ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg oznczmy krócej symbolem ( n ) lub, 2,... n.... Ciągi, których wyrzy są funkcjmi nzywmy ciągmi funkcyjnymi. Definicj 2. Ciąg liczbowy ( n ) nzywmy: stłym, jeżeli n+ = n, rosnącym, jeżeli mlejącym, jeżeli n N nierosnącym, jeżeli niemlejcym, jeżeli n N n N n+ > n, n N n+ < n, n N n+ n, n+ n. Definicj 3. Ciąg liczbowy ( n ) nzywmy: ogrniczonym z dołu, jeżeli n m, m R n N ogrniczonym z góry, jeżeli M R n N n M, ogrniczonym, jeżeli m,m R n N m n M. Definicj 4. Ciąg n m grnicę włściwą g, jeżeli w kżdym otoczeniu (g ɛ, g + ɛ) liczby g, gdzie ɛ > 0, leżą prwie wszystkie wyrzy ciągu, tzn. wszystkie począwszy od pewnego wskźnik N 0.
Fkt, że ciąg ( n ) m grnicę g zpisujemy lim n n = g lub n g. lim n n = g ɛ>0 N 0 N n>n 0 n g < ɛ. Ciąg, który m grnicę włściwą nzywmy zbieżnym. Twierdzenie. Ciąg m co njwyżej jedn grnicę. Twierdzenie 2. Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ogrniczony. Uwg. Jeżeli ciąg jest ogrniczony, to nie musi być zbieżny! Twierdzenie 3. Jeżeli ciąg jest ogrniczony i monotoniczny, to jest zbieżny. Definicj 5. lim n = + n lim n = n M R M R K N K N Twierdzenie 4. (o trzech ciągch) Jeżeli lim n = lim b n n n orz n c n b n, to istnieje grnic lim n c n orz n N n>k n>k lim c n = lim n = lim b n. n n n n > M n < M Twierdzenie 5. Jeżeli ciągi ( n ) i (b n ) mją grnice włściwe lim n = A, lim b n = B n n orz k R, to. lim n ( n + b n ) = A + B, 2. lim n ( n b n ) = A B, 3. lim n (k n) = k A, 4. lim n ( n b n ) = A B, 2
( ) n 5. lim = A n b n B, gdy b n 0 orz B 0. n N Twierdzenie 6. Jeżeli ciąg ( n ) jest zbieżny do zer i ciąg (b n ) jest ogrniczony, to ciąg i ( n b n ) jest zbieżny do zer. Twierdzenie 7. Prwdziwe są wzory:. lim n qn = nie istnieje dl q, 0 dl q (, ) dl q =, + dl q >., 2. lim n nα = 0 dl α < 0 dl α = 0, + dl α > 0., Twierdzenie 8. Prwdziwe są wzory:. lim >0 n n =, 2. lim n 3. ( n N n n k =, k > 0, n 0 lim n > 0 n ) lim n n n =. Twierdzenie 9. Jeżeli lim n N n = A orz lim n N b n = ±, to. lim n ( n ± b n ) = ±, 2. lim n ( n b n ) = ±, A 0, ( ) n 3. lim = 0, gdy b n 0. n b n n N Twierdzenie 0. Jeżeli lim n = + orz lim b n = +, to n N n N. lim n ( n + b n ) = +, 2. lim n ( n b n ) = +, 3
Twierdzenie. Jeżeli K N N>K n > 0 orz lim n n = 0, to lim n n = +. Symbole nieoznczone Definicj 6. Pondto 0 0,,, 0, 00, 0, ( lim + n = e. n n) ( lim n = n n) e. Twierdzenie 2. Jeżeli lim n n = ±, to orz ( lim + ) n = e n n ( lim ) n = n n e. Uwg 2. Logrytm, którego podstwą jest liczb e nzywmy logrytmem nturlnym i oznczmy symbolem ln, np. log e 7 = ln 7. 4
Rchunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Definicj 7. Otoczeniem o promieniu ɛ > 0 punktu x 0 R nzywmy zbiór U(x 0, ɛ) = {x R : x x 0 < ɛ}. Definicj 8. Sąsiedztwem o promieniu ɛ > 0 punktu x 0 R nzywmy otoczenie o promieniu ɛ punktu x 0 pozbwione punktu x 0, czyli zbiór S(x 0, ɛ) = {x R : 0 < x x 0 < ɛ}. Definicj 9. Otoczeniem nieskończoności nzywmy zbiór U( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj 0. Otoczeniem minus nieskończoności nzywmy zbiór U( ) = (, ) dl dowolnego R. Definicj. Sąsiedztwem prwostronnym (lewostronnym) o promieniu ɛ punktu x 0 R nzywmy zbiór ( ) S(x + 0, ɛ) = (x 0, x 0 + ɛ) S(x 0, ɛ) = (x 0 ɛ, x 0 ). Definicj 2. (Heine) lim f(x) = g x x 0 Definicj 3. (równowżn, Cuchy) lim x x 0 f(x) = g ɛ>0 δ>0 Definicj 4. (grnicy niewłściwej) lim f(x) = ± x x 0 x (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim f(x n) = g n [(0 < x x 0 < δ) f(x) g < ɛ] (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim f(x n) = ± n Definicj 5. (grnicy w punkcie niewłściwym) lim f(x) = g x + (x n), x n S( ) Definicj 6. (grnicy w punkcie niewłściwym) lim f(x) = g x (x n), x n S( ) lim f(x n) = g n lim f(x n) = g n 5
Definicj 7. (grnicy lewostronnej) lim f(x) = g x x 0 Definicj 8. (grnicy prwostronnej) lim f(x) = g x x + 0 (x n) x 0, x n S(x 0 ) lim n f(x n) = g. (x n) x 0, x n S(x + 0 ) lim n f(x n) = g. Definicj 9. Niech funkcj f będzie określon w pewnym sąsiedztwie punktu x 0. Prostą x = x 0 nzywmy symptotą lewowostronną funkcji f, jeżeli lim f(x) = ± x x 0 symptotą prwostronną funkcji f, jeżeli lim f(x) = ± x x + 0 Definicj 20. Prostą y = x + b nzywmy symptotą ukośną w minus nieskończoności funkcji f(x), jeżeli lim [f(x) (x + b)] = 0. x Definicj 2. Prostą y = x + b nzywmy symptotą ukośną w plus nieskończoności funkcji f(x), jeżeli lim [f(x) (x + b)] = 0. x + Twierdzenie 3. Definicj 22. Punktem izolownym zbioru D nzywmy kżdy punkt x 0 D, dl którego istnieje sąsiedztwo S(x 0 rozłączne ze zbiorem D. Definicj 23. Funkcję f : X Y określoną w pewnym otoczeniu punktu x 0 nzywmy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli m w tym punkcie grnicę równ swojej wrtości w tym punkcie, tzn. jeżeli ( ) lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 lim f(x) = f(x 0 ) = lim f(x) x x 0 x x + 0 lub, gdy punkt x 0 jest punktem izolownym dziedziny funkcji f. Definicj 24. Jeżeli lim f(x) = f(x 0 ), x x 0 to funkcję f nzywmy lewostronnie ciągłą w punkcie x 0, jeżeli lim f(x) = f(x 0 ), x x + 0 to funkcję f nzywmy prwostronnie ciągłą w punkcie x 0. 6
Definicj 25. (nieciągłości I rodzju) Mówimy, że punkt x 0 jest punktem nieciągłości I rodzju funkcji f, jeżeli funkcj nie jest ciągł w tym punkcie orz grnice lewo- i prwostronn tej funkcji w punkcie x 0 są skończone. Definicj 26. (nieciągłości II rodzju) Mówimy, że punkt x 0 jest punktem nieciągłości II rodzju funkcji f, jeżeli funkcj nie jest ciągł w tym punkcie orz jedn z grnic lewo- lub prwostronn tej funkcji w punkcie x 0 jest nieskończon lub nie istnieje. Twierdzenie 4. Jeżeli dwie funkcje f i g są określone n pewnym otoczeniu punktu x 0 i obie są ciągłe w punkcie x 0 orz R, to w tym punkcie są ciągłe tkże funkcje f, f + g, f g, f g, f g przy czym t osttni przy złożeniu, że g(x) 0. Twierdzenie 5. (o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcj f(g) jest złożeniem funkcji g : X Y orz f : Y Z, pondto funkcj g jest ciągł w punkcie x 0, funkcj f jest ciągł w punkcie g(x 0 ), to funkcj f(g(x)) jest ciągł w punkcie x 0. Definicj 27. Funkcję nzywmy ciągłą w zbiorze A X, jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie tego zbioru. Definicj 28. Funkcję nzywmy ciągłą w przedzile domkniętym [, b], jeżeli jest ciągł w kżdym punkcie tego zbioru orz jest prwostronnie ciągł w punkcie i lewostronnie ciągł w punkcie b. Definicj 29. Funkcjmi elementrnymi nzywmy funkcję tożsmościową x x, funkcje wykłdnicze, funkcje trygonometryczne orz wszystkie funkcje, które możn z nich otrzymć z pomocą ogrniczni dziedziny (obcinni), dodwni, odejmowni, mnożeni, dzieleni, skłdni i odwrcni funkcji. Twierdzenie 6. Funkcje elementrne są ciągłe. W szczególności ciągłe są wielominy, funkcje wymierne, funkcje wykłdnicze, funkcje logrytmiczne, funkcje trygonometryczne, funkcje hiperboliczne, funkcje cyklometryczne. Twierdzenie 7. Funkcj ciągł w przedzile domkniętym osiąg w tym przedzile swoj wrtość njmniejszą i njwiększą (w szczególności jest ogrniczon). Twierdzenie 8. (o loklnym zchowniu znku) Jeżeli funkcj w pewnym punkcie jest ciągł i dodtni (ujemn), to jest również dodtni (ujemn) w pewnym otoczeniu tego punktu. Twierdzenie 9. (włsność Drboux) Funkcj ciągł w przedzile domkniętym [, b] przyjmuje w tym przedzile kżdą wrtość pośrednią między wrtościmi n końcch przedziłu. Innymi słowy, (f() = A f(b) = B) f(c) = M. M (A,B) c (,b) 7
Twierdzenie 20. Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile domkniętym [, b] orz jej wrtości n krńcch tego przedziłu f() i f(b) są różnych znków, to istnieje tki punkt c (, b) (co njmniej jeden), że f(c) = 0. 8
Pochodn funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Definicj 30. Niech f będzie funkcją o wrtościch rzeczywistych określoną n przedzile (, b) i niech x 0 orz x będą dwom różnymi punktmi tego przedziłu. Wyrżenie f(x) f(x 0 ) x x 0 nzywmy ilorzem różnicowym odpowidjącym przyrostowi rgumentu x x 0. Definicj 3. Jeżeli istnieje grnic ilorzu różnicowego f(x) f(x 0), gdy x x 0, to x x 0 grnicę tę nzywmy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznczmy symbolem f (x 0 ), tzn. f f(x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. x x 0 x x 0 Jeśli grnic t nie istnieje mówimy, ze funkcj f nie posid pochodnej w punkcie x 0. Definicj 32. O funkcji posidjącej pochodną w punkcie x mówimy, że jest różniczkowln w tym punkcie. Definicj 33. Jeżeli funkcj f m pochodną w kżdym punkcie zbioru X, to funkcję x f (x) nzywmy funkcją pochodną ( krótko, pochodną) funkcji f w zbiorze X i oznczmy f. Mówimy wówczs, że funkcj f jest różniczkowln w zbiorze X. Twierdzenie 2. Jeśli funkcj f posid pochodną w punkcie x 0, to jest w tym punkcie ciągłą. Uwg 3. Z ciągłości funkcji f w punkcie x 0 nie wynik istnienie jej pochodnej w tym punkcie. Twierdzenie 22. Jeżeli funkcje f i g określone n pewnym przedzile (, b) posidją pochodne w punkcie x orz k R, to funkcje k f, f + g, f g orz f posidją pochodne w punkcie g x orz prwdziwe są wzory: (k f) (x) = k f (x) (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x) g(x) + g (x) f(x) ( f g ) (x) = f (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] 2 9
Pochodne funkcji elementrnych () = 0, (x n ) = n x n, x R, n Z, (tg x) = cos 2 x, (ctg x) = sin 2 x, (x α ) = α x α, x > 0, α R, (x + b) =, ( x) = 2 x, (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, (ln x) = x, (e x ) = e x, (rcsin x) = (rccos x) = x 2, x 2, ( rctg x) = + x 2, ( rcctg x) = + x 2. 0
Twierdzenie 23. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcj g jest różniczkowln w punkcie x 0, funkcj f jest różniczkowln w punkcie u 0 = g(x 0 ), to funkcj złożon f g = f(g) jest różniczkowln w punkcie x 0 orz jej pochodn określon jest wzorem: [f(g(x 0 ))] = f (u 0 ) g (x 0 ). Twierdzenie 24. (o pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcj f jest ciągł i sciśle monotoniczn n przedzile (, b) orz m pochodną różną od zer w punkcie x 0 tego przedziłu, to funkcj odwrotn f jest różniczkowln w punkcie y = f(x 0 ) orz jej pochodn określon jest wzorem: (f ) (x 0 ) = f (x 0 ). Definicj 34. Jeżeli pochodn f funkcji f jest różniczkowln w zbiorze X, to jej pochodną nzywmy pochodną rzędu drugiego funkcji f i oznczmy symbolem f. Uwg 4. Anlogicznie (z pomocą indukcji mtemtycznej) określmy pochodne wyższych rzędów. Definicj 35. Niech funkcj f będzie różniczkowln w pewnym otoczeniu dnego punktu x 0, zś x 0, niech ozncz dowolny przyrost rgumentu x. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nzywmy wyrżenie Uwg 5. Twierdzenie 25. (Rolle ) Jeżeli df(x 0, x) = f (x 0 ) x. f(x 0 ) = f(x 0 + x) f(x 0 ) df(x 0, x) = f (x 0 ) x.. funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], 2. funkcj f jest różniczkowln w przedzile (, b), 3. f() = f(b), to istnieje (przynjmniej jeden) punkt c (, b) tki, że f (c) = 0.
Twierdzenie 26. (Lgrnge ) Jeżeli. funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], 2. funkcj f jest różniczkowln w przedzile (, b), to istnieje (przynjmniej jeden) punkt c (, b) tki, że f (c) = Twierdzenie 27. (Wnioski z twierdzeni Lgrnge ) f(b) f() b. ) Jeżeli f (x) = 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest stł w przedzile (, b), 2) jeżeli funkcje f i g mją równe pochodne w przedzile (, b), to funkcje te różnią się w tym przedzile co njwyżej o stłą, 3) jeżeli f (x) > 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest rosnąc w tym przedzile, 4) jeżeli f (x) < 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest mlejąc w tym przedzile, 5) jeżeli f (x) 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest niemlejąc w tym przedzile, 6) jeżeli f (x) 0 dl kżdego x (, b), to funkcj f jest nierosnąc w tym przedzile. Twierdzenie 28. Jeżeli funkcj f : (, b) R jest różniczkowln w przedzile (, b), to jest on rosnąc w tym przedzile wtedy i tylko wtedy, gdy x (,b) f (x) 0 i zbiór {x : f (x) = 0} nie zwier przedziłu. Twierdzenie 29. Jeżeli funkcj f : (, b) R jest różniczkowln w przedzile (, b), to jest on mlejąc w tym przedzile wtedy i tylko wtedy, gdy x (,b) f (x) 0 i zbiór {x : f (x) = 0} nie zwier przedziłu. Twierdzenie 30. (Wzór Tylor) Jeżeli funkcj f m ciągłą pochodną rzędu n w przedzile [, b] i ciągłą pochodną rzędu (n + ) w przedzile (, b), to istnieje tki punkt c (, b), że f(b) = f() + f ()! Osttni skłdnik (b ) + f () 2! nzywmy resztą w postci Lgrnge. (b ) 2 +... + f (n) () (b ) n + f (n+) (c) n! (n + )! (b )n+. R n = f (n+) (c) (b )n+ (n + )! 2
Gdy przyjmiemy = 0 orz b = x, to wzór Tylor przyjmuje postć f(x) = f(0) + f (0)! i nosi nzwę wzoru Mclurin. x + f (0) 2! x 2 +... + f (n) (0) x n + R n (x). n! e x = + x! + x2 2! +... + xn n! + R n(x), x R. sin x = x! x3 3! +... + ( )k x 2k (2k )! + R n(x), x R. cos x = x2 2! + x4 4!... + ( )n + R n (x), x R. ln( + x) = x x2 2 + x3 3 +... + ( )n xn ( + x) α = ( α ) x + ( α2 ) x 2... n + R n(x), dl < x <. ( αn ) x n + R n (x), dl < x <. x = ( + ( x)) = + x + x 2 +... + x n + R n (x) dl < x <. Definicj 36. Złóżmy terz, że funkcj f jest określon w pewnym otoczeniu punktu x 0. Mówimy, że funkcj f osiąg w punkcie x 0 mksimum (minimum) loklne, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x 0 ) punktu x 0 tkie, że x S(x 0 ) f(x 0 ) f(x) x S(x 0 ) f(x 0 ) f(x) Gdy nierówności są ostre, to mówimy o mksimum (minimum) loklnym włściwym. Twierdzenie 3. Fermt (wrunek konieczny istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest różniczkowln w punkcie x 0 i osiąg w tym punkcie ekstremum, to f (x 0 ) = 0. Uwg 6. Wrunek konieczny nie jest jednk wrunkiem wystrczjącym, gdyż np. funkcj f(x) = x 3 w punkcie x 0 = 0 m pochodną równą zero, nie m ekstremum. Twierdzenie 32. (I wrunek wystrczjący istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) punktu x 0 orz f (x) < 0 dl x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) > 0 dl x (x 0, x 0 + ɛ), to funkcj f osiąg w punkcie x 0 minimum loklne włściwe. Jeżeli funkcj f jest ciągł w punkcie x 0 i różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) punktu x 0 orz f (x) > 0 dl x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) < 0 dl x (x 0, x 0 + ɛ), to funkcj f osiąg w punkcie x 0 mksimum loklne włściwe. 3
Twierdzenie 33. (II wrunek wystrczjący istnieni ekstremum) Jeżeli funkcj f jest dwukrotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 orz. f (x 0 ) = 0, 2. f (x 0 ) 0, 3. pochodn drugiego rzędu x 0 jest ciągł w punkcie x 0, to funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum loklne. Jest to mksimum, gdy f (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (x 0 ) > 0. Twierdzenie 34. (II wrunek wystrczjący istnieni ekstremum - uogólnienie) Jeżeli funkcj f jest n-krotnie różniczkowln w pewnym otoczeniu punktu x 0 orz. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n ) (x 0 ) = 0, 2. f (n) (x 0 ) 0, 3. pochodn rzędu n jest ciągł w punkcie x 0, to funkcj f m w punkcie x 0 ekstremum loklne, gdy n jest liczbą przystą. Jest to mksimum, gdy f (n) (x 0 ) < 0, minimum, gdy f (n) (x 0 ) > 0. Gdy n jest liczbą nieprzystą, funkcj f nie osiąg ekstremum loklnego w tym punkcie. Definicj 37. Niech zbiór A będzie podzbiorem dziedziny funkcji rzeczywistej f. Powiemy, że funkcj f osiąg mksimum (minimum) bsolutne w punkcie x 0 A, jeżeli x A f(x 0 ) f(x) ( x A f(x 0 ) f(x) Definicj 38. Mówimy, że krzyw y = f(x) jest wypukł w punkcie x 0, jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0 ), że dl kżdego x S(x 0 ) punkty tej krzywej leżą powyżej stycznej poprowdzonej w punkcie x 0. Definicj 39. Mówimy, że krzyw y = f(x) jest wklęsł w punkcie x 0, jeżeli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0 ), że dl kżdego x S(x 0 ) punkty tej krzywej leżą poniżej stycznej poprowdzonej w punkcie x 0. Twierdzenie 35. (wrunek wystrczjący) Jeżeli pochodn drugiego rzędu funkcji f jest dodtni (ujemn) w przedzile (, b), to krzyw y = f(x) jest wypukł (wklęsł) w tym przedzile. Definicj 40. Punkt x 0 nzywmy punktem przegięci krzywej f, jeśli istnieje tkie sąsiedztwo S(x 0, ɛ) punktu x 0, że krzyw jest wypukł (wklęsł) dl x (x 0 ɛ, x 0 ) orz wklęsł (wypukł) dl x (x 0, x 0 + ɛ). Inczej punkt, w którym styczn przechodzi z nd krzywej pod nią, lub odwrotnie. Twierdzenie 36. (wrunek konieczny istnieni punktu przegięci) Jeżeli krzyw f m w punkcie x 0 punkt przegięci i istnieje ciągł pochodn drugiego rzędu funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x 0, to f (x 0 ) = 0. ). 4
Uwg 7. Wrunek konieczny nie jest wrunkiem wystrczjącym. Twierdzenie 37. (I wrunek wystrczjący) Jeżeli funkcj f jest różniczkowln w otoczeniu U(x 0, ɛ) i dwukrotnie różniczkowln w sąsiedztwie S(x 0, ɛ) orz f (x 0 ) > 0 (f (x 0 ) < 0) dl x (x 0 ɛ, x 0 ) orz f (x 0 ) < 0 (f (x 0 ) > 0) dl x (x 0, x 0 + ɛ), to punkt P 0 = (x 0, f(x 0 )) jest punktem przegięci krzywej y = f(x). Twierdzenie 38. (REGUŁA DE L HOSPITALA) Jeżeli funkcje f i g są różniczkowlne w pewnym sąsiedztwie S(x 0 ) punktu x 0, g(x) 0 dl S(x 0 ) orz lim f(x) = lim g(x) = 0 x x 0 x x 0 f (x) i istnieje grnic lim x x 0 g (włściw lub nie), (x) f(x) to istnieje również grnic lim przy czym x x 0 g(x) f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Uwg 8. Twierdzenie odwrotne nie zchodzi. Uwg 9. Modyfikując odpowiednio złożeni twierdzenie pozostje prwdziwe dl symbolu orz w przypdku grnic jednostronnych przy x i x. Aby zstosowć regułę de l Hospitl do wyrżeń nieoznczonych typu, 0 stosujemy odpowiednio tożsmości: f(x) g(x) = f(x) g(x) lub f(x) g(x) = f(x) g(x). f(x) g(x) = f(x) g(x) = g(x) f(x) g(x) f(x). f(x) g(x) 5
Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej Definicj 4. Złóżmy, że funkcj f jest określon n pewnym przedzile I. Funkcją pierwotną funkcji f nzywmy kżdą funkcję F, któr jest różniczkowln w przedzile I orz spełni wrunek F (x) = f(x). x I Twierdzenie 39. Jeżeli funkcj F (x) jest w pewnym przedzile funkcją pierwotną funkcji f(x), to kżd funkcj postci F (x)+c, gdzie C jest dowolną stłą rzeczywistą, jest również funkcją pierwotną funkcji f(x). Co więcej, wszystkie funkcje pierwotne funkcji f(x) mją tę postć, to znczy różnią się co njwyżej o stłą. Definicj 42. Wyrżenie F (x)+c, gdzie C jest dowolną stłą rzeczywistą nzywmy cłką nieoznczoną funkcji f(x) i oznczmy symbolem f(x)dx. Funkcję f(x) nzywmy funkcją podcłkową, iloczyn f(x)dx wyrżeniem podcłkowym. Twierdzenie 40.. Jeżeli funkcj f(x) posid funkcję pierwotną n przedzile I, to ( f(x)dx) = f(x) dl x I. 2. Jeżeli funkcj f(x) posid ciągłą pochodną n przedzile I, to f (x)dx = f(x) + C dl x I. Twierdzenie 4. Kżd funkcj ciągł n przedzile I, posid funkcję pierwotną n tym przedzile. Twierdzenie 42. (o liniowości cłki nieoznczonej Jeżeli funkcje f orz g posidją funkcje pierwotne n pewnym przedzile I orz k jest dowolną liczbą rzeczywistą, to [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx, k f(x)dx = k f(x)dx. (Sformułownie równowżne) Jeżeli funkcje f orz g posidją funkcje pierwotne n pewnym przedzile I orz, b są dowolnymi liczbmi rzeczywistymi, to [ f(x) + b g(x)]dx = f(x)dx + b g(x)dx. 6
Wzory podstwowe x α dx = sin xdx = cos x + C cos xdx = sin x + C e x dx = e x + C + α x+α + C, gdy α ln x + C, gdy α = x dx = x + C, > 0, ln dx cos 2 = tg x + C, cos x 0 x dx sin 2 = ctg x + C, sin x 0 x dx k x 2 = rcsin ( xk ) + C, k > 0 dx x x 2 + k = ln + x 2 + k + C dx k + x 2 = k rctg x k + C, k > 0 Dw brdzo użyteczne wzory f (x)dx = ln f(x) + C f(x) f (x)dx = 2 f(x) + C. f(x) Twierdzenie 43. (o cłkowniu przez części) Jeżeli funkcje f i g posidją ciągłe pochodne w pewnym przedzile I, to f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. 7
Twierdzenie 44. (o cłkowniu przez podstwienie) Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedzile [, b]. Jeśli funkcj x = ϕ(t) m ciągłą pochodną w przedzile [α, β] i zbiór jej wrtości zwrty jest w przedzile [, b], to zchodzi wzór f(x)dx = f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. Twierdzenie 45. Kżdą funkcję wymierną niewłściwą P (x) Q(x) sumy wielominu i funkcji wymiernej włściwej możn przedstwić w postci P (x) R(x) = W (x) + Q(x) Q(x). Wielomin R(x) jest resztą z dzieleni wielominu P (x) przez wielomin Q(x). Definicj 43. Ułmki proste, to funkcje wymierne postci A (x ) k orz Bx + C (x 2 + bx + c) m, gdzie A, B, C,, b, c R, k, m N, przy tym wyróżnik = b 2 4c trójminu kwdrtowego x 2 +bx+c jest ujemny (mówiąc prościej, trójmin ten nie m pierwistków rzeczywistych). Twierdzenie 46. Kżdą funkcję wymierną włściwą możn przedstwić w postci skończonej sumy ułmków prostych. Uwg 0. Liczb i postć ułmków prostych w rozkłdzie dnej funkcji wymiernej zleżą od wielominu występującego w minowniku. Aby rozłożyć funkcję wymierną n ułmki proste njpierw rozkłdmy minownik n czynniki postci (x ) k orz (x 2 + bx + c) m k, m N (w tym drugim przypdku musi zchodzić b 2 4c < 0). Nstępnie tworzymy sumę ułmków prostych wg schemtu. kżdemu czynnikowi (x ) k odpowid k ułmków prostych postci A (x ), A 2 (x ) 2,, A k (x ) k, 2. kżdemu czynnikowi (x 2 +bx+c) m odpowid m ułmków prostych postci Cłkownie ułmków prostych I rodzju Ułmki proste pierwszego rodzju, czyli funkcje postci A cłkujemy przez podst- (x ) k wienie x = t, wówczs dx = dt. 8 B x + C x 2 + bx + c, B 2 x + C 2 (x 2 + bx + c) 2,
Oblicznie cłek typu Stosujemy wzór Oblicznie cłek typu W tym przypdku nleży A x 2 dx, c > 0 + c x 2 + k dx = rctg x + C, k > 0, k k A x 2 + bx + c dx, b2 4c < 0. zpisć minownik w postci knonicznej (x p) 2 + q, 2. wyłączyć stłą przed cłkę (gdy = pomijmy ten punkt), 3. podstwić x p = t. Cłkownie funkcji typu Funkcję typu Wówczs Ax + B x 2 + bx + c α(2x + b) + β x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c, b2 4c < 0. (b 2 4c < 0) zpisujemy w postci = α α(2x + b) + β x 2 + bx + c dx = α Cłkę I obliczmy korzystjąc ze wzoru A x 2 + bx + c dx. Cłkownie funkcji typu Funkcje typu x 2 + bx + c x 2 + bx + c 2x + b x 2 + bx + c + β x 2 + bx + c 2x + b x 2 + bx + c dx }{{} I +β dx x 2 + bx + c } {{ } I 2 f (x) f(x) = ln f(x) + C, cłkę I 2 jk cłkę typu cłkujemy korzystjąc ze wzorów dx x 2 + k = ln x + x 2 + k + C () lub dx k x 2 = rcsin x k + C, k > 0. (2) Postępujemy według nstępującego schemtu: 9
. zpisujemy funkcję x 2 + bx + c w postci knonicznej (x p) 2 + q, 2. podstwimy x p = t, 3. otrzymną funkcję cłkujemy stosując wzór (??), gdy > 0 lub wzór (??), gdy < 0. Cłkownie funkcji typu Funkcję typu Ax + B x 2 + bx + c Ax + B x 2 + bx + c zpisujemy w postci α(2x + b) + β x 2 + bx + c = α 2x + b x 2 + bx + c + β x 2 + bx + c Wówczs α(2x + b) + β x 2 + bx + c dx = α 2x + b x 2 + bx + c dx }{{} I +β dx x 2 + bx + c }{{} I 2 Cłkę I obliczmy korzystjąc ze wzoru f (x)dx f(x) = 2 f(x) + C, cłkę I 2 ze wzoru (??) lub (??). 20
CAŁKA OZNACZONA Definicj 44. Rozwżmy funkcję f(x) określoną i ogrniczoną n przedzile [, b]. Podzielmy przedził [, b] n n podprzedziłów punktmi x 0, x,..., x n tkimi, że = x 0 < x <... < x n = b. Oznczmy długość kżdego z podprzedziłów [x i, x i ] przez x i x i = x i x i, i =,..., n. Njwiększą długość x i przedziłu będziemy oznczć przez λ i nzywć średnicą podziłu odcink [, b]. W kżdym z podprzedziłów [x i, x i ] wybiermy dowolny punkt x i zwny punktem pośrednim. Nstępnie obliczmy wrtość f(x i ) funkcji f(x) w kżdym z punktów x i orz tworzymy sumę n S n = f(x ) x + f(x 2 ) x 2 +... f(x n ) x n = f(x i ) x i. i= zwną n-tą sumą częściową. Jeżeli istnieje skończon grnic ciągu (S n ), gdy ilość podprzedziłów n dąży do nieskończoności i λ 0, przy tym grnic t nie zleży od sposobu podziłu odcink [, b] punktmi x 0, x,..., x n i wyboru punktów pośrednich x i, to grnicę tę nzywmy cłką oznczoną Riemnn (mtemtyk niemiecki, (826-866)) funkcji f(x) w przedzile [, b] i oznczmy symbolem b f(x)dx. Liczby i b nzywmy, odpowiednio, dolną i górną grnicą cłkowni. Funkcję f(x) nzywmy funkcją podcłkową, przedził [, b] przedziłem cłkowni. Definicj 45. Funkcję f(x) nzywmy cłkowlną w sensie Riemnn w przedzile [, b], gdy istnieje jej cłk oznczon w przedzile [, b]. Uwg. Dodtkowo, jeżeli b <, to przyjmujemy orz b b f(x)dx = f(x)dx = 0. f(x)dx Twierdzenie 47. Kżd funkcj ciągł w przedzile [, b] jest w tym przedzile cłkowln. 2
Twierdzenie 48. Kżd funkcj ogrniczon w przedzile [, b] i mjąc w nim tylko skończoną liczbę punktów nieciągłości jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 49. Kżd funkcj monotoniczn i ogrniczon w przedzile [, b] jest w tym przedzile cłkowln. Twierdzenie 50. (o liniowości cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f(x) orz g(x) są cłkowlne w przedzile [, b], ( < b) orz k R, to prwdziwe są równości b [f(x) ± g(x)] dx = b b f(x)dx ± g(x)dx, b b [k f(x)]dx = k f(x)dx. Twierdzenie 5. (o ddytywności cłki względem przedziłu cłkowni) Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b] orz w przedziłch [, c] i [c, b] dl dowolnego c (, b), to b f(x)dx = c b f(x)dx + c f(x)dx. Twierdzenie 52. Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i nieujemn w tym przedzile, to b f(x)dx 0. Twierdzenie 53. Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i dodtni w tym przedzile, to b f(x)dx > 0. Cłk oznczon włsności Twierdzenie Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są cłkowlne w przedzile [, b], ( < b) i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi nierówność f(x) g(x), to b b f(x) g(x). 22
Twierdzenie 54. (o wrtości średniej dl cłki oznczonej) Jeżeli funkcj f(x) jest cłkowln w przedzile [, b], ( < b) i w cłym przedzile zchodzi równość m f(x) M, to istnieje liczb m < m 0 < M tk, że b f(x) = m 0 (b ). Jeżeli funkcj f(x) jest ciągł w przedzile [, b], < b równość m f(x) M, to m(b ) b f(x)dx M(b ). Co więcej, istnieje punkt c (, b) tki, że b f(x)dx = f(c)(b ). i w cłym przedzile zchodzi Twierdzenie 55. ( Newton-Leibniz) Jeżeli funkcj F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f ciągłej n przedzile [, b], to b f(x)dx = F (b) F (). Uwg 2. Liczbę F (b) F () zpisujemy krócej F (x) b. Przy obliczniu cłek oznczonych stosujemy więc zpis b f(x)dx = F (x) b = F (b) F (). Twierdzenie 56. ( o cłkowniu przez części dl cłki oznczonej) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) posidją ciągłe pochodne f (x) i g (x) w przedzile [, b], to b f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx. Twierdzenie 57. ( o cłkowniu przez podstwienie dl cłki oznczonej) Niech f(x) będzie funkcją ciągłą w przedzile [, b]. Jeśli funkcj x = ϕ(t) m ciągłą pochodną w przedzile [α, β] przy czym ϕ(α) =, ϕ(β) = b i zbiór jej wrtości zwrty jest w przedzile [, b], to zchodzi wzór b f(x)dx = β α f[ϕ(t)]ϕ (t)dt. 23
Twierdzenie 58. Jeżeli funkcj f(x) jest nieprzyst i cłkowln n przedzile [, ], to f(x)dx = 0. Twierdzenie 59. Jeżeli funkcj f(x) jest przyst i cłkowln n przedzile [, ], to f(x)dx = 2 0 f(x)dx. Rozwżmy funkcję f(x) ciągłą n przedzile domkniętym [, b] i przyjmującą wrtości nieujemne n tym przedzile. Pole obszru D (zwnego trpezem krzywoliniowym) ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest liczbowo równe cłce oznczonej D = b f(x)dx. Jeżeli funkcj f(x) ciągł n przedzile domkniętym [, b] przyjmuje w tym przedzile wrtości niedodtnie, to pole obszru D ogrniczonego prostymi x =, x = b, y = 0 (osią Ox) i krzywą y = f(x) jest równe b D = f(x)dx. 24
CAŁKA NIEWŁAŚCIWA Definicj 46. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile [, ) i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b] [, ),(b > ). Jeśli istnieje grnic lim b b f(x)dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą Riemn I rodzju funkcji f n przedzile [, ) i oznczmy symbolem Ztem W przypdku, gdy grnic lim f(x)dx. b b f(x)dx = lim b b f(x)dx. f(x)dx istnieje mówmy, że cłk jest zbieżn, funkcję f(x) nzywmy cłkowlną w przedzile nieskończonym [, ). Gdy grnic nie istnieje lub jest niewłściw, mówimy, że cłk jest rozbieżn. Definicj 47. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile (, b] i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b] (, b], (b > ). Jeśli istnieje grnic lim b f(x)dx, to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą Riemn I rodzju funkcji f n przedzile (, b] i oznczmy symbolem Ztem b b f(x)dx. f(x)dx = lim b f(x)dx. Definicj 48. Rozwżmy funkcję f(x) określoną n przedzile (, ) i cłkowlną w sensie Riemnn w kżdym przedzile domkniętym [, b], (b > ). Cłkę niewłściwą funkcji f(x) n przedzile (, ) definiujemy z pomocą równości f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. dl dowolnego R, zkłdjąc, że obie cłki po prwej stronie równości istnieją. Uwg 3. Powyższ definicj nie zleży od wyboru R. 25
ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK Twierdzenie 60. Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe w przedzile [, b], to pole obszru D ogrniczonego linimi y = f(x), y = g(x), x = orz x = b określone jest wzorem D = b g(x) f(x) dx. W szczególności, gdy f(x) g(x) dl x [, b], to pole obszru D jest równe D = b [g(x) f(x)]dx. Twierdzenie 6. Jeżeli funkcj f(x) m ciągłą pochodną w przedzile [, b], to długość łuku krzywej y = f(x) dl x [, b] określon jest wzorem L = b + [f (x)] 2 dx. 26
Twierdzenie 62. Objętość bryły powstłej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x) w przedzile [, b] jest równ b V = π [f(x)] 2 dx. Twierdzenie 63. Pole S powierzchni obrotowej powstłej w wyniku obrotu wokół osi Ox krzywej y = f(x) w przedzile [, b] jest równe b S = 2π f(x) + [f (x)] 2 dx. 27