Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa

Transkrypt

1 Pojęcie funkcji. Funkcja liniowa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Wykład 2; rok akademicki 2016/2017

2 Zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: opis zjawisk takich jak: ruch jednostajnie przyśpieszony; Droga s, jaka przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g 9,81 m ; s 2 eliptyczne trajektorie, po których poruszaja się planety; wychylenie wahadła w zależności od czasu (przy małym kacie wychylenia poczatkowego).

3 Rachunek różniczkowy i całkowy narodziny fizyki klasycznej (newtonowskiej) Jeśli prędkość v punktu materialnego dana jest wzorem v(t) = gt, łatwo jest obliczyć: drogę przebyta na przedziale czasowym [t 1, t 2 ], t 1, t 2 0 (jest ona równa polu trapezu: g 2 (t2 2 t2 1 )); przyśpieszenie: jest ono równe g. Problem: w jaki sposób wykonywać analogiczne obliczenia, gdy funkcja v = v(t) ma bardziej skomplikowana postać? Np. gdy v(t) = t 2? Niezbędne jest skorzystanie z pojęć i metod rachunku różniczkowego i całkowego. pojęcie pochodnej, całki oznaczonej, twierdzenie Newtona-Leibniza: rozwój fizyki klasycznej w XVII i XVIII wieku.

4 Pole trapezu krzywoliniowego I Załóżmy, że funkcja f jest nieujemna i ciagła na przedziale [a, b] (czyli jej wykres można narysować bez odrywania ręki ). Figurę ograniczona wykresem funkcji f oraz prostymi: x = a, x = b i y = 0 będziemy nazywać trapezem krzywoliniowym odpowiadajacym odcinkowi [a, b] i funkcji f. y y = f(x) 0 a b x Rysunek: Trapez krzywoliniowy

5 Pole trapezu krzywoliniowego II Pole (wyżej określonego) trapezu krzywoliniowego: całka na przedziale [a, b] z f : notacja b a f (x) dx. Interpretacja fizyczna: droga przebyta przez punkt materialny poruszajacy się z prędkościa v = f (t), f (t) 0, na odcinku czasowym [a, b].

6 Pojęcie funkcji Kluczowym pojęciem w analizie matematycznej (i naszym kursie) jest pojęcie funkcji. Definicja Niech będa dane dwie zmienne x i y o obszarach zmienności X i Y. Zmienna f jest funkcja zmiennej x w jej obszarze zmienności X jeśli istnieje prawo przypisujace każdej wartości x dokładnie jedna wartość y (z Y). Obszar zmienności X może być np. przedziałem lub podzbiorem płaszczyzny.

7 Funkcje jednej zmiennej Definicja (funkcji jednej zmiennej) Funkcja (jednej zmiennej) określona na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporzadkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taka oznaczamy f : X Y. Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f (x). Definicja (dziedziny i zbioru wartości) Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedzina funkcji f i oznaczamy przez D f, a zbiór wartości funkcji f oznaczamy przez W f. Jeżeli dany jest tylko wzór określajacy funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji.

8 Definicja (równości funkcji) Mówimy, że dwie funkcje sa sobie równe, jeśli: (i) ich dziedziny sa sobie równe; (ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraja równe wartości. Przykłady. (i) funkcje f (x) = 1 + x, g(x) = 1 x 2 1 x nie sa sobie równe- ponieważ ich dziedziny naturalne D f i D g nie sa sobie równe (g jest zawężeniem funkcji f do zbioru M = R \ {1}). (ii) funkcje f (x) = x 2 i g(x) = x 4 sa sobie równe.

9 Zawężenie funkcji Dla funkcji f : X Y można określić jej zawężenie, nazywane też obcięciem lub ograniczeniem, do zbioru M X. Jest to funkcja f M (x): X Y taka, że f M (x) = f (x) dla każdego x M.

10 Definicja (wykresu funkcji) Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór par (x, f (x)) utworzony dla wszystkich elementów x zbioru X. Przykład. Dla funkcji f : [ 1, 1] R określonej wzorem f (x) = 1 x 2 wykresem jest górna połówka okręgu o środku w poczatku układu współrzędnych i o promieniu 1 sqrt(1 x^2) x Rysunek: Wykres funkcji f (x) = 1 x 2

11 Funkcja liniowa Dla danych a, b R funkcję liniowa f definiujemy wzorem: f (x) = ax + b. (1) Współczynnik a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, a współczynnik b wyrazem wolnym.

12 Prosta MNK Problem: do danych empirycznych chcemy dopasować funkcję liniowa f (x) = ax + b w sensowny sposób. Przykład Dane przestawiaja pomiary cech: x i y (x może oznaczać zmierzony czas, a y położenie punktu materialnego jego współrzędna pozioma). x y W ogólnym przypadku: mamy n pomiarów (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ).

13 y x Rysunek: Prosta MNK jest dobrana tak, aby suma pól kwadratów przedstawionych na rysunku była minimalna

14 Prosta MNK c.d. Innymi słowy: szukamy współczynników a, b takich, aby suma S S(a, b) n (y i ax i b) 2 k=1 była minimalna. Zauważmy, że S jest funkcja dwóch zmiennych! Jeśli nie wszystkie x i sa równe tej samej liczbie, współczynniki a i b spełniajace ten warunek sa równe: ni=1 x i (y i ȳ) a = ni=1 (x i x) 2, oraz gdzie b = 1 ( n y i a n x = 1 n i=1 n x i, i=1 n ) x i, i=1 ȳ = 1 n n y i. i=1 Dla danych z przykładu: a = 1,05, b = 0,25.