. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ.. Wstęp: metod współrzędnych WYKŁAD 5 W geometrii nlitycznej dmy oiekty geometryczne metodą nlityczną. Njrdziej znną metodą tego typu jest metod współrzędnych oprt n ukłdzie współrzędnych. A (Definicj: ukłd współrzędnych). Ukłd Oxyz współrzędnych w przestrzeni skłd się z trzech (zwykle wzjemnie prostopdłych) prostych Ox, Oy, Oz z jednostkmi mierzeni i ustlonymi kierunkmi, przecinjących się w jednym punkcie O. Proste Ox, Oy, Oz nzywmy osimi, płszczyzny xoy, xoz, yoz płszczyznmi, punkt O początkiem ukłdu współrzędnych. Zwykle korzyst się z orientcji ukłdu prwoskrętnego, tzn. jeżeli prwą rękę umieścimy tk, y kciuk wskzywł dodtnią część osi Oz, to zgięte plce wskżą kierunek orotu od osi Ox do osi Oy. W metodzie współrzędnych kżdemu punktowi M przestrzeni odpowid uporządkown trójk ( xm, ym, z M ) licz rzeczywistych (współrzędnych tego punktu) i n odwrót. Wtedy geometryczne oiekty opisujemy przez wrunki (równni, nierówności lu ich ukłdy), które spełniją współrzędne punktów zwrtych w geometrycznych oiektch. Odpowiednie równni nzywmy równnimi tych oiektów. Podonie definiujemy ukłd współrzędnych n płszczyźnie. A (Przykłdy)... Równnie ( x x0) ( y y0) ( z z0) 0 opisuje punkt o współrzędnych x0, y0, z 0 (to znczy M0( x0, y0, z 0) ) w przestrzeni;.. Ukłd nierówności x y, x 0, y 0 opisuje trójkąt OAB o wierzchołkch O(0,0), A(,0), O (0,) n płszczyźnie. M 0 W geometrii nlitycznej rozptrujemy dw podstwowych prolemy: opisnie oiektów równnimi otrzymnymi z włsności tych oiektów i n odwrót, dnie włsności geometrycznych oiektów przez ich równni.
.. Wektory Pod pojęciem wektor (odcink skierownego) w przestrzeni (lu n płszczyźnie) rozumiemy wyłącznie wektor swoodny, tzn. ziór wszystkich wektorów zczepionych w różnych punktch, które mją ten sm kierunek, zwrot orz długość. Wektor tego zioru o początku w punkcie O ędziemy nzywli reprezentntem wektor. Jeżeli A( xa, ya, z A) jest końcem tego reprezentnt, to wektor możn utożsmić z wektorem punktu A i z jego współrzędnymi. Mmy ztem def = OA = ( xa, ya, z A) gdzie liczy rzeczywiste ( x, y, z ), x, y, z są współrzędnymi wektor. OA wodzącym Wektor 0 (0,0,0) nzywmy wektorem zerowym, wektor ( x, y, z) nzywmy wektorem przeciwnym do wektor. Podonie definiujemy wektory n płszczyźnie. A+B (Wektory współliniowe). Wektory, są współliniowe (równoległe), co oznczmy, gdy istnieje jedn lu dwie równoległe proste, w których zwrte są te wektory. Stąd mmy wrunek współliniowości: x y z lu, gdzie jest liczą. x y z A+B4 (Wektory współpłszczyznowe). Wektory,, c są współpłszczyznowe, gdy są zwrte w jednej lu równoległych płszczyznch. Wrunek x y z x y z 0 jest wrunkiem współpłszczyznowości wektorów,, c. x y z c c c A5 (Definicj: długość wektor). Długość wektor wzorem x y z. jest określon A+B6 (Definicj: rzut wektor). Rzut P wektor n wektor określmy wzorem P cos( ), gdzie ( ) ozncz kąt między wektormi i. Uwg. Współrzędne wektor są jego rzutmi n osie ukłdu współrzędnych.
B7 (Ćwiczenie). Podć włsności długości orz rzutów wektorów. A8 (Definicj: wersory). Kżdy wektor o długości nzywmy wersorem. Njrdziej znny są wersory i (,0,0), j (0,,0), k (0,0,) położone odpowiednio n osich Ox, Oy, Oz ukłdu współrzędnych. A+B9 (Podził odcink w podnym stosunku). Niech C ędzie punktem podziłu odcink AB w stosunku, gdzie 0 ( p 0, q 0), tzn. AC CB p: q. Wtedy współrzędne tego punktu wyrżją się wzormi: xa xb ya y B za zb xc, yc, zc. W postci wektorowej mmy OC ( ) OA OB. Punkt C jest środkiem odcink AB w szczególnym przypdku gdy xa xb ya y B za zb xc, yc, zc. Ćwiczenie (B+C). Określić podził odcink w podnym stosunku dl. : A+B0 (Iloczyn sklrny). Iloczyn sklrny wektorów ( x, y, z ) i ( x, y, z ) określmy wzorem cos ( ). Przykłdy: i i j j k k, i j j k i k 0 (tu i dlej wektory i, j, k oznczją wersory odpowiednio n osich Ox, Oy, Oz.. Włsności iloczynu sklrnego: ) ; ) ( ) ( ) ( ) ; ) 4) ( ) c c c ; 5) ; ; 6) 0 wektory i są prostopdłe (tu,, c są wektormi, ). Stąd mmy wzór do oliczni iloczynu sklrnego: x x y y z z. A+B (Iloczyn wektorowy). Niech wektory ( x, y, z), ( x, y, z), c ( x, y, z ) tworzą ukłd o orientcji zgodnej z orientcją ukłdu c c c
x y z współrzędnych tzn. x y z 0. Wtedy wektor c x y z c c c nzywmy iloczynem wektorowym uporządkownej pry wektorów jeżeli spełnione są wrunki: ) wektor c jest prostopdły do płszczyzny rozpiętej n wektorch ) długość wektorch c i wektor c i, co oznczmy c, i jest równ polu równoległooku rozpiętego n : c sin ( ) ; ) orientcj wektorów jest zgodn z orientcj ukłdu współrzędnych Oxyz. Przykłdy: i i j j k k 0, i j k j i, j k i k j, k i j i k. Włsności iloczynu wektorowego: ) ; ) ( ) ( ) ( ) ; ) ;,, c 0 4) ( ) c c c, ( c) c ; 5) ; 6) 0 wektory wektory i są równoległe (tu,, c są wektormi, ). Stąd mmy wzór do oliczni iloczynu wektorowego: i j k y z x z x y, def c x y z i j k y z x z x y x y z gdzie pierwszy wyzncznik oliczmy przez rozwinięcie względem pierwszego wiersz. A+B (Iloczyn mieszny). Iloczyn mieszny (,, c) lu ( x, y, z ), ( x, y, z ), c ( x, y, z ) określmy wzorem def c c c c (,, c) ( ) c. Włsności iloczynu miesznego: ) c c c c c c ; c wektorów ) interpretcj geometryczn iloczynu miesznego: iloczyn mieszny c wektorów,, c jest równy (z dokłdnością do znku) ojętości równoległościnu D rozpiętego n tych wektorch: D ) c 0 wektory,, c są współpłszczyznowe; 4) wzór do oliczni iloczynu miesznego: c ; ;
c x y z x y z x y z c c c, skąd możn otrzymć inne włsności iloczynu miesznego. B+C (Ćwiczenie: zstosowni rchunku wektorowego). Podć przykłdy: środek msy i momenty ezwłdności ukłdu punktów mterilnych, moment siły itd. Podonie rozptrujemy rchunek wektorowy n płszczyźnie. Ziór reprezentntów wszystkich wektorów przestrzeni przez współrzędne tych reprezentntów możn utożsmić z i ogólniej przestrzeń utożsmimy z przestrzenią wektorową n-wymirową, której elementy ędziemy nzywli wektormi (n-wektormi kolumnowymi). Przy oznczniu tych wektorów strzłki ędziemy opuszczli. A+B4 (Współrzędne wektor w zie). Bzą przestrzeni nzywmy ziór n liniowo niezleżnych wektorów tej przestrzeni. Wtedy kżdy wektor przestrzeni możn zpisć jko komincję liniową wektorów zy. Współczynniki tej komincji (to jest rozwinięci wektor w zie) dl dnego wektor są wyznczone jednozncznie i nzyw się współrzędnymi wektor w tej zie. Wektory tworzą zę stndrdową (knoniczną) jeżeli mcierz o kolumnch, których elementy są odpowiednio współrzędnymi tych wektorów jest jednostkow. Współrzędne wektor w podnej zie oliczmy jko współczynniki odpowiedniej komincji liniowej w rozwinięciu wektor w tej zie, co sprowdz się do rozwiązywni pewnego ukłd Crmer... Płszczyzn w przestrzeni Niech w przestrzeni ędzie ustlony ukłd współrzędnych Oxyz. Wtedy równnie (przy pewnych dodtkowych złożenich) F x, y, z 0 jest równniem powierzchni w tej przestrzeni. Powierzchnię tę określmy jko ziór punktów M ( x, y, z ) w, których współrzędne x, y, z spełniją to równnie. Njprostszą powierzchnią jest płszczyzn, którą możn określić różnymi sposomi. W zleżności od sposoów rozptrujemy różne równni płszczyzny. A+B5 (Równni płszczyzny). 5.. Równnie normlne płszczyzny przechodzącej przez punkt M x, y z i prostopdłej do wektor n ( A, B, C) 0. 0 0 0, 0 n n
Wektor n ( A, B, C) 0 nzywmy wektorem normlnym płszczyzny jeżeli jest on prostopdły do tej płszczyzny tzn. do dowolnego wektor zwrtego w tej płszczyźnie. Jeżeli wektor jest wektorem normlnym to i wektor n A, B, C ędzie normlnym wektorem płszczyzny. Niech M x, y, z ędzie dowolnym punktem płszczyzny. Wtedy wektor M 0 M x x0, y y0, z z0 jest prostopdły do wektor n A, B, C skąd iorąc pod uwgę A+B0 otrzymmy równnie płszczyzny (rys. ) M x, y z i prostopdłej do wektor n : przechodzącej przez punkt n 0 0 0, : x x By y Cz z 0 0 0 0 0 A, () gdzie A B C 0. n A, B, C M x, y, z M x, y z 0 0 0, Rys.. Płszczyzn o równniu 0 0 A x x B y y C z z. 0 0 0 Uwg. Przy dowolnych A, B, C, gdzie A B C 0, równnie () określ pęk płszczyzn przechodzących przez punkt M 0 x0, y0, z0. 5.. Równnie ogólne płszczyzny. Oznczmy D Ax0 By0 Cz 0. Wtedy równnie () płszczyzny przyjmuje postć : Ax By Cz D 0, () któr jest prostopdł do wektor n A B C,, 0 (normlnego wektor płszczyzny). Twierdzenie. Przy ustlonym ukłdzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni liniowe równnie () przedstwi płszczyznę i n odwrót kżdą płszczyznę w tej przestrzeni możn opisć przez równnie (). Przykłdy: ) 0 A czyli By Cz D 0 równnie płszczyzny równoległej do osi Ox (wektor normlny n B C 0,, 0 jest prostopdły do osi Ox: n Ox ); ) B 0 czyli Ax Cz D 0 równnie płszczyzny równoległej do osi Oy n A,0, C Oy ); (
) C 0 czyli 0 ( n A, B,0 Ax By D równnie płszczyzny równoległej do osi Oz Oz); 4) Ax By Cz równnie płszczyzny przechodzących przez początek ukłdu współrzędnych; 5) A B 0 czyli Cz D 0 równnie płszczyzny prostopdłej do osi Oz (równoległej do płszczyzny Oxy : n 0,0,C 6) A C 0 czyli By D 0 równnie płszczyzny prostopdłej do osi Oy (równoległej do płszczyzny Oxz ); 7) B C 0 czyli Ax D 0 równnie płszczyzny prostopdłej do osi Ox (równoległej do płszczyzny Oyz ); 8) A D 0 czyli By Cz 0 równnie płszczyzny przechodzącej przez oś Ox ; 9) B D 0 czyli Ax Cz 0 równnie płszczyzny przechodzącej przez oś Oy ; 0) czyli Ax By 0 ; ) A B D 0 czyli Cz 0 się z płszczyzną Oxy ; ) A C D 0 czyli By D 0 y 0 równnie płszczyzny pokrywjącej się z płszczyzną Oxz ; ) B C D 0 czyli Ax D 0 x 0 pokrywjącej się z płszczyzną Oyz. Oz D 0 czyli 0 C 0 Oz ); równnie płszczyzny przechodzącej przez oś z 0 równnie płszczyzny pokrywjącej równnie płszczyzny Nstępnie niech ędą wektormi wodzącymi punktów odpowiednio M 0 x0, y0, z0, M x, y, z. Wtedy mmy równnie normlne płszczyzny w postci wektorowej: : n ( rr o ) 0. () r 0, r W równniu () wektor normlny n A, B, C zstąpimy wersorem n gdzie i znk wyiermy przeciwny do wyrzu wolnego n A B C D. Wtedy otrzymmy równnie normlne płszczyzny : x cos y cos z cos p 0, (4) gdzie,, są kątmi między normlnym wektorem i wersormi odpowiednio n osich Ox, Oy, Oz orz p jest odległością początku ukłdu współrzędnych od polszczyzny.
5.4. Równnie płszczyzny przechodzącej przez trzy niewspółliniowe punkty M x, y, z, M x, y, z, M x, y, z. M x, y, z ędzie dowolnym punktem płszczyzny. Wtedy wektory Nich M M x x, y y, z z, M M x x, y y, z z M M x x, y y z z są współpłszczyznowe (rys. )..,, M M M M Rys.. Płszczyzn przechodząc przez trzy niewspółliniowe punkty. Korzystjąc z wrunku współpłszczyznowości wektorów otrzymmy równnie tej płszczyzny x x x x x x y y y y y y z z z z z z 0. (6) 5.5. Równnie płszczyzny M x, y, z, M x, y, z i równoległej do wektor,,. Jeżeli wektory i M M x x, y y, z z nie są współliniowe (rys. ) to otrzymujemy równnie tej płszczyzny: x x y y z z : x x y y z z 0 przechodzącej przez dw punkty (7) M M M Rys.. Płszczyzn równoległ do wektor i przechodzą przez punkty M, M.
5.6. Równnie płszczyzny przechodzącej przez punkt M x, y, z i równoległej do dwu niewspółliniowych wektorów,,,, y, z Niech punkt M x, y, z nleży do płszczyzny. Wtedy wektory (rys. 4),,, y, z, M M x x, y y z z są,,. współpłszczyznowe. Z wrunku A+B4 współpłszczyznowości otrzymmy x x : 0 y y z z (8) A M M B Rys.4. Płszczyzn przechodzą przez punkt M wektorów i. 5.7. Równnie prmetryczne płszczyzny. i równoległ do dwu niewspółliniowych Niech dowolny punkt M x, y, z o wektorze wodzącym płszczyzny przechodzącej przez punkt x, y, z niewspółliniowych wektorch,,,, y, z i tworzą zę w r r M M x x, y y z z wektor 0 wektorze wodzącym r 0 możemy przedstwić jko MM u v tych wektorów (równnie wektorowe) : 0 r r u v czyli w rozwiniętej formie (równnie prmetryczne) x x u v, : y y u v, z z u v, gdzie u i v są prmetrmi. nleży do M i rozpiętej n, r. Wtedy wektory o komincję liniową A+B6 (Wzjemnie położenie dwu płszczyzn). Kąt między płszczyznmi nzywmy kąt ostry między wektormi normlnymi tych płszczyzn. Przyjmujemy, że kąt między płszczyznmi równoległymi jest równy 0. (9)
Kąt między płszczyznmi,i o wektorch normlnych odpowiednio n ( A, B, C) i n ( A, B, C) wyrż się wzorem A A BB CC n n cos lu (, ) rccos. A B C A B C n n Stąd mmy Twierdzenie. Niech : A x B y Cz D 0, : A x B y Cz D 0. Wtedy A B C D.. A B C D A B C D. A B C D tzn. pokryw się z n n (rys. 8). (0). Płszczyzny i są nierównolegle 4. 5. A B lu C A B B C B A, lu C. A C (rys. 9) n n A A B B C C 0. n n n n Rys. 8.. Rys. 9.. A+B7 (Odległość punktu od płszczyzny). Odległość punktu M0 ( x0, y0, z0) od płszczyzny : Ax By Cz D 0, gdzie A B C 0, wyrż się wzorem (A):
Ax0 By0 Cz0 D dm ( 0, ). A B C Odległość punktu M od płszczyzny jest równ długości odcink MM ', 0 0 gdzie n płszczyznę. Odległość między płszczyznmi równoległymi i o równnich : Ax By Cz D 0, : Ax By Cz D 0 wyrż się wzorem (B): D D d(, ). A B C A+B8 (Definicj: rzut punktu n płszczyznę). Rzutem prostokątnym punktu M n płszczyznę nzywny punkt płszczyzny spełnijący wrunek: MM '. P' jest rzutem prostokątnym punktu M.4. Prost w przestrzeni M ' tej A+B9 (Równni prostej). 9.. Równnie prmetryczne prostej. Równnie prostej l przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) o wektorze wodzącym i wyznczonej przez niezerowy wektor kierunku v (,, c) m postć: l : r r0 tv, gdzie t lu po rozpisniu n współrzędne: l : ( x, y, z) ( x0, y0, z0) t(,, c), gdzie t. Powyższą zleżność nzywny równniem prmetrycznym prostej w postci wektorowej. Inny zpis tego równni m postć x x0 t, l : y y0 t, gdzie t. z z0 ct, Uwg. Powyższe równni ędą przedstwiły półproste lu odcinek, gdy prmetr ędzie przeiegł odpowiednio przedziły (, ], [, ) lu [, ]. t 9.. Równnie kierunkowe prostej. Równnie prostej przechodzącej przez punkt P0 ( x0, y0, z0) i wyznczonej przez niezerowy wektor kierunku v (,, c) m postć x x0 y y0 z z0 l :. c Ten sposó zpisu równni prmetrycznego prostej nzywmy jej równniem kierunkowym. r 0 l
Uwg (B). Ay nie ogrniczyć zkresu stosowni równni kierunkowego prostej przyjmujemy, że w minownikch powyższych ułmków mogą wystąpić zer. 9.. Równnie krwędziowe prostej. Prostą l, któr jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płszczyzn : A x B y Cz D 0, : A x B y C z D 0, ędziemy zpisywć w postci: A x B y Cz D 0, l : A x B y Cz D 0. Ten sposó zpisu prostej nzywmy jej równniem krwędziowym. Uwg. Wektor kierunkowy prostej A x B y Cz D 0, l : A x B y Cz D 0. m postć v n n ( A, B, C) ( A, B, C). A+B0 (Rzut punktu n prostą). Rzutem prostokątnym punktu n prostą l nzywmy punkt spełnijący wrunek: PP' l. Uwg. W podony sposó definiuje się rzut ukośny punktu n płszczyznę lu n prostą w kierunku ustlonego wektor. P P' tej prostej A+B (Kąt nchyleni prostej do płszczyzny). Kątem nchyleni prostej l do płszczyzny nzywmy kąt, gdzie jest kątem ostrym między wektorem normlnym płszczyzny i wektorem kierunkowym prostej. Jeżeli prost jest równoległ do płszczyzny, to przyjmujemy, ze kąt jej nchyleni do tej płszczyzny jest równy 0. Kąt nchyleni prostej o wektorze kierunkowym o wektorze normlnym n wyrż się wzorem: n v ( l, ) rcsin. n v A+B (Kąt między prostymi). Kątem między prostymi nzywmy kąt ostry utworzony przez wektory kierunkowe tych prostych. Przyjmujemy, że kąt między prostymi równoległymi jest równy 0. Kąt między prostymi l, l o wektorch kierunkowych odpowiednio v i v wyrż się wzorem l v l n v do płszczyzny
n v ( l, l) rccos. n v A+B+C (Wzjemnie położenie dwu prostych). Niech v,, c, v,, c ędą wektormi kierunkowymi prostych l i l przechodzących odpowiednio przez punkty M x, y, z i M x, y, z. Wtedy c.(a). l l v v. c.(a). ll v v cc 0..(B). są zwrte w jednej płszczyźnie.4(c). l i l x x y y z z c c l i l są skośne 0. x x y y z z c c 0. A+B4 (Odległość punktu od prostej). Odległość punktu x, y z M 0 0 0, 0 od x x y y z z prostej o równniu oliczmy ze wzoru c gdzie v,, c, i M x, y z,,, r 0 r rr 0 v d, v są wektormi wodzącymi odpowiednio punktów 0 0 0, 0 M x y z (rys. 0). Odległość d jest równ wysokości równoległooku rozpiętego n wektorch r r 0 i v. M 0 r r 0 d r 0 M r O Rys. 0. Odległość punktu od prostej.
B+C5 (Odległość między prostymi). 5.. Odległość między równoległymi prostymi x x y y z z l : i c l : x x y y z z c wyrż się wzorem d r r v v r r v. v 5.. Odległość między prostymi skośnymi d r r v v v v l i, gdzie v,, c, v,, c l ; wyrż się wzorem wodzącymi odpowiednio punktów M x, y, z i,, r i r M x y z. Uwg. Wiemy z A+B5 że równnie liniowe (4) w przestrzeni płszczyznę. Anlogiczne równnie liniowe Ax By C 0, gdzie są wektormi określ A B 0, określ prostą n płszczyźnie. Więcej informcji o geometrii nlitycznej w płszczyźnie możn przeczytć w skrypcie Terez Jurlewicz, Zigniew Skoczyls. Alger liniow, GiS, Wrocłw, 00, s. 48-59.