. Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie.. Wykazać że zbiór A := {a Q : a > 0 a < } ie ma kresu górego w Q. Zadaie.3. Niech [A B] będzie przekrojem Dedekida. Wykazać że ) dowoly elemet zbioru A jest mioratą zboru B a dowoly elemet zbioru B jest majoratą zbioru A; ) zbiory A i B są ieskończoe; 3) istieje liczba k N taka że k A k B; 4) jeśli istieje max A to ie istieje mi B; 5) jeśli istieje mi B to mi B = sup A oraz mi B = maxa {mi B}); 6) jeśli istieje mi B oraz A := A {mi B} B := B \ {mi B} to [A B ] jest przekrojem Dedekida oraz ie istieje mi B. Zadaie.4. Niech a r Q r > 0. Wykazać że istieją p q Q takie że q p = r oraz p < a < q. Zadaie.5. Wykazać że Q+Q Q Q Q Q R\Q)+R\Q) R\Q) R\Q) R\Q) R\Q). Zadaie.6. Niech N a R + \ N a =. Wykazać że a / Q. Zadaie.7. Wykazać astępujące twierdzeia za pomocą idukcji matematyczej ) ) a + b) = a k b k a b R N. k k=0 ) + x) > + x 0 x > N >. 3) > N >. k k= 4) Jeśli x x... x > 0 x x x = to x + x + + x N przy czym rówość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy x = x = = x =. 5) k= /a k= a k a k k k= gdzie a k R >0 k =... N przy czym rówości zachodzą wtedy i tylko wtedy gdy a = a = = a. 6) k + k + + k = W k+ ) N k N gdzie W k jest wielomiaem stopia k o współczyikach wymierych. Zaleźć W k+ przyajmiej dla k = 3 4. Zadaie.8. Niech a b c d R b d > 0. Wykazać że a b < c d = a b < a + c b + d < c d. Zadaie.9. Korzystając z ierówości między średimi wykazać że + + + + 3 N. Zadaie.0. Wykazać że jeśli a a... a R N spełiają waruek a + a + + a = to a + a + + a. Zadaie.. Niech N a... a b... b R {a... a } = {b... b }. Wykazać że a + + a. b b Zadaie.. Czy 7 3 7 5 7 + 3 3 5 + 3 5 Q?
. Kresy liczby zespoloe Zadaie.. Niech A B R będą iepustymi zbiorami ograiczoymi z góry λ 0. Sprawdzić czy a) supa + B) = sup A + sup B b) supλ A) = λ sup A c) sup A = if A). Zadaie.. Wykazać że zbiory A := { k+ k : k N } { B := k+ k : k N k < } są ograiczoe oraz wyzaczyć ich kresy góry i doly. Zadaie.3. Daa iech będzie rodzia A ) N iepustych i ograiczoych od góry podzbiorów R A := N A B := {sup A : N}. Załóżmy że A. Wykazać że a) zbiór A jest ograiczoy od góry b) zbiór B jest ograiczoy od dołu c) sup A if B d) awet przy dodatkowym założeiu A + A N ie musi zachodzić rówość sup A = if B. Zadaie.4. W R wprowadzamy relację x < y : x y R x < y) x = y R {+ }) x R { } y = + ). Wykazać że jest to relacja spója i przechodia. Zadaie.5. Wykazać że odwzorowaie ϕ : R [ ] dae wzorem gdy x = x ϕx) := + x gdy x R gdy x = + jest ściśle rosącą bijekcją. Zadaie.6. Wykazać że trójka C + ) jest ciałem przy czym 0 0) jest elemetem eutralym dla dodawaia x y) = x y) 0) jest elemetem eutralym dla możeia oraz x y) = x/x + y ) y/x + y )) dla x y) 0 0). Zadaie.7. Niech w z C a := max{ Re z Im z }. Wykazać że a) z = z b) z = z z = Re z c) Re z = z + z)/ d) Im z = z z)/i) e) z = z f) z = zz g) w + z = w + z h) wz = wz i) /z = /z dla z 0 j) /z = / z dla z 0 k) wz = w z l) a z a m) z x + y ) w z w + z w + z o) w + z = w + z t 0 : w = tz.
3. Fukcje elemetare Zadaie 3.. Rozłożyć a czyiki ad R) i ad C wielomiay ) px) = x 5 x 4 + 64x 64 ) px) = x 4 x + 9 3) px) = x 4 + 4. Zadaie 3.. Rozłożyć a ułamki proste fukcje wymiere ad R) ) rx) = x4 3x x 4 4 ) rx) = x5 4x 4 x 4 + 4. Zadaie 3.3. Zbadać ijektywość i surjektywość fukcji 0 ) x x + [3/ + ) R x x + {x} R x gdzie x := max{k Z : k x} {x} := x x dla x R. Zadaie 3.4. Niech fx) := x + x x R. Wyzaczyć fr) wykazać że f : R fr) jest bijekcją i wyzaczyć f. Zadaie 3.5. Wykazać że fukcja f : R R daa wzorem { x+ fx) := x+ gdy x gdy x = jest bijekcją i wyzaczyć f. Zadaie 3.6. Wykazać że każdą fukcję R R moża przedstawić jako sumę fukcji parzystej i ieparzystej. Zadaie 3.7. Niech f : R R będzie fukcją ieparzystą i okresową o okresie s. Wykazać że fks/) = 0 k Z. Zadaie 3.8. Wykorzystując tożsamości si x + cos x = six + y) = si x cos y + cos x si y x y R wykazać wzory ) six y) = si x cos y cos x si y x y R ) si x = si x cos x x R 3) cosx ± y) = cos x cos y si x si y x y R 4) cos x = cos x si x = cos x = si x x R 5) tg x ctg x = x R \ {kπ/ : k Z} tg x ± tg y { π } 6) tgx ± y) = tg x tg y x y x + y R \ + kπ : k Z 7) tg x = tg x { π } tg x x x R \ + kπ : k Z 8) ctgx ± y) = ctg x ctg y ctg x ± ctg y 9) ctg x = ctg x ctg x x R \ { k π : k Z }. Zadaie 3.9. Wykazać astępujące związki ) arc si x + arc cos x = π x [ ]; ) arc cos x) + arc cos x = π x [ ]; 3) arc tg x + arc ctg x = π x R; 4) arc ctg x = arc tg x x > 0; x y x + y R \ {kπ : k Z} 5) arc ctg x = π + arc tg x x < 0; 6) arc tg + arc tg + arc tg 3 = π. 3
Zadaie 3.0. Fukcję sih : R R odp. cosh : R R) daą wzorem sih x := ex e x x R odp. cosh x := ex + e x x R) azywamy siusem hiperboliczym odp. cosiusem hiperboliczym). Fukcję tgh : R R odp. ctgh : R R) daą wzorem tgh x := sih x cosh x x R odp. ctgh x := cosh x sih x x R ) azywamy tagesem hiperboliczym odp. cotagesem hiperboliczym). Fukcje sih cosh tgh i ctgh azywamy fukcjami hiperboliczymi. ) Wykazać że fukcje sih tgh i ctgh są ieparzyste a fukcja cosh jest parzysta. ) Wykazać wzory a) cosh x sih x = b) sihx ± y) = sih x cosh y ± cosh x sih y w szczególości sih x = sih x cosh x) c) coshx ± y) = cosh x cosh y ± sih x sih y w szczególości cosh x = sih x + cosh x = sih x + = cosh x ). 3) Zbadać ijektywość i surjektywość fukcji hiperboliczych. 4) Wykazać że fukcje sih : R R cosh R+ : R + [ + ) tgh : R ) ctgh : R ) + ) są bijekcjami. Zadaie 3.. Fukcję odwrotą do fukcji sih : R R odp. cosh R+ : R + [ + )) ozaczamy ar sih : R R odp. ar cosh : [ + ) R + ) i azywamy area siusem hiperboliczym odp. area cosiusem hiperboliczym). Fukcję odwrotą do fukcji tgh : R ) odp. ctgh : R ) + )) ozaczamy ar tgh : ) R odp. ar ctgh : ) + ) R ) i azywamy area tagesem hiperboliczym odp. area cotagesem hiperboliczym). Fukcje ar sih ar cosh ar tgh i ar ctgh azywamy fukcjami area lub fukcjami polowymi. Wyrazić fukcje area za pomocą sumy różicy iloczyu ilorazu i złożeia fukcji potęgowych wykładiczych i logarytmiczych. Zadaie 3.. Narysować wykresy fukcji ) R x log x ) [ ] x siarc si x) 3) R x arc sisi x) 4) R x arc sicos x) 5) [ ] x cosarc si x) 6) R x tgarc tg x) 7) R \ {π/ + kπ : k Z} x arc tgtg x). 4
4. Ciągi liczbowe Zadaie 4.. Niech a ) = R będzie ciągiem takim że a =. Wykazać że pewie wyraz tego ciągu jest kresem dolym zbioru jego wyrazów. Zadaie 4.. Niech a ) = R będzie ciągiem ograiczoym. Wykazać że ciągi sup{a k : k }) = if{a k : k }) = są zbieże. Zadaie 4.3. Niech a b c d R będą takie że ad bc 0 c + d 0 dla dowolego N i iech a = a + b c + d N. Wykazać że istieje liczba 0 = 0 a b c d) N taka że ciąg a ) = 0 jest mootoiczy. Zadaie 4.4. Wykazać że ciąg a ) N gdzie a := a a := b > a a + := a + a + N jest ograiczoy ciąg a + ) N jest rosący ciąg a ) N jest malejący oraz że a = λ a + λ )b λ = ) ) N. 3 Zadaie 4.5. Naszkicować wykres fukcji fx) = x + 3 x x + x 3 x. + Zadaie 4.6. Wykazać że ze zbieżości ciągu a ) N C wyika zbieżość a ) N. Czy prawdziwa jest implikacja odwrota? Zadaie 4.7. Wykazać że ciąg a ) N C jest zbieży do a C wtedy i tylko wtedy gdy Re a ) N jest zbieży do Re a i Im a ) N jest zbieży do Im a. Zadaie 4.8. Ciąg a ) N R ma tę własość że jego podciągi a ) N a + ) N oraz a 3 ) N są zbieże. Wykazać zbieżość ciągu a ) N. Zadaie 4.9. Niech t [0 ] i iech x = y := t x + := t + x ) y + := t y ) N. Zbadać zbieżość ciągów x ) N i y ) N. Zadaie 4.0. Niech ciąg a ) N R będzie zbieży do a R \ Z. Wykazać że + a + a + + a ) = a. Zadaie 4.. Wykazać zbieżość ciągu a ) N oraz zaleźć jego graicę jeśli a = a + = + a N. Zadaie 4.. Niech a k R a > k > 0. Wykazać że Zadaie 4.3. Obliczyć a) b) c) + + + 3 3 + + 3 3 + ) 36 + 36 ) 3 + ) k a = 0. d) + x + x 4 x R )! e)! + k. Zadaie 4.4. Niech a ozacza liczbę zer a końcu liczby!. Wykazać że a = 4. k= 5
Zadaie 5.. Niech 5. Liczba e. Graice góra i dola a := + ) + N. Wykazać że ciąg a ) N jest malejący i ograiczoy od dołu oraz a = e. Zadaie 5.. Dla jakiego liczba e = daje przybliżeie e z błędem miejszym iż 0 00? Zadaie 5.3. Wykazać ierówości Zadaie 5.4. Niech A m := e ) <! < e + ) ) N. { + ) k : m + k m} B := m i iech α := mi B β := max B N. Zbadać zbieżość ciągów α ) N β ) N oraz wyzaczyć ich ewetuale graice. Zadaie 5.5. Obliczyć ke. Zadaie 5.6. Wyzaczyć graice górą i dolą ciągu x ) N jeśli k= m= a) x = ) + ) cos π 4 b) x = ) ) ). Zadaie 5.7. Zaleźć graice górą i dolą dla ciągu a ) N określoego wzorami Zadaie 5.8. Niech a ) N R. Wykazać że a := 0 a := a a + := + a N. if a = sup if a k) k N k A m sup a = if sup a k ). N Zadaie 5.9. Niech a ) N b ) N R spełiają waruek a b N. Wykazać że if a if b sup Zadaie 5.0. Niech a ) N b ) N R. Wykazać że a sup b. if a + if b if a + b ) if a + sup b if a + sup b sup a + b ) sup a + sup o ile żada suma ie jest postaci. Skostruować przykłady w których powyższe ierówości ie są rówościami. Zadaie 5.. Niech ciąg ograiczoy a = a ) N R spełia waruek a + a ) = 0. Wykazać że zbiór Sa) jest sigletoem lub przedziałem domkiętym. Zadaie 5.. Niech ciąg a ) N R spełia waruek Wykazać zbieżość ciągu a ) N. 0 a +m a a m m N. b 6
6. Przestrzeie metrycze Zadaie 6.. Zbadać które z poiższych fukcji są metrykami a R: d x y) := x y) d x y) := x y d 3 x y) := x y x y R. + x y Zadaie 6.. Wykazać że każdy otwarty podzbiór R jest sumą co ajwyżej przeliczalej rodziy parami rozłączych przedziałów otwartych. Zadaie 6.3. Czy zbiór Q jest otwarty odp. domkięty) w R? Zaleźć it Q Q itr \ Q) oraz R \ Q. Zadaie 6.4. Niech X będzie przestrzeią metryczą E X. Wykazać że X \ it E = X \ E. Czy itit E) = it E? Czy it E = E? Zadaie 6.5. Skostruować ograiczoy podzbiór R posiadający dokładie trzy pukty skupieia. Zadaie 6.6. Czy każdy pukt dowolego zbioru otwartego E R jest jego puktem skupieia? Odpowiedzieć a to samo pytaie dla domkiętych podzbiorów R. Zadaie 6.7. Niech X będzie przestrzeią metryczą E X. Wykazać że E = E E. Zadaie 6.8. Niech X będzie przestrzeią metryczą i iech E X. Wykazać że E jest domkięty oraz że E = E). Czy E = E )? Zadaie 6.9. Niech E będzie zbiorem wszystkich liczb x [0 ] dla których istieją rozwiięcia dziesięte zawierające tylko cyfry 4 i 7. Czy zbiór E jest gęsty w [0 ] domkięty doskoały? Zadaie 6.0. Czy istieje w R iepusty zbiór doskoały rozłączy z Q? Zadaie 6.. Wykazać że klasyczy zbiór Catora jest zbiorem doskoałym całkowicie iespójym. Zadaie 6.. Wykazać że z dowolego pokrycia otwartego zbioru {0} {/ : N } moża wybrać podpokrycie skończoe. Zadaie 6.3. Podać przykład otwartego pokrycia odcika 0 ) które ie posiada skończoego podpokrycia. Zadaie 6.4. Rozważmy zbiór Q jako przestrzeń metryczą z metryką euklidesową. Niech E := {p Q : < p < 3}. Wykazać że zbiór E jest domkięty i ograiczoy ale ie jest zwarty w Q. Czy E jest otwarty w Q? Zadaie 6.5. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą. Zbiory E F X azywamy oddzieloymi jeśli E F = E F =. ) Wykazać że dwa dowole iepuste rozłącze zbiory domkięte w X są oddzieloe. ) Wykazać że dwa dowole iepuste rozłącze zbiory otwarte w X są oddzieloe. 3) Niech p X δ > 0. Wykazać że zbiory Bp δ) X \ Bp δ) są oddzieloe. 4) Wykazać że przestrzeń X jest spója wtedy i tylko wtedy gdy ie jest sumą dwóch iepustych zbiorów oddzieloych. Zadaie 6.6. Niech zbiory U i V tworzą rozbicie przestrzei metryczej X tz. X = U V gdzie U i V są rozłączymi iepustymi zbiorami otwartymi) i iech E X będzie zbiorem spójym. Wykazać że E U lub E V. Zadaie 6.7. Niech X będzie przestrzeią metryczą i iech A będzie rodzią spójych podzbiorów X taką że A. Wykazać że zbiór A jest spójy. Zadaie 6.8. Niech X będzie przestrzeią metryczą i iech zbiór E X będzie spójy. Wykazać że jeśli E F E to zbiór F jest spójy. Zadaie 6.9. Czy domkięcia oraz wętrza zbiorów spójych są spóje? Zadaie 6.0. Niech X iech Y d) będzie przestrzeią metryczą. Wykazać że δf g) := sup{dfx) gx)) : x X} f g BX Y ) jest metryką a BX Y ). Poadto jeśli d jest metryką zupełą a Y to δ jest metryką zupełą a BX Y ). Zadaie 6.. Wykazać że przestrzeń metrycza X d) zupeła i całkowicie ograiczoa tz. dla dowolej liczby ε > 0 istieje skończoy zbiór S X taki że X s S Bs ε)) jest zwarta. 7
7. Fukcje ciągłe Zadaie 7.. Niech X Y będą przestrzeiami metryczymi f CX Y ) E X. Wykazać że fe) fe). Pokazać a przykładzie że ikluzja może być właściwa. Zadaie 7.. Niech X Y będą przestrzeiami metryczymi f g CX Y ) i iech E będzie zbiorem gęstym w X. Wykazać że fe) jest zbiorem gęstym w fx). Wykazać że jeśli f E = g E to f = g. Zadaie 7.3. Niech E R będzie zbiorem domkiętym f CE). Wykazać że istieje fukcja g CR) taka że f = g E. Pokazać a przykładzie że założeie o domkiętości zbioru E jest istote. Zadaie 7.4. Wykazać że fukcja Riemaa f : R [0 ] daa wzorem { 0 gdy x R \ Q fx) := gdy x Q x = m m Z N m ) = jest ciągła w puktach zbioru R \ Q ale ie jest ciągła w żadym pukcie zbioru Q. Zadaie 7.5. Zbadać ciągłość fukcji a) fx) = { x x x R x 3 gdy x Q b) fx) =. W R rozwiązać rówaie ffx)) =. x + gdy x R \ Q Zadaie 7.6. Obliczyć graice m N ) 9 + x 5 x m a) x 8 3 c) x x/ x x x 9 + x 5 d) b) 3 x arc si x x x/ x Zadaie 7.7. Wykazać że ie istieją graice a) si x b) x + e) x 0 cos x x f) x siπx) siπx 3 ) x 0 cos π x c) x + g) x cos x d) + si x x 0 ) x+ x x + 3 h) x 0 l cos x x. x + /x. Zadaie 7.8. Niech f x) := x+ + )x + x ) x < N i iech a := x f x) N fx) := f x). Obliczyć a i x fx). Zadaie 7.9. Niech f będzie fukcją jedostajie ciągłą a ograiczoym zbiorze E R. Wykazać że fukcja f jest ograiczoa. Pokazać a przykładzie że teza ie musi zachodzić jeśli zbiór E ie jest ograiczoy. Zadaie 7.0. Wyzaczyć asymptoty fukcji a) fx) = x + /x b) fx) = + x c) fx) = x + cos πx + x. Zadaie 7.. Wykazać że róża od stałej fukcja okresowa f CR) posiada okres podstawowy. Czy założeie o ciągłości fukcji jest istote? Zadaie 7.. Niech f g : R R będą fukcjami ciągłymi i okresowymi. Wykazać że jeśli to f = g. fx) gx)) = 0 x Zadaie 7.3. Wykazać że każda fukcja f CR) spełiająca rówaie jest postaci fx) = ax dla pewego a R. fx + y) = fx) + fy) x y R Zadaie 7.4. Niech f : R R będzie fukcją ciągłą w 0 i dodatkowo spełiającą waruek Wykazać że f jest fukcją stałą. fx) = f x ) x R. 8
8. Odwzorowaia jedostajie ciągłe lipschitzowskie hölderowskie Zadaie 8.. Zaleźć przykład odwzorowaia ciągłego które ie jest jedostajie ciągłe. Zadaie 8.. Zaleźć przykład odwzorowaia jedostajie ciągłego które ie jest lipschitzowskie. Zadaie 8.3. Niech X d X ) Y d Y ) będą przestrzeiami metryczymi i iech f : X Y. Wykazać że odwzorowaie f spełia waruek Höldera z wykładikiem α wtedy i tylko wtedy gdy { } dy fx) fy)) sup d X x y)) α : x y X x y < +. Zadaie 8.4. Zaleźć przykład odwzorowaia które spełia waruek Höldera z pewym wykładikiem α 0 ) ale ie jest lipschitzowskie. Zadaie 8.5. Wykazać że odwzorowaie hölderowskie jest jedostajie ciągłe. Zadaie 8.6. Zaleźć przykład odwzorowaia jedostajie ciągłego które dla dowolego α > 0 ie spełia waruku Höldera z wykładikiem α. Zadaie 8.7. Niech X Y będą przestrzeiami metryczymi X jest zwarta f : X Y. Wykazać że f CX Y ) wtedy i tylko wtedy gdy wykres fukcji f jest zwarty w X Y. Zadaie 8.8. Wykazać że ciągłe i otwarte odwzorowaie f : R R jest fukcją mootoiczą. Zadaie 8.9. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą K F X K F = K jest zwarty F jest domkięty. Wykazać że istieje liczba δ > 0 taka że dp q) > δ dla p K q F. Pokazać a przykładzie że teza ie musi zachodzić dla dwóch rozłączych zbiorów domkiętych z których żade ie jest zwarty. Zadaie 8.0. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą. Dla E X iech ϱ E x) := dx E) x X. Wykazać że a) ϱ E x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x E b) ϱ E jest jedostajie ciągła a X. Zadaie 8.. Niech X d) będzie przestrzeią metryczą A B X iech będą dwoma iepustymi rozłączymi zbiorami domkiętymi i iech fx) := ϱ A x) ϱ A x) + ϱ B x) x X. Wykazać że a) f CX [0 ]) b) fx) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy x A c) fx) = wtedy i tylko wtedy gdy x B d) V := f [0 /)) W := f / ]) są otwarte rozłącze i A V B W. Zadaie 8.. Niech f C[0 ] [0 ]). Wykazać że istieje pukt x [0 ] taki że fx) = x. Zadaie 8.3. Niech f CR) spełia waruek f0) = f00) = 08. Wykazać że istieje pukt a R taki że fa) = a. Zadaie 8.4. Niech f CR) i iech dla każdej liczby x R istieje liczba N taka że Wykazać że f) =. f x) := f f)x) =. }{{} Zadaie 8.5. Czy istieje ieciągła fukcja f : R R taka że dla dowolego przedziału P fukcja f P ma własość Darboux? 9
9. Pochode twierdzeia o wartości średiej ekstrema lokale Zadaie 9.. Sprawdzić różiczkowalość i obliczyć pochode fukcji cyklometryczych. Zadaie 9.. Wykazać różiczkowalość i obliczyć pochode fukcji hiperboliczych i area tz. odwrotych do hiperboliczych). Zadaie 9.3. Niech P będzie dowolym iepustym przedziałem otwartym i iech f DP R >0 ) g DP ). Wykazać że f g DP ) oraz obliczyć jej pochodą i pochodą fukcji fx) = x xx x > 0. Zadaie 9.4. Dla jakich wartości parametru a R fukcja { a gdy x Q fx) := x + ax + a gdy x R \ Q jest różiczkowala w przyajmiej jedym pukcie? Zadaie 9.5. Wykazać że dla asteroidy x /3 + y /3 = a /3 a > 0 długość odcika styczej zawartego pomiędzy osiami układu współrzędych jest stała. Zadaie 9.6. Wykazać że jeśli A R oraz f : A R ma pochode jedostroe w pukcie a A to f jest ciągła w pukcie a. Zadaie 9.7. Niech P R będzie przedziałem i iech f : P R. Wykazać że jeśli odwzorowaie f spełia waruek Höldera z wykładikiem α > to jest stałe. Zadaie 9.8. Wykazać że jeśli liczby a 0 a... a R spełiają rówość a 0 + a + a 3 + + a + = 0 to rówaie a 0 + a x + + a x = 0 ma co ajmiej jedo rozwiązaie x 0 ). Zadaie 9.9. Dae iech będą liczby a 0 < a < < a. Wykazać że rówaie = 0 x a j ma dokładie rozwiązań rzeczywistych. j=0 Zadaie 9.0. Niech f DR >0 ). Sprawdzić czy zachodzą implikacje i)= ii) ii)= i) jeśli i) fx) = + ii) f x) = +. x x Zadaie 9.. Niech a b R a < b f g C[a b]) Da b)). Wykazać że istieje pukt ξ a b) taki że fb) fa))g ξ) = gb) ga))f ξ). Zadaie 9.. Niech f DR) fx)f x) 0 x R. Wykazać że fukcja f jest mootoicza. Zadaie 9.3. Niech f C R) x f x)f x) =. Wykazać że fukcja f przyjmuje wartość ajwiększą lub wartość ajmiejszą. Zadaie 9.4. Niech f CR + ) DR >0 ) f0) = 0 f jest silie rosąca. Wykazać że fukcja gx) := x fx) x R >0 jest silie rosąca. Zadaie 9.5. Wyzaczyć przedziały mootoiczości fukcji fx) = l + x 4 ) l + x ). Zadaie 9.6. Wykazać że a) cos x x x 0 π ) b) p xp + q yq xy x y > 0 p q > 0 p + q = c) x arc tg x + > πx x R. Zadaie 9.7. Wyzaczyć wartości parametrów rzeczywistych a i b jeśli wiadomo że fukcja ax + b fx) = x R \ { 4} x )x 4) osiąga w pukcie x = ekstremum lokale rówe. Rozstrzygąć czy jest to maksimum czy miimum. 0
0. Szeregi liczbowe bezwzględie zbieże Zadaie 0.. Zapisać w postaci ułamka zwykłego liczby 0 9) 45) i 099). Zadaie 0.. Zbadać zbieżość szeregów i wyzaczyć sumę szeregów zbieżych a ) = R będzie ciągiem arytmetyczym o iezerowej różicy) a) b) = = c) d) a a + l + ) = = e) f) = l ) + ). Zadaie 0.3. Wyzaczyć szereg oraz jego sumę jeśli jego -ta suma częściowa ma postać ) s = + ) s = 3) s = ) 4) s = arc tg. Zadaie 0.4. Wykazać rozbieżość szeregu + 3 + 4 + 5 6 + 7 + 8 9 +.... Zadaie 0.5. Podać przykład szeregu zbieżego odp. rozbieżego) którego zbieżość odp. rozbieżość) wyika z kryterium Cauchy ego a jedocześie kryterium d Alemberta ie rozstrzyga o tym czy day szereg jest zbieży czy ie. Zadaie 0.6. Zbadać zbieżość szeregów k N p q R >0 a 0 ) x R z C) a) b) c) d) e) tg = + 3 3 + = 5 3 + 7 = π si π 3 = + = f) g) h) i) j) + ) = = + ) = = =!) k k)! k) l) m) ) o) l cos p q p l q a = = = = = 3 + ) ) 3 t) = p) q) r) s)!) )! 4)! ) +)!!! + + x ) x x z k. = = = = = k= Zadaie 0.7. Niech z C Re z 0. Wykazać że jeśli szeregi = z = z są zbieże to zbieże są także szeregi = z = z /. Zadaie 0.8. Niech a := a := + N. Wyzaczyć sup a + /a oraz zbadać zbieżość i ewetualie podać sumę) szeregu = a. Zadaie 0.9. Niech a ) = R. Wykazać że przyajmiej jede z szeregów = si a = cos a jest rozbieży. Zadaie 0.0. Niech a > 0 s = a + + a i iech szereg = a jest rozbieży. a) Wykazać że szereg = a / + a ) jest rozbieży. b) Wykazać że 0.) a + + + a +k s k N s + s +k s +k i wywioskować stąd że szereg = a /s jest rozbieży. c) Wykazać że 0.) a s s s N i wywioskować stąd że szereg = a /s jest zbieży. d) Co moża powiedzieć o zbieżości szeregów = a / + a ) i = a / + a )?