c A.F.Żarnecki Wykład VI 31

33 Układ środka masy Zderzenia nie centralne Układ środka masy: Układ laboratoryjny: V y V 1 V =0 Θ 1 V 1 Θ b V y V 1 b Θ Θ 1 V 1 V x x Zasada zachowania pędu: P = 0 Skomplikowane wyrażenia na prędkości końcowe w funkcji np. kata rozproszenia θ 1. Łatwiej jeśli m 1 = m V 1 V = V 1 V θ 1 = θ = m m 1 A.F.Żarnecki Wykład VI 3

34 Układ środka masy Zderzenia sprężyste Układ środka masy: Zasada zachowania energii: V = m 1 m V 1 b V Θ V m 1 V1 ( + m V m 1 + m 1 m ) V 1 = = m 1V 1 ( m 1 + m 1 m + m V ) V 1 V 1 Θ 1 V 1 = V 1 V = V y x V 1 Niezależnie od mas zderzajacych się ciał, wartości ich prędkości przed i po zderzeniu sprężystym sa takie same. W układzie środka masy! A.F.Żarnecki Wykład VI 33

35 Układ środka masy m 1 = m Układ laboratoryjny: Układ środka masy: b=r V 1 V = 0 V b=r V 1 V V b=r b=0 V CM b=0 b=r b=r b=0 b=0 b=r V 1 V 1 V CM=0 b=r b=r A.F.Żarnecki Wykład VI 34

36 Układ środka masy m 1 < m Układ środka masy: Układ laboratoryjny V 1 V V 1 V =0 V b=r V b=r b=0 b=r b=0 b=r b=0 b=r V CM b=0 b=r V 1 V 1 V CM =0 b=r Dla m 1 = 1 m v 1 = v b=r V CM = 1 3 V 1 A.F.Żarnecki Wykład VI 35

37 Układ środka masy m 1 > m Układ środka masy: Układ laboratoryjny: V 1 b=r V V 1 b=r V =0 V V b=r b=0 b=r b=0 b=r b=0 V CM b=r b=0 V 1 b=r V CM =0 V 1 b=r Dla m 1 = m v 1 = 1 v V CM = 3 V 1 A.F.Żarnecki Wykład VI 36

38 Układ środka masy m 1 > m Układ laboratoryjny: V 1 V =0 Zwiazek między prędkościami: V CM = v = m 1 m 1 + m V 1 V V * v 1 = m m 1 v = m m 1 + m V 1 V 1 V CM Θ max 1 V * 1 Maksymalny kat rozproszenia pocisku : sin θ max 1 = v 1 V CM = m m 1 Dla tarczy ograniczenie nie zależy od stosunku mas: 0 < θ < π A.F.Żarnecki Wykład VI 37

39 Układ środka masy Energia układu Transformacja prędkości: v i = v i + VCM v * 1 v v 1 v * 3 v3 M V v 4 CM v * 4 * v Energia kinetyczna układu: = i E k = i ( mi (v i ) m i v i = i + m i v i VCM Z zasady zachowania pędu: i m i v i V CM Ostatecznie: E k m i v i + V CM + m i V CM = V CM m i v i = V CM P = 0 i = E k + M V CM ) Energia kinetyczna układu jest suma energii wewnętrznej (Ek ) i energii kinetycznej układu jako całości. A.F.Żarnecki Wykład VI 38

40 Układ środka masy Moment pędu układu Transformacja galileusza: r i = r i + RCM v i = v i + VCM v * 1 v v 1 v * 3 v3 M V v 4 CM v * 4 * v Całkowity moment pędu względem poczatku układu L = i = i = m i r i v i m i ( RCM + r i ) ( VCM + v i ) m i i + i Z definicji CMS: otrzymujemy: RCM V CM + R CM m i v i i m i r i V CM + m i r i vi i mi v i = m i r i = 0 L = M R CM V CM + L CM Moment pędu układu jest suma wewnętrznego momentu pędu ( L CM ) (względem CM) i momentu pędu układu jako całości. A.F.Żarnecki Wykład VI 39

41 Układ środka masy Ruch środka masy Dla układu izolowanego P ÓÒ Ø = środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym I Zasada Dynamiki Pod działaniem sił zewnętrznych: F zw zmiana pędu układu: d P dt = i = i d p i dt F zw i = i + i F zw i j F ij = F zw II Zasada Dynamiki W oparciu o pojęcie środka masy możemy opisać ruch układu jako całości stosujac równania ruchu punktu materialnego. A.F.Żarnecki Wykład VI 40

42 Projekt Fizyka wobec wyzwań XXI w. współfinansowany przez Unię Europejska ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki