Teoria popytu. Popyt indywidualny konsumenta

Transkrypt

1 Teoria popytu Popyt indywidualny konsumenta

2 Koszyk towarów Definicja 1 Wektor x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) taki, że x i 0 dla każdego i,w którym i-ta współrzędna oznacza ilość towaru nr i, którą konsument może kupić nazywamy koszykiem towarów (wiązka towarów). Każda współrzędna wektora x jest wyrażona w jednostkach naturalnych. X (ozn.) zbiór wszystkich dostępnych koszyków na rynku (przestrzeń towarów).

3 Przykład Rynek oferuje trzy towary A, B, C w ilościach 10,100,1000 odpowiednio. Przykładowe koszyki x=(10,5,1), y=(0,100,0). Przestrzeń towarów X={(x 1,x 2,x 3 ): 0 x 1 10; 0 x 2 100; 0 x }

4 Metryka w przestrzeni towarów Niech x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) oraz y=(y 1,y 2,y 3,...,y n ) będą koszykami towarów z przestrzeni X. Metryki w przestrzeni towarów: d(x,y)=max x i y i i metryka euklidesowa n d(x,y)= i=1 x i y i 2

5 Pojęcie relacji Definicja 0.0 Relacją dwuargumentową określoną w zbiorze X i przyjmująca wartości w zbiorze Y nazywamy (X,Y dowolne zbiory) nazywamy każdy podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y. Oznaczenia: Jeżeli R jest relacją i (x,y)ϵr to mówimy, że element x jest w relacji z elementem y, możliwym jest zapis xry.

6 Właściwości relacji Niech R oznacza relację określoną w zbiorze X X. Relacja R jest 1. zwrotna gdy x X xrx, 2. symetryczna gdy x, y X xry yrx, 3. antysymetryczna gdy x, y X xry yrx x =y, 4. przechodnia gdy x, y, z X xry yrz xrz, 5. zupełna gdy x, y X xry yrx.

7 Relacje porządkujące Def 0.1 Relacja R określona w zbiorze X X jest relacją częściowego porządku gdy jest to relacja zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. Def 0.2 Relacja R określona w zbiorze X X, która jest relacją częściowego porządku oraz dodatkowo jest relacją zupełną nazywa się relacją porządku.

8 Relacja preferencji Definicja 2. Relacja jest relacją słabej preferencji jeżeli jest: a) zwrotna, b) przechodnia, c) zupełna. Jeżeli koszyk x y, to koszyk x jest słabo preferowany względem y, inaczej koszyk x jest nie gorszy od koszyka y. Zwrotność relacji słabej preferencji oznacza, że x x.

9 Pole preferencji, silna preferencja. Polem preferencji konsumenta nazywamy parę X przestrzeń towarów oraz relacja słabej preferencji określona w zbiorze X X. Definicja 3. Dwa koszyki x i y są równoważne (inaczej indyferentne) (ozn. x~y) wtedy, gdy x y oraz y x. Koszyk x jest silnie preferowany nad koszyk y wtedy, gdy x y i jednocześnie ~(y x) (ozn. x>y).

10 Zbiory koszyków Niech x oznacza ustalony koszyk w przestrzeni towarów X. Zbiór koszyków nie gorszych niż x: K x ={y: yϵx, y x} (K >x ={y: yϵx, y>x} zbiór koszyków lepszych) Zbiór koszyków nie lepszych niż x K x ={y: yϵx, x y} (K <x ={y: yϵx, y<x} zbiór koszyków gorszych) Zbiór koszyków indyferentnych względem x K ~x ={y: yϵx, x~y} (zbiór obojętności) Właściwości: K x K x =K ~x

11 Monotoniczność relacji preferencji Relację preferencji nazywamy monotoniczną, gdy dla każdych dwóch koszyków x=(x 1,x 2,x 3,...,x n ) oraz y=(y 1,y 2,y 3,...,y n ) z przestrzeni X zachodzi implikacja: x y i x i >y i

12 Definicja 4. Ciągłość relacji preferencji. Relacja słabej preferencji jest ciągła wtedy, gdy dla każdych dwóch koszyków x i y z przestrzeni towarów X takich, że x>y istnieją otoczenia U x oraz U y takie, że dowolny element x z otoczenia U x jest w relacji silnej preferencji z dowolnym elementem y z otoczenia U y czyli x >y.

13 Twierdzenie 1. Relacja słabej preferencji jest ciągła wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego koszyka x, zbiory: zbiór koszyków nie gorszych niż x (ozn. K x ) i zbiór koszyków nie lepszych niż x (ozn. K x ) są zbiorami domkniętymi.

14 Przykład relacji preferencji Niech x=(x 1,x 2 ) oraz y=(y 1,y 2 ) oznaczają koszyki towarów z przestrzeni X. Relacja > x>y x 1 >y 1 lub (x 1 =y 1 oraz x 2 >y 2 ) Zbiór koszyków nie gorszych K >x ={y: yϵx, y>x}={(y 1,y 2 ): y 1 >x 1 lub (x 1 =y 1 oraz y 2 >x 2 ) Zbiór koszyków nie lepszych K <x ={y: yϵx, x>y}={(y 1,y 2 ): x 1 >y 1 lub (x 1 =y 1 oraz x 2 >y 2 ) Relacja > zdefiniowana powyżej nie jest ciągła.

15 Relacja wypukła Zbiór A w przestrzeni X nazywamy wypukłym wtedy, gdy x, y A α, β R + α + β = 1 αx + βy A Definicja 5. Relację nazywamy relacją wypukłą w przestrzeni X wtedy, gdy x, y, z X α, β R + α + β = 1 x y y z αx + βy z Twierdzenie 2. Relacja słabej preferencji jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór koszyków nie gorszych od koszyka x jest zbiorem wypukłym dla dowolnego koszyka x z przestrzeni towarów X.

16 Koszyk optymalny Niech A oznacza pewien zbiór zawarty w przestrzeni towarów X, (X, ) oznacza pole preferencji konsumenta. Definicja 6. Koszyk x w przestrzeni X nazywamy optymalnym w zbiorze A gdy y A x y

17 Zagadnienie koszyka optymalnego Twierdzenie 3. Jeżeli relacja preferencji (słabej preferencji) jest ciągła w przestrzeni towarów x i zbiór A jest zbiorem zwartym to w zbiorze A istnieje co najmniej jeden optymalny koszyk towarów w zbiorze A. Twierdzenie 4. Jeżeli relacja preferencji jest ciągła i wypukła w wypukłej przestrzeni towarów X a zbiór A jest zwarty i wypukły to w zbiorze A istnieje co najmniej jeden koszyk optymalny. Zbiór wszystkich koszyków optymalnych jest w tym przypadku zwartym i wypukłym podzbiorem zbioru A. Twierdzenie 5. Jeżeli relacja słabej preferencji jest ciągła i wypukła w wypukłej przestrzeni towarów X i zbiór A jest zwarty i wypukły to w zbiorze A istnieje dokładnie jeden optymalny koszyk towarów.

18 Funkcja użyteczności Definicja 6. Funkcję wielu zmiennych U: R n R określoną na przestrzeni towarów X nazywamy funkcją użyteczności konsumenta związaną z relacją > wtedy, gdy 1) x, y X x y U(x) U(y), 2) x, y X x > y U x > U(y). Twierdzenie 6 (Debreu). Jeżeli relacja preferencji jest ciągła, to istnieje ciągła funkcja użyteczności, związana z tą relacją. Twierdzenie 7. Złożenie dowolnej funkcji rosnącej (jednej zmiennej) z funkcją użyteczności związaną z pewną relacją jest także funkcją użyteczności powiązaną z tą relacją.

19 Postulaty dot. funkcji użyteczności Postulat niedosytu Funkcja U(x)=U(x 1,x 2,x 3,...,x n ) traktowana jako funkcja jednej wybranej zmiennej x i jest rosnąca przy ustalonych wartościach pozostałych zmiennych. Dla dowolnego koszyka x z przestrzeni towarów X krańcowa stopa użyteczności towaru x i jest dodatnia (ew. nieujemna). U x i > 0 Postulat lokalnego niedosytu Funkcja U(x)=U(x 1,x 2,x 3,...,x n ) nie ma lokalnych maksimów. W każdym otoczeniu dowolnego punktu x z przestrzeni towarów X istnieje punkt x taki, że U(x )>U(x). Prawo Gossena Krańcowa użyteczność każdego towaru maleje w miarę jak wzrasta jego spożycie. 2 U x i 2 < 0

20 Właściwości funkcji użyteczności Twierdzenie 7. Jeżeli relacja preferencji odpowiadająca funkcji użyteczności U(x) jest wypukła i spełniony jest postulat niedosytu to funkcja użyteczności spełnia prawo Gossena. Dodatkowo lim x i + U x i = 0 oraz lim xi 0 U x i = +.

21 Rachunek marginalny Krańcową stopą użyteczności danego towaru nazywamy wyrażenie postaci MU i (x)= U x i (x) Krańcową stopą substytucji i-tego towaru przez towar j-ty w koszyku nazywamy MRS ij (x)= U x i (x) U x j (x) = MUi(x) MU j (x)

22 Elastycznością substytucji i-tego towaru przez towar j-ty w koszyku nazywamy MRS i (x)= U x i (x) U x j (x) x i x j = MRS ij x i x j

23 Zbiór budżetowy Definicja 7. Niech x oznacza pewien koszyk z przestrzeni towarów X. Niech p i oznacza cenę jednostkową przypisaną do towaru x i z koszyka x. Wartością koszyka x nazywamy liczbę p x określoną jako n i=1 x i p i. Jeżeli I jest liczbą nieujemną, to zbiór koszyków o wartości mniejszej od I nazywamy zbiorem budżetowym (zbiór dopuszczalnych planów konsumpcji - wartość koszyka nie przekracza dochodu I). Oznaczenia: B(p,I)={x: x jest elementem przestrzeni X takim, że p x <I}

24 Zagadnienie Maksymalizacji Użyteczności Konsumenta Koszyk x w przestrzeni towarów X nazywamy optymalnym wtedy gdy spełnione są warunki: U(x )=max U x oraz p x <I x Zatem koszyk x należy do zbioru B(p,I).

25 Wybór optymalnego planu konsumpcji Twierdzenie 7. Jeżeli relacja preferencji odpowiadająca funkcji użyteczności U(x) jest ciągła i wypukła oraz spełniony jest postulat niedosytu to rozwiązaniem zagadnienia optymalizacji użyteczności konsumenta jest każde z rozwiązań układu równań: grad U(x)-λp=0 oraz I- p x =0. W postaci skalarnej: U x i (x)- λ p i =0 przy warunku p x=i.