5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość

5. Badanie przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 1 / 43

Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 2 / 43

Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 2 / 43

Badanie przebiegu zmienności funkcji - wstęp Podstawowym i najpopularniejszym zastosowaniem rachunku pochodnych jest tak zwane badanie przebiegu zmienności funkcji. Na czym to polega? Jeśli nawet wyznaczymy wzór na zależność między jakimiś wielkościami np. ekonomicznymi, niekoniecznie kończy to analizę danego problemu. Wzór może być na tyle skomplikowany, że nie widać na pierwszy rzut oka jakościowych zależności między tymi wartościami: kiedy jedna z nich rośnie, bądź maleje? kiedy osiąga wartość optymalną? czy rośnie/maleje coraz szybciej, czy coraz wolniej? czy rośnie szybciej niż jakaś inna wielkość? Na wszystkie te pytania możemy odpowiedzieć, obliczając pochodne odpowiedniej funkcji i stosując informacje z tej części wykładu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 2 / 43

Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 3 / 43

Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 3 / 43

Badanie przebiegu zmienności - przykłady zastosowań Optymalizacja np. wyznaczenie wielkości produkcji dla której firma osiągnie maksymalny zysk. Badanie trendu np. badanie czy dla danego przedziału procentowego, podwyższenie podatków zwiększy, czy zmniejszy dochody budżetu państwa, albo czy w danym okresie czasowym liczba emigrantów wzrośnie, czy zmaleje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 3 / 43

Pochodne i monotoniczność Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które odgrywa decydującą rolę w tej części wykładu: Pochodne i monotoniczność Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 4 / 43

Pochodne i monotoniczność Zaczniemy od przypomnienia twierdzenia, które pojawiło się już w rozdziale 3, a które odgrywa decydującą rolę w tej części wykładu: Pochodne i monotoniczność Jeśli f jest funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest malejąca w (a, b). Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest rosnąca/malejąca w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d) nie oznacza, że jest rosnąca/malejąca w sumie tych przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 4 / 43

Ekstrema lokalne Ekstrema lokalne Mówimy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) < f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) < f (x 0 ). Mówimy, że f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) > f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) > f (x 0 ). Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 5 / 43

Ekstrema lokalne Ekstrema lokalne Mówimy, że f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) < f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) < f (x 0 ). Mówimy, że f ma w punkcie x 0 minimum lokalne, jeśli istnieje takie otoczenie punktu x 0, że każde x z tego otoczenia spełnia zależność f (x) > f (x 0 ). Dla x 0 R możemy ten warunek formalnie zapisać: ɛ>0 x (x0 ɛ,x 0 +ɛ)f (x) > f (x 0 ). Wszystkie minima i maksima nazywamy ekstremami funkcji. Jeśli w powyższych zdaniach możemy uzyskać tylko słabe nierówności to mówimy o słabym maksimum/minimum lokalnym. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 5 / 43

Ekstrema - rysunek Na powyższym rysunku A, B, C są maksimami lokalnymi, a D i E - minimami lokalnymi. Wszystkie nazywamy ekstremami lokalnymi. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 6 / 43

Uwaga o lokalności ekstremów rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 7 / 43

Uwaga o lokalności ekstremów Słowo lokalne w powyższych definicjach definicjach jest istotne (aczkolwiek często opuszczane). W szczególności oznacza to, że ekstremum lokalne wykryte za pomocą pochodnych nie musi być rozwiązaniem optymalnym badanego procesu. Może się okazać, że bardziej optymalne wartości badana funkcja przyjmuje w innych ekstremach, a nawet poza ekstremami. Na przykład na powyższym rysunku A i B są maksimami lokalnymi, ale na pewno nie globalnymi (wartość maksimum C jest większa). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 7 / 43

Pochodne i ekstrema lokalne Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 8 / 43

Pochodne i ekstrema lokalne Warunek konieczny istnienia ekstremum Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x 0 oraz jest w tym punkcie różniczkowalna to f (x 0 ) = 0. Twierdzenie to oznacza, że, jeśli funkcja jest różniczkowalna, to nie może mieć ekstremów w punktach innych niż te, w których pochodna się zeruje. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 8 / 43

Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 9 / 43

Warunek konieczny istnienia ekstremum - założenia Założenie o różniczkowalności w warunku koniecznym istnienia ekstremum jest ważne: Na przykład f (x) = x ma minimum lokalne w 0, a nie da się tego udowodnić jedynie za pomocą pochodnych, bo funkcja ta nie jest różniczkowalna w 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 9 / 43

Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 10 / 43

Warunek konieczny istnienia ekstremum - twierdzenie odwrotne Twierdzenie odwrotne do warunku koniecznego nie musi być prawdziwe tj. z faktu, że pochodna funkcji w jakimś punkcie się zeruje nie wynika istnienie ekstremum lokalnego w tym punkcie, a jedynie taka możliwość. Na przykład f (x) = x 3 nie ma ekstremum lokalnego w 0, mimo, że f (0) = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 10 / 43

Warunek wystarczający istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać formalna Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x 0 R oraz różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje ɛ > 0 takie, że f (x) > 0 dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) < 0 dla każdego x (x 0, x 0 + ɛ), to w punkcie x 0 funkcja f ma maksimum lokalne. Jeśli funkcja f jest ciągła w otoczeniu punktu x 0 R oraz różniczkowalna w jego otoczeniu oraz istnieje ɛ > 0 takie, że f (x) < 0 dla każdego x (x 0 ɛ, x 0 ) i f (x) > 0 dla każdego x (x 0, x 0 + ɛ), to w punkcie x 0 funkcja f ma minimum lokalne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 11 / 43

Warunek wystarczający istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum - postać nieformalna Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x 0 znak z + na, to w tym punkcie funkcja f ma maksimum lokalne. Jeśli pochodna funkcji ciągłej f zmienia (patrząc od lewej strony) w punkcie x 0 znak z na +, to w tym punkcie funkcja f ma minimum lokalne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 12 / 43

Warunek wystarczający istnienia ekstremum - ilustracja graficzna To twierdzenie można sobie zawsze logicznie wyprowadzić, analizując wykres funkcji: jeśli najpierw rośnie, a potem maleje, to w punkcie przejścia musi mieć górkę czyli maksimum. Gdy jest na odwrót, mamy dolinkę, czyli minimum. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 13 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = 15x 4 15x 3 120x 2 + 180x = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Zaczynamy zawsze od wskazania dziedziny funkcji, którą w tym przypadku jest R. Następnie obliczamy pochodną: f (x) = 15x 4 15x 3 120x 2 + 180x = 15x(x + 3)(x 2) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 14 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). f (x) < 0 x ( 3, 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) = 15x(x + 3)(x 2) 2. Porównujemy wartość pochodnej z zerem. f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ). f (x) < 0 x ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 15 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład f (x) > 0 x (, 3) (0, 2) (2, + ), więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (, 3) i w przedziale (0, + ) (jako, że w 2 wzrost się nie zatrzymuje). Nie można powiedzieć jednak, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów! f (x) < 0 x ( 3, 0), więc funkcja f jest malejąca w przedziale ( 3, 0). f (x) = 0 x { 3, 0, 2}. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w ( 3) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na ), a w 0 f ma minimum (zmiana znaku pochodnej z na +). W punkcie 2 f nie ma ekstremum, bo pochodna nie zmienia znaku. Warto jeszcze obliczyć wartości funkcji f w tych wyróżniających się punktach f (3) = 858 1 4, f (0) = 1, f (2) = 77. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 16 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) + 0-0 + 0 + Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) + 0-0 + 0 + f (x) 858 1 (maks) 4 1 (min) 77 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43

Badanie monotoniczności - przykład Zadanie Zbadać monotoniczność i wskazać ekstrema funkcji f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 Rozwiązanie zadania najlepiej zapisać w tabelce (którą będziemy jeszcze rozwijać): x (, 3) 3 ( 3, 0) 0 (0, 2) 2 (2, + ) f (x) + 0-0 + 0 + f (x) 858 1 (maks) 4 1 (min) 77 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 17 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x 0 w (0, X ) taki, że π (x 0 ) = 0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x 0 w (0, X ) taki, że π (x 0 ) = 0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x 0 funkcja zysku ma maksimum. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny Konstrukcja modelu Jeśli mamy dane różniczkowalne funkcje przychodu R(x) i kosztu C(x) od poziomu produkcji x to funkcja zysku π(x) ma postać π(x) = R(x) C(x). Jak wskazać maksimum funkcji zysku? Jaka jest interpretacja ekonomiczna tego warunku? Oczywiście R (x) > 0 i C (x) > 0 (przychody i koszty rosną z wielkością produkcji). By opłacało się rozpocząć produkcję, R (0) > C (0) (czyli π (0) > 0). Dla odpowiednio dużego poziomu produkcji X wzrost kosztów będzie szybszy od wzrostu przychodów (R (X ) < C (X )), czyli π (X ) < 0. Z własności Darboux, musi istnieć punkt x 0 w (0, X ) taki, że π (x 0 ) = 0 i pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny. W x 0 funkcja zysku ma maksimum. Zachodzi wtedy R (x 0 ) = C (x 0 ), czyli przychód krańcowy dla optymalnej wielkości produkcji musi być równy kosztowi krańcowemu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 18 / 43

Przykład ekonomiczny 2 Analogicznie możemy podejść do funkcji użyteczności u dochodu pojedynczego konsumenta uzyskiwanego dzięki jego wysiłkowi: jeśli przez g oznaczymy funkcję pożytku jaki konsument może mieć z konsumpcji dóbr uzyskanych dzięki wysiłkowi, a przez c, koszt pozyskania tych dóbr (np. włożony w to wysiłek), to u = g c. Kiedy konsument zoptymalizuje swoją użyteczność? Jak zinterpretować ten warunek? (ćwiczenie) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 19 / 43

Ekstrema lokalne i globalne Globalnie, największe i najmniejsze wartości funkcji nie muszą znajdować się w ekstremach lokalnych - a nawet funkcja nie musi ich w ogóle osiągać. Przykładowo, badana funkcja f (x) = 3x 5 15 4 x 4 40x 3 + 90x 2 + 1 osiąga największe wartości w pobliżu +, a najmniejsze w pobliżu, mimo że posiada też lokalne maksimum i minimum. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 20 / 43

Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43

Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43

Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43

Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów. Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału, a potem w punktach dla których f (x) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43

Ekstrema lokalne i globalne Jeśli jednak szukamy ekstremów globalnych funkcji na przedziale domkniętym, sprawa wygląda inaczej. Zgodnie z twierdzeniem Wieierstrassa, na przedziale domkniętym każda funkcja ciągła przyjmuje najmniejszą i największą wartość. Jeśli funkcja jest różniczkowalna, globalne ekstrema na przedziale domkniętym może przyjmować tylko w swoich ekstremach lokalnych i na końcach przedziałów. Szukając największej i najmniejszej wartości funkcji w takim przedziale, najpierw obliczamy wartości funkcji na krańcach przedziału, a potem w punktach dla których f (x) = 0. Nie musimy sprawdzać, czy te punkty faktycznie są ekstremami. Jeśli istnieją punkty, w których funkcja nie jest różniczkowalna, to dla nich również musimy policzyć wartości. Następnie spośród wszystkich obliczonych wartości wybieramy największą i najmniejszą. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 21 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 22 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Obliczamy pochodną funkcji f : f (x) = 2x(x 2) 2 +2x 2 (x 2) = 2x(x 2)(x 2+x) = 4x(x 1)(x 2). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 22 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Obliczamy pochodną funkcji f : f (x) = 2x(x 2) 2 +2x 2 (x 2) = 2x(x 2)(x 2+x) = 4x(x 1)(x 2). Jak widać, f (x) = 0, gdy x = 0, x = 1 lub x = 2 - i te punkty dopisujemy do listy podejrzanych. Dodatkowo na liście są końce przedziałów: x = 2 i x = 3. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 22 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, f (3) = 9. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, f (3) = 9. Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w 2 i tą wartością jest 64. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Ekstrema globalne - przykład Zadanie Wskazać najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = x 2 (x 2) 2 w przedziale [ 2, 3]. Lista podejrzanych : x = 0, x = 1, x = 2, x = 2, x = 3. Obliczamy wartości funkcji f w tych punktach: f (0) = 0, f (1) = 1, f (2) = 0, f ( 2) = 64, f (3) = 9. Z tej listy widzimy, że najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w 0 i 2 i tą wartością jest 0, zaś największą wartość w 2 i tą wartością jest 64. Warto zauważyć, że maksimum globalne ( 2) nie jest w tym wypadku maksimum lokalnym (bo f ( 2) 0). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 23 / 43

Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 24 / 43

Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 24 / 43

Wklęsłość i wypukłość - przypomnienie definicji Wklęsłość i wypukłość Funkcja f jest wypukła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) < αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Funkcja f jest wklęsła w przedziale [a, b] jeśli dla dowolnych, różnych punktów x 1, x 2 (a, b) i liczby α (0, 1) zachodzi f (αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf (x 1 ) + (1 α)f (x 2 ). Jeśli w powyższych definicjach mamy do czynienia ze słabymi nierównościami, mówimy o słabej wypukłości/wklęsłości. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 24 / 43

Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 25 / 43

Interpretacja geometryczna wypukłości - przypomnienie Dla funkcji wypukłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży ponad wykresem. Dla funkcji wklęsłej odcinek łączący dwa punkty wykresu leży pod wykresem. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 25 / 43

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 26 / 43

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 26 / 43

Wklęsłość i wypukłość - interpretacja Inna interpretacja wypukłości i wklęsłości jest związana z monotonicznością funkcji: otóż wypukłość oznacza, że funkcja ma tendencję wzrostową, a wklęsłość, że ma tendencję spadkową. Innymi słowy: jeśli funkcja jest rosnąca i wypukła, to znaczy, że rośnie coraz szybciej, jeśli jest rosnąca i wklęsła, to rośnie coraz wolniej, jeśli jest malejąca i wypukła to maleje coraz wolniej, a jeśli jest malejąca i wklęsła to maleje coraz szybciej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 26 / 43

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 27 / 43

Wklęsłość i wypukłość - przykłady f (x) = x 2 jest wypukła w całej dziedzinie. f (x) = x jest wklęsła w całej dziedzinie. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 27 / 43

Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 28 / 43

Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Pochodne i wklęsłość/wypukłość Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 28 / 43

Druga pochodna i wklęsłość/wypukłość Dzięki drugiej pochodnej, możemy określić, czy funkcja jest w danym przedziale wklęsła, czy wypukła - a w praktyce, jak zmienia się prędkość zmiany wartości funkcji. Pochodne i wklęsłość/wypukłość Jeśli f jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w przedziale (a, b), to: a) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) > 0, to funkcja f jest wypukła w (a, b). b) Jeśli dla każdego x (a, b) zachodzi f (x) < 0, to funkcja f jest wklęsła w (a, b). Jeszcze raz podkreślę: to, że funkcja jest wklęsła/wypukła w przedziale (a, b) i w przedziale (c, d) nie oznacza, że jest wklęsła/wypukła w sumie tych przedziałów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 28 / 43

Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 29 / 43

Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x) jest funkcją użyteczności z posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x) to funkcja u (x) jest malejąca. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 29 / 43

Przykład ekonomiczny - prawo Gossena Jak pamiętamy z wcześniejszych zajęć (oraz z mikroekonomii) prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej głosi, że wraz ze wzrostem ilości posiadanego dobra, użyteczność krańcowa z kolejnej jednostki dobra maleje (a przynajmniej nie rośnie). W języku matematycznym można powiedzieć, że jeśli u(x) jest funkcją użyteczności z posiadanego dobra w zależności od ilości tego dobra (x) to funkcja u (x) jest malejąca. Skoro funkcja różniczkowalna jest malejąca, gdy jej pochodna jest ujemna, to prawo Gossena można sformułować tak: Prawo Gossena malejącej użyteczności krańcowej Jeśli wartość dwukrotnie różniczkowalnej funkcji użyteczności u zależy tylko od ilości posiadanego pojedynczego dobra x, to u (x) < 0 dla dowolnego x > 0 z dziedziny tej funkcji. Czasem w prawie Gossena zakłada się tylko słabą nierówność na u. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 29 / 43

Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 30 / 43

Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Przykład Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego skonsumowania g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x) = g(x) c(x), gdzie x jest danym dochodem). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 30 / 43

Wklęsłość/wypukłość w ekonomii Podobnie formułuje się inne założenia na temat wielkości ekonomicznych. Zwykle te działające korzystnie mają drugą pochodną ujemną (np. prawo malejących przychodów krańcowych), a te niepożądane dodatnią (np. rosnące koszty krańcowe). Przykład Wracamy do przykładu z użytecznością dochodu zaprezentowaną jako różnica pomiędzy korzyścią z jego skonsumowania g i kosztem uzyskania dochodu c (u(x) = g(x) c(x), gdzie x jest danym dochodem). Założenia, które analizowaliśmy wcześniej sprowadzają się do prostszego zapisu: g < 0 i c > 0, skąd wynika, że korzyść krańcowa jest malejąca, a koszt krańcowy - rosnący, co jak pokazaliśmy wcześniej (slajd 18) wystarcza by zapewnić, że istnieje optimum użyteczności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 30 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = p ( 1 2 ) p 3 = 1 p Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = p ( 1 2 p 3 ) = 1 1 p 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Przykład Rozważmy Q(p) - funkcję popytu w zależności od ceny. Jak ze wzrostem ceny zmienia się wartość bezwzględna elastyczności cenowej popytu? Wydaje się, że zazwyczaj przy dużej cenie, popyt powinien stawać się elastyczny. Jednak, np. dla funkcji Q(p) = 1 p możemy obliczyć E p Q(p) = p ( 1 2 p 3 ) = 1 1 p 2. W takim przypadku elastyczność popytu jest stała i popyt dla każdej ceny jest nieelastyczny. Jednak możemy intuicyjny rezultat o elastyczności uzyskać dla wklęsłych funkcji popytu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 31 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) Q 2 (p) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) < Q 2 (p) < 0 p(q (p)) 2 Q 2 (p) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) < Q 2 (p) < 0 p(q (p)) 2 Q 2 (p) < 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43

Funkcje popytu i elastyczność Wklęsłość popytu i elastyczność Wklęsłe funkcje popytu mają rosnącą wartość bezwzględną elastyczności tj. jeśli Q(p) jest malejąca i wklęsła (i różniczkowalna), to E p Q jest funkcją rosnącą (czyli samo E p Q jest funkcją malejącą). E p Q (p) = ( pq (p) Q(p) ) = (Q (p) + pq (p))q(p) pq (p) Q (p) < Q 2 (p) < 0 p(q (p)) 2 Q 2 (p) < 0. Stąd E p Q jest malejąca i E p Q jest rosnąca - czyli popyt staje się coraz bardziej elastyczny, o ile jego funkcja jest wklęsła. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 32 / 43

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 33 / 43

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 33 / 43

Pierwsza i druga pochodna a wykres funkcji Ze względu na znak pochodnych funkcji f w zadanym przedziale (a, b), przy szkicowaniu wykresu funkcji możemy wyróżnić 4 przypadki: f > 0, f > 0 f rośnie coraz szybciej ( ). Przykład: f (x) = x 2, dla x > 0, albo f (x) = e x w całej dziedzinie. f > 0, f < 0 f rośnie coraz wolniej ( ). Przykład: f (x) = ln x, albo f (x) = x w całej dziedzinie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 5. Badanie w Krakowie) przebiegu zmienności funkcji - monotoniczność i wypukłość 33 / 43