OCENA POPYTU POPYT POJĘCIA WSTĘPNE Defiicja: Pop o ilość dobra, jaką abwc goowi są zakupić prz różch poziomach ce. Deermia popu: (a) Cea daego dobra (b) Ilość i ce dóbr subsucjch (zw. kokurecjch) (c) Ilość i ce dóbr komplemearch (d) Dochód (e) Podział dochodu (f) Gus (g) Przewidwae zmia ce (h) Ie Prawo popu: Pop jes ujemą fukcją ce. Krzwa popu: Cea Pop Ilość /5
Każde przedsiębiorswo pragie zać asępujące iformacje doczące popu a swój produk: Kóre cziki i w jakim sopiu wpłwają (będą wpłwać) a sprzedawa produk? Ile będzie wosił pop a sprzedawa produk w różch okresach przszłości: juro, za miesiąc, za kwarał, za rok, za 5 la? W iiejszm rozdziale auczm się umieć formułować profesjoale odpowiedzi a powższe paia. Do ego celu wkorzsam zaą powszechie meodę: aalizę regresji. /5
ANALIZA REGRESJI Aaliza regresji o meoda sascza, kóra pozwala określić ilościową zależość daej zmieej ekoomiczej od jedej lub większej liczb zmiech iezależch. Peła procedura regresji obejmuje kilka kroków: Zbieraie dach o badach zmiech (o popcie oraz o czikach a iego wpłwającch) Wbór zmiech wpłwającch a pop Wbór posaci rówaia opisującego zależość międz zmiemi Szacowaie współczików rówaia popu Ocea dokładości (dopasowaia) rówaia Przeprowadzeie progoz i ocea dokładości progoz 3/5
ZBIERANIE DANYCH O BADANYCH ZMIENNYCH Skąd wziąć iformacje a ema popu i jego deermia? Jes kilka sposobów:. Hisorcze dae sascze Hisorcze dae sascze o dae, kóre już isieją i kóre lko musim pobrać z jakiegoś źródła (p. z Główego Urzędu Sasczego, Narodowego Baku Polskiego, cz eż z archiwum własej firm). Tego pu dae o dae liczbowe doczące saski gospodarczej kraju, jak rówież dae doczące hisorii aszej działalości. Przkładem akich dach jes poiższe zesawieie: Kwarał () () (3) (4) (5) Cea (zł) Wdaki a Przecięe PKB (mld zł) reklamę (zł) dochod Wielkość sprzedaż (s. szuk) ludości (zł) Kw. I, 5,, 8 Kw. II 976, 5,, 9 Kw. III 3456,5 4, 5, 7 Kw. IV 3, 4, 5, 85 Dae z kolum () (3) pochodzą z archiwum aszego przedsiębiorswa, aomias źródłem dach w kolumach (4) (5) jes oficjala saska gospodarcza. 4/5
. Wwiad i badaia akieowe Przedsiębiorswo przeprowadzając wwiad i badaia akieowe wśród obecch i poecjalch klieów może uzskać wiele cech iformacji o popcie a swój produk. Wwiad i badaia akieowe moża przeprowadzać bezpośredio, elefoiczie lub drogą lisową. Przkład pań: Ile szuk aszego produku plauje Pa/Pai abć w: ajbliższm godiu? ajbliższm miesiącu? ajbliższm roku? Jak zareagował(a)b Pa/Pai a -proceową podwżkę ce? Cz przeprowadzae przez as promocje mają wpłw a Paa/Pai deczje doczące zakupów? Jeżeli ak, o kóre z promocji uważa Pa/Pai za ajlepsze? Cz kupuje Pa/Pai aalogicze wrob firm kokurecjch? Kóre cech aszego produku uważa Pa/Pai za ajważiejsze? Cz asz produk jes ławo dosęp a rku cz eż są rudości w jego abciu? Dae jakościowe w akieach moża przeklasfikować a dae ilościowe, p: Cz reklam aszej firm są Paa/Pai zdaiem:! bardzo dobre? 3! dobre?! średie?! złe? W akieach i wwiadach ależ uikać pań pu: Ile wiosł Paa/Pai dochod w zeszłm miesiącu? Jaki zsk osiągęła Paa/Pai firma w zeszłm roku? 5/5
3. Korolowae badaia rku Korolowae badaia rku polegają a wpowaiu kilku podobch rków i sprzedawaiu a ich daego wrobu prz różch warościach kluczowch zmiech deczjch. Na przkład, przedsiębiorswo wprowadza e sam produk w czerech różch miasach, usalając w każdm z mias ie ce i ie wdaki a reklamę. Miaso (rek) Cea Wdaki a reklamę a poszczególch rkach Gdańsk Niska (p. 9 zł) Małe (p. 3 zł) Kraków Niska (p. 9 zł) Duże (p. 6 zł) Szczeci Wsoka (p. zł) Małe (p. 3 zł) Wrocław Wsoka (p. zł) Duże (p. 6 zł) Na ej podsawie moża określić wpłw ce i wdaków a reklamę a wielkość sprzedaż. Uwaga: Poszczególe rki wbrae do korolowach badań rkowch powi bć w miarę jedakowe ak, żeb ie cziki wpłwające a pop bł a wszskich rkach akie same. Moża akże wbrać jede rek i zmieiać w kolejch okresach warości ieresującch as zmiech wpłwającch a pop: Miaso (rek) Okres (p. miesiąc, kwarał) Cea Wdaki a reklamę Warszawa Wsoka (p. zł) Małe (p. 3 zł) Warszawa Niska (p. 9 zł) Małe (p. 3 zł) Warszawa 3 Wsoka (p. zł) Duże (p. 6 zł) Warszawa 4 Niska (p. 9 zł) Duże (p. 6 zł) 6/5
WYBÓR ZMIENNYCH WPŁYWAJĄCYCH NA POPYT Na m eapie musim określić, kóre zmiee przjmujem za deermia popu a asz produk. Jes wiele meod doboru zmiech objaśiającch do modelu ekoomerczego, m. i.: meoda Hellwiga, meoda Barosiewicz, meoda od ogółu do szczegółu, meoda od szczegółu do ogółu. W dalszej części opiszem jedą z ich, a miaowicie meodę Hellwiga. Nie jes koiecze sosowaie meod doboru zmiech objaśiającch do modelu. Wboru zmiech wpłwającch a pop moża akże dokoać iuicjie. Nieważe cz posługujem się profesjoalmi meodami doboru zmiech cz iuicją, prz wborze zmiech objaśiającch ależ pamięać o jedej bardzo ważej rzecz: ZMIENNE OBJAŚNIAJĄCE MUSZĄ MIEĆ ZWIĄZEK EKONOMICZNY I LOGICZNY ZE ZMIENNĄ OBJAŚNIANĄ. Na przkład, ie moża badać wielkości popu a gaze od liczb koów wsępującch w Polsce. 7/5
Gd ie użwam profesjoalch meod doboru zmiech objaśiającch, wbór akich zmiech powiie asąpić według zasad: Zmiee objaśiające muszą bć geeralie dobrze skorelowae ze zmieą objaśiaą. Moża o sprawdzić a wkresie lub licząc współcziki korelacji. Przkład: Zebrao dae a ema popu a dobro X oraz dae a ema ce dwóch ich dóbr: zzz i Y w pięciu różch okresach. Dobro zzz jes dobrem komplemearm w sosuku do dobra X. Dobro Y raczej ie jes uważae za dobro komplemeare ai subsucje w sosuku do dobra X, jedak przpuszczam, że cea dobra Y może wpłwać z jakichś ich powodów a pop a dobro X. Okres (p. dzień, miesiąc, rok) Pop a dobro X Cea dobra zzz Cea dobra Y Poiedziałek Sczeń 998 8 Worek Lu 999 7 Środa Marzec 9 8 Czwarek Kwiecień 5 8 7 Piąek Maj 6 8 4 Kóre z dwóch zmiech: cea dobra zzz i cea dobra Y moża umieścić w zbiorze zmiech objaśiającch pop a dobro X i wkorzsać w rówaiu regresji? 8/5
Poiższe wkres pokazują rozkład puków odpowiadającch popowi a dobro X oraz ceie dobra zzz lub Y. 9 8 7 6 Cea zzz Pop a X 5 5 6 4 8 6 4 Cea Y Pop a X 5 5 Obliczm akże współcziki korelacji międz popem a dobro X a ceami dóbr zzz i Y. Wzór a współczik korelacji pomiędz zmieą i jes asępując: r cov (, ) r [] SS gdzie: r współczik korelacji międz zmieą i, cov(,) kowariacja międz zmieą i, S, S odchleie sadardowe zmieej i. Współczik korelacji przjmuje warości z przedziału [ ;+]: r lub r zależość całkowia r brak zależości r < zależość ujema r > zależość dodaia 9/5
Kowariację pomiędz dwiema zmiemi i obliczam według wzoru: (, ) ( )( ) cov [] gdzie: liczba obserwacji, umer okresu (obserwacji), i warości zmieej i dla obserwacji, i średia zmieej i. Średią zmieej obliczam według wzoru: [3] Wariację zmieej obliczam według wzoru: S ( ) [4] Odchleie sadardowe zmieej o pierwiasek kwadraow z wariacji: S S [5] /5
Wróćm do aszego przkładu. Ozaczm zmiee smbolami: pop a dobro X, z cea dobra zzz, cea dobra Y. Obliczm dla aszch zmiech miar [] [5]. Zaczam od średiej: z 5 9,, ( 8 + 7 + + 5 + 6), 6 Teraz kolej a wariację: S S 5 3,4 S z,8 S 6, [( 8,6) + ( 7,6) + (,6 ) + ( 5,6 ) + ( 6,6 ) ] I asępie odchleie sadardowe: S S z S 3,6,89,45 /5
Teraz liczm kowariację: cov(, z) [( 8,6 )( 9) + ( 7,6)( 9) + (,6 )( 9 9) + 5 + 5,6 8 9 + 6,6 8 9 3, ( )( ) ( )( )] (, ), 4 ( z, ), cov cov I a końcu współcziki korelacji międz zmiemi: 3, r z, 3,6,89 a pomijając wszskie dochczasowe zaokrągleia: r, 99 r r z,5, z WNIOSEK: Aaliza wkresów ze sro 9 oraz obliczoe współcziki korelacji mówią, że jedie zmieą: cea dobra zzz moża umieścić w zbiorze zmiech objaśiającch pop a dobro X i wkorzsać w rówaiu regresji. Zmiea a jes bardzo dobrze skorelowaa ze zmieą: pop a dobro X współczik korelacji wosi,99 (dobrą korelację powierdza akże rozkład puków a wkresie). Zmieej: cea dobra Y ie ależ umieszczać w zbiorze zmiech objaśiającch pop a dobro X. Zmiea a ie jes bowiem w ogóle skorelowaa ze zmieą: pop a dobro X współczik korelacji wosi (brak korelacji jes widocz akże a wkresie). /5
WSPÓŁLINIOWOŚĆ Współliiowość wsępuje wed, gd zmiee objaśiające są ze sobą wzajemie skorelowae, z. zmieiają się rówolegle. Na przkład, ze zjawiskiem współliiowości mielibśm do czieia wówczas, gdb prz szacowaiu rówaia popu zmiemi objaśiającmi bł: cea produku i wielkość wdaków a reklamę, oraz okazałob się, że ilekroć firma przeprowadzała kampaię reklamową, o obiżała rówocześie ceę produku. Po zakończeiu kampaii reklamowej firma podwższała ceę. W akich okoliczościach ie jeseśm w saie swierdzić, cz zwiększoa sprzedaż w okresach kampaii reklamowch jes wikiem obiżaia ce cz zwiększaia wdaków a reklamę. Dokłada współliiowość zmiech (wsępująca wed, kied współczik korelacji międz zmiemi objaśiającmi jes rów ) w ogóle uiemożliwia oszacowaie rówaia regresji meodą ajmiejszch kwadraów. Tes pozwalające zbadać zjawisko współliiowości: Tes opar a cziku iflacji wariacji Tes Farrara-Glaubera 3/5
METODA HELLWIGA DOBORU ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH Meoda Hellwiga służ do zalezieia spośród wszskich kaddaek a zmiee objaśiające ajlepszego podzbioru zmiech objaśiającch. Niech ozacza zmieą objaśiaą modelu ekoomerczego, zaś,, wszskie kaddaki a zmiee objaśiające. W aszm przpadku: pop a dobro X, cea dobra zzz, cea dobra Y,. Niech r ij ozacza współczik korelacji pomiędz zmieą i oraz j (i,j,,), zaś r j współczik korelacji pomiędz zmieą j a zmieą objaśiaą (j,,). W aszm przpadku: r, r, r r, r,99 r,5 Współcziki korelacji moża eż zapisać w formie macierzowej:,,, R [ ] R [ ] r ij, r j,99,5 Macierz R zawiera współcziki korelacji międz zmiemi i oraz j, zaś macierz R zawiera współcziki korelacji międz zmieą j oraz zmieą. 4/5
Rozparujem wszskie iepuse kombiacje kaddaek a zmiee objaśiające. Kombiacji akich będzie. W aszm przpadku: ( 3) Numer kombiacji (s) Zmiee 3, Zbiór umerów zmiech worzącch s-ą kombiację ozaczm przez C s. W aszm przpadku: C {} C {} C 3 {,} Dla każdej kombiacji s obliczam idwidualą pojemość iformacją zmieej j wchodzącej w skład daej kombiacji według wzoru: h sj i r C s j r ij [6] W aszm przpadku: Dla s :! Dla zmieej : h {} (,99) r r i, i,98 5/5
Dla s :! Dla zmieej : h {} (,5) r r i, i,5 Dla s 3:! Dla zmieej :! Dla zmieej : h h {,} (,99) r 3 r i, +, i {,} (,5) r 3 r i, +, i,98,5 Dla każdej kombiacji s obliczam iegralą pojemość iformacją według wzoru: W aszm przpadku: Dla s : H Dla s : H Dla s 3: H h j h j {} h j h j {} {,} H [7] s h sj j C s,98,5 3 h3 j h3 + h3 j,986 6/5
Najlepszm zbiorem zmiech objaśiającch są zmiee ależące do akiego podzbioru, dla kórego iegrala pojemość iformacja jes ajwiększa. W aszm przpadku ajwiększą iegralą pojemość iformacją (rówą,986) ma podzbiór, w skład kórego wchodzą zmiee oraz. Wiosek: Przjmując jako krerium doboru zmiech objaśiającch meodę Hellwiga, w szacowam modelu ekoomerczm zmiemi objaśiającmi powi bć zmiee oraz. Należ jedak pamięać, że meod doboru zmiech objaśiającch jes wiele i żada z ich ie zosała przjęa jako uiwersal sadard. Wiki uzskae meodą Hellwiga mogą się zaczie różić od wików uzskach imi meodami. Zadaiem ekoomerka jes wbraie akich zmiech, kóre będą ekoomiczie uzasadioe i spowodują, że model ekoomercz będzie miał dobre własości sascze. Meod doboru zmiech objaśiającch uławiają wbór, jedak osaecze zdaie co do składu zmiech objaśiającch w modelu ależ do dobrego meedżera/aalika. 7/5
WYBÓR POSTACI RÓWNANIA OPISUJĄCEGO ZALEŻNOŚĆ MIĘDZY ZMIENNYMI Kolej eap saowi usaleie zależości międz zmieą objaśiaą () a zmiemi objaśiającmi (). Od ego będzie zależała specfikacja rówaia regresji. Pomoce w usaleiu zależości międz zmiemi jes sporządzeie wkresu przedsawiającego pukow rozkład kolejch obserwacji, a asępie wkreśleie krzwej ajlepiej dopasowaej do poszczególch obserwacji (liii redu). Od kszału ej krzwej będzie zależała specfikacja rówaia regresji. 8/5
Podsawowe rodzaje zależości są asępujące: ZALEŻNOŚĆ LINIOWA Rozkład poszczególch obserwacji układa się w liię prosą. Przkładowe obserwacje, wkres oraz liia redu: 5 3 5 4 7 5 3 6 35 7 34 8 39 9 43 47 5 45 4 35 3 5 5 5 3,33 + 3,333 3 4 5 6 7 8 9 Ogóla posać akiego rówaia może bć asępująca: + + + + 3 3 Przkładowe rówaia szacuku fukcji popu: Q + P Q + P + P k + 3 Y Q pop a produk daego przedsiębiorswa P cea dobra w m przedsiębiorswie P k cea dobra w kokurecjej firmie Y dochód real abwców 9/5
ZALEŻNOŚĆ KWADRATOWA Rozkład obserwacji układa się w parabolę. Przkładowe obserwacje, wkres oraz liia redu: 5 7 3 7 4 8 5 6 7 5 8 9 3 4 45 4 35 3 5 5 5,688-3,4439 +,33 3 4 5 6 7 8 9 Ogóla posać akiego rówaia może bć asępująca: + + + + + 3 + 4 Przkładowe rówaia szacuku fukcji popu: Q + P + P Q + P + P + 3 P k + 4 P k /5
ZALEŻNOŚĆ WYKŁADNICZA Rozkład obserwacji przpomia fukcję wkładiczą. Przkładowe obserwacje, wkres oraz liia redu: 5 7 3 7 4 8 5 6 7 5 8 9 3 4 45 4 35 3 5 5 5 3,6839e,9 3 4 5 6 7 8 9 Ogóla posać akiego rówaia może bć asępująca: e Rówaie akie po zlogarmowaiu możem szacować za pomocą rówaia regresji liiowej: l l + le, czli: z + gdzie z l oraz l Przkładowe rówaia szacuku fukcji popu: Q e P /5
ZALEŻNOŚĆ ZAKŁADAJĄCA STAŁE ELASTYCZNOŚCI Gd rówaie popu szacujem ą meodą, zakładam, że elasczość popu względem poszczególch zmiech jes sała. Przkładowe obserwacje, wkres oraz liia redu: 5 3 5 4 7 5 3 6 35 7 34 8 39 9 43 47 5 45 4 35 3 5 5 5 4,499,479 3 4 5 6 7 8 9 Ogóla posać akiego rówaia może bć asępująca: 3 3 4 4 Rówaie akie po zlogarmowaiu możem szacować za pomocą rówaia regresji liiowej: Na przkład: l l + l + l + 3 l 3 + 4 l 4, czli: z 5 + w + w + 3 w 3 + 4 w 4 gdzie z l; 5 l ; w l w 4 l 4 Przkładowe rówaia szacuku fukcji popu: Q P Q P P k Y 3 /5
Pokażem eraz, dlaczego dla rówaia określoego wzorem Q P P k Y 3 elasczość popu względem poszczególch zmiech jes sała. Wzór a prosą ceową elasczość popu jes asępując: Q P Q P ε : ε Q P P Q Gd przechodzim a przros ieskończeie małe, del ( ) zamieiają się a różiczki (d): ε dq dp Skadik dq/dp w powższm rówaiu jes pochodą fukcji popu po ceie. Dla fukcji popu Q P P k Y 3 mam: dq dp P P Q Q 3 3 Pk Y P Pk Y P P Po podsawieiu do wzoru a elasczość uzskujem: ε Q P cos. P Q Jak widać, prosa ceowa elasczość popu jes sała i rówa poędze sojącej prz zmieej P. W e sam sposób moża wkazać, że elasczość popu względem każdej zmieej jes sała i rówa poędze sojącej prz odpowiediej zmieej w rówaiu regresji. Na przkład, elasczość dochodowa popu ε D wosi: Q Y dq Y ε D : L 3 Q Y dy Q 3/5
SZACOWANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW RÓWNANIA POPYTU Model ekoomercz ma asępującą posać: gdzie: zmiea objaśiaa; zmiea objaśiająca;, paramer modelu; ε składik losow. + + ε [8] Celem jes zalezieie szacuków iezach paramerów modelu: i. Po oszacowaiu paramerów rówaie regresji liiowej będzie miało asępującą posać: + [9] gdzie: ŷ warości eorecze zmieej objaśiaej ;, esmaor iezach paramerów i. Paramer i rówaia regresji będziem szacować sosując meodę ajmiejszch kwadraów (MNK). Opiszem eraz w skrócie meodę ajmiejszch kwadraów skupiając uwagę a prakczm jej zasosowaiu i pomijając wiele szczegółowch kwesii sasczo-ekoomerczch. 4/5
Przkład: Wróćm do aszch dach a ema popu a dobro X. Doróbm kolumę, kóra będzie przedsawiała ceę dobra X. Okres (p. dzień, miesiąc, rok) Pop a dobro X Cea dobra X Poiedziałek Sczeń 998 8 6 Worek Lu 999 7 7 Środa Marzec 5 Czwarek Kwiecień 5 3 Piąek Maj 6 Wkorzsam eraz aalizę regresji do zalezieia rówaia popu a dobro X. Załóżm, że jedą zmieą wpłwającą a pop jes cea dobra X. Rówaie popu wgląda asępująco: Q + + ε P [] Pop a dobro X (Q ) jes zmieą objaśiaą ( ), zaś cea dobra X (P ) jes zmieą objaśiającą ( ). Poiższa abela oraz rsuek pokazują obserwacje zmieej objaśiaej oraz zmieej objaśiającej: P ( ) Q ( ) 6 8 7 7 5 3 5 6 Q ( ) 8 6 4 8 6 P ( ) 3 4 5 6 7 8 5/5
Pokażem eraz, jak zaleźć i czm się charakerzują esmaor paramerów i uzskae meodą ajmiejszch kwadraów. Po obliczeiu esmaorów paramerów i będziem mogli przedsawić asze oszacowaie fukcji popu: Q + P [] W dalszej części będziem posługiwać się ozaczeiami ogólmi i, jeśli chodzi o zmieą objaśiaą i objaśiającą, a ie ozaczeiami doczącmi ego kokreego przkładu Q i P. 6/5
Warości eorecze zmieej objaśiaej uzskae z rówaia regresji saowią pewe bardzo dobre dopasowaie do warości rzeczwisch. Czm jedak dopasowaie uzskae za pomocą regresji liiowej i meod ajmiejszch kwadraów różi się od dowolego dopasowaia uzskaego a oko? Przjmijm losowo warości esmaorów paramerów i ak, żeb warości eorecze pokrwał się miej więcej z warościami empirczmi. Esmaor paramerów i mogą mieć a przkład asępujące warości: oraz Warości eorecze zmieej objaśiaej obliczam wówczas asępująco: + Jak widać a podsawie poiższego rsuku, liia prosa łącząca warości eorecze uzskae a podsawie dobrach a oko esmaorów iezach paramerów jes dość dobrze dopasowaa do dach empirczch: Q ( ) 8 6 4 8 6 P ( ) 3 4 5 6 7 8 7/5
Obliczm eraz dla każdej obserwacji reszę (e ), z. różicę międz warością empirczą a warością eoreczą zmieej objaśiaej: e a asępie obliczm sumę kwadraów resz (iaczej sumę kwadraów błędów) (ag. SSE sum of squared errors): SSE e ( ) W m celu sporządzam asępującą abelkę: e ( ) e 6 8 9 7 7 7 5 3 5 5 6 7 5 SSE e 3 Jak widać, suma kwadraów resz (SSE) dla esmaorów rówch odpowiedio i wosi 3: SSE 5 e + + + + 3 Esmaor uzskae MNK charakerzują się m, że uzskaa suma kwadraów resz jes ajmiejsza. Imi słow, esmaor uzskae MNK miimalizują sumę kwadraów odchleń warości empirczch od warości eoreczch zmieej objaśiaej. Nie isieje żada ia prosa iż a uzskaa MNK, dla kórej suma kwadraów resz błab miejsza. A zaem SSE dla esmaorów MNK powio bć miejsze iż 3. 8/5
Jak wobec ego uzskać esmaor MNK? Dla rówaia regresji liiowej obejmującego jedą zmieą objaśiającą esmaor MNK obliczam według wzorów: cov (, ) [] S [3] Wzor e zaraz wprowadzim. Poieważ esmaor iezach paramerów i miimalizują sumę kwadraów resz (SSE), fukcja celu jes asępująca: SSE ( ) mi Uwzględiając [9], fukcję celu moża zapisać asępująco: ( ) mi Żeb zaleźć eksremum fukcji, ależ obliczć odpowiedie pochode i przrówać je do zera. Zmiemi w aszm przpadku są: i. Zmiee e muszą przbrać akie warości, żeb cała fukcja osiągęła miimum. 9/5
3/5 Waruki pierwszego rzędu są zaem asępujące: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Powższe waruki moża zapisać asępująco: ( ) oraz ( ) ( ) Upraszczając jeszcze bardziej, uzskujem asępujące waruki pierwszego rzędu: ( ) oraz ( ) Powższe waruki pierwszego rzędu powi zosać jeszcze uzupełioe warukami drugiego rzędu (drugie pochode), żeb powierdzić że opmale rozwiązaie miimalizuje fukcję celu, a ie p. maksmalizuje. Waruków drugiego rzędu ie będziem jedak przedsawiać. Z pierwszego z waruków orzmujem: co po przekszałceiu możem zapisać jako: Powższ wzór a esmaor jes dokładie aki sam, jak we wzorze [3], co chcieliśm udowodić.
3/5 Z drugiego z waruków orzmujem: Podsawiając wzór [3] do powższego rówaia mam: + Możąc wszsko przez i przeosząc wrażeia zawierające a jedą sroę uzskujem: co po przekszałceiu możem zapisać jako: [4] Powższ wzór a esmaor jes dokładie aki sam, jak pierwsza część wzoru [], co chcieliśm udowodić.
3/5 Esmaor moża akże obliczć korzsając z drugiej części wzoru []: ( ), cov S [5] Obie meod prowadzą do ego samego wiku. Ab udowodić rówoważość wzorów [4] i [5], przekszałcim ajpierw wzór a kowariację, wchodząc z rówaia []: ( ) ( )( ) ( ) +, cov + + a asępie wzór a wariację, wchodząc z rówaia [4]: ( ) ( ) + S + +
33/5 Podsawiając przekszałcoe wzor a kowariację i wariację do wzoru [5] a esmaor orzmujem: ( ), cov S Wciągając w licziku i miaowiku (/ ) przed awias mam: co po uproszczeiu przekszałca się do: Powższ wzór jes dokładie aki sam jak wzór [4], co chcieliśm udowodić. A zaem, wkazaliśm, że oba wzor a esmaor (dae rówaiem [] lub rówoważmi rówaiami [4] i [5]) są prawdziwe.
Obliczm eraz warości esmaorów MNK dla aszego przkładu, w kórm szacujem fukcję popu a dobro X. Żeb wkorzsać wzór [4]: a esmaor, wgodie jes sporządzić asępującą ablicę: 5 6 8 48 36 7 7 49 49 5 6 5 3 5 45 9 6 3 4 3 58 34 3 5 5 5 Po sporządzeiu akiej ablic uzskujem przez podsawieie do wzoru esmaor obliczo za pomocą MNK: 3 58 5 34 334 7 3 5 3 59 65 34/5 64 86,96977 Te sam wik (,96977) uzskam, gd zasosujem wzór [5]: cov (, ) S Obliczm a począku średią dla zmieej i : 5 3 4,6 5 58, 6 5 5 5 5
Ab obliczć wariację (wzór [4]) i kowariację (wzór []), wgodie jes sporządzić asępującą abelkę: ( )( ) ( ) 6 8,4 3,4 4,76,96 7 7,4,4 5,76 5,76 5,4 7,4,96,6 3 5,6,4 6,64,56 6,6,4 9,64 6,76 A zaem: cov 5 ( )( ) 3, 8 ( ) 7, 5 (, ) ( )( ) ( 3,8) 6, 56 5 S 5 ( ) 7, 3, 44 Esmaor wosi: cov (, ) 6,56 3,44 S,96977 Jak widać, jes o e sam wik, jaki uzskaliśm a podsawie wcześiejszego wzoru. Zosał am jeszcze do obliczeia esmaor według wzoru [3]: (,96977) 4,6, 379,6 35/5
Obliczliśm zaem esmaor iezach paramerów i za pomocą meod ajmiejszch kwadraów. Woszą oe, zaokrąglając:,37, 9 Oszacowae rówaie regresji zapisujem w asępującej posaci:,37, 9 Zosało am lko sprawdzeie, cz rzeczwiście suma kwadraów resz dla esmaorów MNK będzie miejsza iż dla wcześiejszch, a oko dobrach esmaorów. W m celu sporządzam asępującą abelkę (wpełiając abelkę wkorzsujem dokłade warości esmaorów MNK, a ie ich zaokrągleia do dwóch miejsc po przeciku): 9,37, e ( ) e 6 8 8,93,93,87 7 7 7,,, 5,84,6,35 3 5 4,65,35, 6 6,56,56,3 5 SSE e,65 Jak widać, suma kwadraów resz (SSE) dla esmaorów uzskach MNK wosi,65, co jes liczbą miejszą iż 3 (le wosiło SSE dla esmaorów dobrach a oko ). Jes o powierdzeiem ego, że dla esmaorów uzskach MNK suma kwadraów resz jes ajmiejsza. Nie ma żadch ich esmaorów, kórch zasosowaie pozwoliłob uzskać miejszą sumę kwadraów resz. 36/5
Dzięki powższm obliczeiom oszacowaliśm fukcję popu a dobro X. Jes oa asępująca: FUNKCJA POPYTU (a dobro X ) Q,9P +,37 W ekoomii wkorzsujem akże częso zw. odwrócoą fukcję popu, kórą obliczam asępująco: Q,9P +,37,9P Q +,37 P,5Q +,66 ODWRÓCONA FUNKCJA POPYTU (a dobro X ): P,5Q +,66 Fukcja popu w posaci odwrócoej przdaje się do wkreśleia fukcji popu a wkresie. W ekoomii a osi pioowej umieszcza się bowiem ceę dobra, a a osi poziomej ilość: 8 CENA 6 4 POPYT Q,9P +,37 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 ILOŚĆ 37/5
Pozaliśm zaem profesjoal sposób, w jaki dobr meedżer szacuje fukcję popu. Ucząc się podsaw ekoomii zrozumieliśm, dlaczego krzwa popu ma achleie ujeme, aomias prawdopodobie ie wiedzieliśm, w jaki sposób uzskujem kokreą krzwą i jej paramer. Dzięki zajęciom z ekoomii meedżerskiej auczliśm się, w jaki sposób będąc meedżerami moża oszacować fukcję popu a produk swojego przedsiębiorswa. Zając fukcję popu moża określić prawdopodob pop prz zakładach warościach zmiech objaśiającch. W aszm przpadku możem określić wielkość popu a produk przedsiębiorswa dla każdego poziomu ce daego dobra. 38/5
Zagadieie doczące szacowaia fukcji popu ie jes jeszcze zakończoe. Co zrobić w przpadku, kied chcem mieć więcej zmiech objaśiającch w modelu? Załóżm, że chcem określić, jak a pop a dobro X, oprócz ce ego dobra, wpłwają asępujące zmiee: cea dobra zzz cea dobra Y dochód real mieszkańców. Tablica z dosępmi obserwacjami jes asępująca (załóżm, że badaie o wkoujem późiej, a więc są dosępe 3 koleje obserwacje): Okres Pop a dobro X Cea dobra X Cea dobra zzz Cea dobra Y Dochód real mieszkańców 8 6 55 7 7 55 3 5 9 8 84 4 5 3 8 7 95 5 6 8 4 98 6 3 4 8 8 7 5 7 5 8 8 6 8 6 95 Rówaie popu jes w akim przpadku asępujące: Q Z Y + P + P + 3P + 4 Y + ε gdzie: Q wielkość popu a dobro X P cea dobra X Z P cea dobra zzz Y P cea dobra Y Y dochód real mieszkańców 39/5
W kolejch obliczeiach wgodiej będzie bazować a posaci ogólej modelu ekoomerczego, kóra jes asępująca: + + + 33 + 44 + ε gdzie: Q ; P ; P Z ; 3 P Y ; 4 Y. Kied jes kilka zmiech objaśiającch, mam do czieia z zw. regresją wieloraką. Esmaor iezach paramerów rówaia regresji ( 4 ) będziem szacować oczwiście meodą ajmiejszch kwadraów. Tak samo jak w przpadku jedej zmieej objaśiającej, akże i uaj esmaor MNK charakerzują się m, że miimalizują sumę kwadraów odchleń warości eoreczch od warości empirczch zmieej objaśiaej (zw. sumę kwadraów błędów SSE). Kied wsępuje kilka zmiech objaśiającch, wzor [] i [3] ie mają zasosowaia. Esmaor MNK zajdujem za pomocą operacji a macierzach. Nie będziem uaj wprowadzać przedsawioch wzorów a esmaor MNK w regresji wielorakiej. Reguła jes aka sama miimalizujem sumę kwadraów błędów, licząc pierwszą pochodą i przrówując ją do zera. Różica polega lko a m, że eraz obliczeia ależ wkoać a macierzach. We wzorach włuszczoa liera będzie ozaczała macierz. 4/5
4/5 Wprowadźm asępujące ozaczeia macierz: M M ( ) + k k k k L M O M M L L ε ε ε M ε e e e M e ( ) + k k M ( ) + k k M gdzie: wekor warości empirczch zmieej objaśiaej ŷ wekor warości eoreczch zmieej objaśiaej macierz zaobserwowach warości zmiech objaśiającch (pierwsza koluma same jedki!) ε wekor składików losowch e wekor resz wekor iezach paramerów modelu wekor esmaorów iezach paramerów modelu liczba obserwacji k liczba zmiech objaśiającch w modelu
W posaci macierzowej jedorówaiow model ekoomercz możem zapisać w asępując sposób: co jes rówoważe zapisowi: + ε [6] + + + K+ + ε k k Po oszacowaiu paramerów rówaie regresji zapisae w posaci macierzowej będzie wglądało asępująco: co jes rówoważe zapisowi: [7] + + + K + k k Wekor esmaorów iezach paramerów dla modelu zapisaego w posaci macierzowej zajdujem według wzoru: T T ( ) [8] Powższ wzór pozwala a zalezieie esmaorów paramerów srukuralch modelu za pomocą meod ajmiejszch kwadraów. Wzór e ma zasosowaie ie lko do modelu z kilkoma zmiemi objaśiającmi jes o rówież prawidłow dla modelu, w kórm jes lko jeda zmiea objaśiająca. 4/5
Zasosujm wzór [8], żeb zaleźć paramer szacowaego rówaia popu a dobro X. Macierze i mają asępującą posać: 6 7 5 3 4 5 9 8 8 8 7 8 8 7 4 5 6 55 55 84 95 98 8 8 95 8 7 5 6 3 6 Żeb zasosować wzór [8], rzeba wkoać kilka operacji a macierzach (sposób możeia, odwracaia i raspoowaia macierz powiie bć za): T 6 55 7 55 5 9 8 84 3 8 7 95 8 4 98 4 8 8 5 7 5 8 8 6 95 8 34 T 68 7 64 34 68 98 77 56 68 98 586 45 536 7 77 45 377 3884 64 56 536 3884 5356 43/5
( T ) 6,97 8,75 9,36,94,8 8,75,43,,6,5 9,36,,47,6,4,94,6,6,3,,8,5,4,, T 99 378 8 5 8346 Po pomożeiu dwóch osaich macierz uzskujem wekor oce iezach paramerów modelu: T ( ) T 3,,966,354,4,85 44/5
Obliczliśm zaem esmaor iezach paramerów,,, 3 i 4 za pomocą meod ajmiejszch kwadraów. Woszą oe, zaokrąglając: 3,, 97, 35 3, 4, 9 Oszacowae rówaie regresji zapisujem w asępującej posaci: 3,,97,35, +, 9 3 4 Moża sprawdzić, ile będzie wosiła suma kwadraów błędów dla powższch esmaorów uzskach meodą ajmiejszch kwadraów. W m celu sporządzam asępującą abelkę (prz wpełiaiu wkorzsujem dokłade warości esmaorów MNK, a ie ich zaokrągleia do dwóch miejsc po przeciku): ŷ e e 8 8,4,4, 7 7,5,5,,88,, 5 5,,, 6 6,7,7,3 3,78,,5,8,8, 6 5,87,3, 8 SSE e,3 Jak widać, suma kwadraów błędów wosi,3 i jes bardzo mała. Jes oa awe miejsza iż w przpadku jedej zmieej. Prz iezmieioej liczbie obserwacji dodaie owch zmiech do modelu zawsze zmiejsza sumę kwadraów błędów. A zaem im więcej zmiech, m suma kwadraów błędów jes miejsza. Reguła a ie ozacza bajmiej porzeb dodawaia a siłę owch zmiech. O sposobach doboru zmiech mówiliśm już wcześiej. 45/5
Dzięki powższm obliczeiom oszacowaliśm fukcję popu a dobro X. Jes oa asępująca: FUNKCJA POPYTU (a dobro X ) Q 3,,97P,35P Z,P Y +,9Y Przedsiębiorswo, zając ceę dobra X, ceę dobra zzz, ceę dobra Y oraz wsokość dochodów realch mieszkańców, może eraz dosć dokładie określić wielkość popu a produkowae przez siebie dobro X. Fukcja popu pozwala akże określić, o ile zmiei się pop a dobro X gd p.: dae przedsiębiorswo zmiei ceę dobra X, a rku zmiei się cea dobra zzz i/lub cea dobra Y, zmieią się dochod reale mieszkańców. DOBRZE OSZACOWANA FUNKCJA POPYTU JEST DEWIZĄ DOBREGO MENEDŻERA. 46/5
Jak fachowo ierpreować warości oszacowach paramerów modelu regresji? Esmaor iezaego parameru modelu k iformuje, o ile przecięie wzrosła (gd k > ) lub zmalała (gd k < ) warość zmieej objaśiaej, gd ceeris paribus (z. prz ich czikach ie zmieioch) warość zmieej objaśiającej k wzrosła o jedoskę. Na przkład, dla fukcji popu a dobro X o posaci: Q,9P +,37 mam asępującą ierpreację parameru: Prz ich czikach iezmieioch, wzros ce dobra X o jedoskę powoduje przecięie spadek popu a dobro X o,9 jedosek. Dla fukcji popu a dobro X o posaci: Q 3,,97P,35P Z,P Y +,9Y mam z kolei asępujące ierpreacje paramerów: Prz ich czikach iezmieioch, wzros ce dobra X o jedoskę powoduje przecięie spadek popu a dobro X o,97 jedosek. Prz ich czikach iezmieioch, wzros ce dobra zzz o jedoskę powoduje przecięie spadek popu a dobro X o,35 jedosek. Prz ich czikach iezmieioch, wzros ce dobra Y o jedoskę powoduje przecięie spadek popu a dobro X o, jedoski. Prz ich czikach iezmieioch, wzros dochodów realch mieszkańców o jedoskę powoduje przecięie wzros popu a dobro X o,9 jedosek. 47/5
Na zakończeie wkażm, że wzór [8] moża rówież zasosować do modelu z jedą zmieą objaśiającą. Jes o wówczas rówoważ wzorom [] i [3]. Dla rozparwaego uaj modelu popu a dobro X z jedą zmieą objaśiającą i pięcioma obserwacjami mam asępujące macierze i : 6 8 7 7 5 3 5 6 Koleje przekszałceia a macierzach wglądają asępująco: T 6 7 5 3 T 5 3 3 3,43,7 ( T ),7,6 T 58 34 Po pomożeiu dwóch osaich macierz uzskujem wekor oce iezach paramerów modelu: T T,37 ( ),9 Jak widać, uzskaliśm dokładie e same oce paramerów, jak z wkorzsaiem wzorów [] i [3]. 48/5
OCENA DOKŁADNOŚCI (DOPASOWANIA) RÓWNANIA Fukcję popu umiem już szacować. Teraz musim auczć się oceiać jakość oszacowaego rówaia popu: cz rówaie ma dobre własości sascze, cz dobrze wjaśia zależość pomiędz zmiemi, cz adaje się do przeprowadzeia progoz. Isieje wiele kreriów według kórch oceia się rówaia regresji. Do wielu kreriów możem wkorzsać szereg esów sasczo-ekoomerczch pozwalającch oceić jakość oszacowaego modelu. Tuaj przedsawim lko ajważiejsze meod, kóre ależ wkorzsać prz oceie dokładości oszacowaego rówaia popu. Będą o miaowicie:! Współczik deermiacji! Skorgowa współczik deermiacji! Błęd szacuku paramerów! Isoość zmiech objaśiającch Poado powiem kilka słów o ich własościach, kóre mogą cechować oszacowae rówaie regresji:! Koicdecja! Efek kaaliz! Liiowość modelu ekoomerczego! Normalość rozkładu składika losowego! Auokorelacja składika losowego! Heeroskedasczość składika losowego 49/5
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX TUTAJ NIESTETY FOLIE SIĘ KOŃCZĄ!!! XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 5/5