Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili = 0, 3) łącznik S zamyka się w chwili = =0 ms, 4) łącznik S owiera się w chwili = =0 ms. Dane: R =, R =, L=6 mh, C=0 F, U z =00 V. Rozwiązanie w przedziale 0; Obwód opisują nasępujące równania: di Ri+ L u Uz C d u i d Po podsawieniu prą z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej srony uzyskuje się: d u LC RC U u z Warunki począkowe można określić, biorąc pod uwagę, że obwód dla <0 był niezasilany. Zaem prąd i jes równy zero i i(0 )=0 ze wzglę na ciągłość prą, kóry płynie przez inkcyjność. Ponao, z ego samego powo, u=0 dla <0 i u(0 )=0 ze wzglę na ciągłość napięcia na pojemności. Osaecznie warunki począkowe przyjmują posać: i(0 ) u(0) 0, u (0) 0 C Sałe czasowe w równaniu różniczkowym są określone nasępująco: Współczynnik jes równy: RC0s, LC 400 s 0,06 Prawa srona równania różniczkowego jes warością sałą w czasie, zaem sanowi ona składową wymuszoną: w u () U Współczynnik <, więc składowa przejściowa ma charaker oscylacyjny łumiony: u p() e Acos Asin Pulsacja względna czynnika sinusoidalnego w składowej przejściowej: Rozwiązanie w posaci ogólnej: 0,998 z
() () () e A cos A sin u u u U p w z Sałe całkowania A i A wyznacza się wykorzysując warunki począkowe: u 0 z (0) e A cos A sin U 0 (0) u e Acos Asin e A sin A cos 0 0 e A cos A sin e A sin A cos 0 Po obliczeniu warości funkcji orzymuje się nasępujący układ równań: A Uz 0 A A 0 kórego rozwiązaniem są poszukiwane warości sałych całkowania: A Uz 00 V, A Uz 6,6 V Po podsawieniu warości liczbowych rozwiązanie przyjmuje posać: 0,06 40 4 () e u 00cos0,998 6,6sin0,998 00 40 4 40 4 Czynnik sinusoidalny można przekszałcić korzysając z nasępujących zależności: BcosBsin Bmsin( ) B arcg B 0 B m B B B B B, Osaecznie rozwiązanie przyjmuje posać: Rozwiązanie w przedziale ; Obwód opisują nasępujące równania: 6, arcg 80 B 0 u ( ) 00,e sin 49, 93,8 00 u i C d R d i Ri L uuz Po podsawieniu prą z pierwszego równania do równania drugiego uzyskuje się:
u d u L RC R LC U u z R R Po odpowiednich przekszałceniach: R d u RR L R LC C u Uz RR RR RR RR Warunki począkowe określa się na podsawie rozwiązania z poprzedniego przedziału czasu. 6, u ( ) 00,e sin 49, 93,8 00 79,6 V Pochodna napięcia jes związana z prądem w pojemności: ic C d Sąd warunek począkowy dla pochodnej napięcia należy obliczyć z zależności: i C ( ) C Oznacza o, że do obliczenia warości pochodnej napięcia należy obliczyć warość prą w pojemności C dla = i łącznika S zamknięego. Ze wzglę na o, że o rozwiązanie doyczy konkrenej chwili czasu, kondensaor C można zasąpić źródłem napięciowym o warości napięcia u( ), a cewkę L źródłem prądowym o warości prą i( ) (korzysa się z ciągłości napięcia u i prą i). W ym celu należy obliczyć warość prą cewki w chwili = : d 6, i( ) C C 00,e sin49,93,800 6, 6, C00, 6,e sin 49, 93,8 49,e cos 49, 93,8 0,09 A Ze schemau obwo, zamieszczonego po lewej sronie, sporządzonego dla chwili =, wynika nasępujące równanie: u( ) ic( ) i ( ),403 A R Osaecznie, warunki począkowe dla ej części rozwiązania są nasępujące:, 403 V u( ) 79,6 V, u ( ),4030 0 s Sałe czasowe w równaniu różniczkowym są określone nasępująco: Współczynnik jes równy: RR L R C 837,s, LC 346, 4 s R R R R R R,09 W dalszym ciągu rozwiązania zosanie wprowadzona nowa zmienna niezależna, czas, określona nasępująco:
Nowa zmienna należy do przedziału: 0;. Ze wzglę na o, że =, co orzymuje się po zróżniczkowaniu powyższej zależności, posać równania różniczkowego po dokonaniu podsawienia nowej zmiennej nie ulega zmianie. ak samo, jak w rozwiązaniu dla poprzedniego przedziału czasu, prawa srona równania różniczkowego jes warością sałą w czasie i sanowi składową wymuszoną: R w( ) Uz R R u Współczynnik >, więc składowa przejściowa ma charaker aperiodyczny: up( ) Ae Ae Wysępujące w powyższym wzorze współczynniki mają warość: Rozwiązanie w posaci ogólnej:,888 0,3 R p w z R R u ( ) u( ) u ( ) A e A e U Obliczenie sałych całkowania A i A na podsawie warunków począkowych: R z R R u (0) A e A e U 79,6 R d u(0) A e A e U A e A e d R R z 0 0 0 A e A e,403 0 Po obliczeniu warości funkcji orzymuje się nasępujący układ równań: R A A U 79,6 z R R A A,403 0 kórego rozwiązaniem są poszukiwane warości sałych całkowania: A 3,99 V, A 3,37 V Po podsawieniu warości liczbowych rozwiązanie przyjmuje posać: u 40, 9 ( ) 3,99e 3,37e 7 Po powrocie do poprzedniej zmiennej niezależnej rozwiązanie ma nasępującą formę: 40, 9 u ( ) 3,99e 3,37e 7
Rozwiązanie w przedziale ; Pozycje łączników są akie same, jak w przedziale czasu 0;. Dlaego obwód opisuje akie samo równanie różniczkowe. d u LC RC U u z Warunki począkowe wynikają z rozwiązania w przedziale czasu ;. Dla napięcia jes równy: 40, 9 u ( ) 3,99e 3,37e 7 7 V Począwszy od chwili = + prąd inkcyjności zaczyna płynąć przez pojemność. Prąd en zachowuje ciągłość w chwili =, dlaego można napisać równanie: C i ( ) i ( ) Obliczenie prą inkcyjności w chwili = wymaga rozwiązania nasępującego obwo: W obwodzie ym prąd płynący przez pojemność jes równy: d 40, 9 ic( ) C C 3,99e 3,37e 7 40, 9 C 3,99 40, e 3,37 9 e 0 Z pierwszego prawa Kirchhoffa wynika równanie: u( ) i( ) i C( ) A R Osaecznie warunek począkowy dla pochodnej napięcia ma warość: V u ( ) 0 0 s Sałe czasowe w równaniu różniczkowym i współczynnik przyjmują e same warości, jak w rozwiązaniu dla przedziały czasu 0; : 0 s, 400 s, 0,06 W dalszej części rozwiązania zosanie wprowadzona nowa zmienna niezależna, czas, określona nasępująco: Nowa zmienna należy do przedziału: 0;. Posać równania różniczkowego po dokonaniu podsawienia nowej zmiennej nie ulega zmianie, gdyż =, co orzymuje się po zróżniczkowaniu powyższej zależności. Prawa srona równania różniczkowego jes warością sałą w czasie, zaem składowa wymuszona jes równa: u ( ) U w z Dla współczynnika < składowa przejściowa jes oscylacyjna łumiona: p( ) e Acos Asin u O pulsacji względnej czynnika sinusoidalnego równej 0,998.
Rozwiązanie w posaci ogólnej: p w z u ( ) u ( ) u ( ) e A cos A sin U Sałe całkowania A i A wyznacza się wykorzysując warunki począkowe: u 0 z (0) e A cos A sin U 7 (0) u e Acos Asin e A sin A cos 0 e Acos Asin e A sin A cos 0 Po obliczeniu warości funkcji orzymuje się nasępujący układ równań: A Uz 7 A A 0 kórego rozwiązaniem są poszukiwane warości sałych całkowania: A V, A 98,83 V Po podsawieniu warości liczbowych rozwiązanie przyjmuje posać: 0,06 4 40 4 4 u ( ) e cos0,998 98,83sin0,998 00 40 40 Wykorzysując zależności podane w rozwiązaniu dla 0;, powyższą funkcję można przekszałcić nasępująco: 6, u ( ) 00,39e sin 49, 7,7 00 Po powrocie do poprzedniej zmiennej niezależnej rozwiązanie ma nasępującą formę: 0 Odp.: 6, ( ) 00,39e u sin 49, 3,66 00 6, 00,e sin 49, 93,8 00 0;0,0 s 40, 9 u ( ) 3,99e 3,37e 7 0,0s;0,0s 6, 00,39e sin49,3,660,0s