Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: piątek 15:10-16:50 Slajdy dostępne pod adresem: http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/bioinformatyka/ 11.03.2019 1 / 13
Iloraz różnicowy Definicja Niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowy funkcji f w punkcie x 0, odpowiadającym przyrostowi zmiennej niezależnej x nazywamy liczbę: f = f(x 0 + ) f(x 0 ). 2 / 13
Iloraz różnicowy przykład y f = f(x 0 + ) f(x 0 ). f(x) f(x 0 + ) y f(x 0 ) x 0 x 0 + x 3 / 13
Interpretacja ilorazu różnicowego Sieczna między x 0 a x 0 + Iloraz różnicowy funkcji f w punkcie x 0, odpowiadający przyrostowi jest nachyleniem siecznej wykresu przechodzącej przez punty x 0 i x 0 + : f = tgα Prędkość w przedziale czasowym od t do t + t Niech y będzie funkcją przyporządkowującą każdej chwili czasowej t położenie y(t) jakiegoś obiektu fizycznego. Iloraz różnicowy funkcji y w chwili t 0 odpowiadający przyrostowi czasu t jest równy średniej prędkości obiektu w przedziale czasowym od t do t + t. 4 / 13
Iloraz różnicowy przykład y f = f(x 0 + ) f(x 0 ) = tgα f(x) f(x 0 + ) y f(x 0 ) α x 0 x 0 + x 5 / 13
Pochodna właściwa funkcji Definicja Pochodną funkcji f, określonej przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ), nazywamy granicę właściwą ilorazu różnicowego: f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim, 0 Do oznaczenia pochodnej używa się też: df dx (x 0), Df(x 0 ), f(x 0 ). Jeśli granica ilorazu różnicowego jest niewłaściwa ( lub ), to taką pochodną nazywamy pochodną niewłaściwą. Pochodną lewo lub prawostronną definiujemy biorąc granicę lewo lub prawostronną. Pochodna właściwa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne lewo i prawostronne i są sobie równe. Pochodna w x 0 istnieje tylko gdy funkcja jest ciągła w x 0. 6 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład y f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim 0 f(x) f(x 0 + ) y f(x 0 ) x 0 x 0 + x 7 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład y f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim 0 f(x) f(x 0 + ) y f(x 0 ) x 0 x 0 + x 7 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład y f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim 0 f(x) f(x 0 + ) y f(x 0 ) x 0 x 0 + x 7 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład y f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim 0 f(x) f(x 0 + ) f(x 0 ) y x 0 x 0 + x 7 / 13
Interpretacja pochodnej Styczna Pochodna funkcji f punkcie x 0 określa nachylenie stycznej do wykresu f w punkcie x 0. f (x 0 ) = tgα Prędkość Niech y będzie funkcją przyporządkowującą każdej chwili czasowej t położenie y(t) jakiegoś obiektu fizycznego. Wtedy y (t) jest prędkością w chwili t. 8 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład f(x 0 + ) f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = tgα 0 y f(x) y f(x 0 ) α x 0 x 0 + x 9 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = tgα 0 y f(x) f(x 0 + ) f(x 0 ) α y x 0 x 0 + x 9 / 13
Pochodna funkcji w punkcie przykład f f(x 0 + ) f(x 0 ) (x 0 ) = lim = tgα 0 y f(x) f(x 0 + ) f(x 0 ) α y x 0 x 0 + x 9 / 13
Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych Twierdzenie c = 0 dla c R (x α ) = αx α 1 dla α R\0 (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tgx) = 1 cos 2 x (ctgx) = 1 sin 2 x (a x ) = a x ln a dla 0 < a 1 (e x ) = e x 10 / 13
Pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu Twierdzenie Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x 0, to: (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g (x 0 ), (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ), (f g) (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f(x 0 ) g (x 0 ), ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f(x 0 ) g (x 0 ) g g 2 (x 0 ) 11 / 13
Twierdzenia o pochodnych funkcji Twierdzenie (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli: funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0, funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f(x 0 ), to: (g f) (x 0 ) = g ( f(x 0 ) ) f (x 0 ). 12 / 13
Twierdzenia o pochodnych funkcji Twierdzenie (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f: jest ciągła na otoczeniu O(x 0 ), jest ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 ), ma pochodną właściwą f (x 0 ) 0, to: ( f 1) (t0 ) = 1 f (x 0 ), gdzie y 0 = f(x 0 ). 13 / 13