TWIERDZENIE OSELEDECA I WYKŁADNIKI LAPUNOWA TOMASZ TKOCZ Stezczeie. Tekt zawiea otatki do efeatu z emiaium moogaficzego Układy dyamicze. Jet to w zaadzie tłumaczeie odpowiediego paagafu atykułu [Ru] dotyczącego mutipikatywego twiedzeia egodyczego tzw. twiedzeia Oeedeca. Głoi oo itieie wykładików Lapuowa. Najpiew podamy heuytycze podejście do wykładików Lapuowa a potem zajmiemy ię dowodem twiedzeia Oeedeca.. Zajawka Rozważmy gładkie pzekztałceie f : U R otwatego odcika U R. Niech I U będzie odcikiem ifiitezymaej długości. Zataówmy ię jaka jet długość odcika będącego jego -kotą iteacją. Wyoi oa f I f x I gdzie wybao pewie pukt x I. Zatem jeśi itieje gaica λ := im f x to widzimy że długość azego odcika ośie wykładiczo tz. f I f x I e λ I. Ozacza to że tak zdefiiowae λ miezy jak badzo ozbiegają ię ifiitezymaie bikie pukty końce odcika I. Pomiau zaś dokoujemy jak gdyby wzdłuż tajektoii f gdyż z eguły łańcuchowej mamy f x = Π k= f f k x. Te wpółczyik λ azywamy wykładikiem Lapuowa pzekztałceia f w pukcie x. Podaą wyżej defiicję moża ozzezyć a pzekztałceie f : M M będące dyfeomofizmem ozmaitości M. Po. wioek. 2. Twiedzeie Oeedeca Niech f : M M będzie dyfeomofizmem d wymiaowej zwatej i gładkiej ozmaitości M. Załóżmy że a M mamy miaę pobabiityczą µ i pzekztałceie f ją zachowuje. Pzypomijmy że zachodzi wzoek Df x = Df f x Df f 2 x... Df fx Df x. Motywowai im da miezaego pzekztałceia M x T T x M d d R z ozmaitości M w macieze kwadatowe d d o wpółczyikach zeczywitych o któych oczywiście myśimy jak o edomofizmach R d okeśamy T x := T f x T f 2 x... T fx T x. Zachodzi twiedzeie któe jet azym główym ceem Twiedzeie Oeedec. Jeśi x + T x L M µ to itieje zbió miezay X M pełej miay iezmieiczy w pzód tz. fx X taki że da każdego x X zachodzi T x T 2 T x Λ x da pewego pzekztałceia Λ x M d d R 2 jeśi ozaczymy wzytkie watości włae pzekztałceia Λ x pzez e λx <... < e λ xx oaz odpowiadające im podpzetzeie włae pzez U x... U x x któe ą wymiaów m x... m x x odpowiedio to fukcje x λ x x m x da =... x ą miezae i f iezmieicze a poadto T x u λ x da u V x \ V x gdzie oczywiście ozaczamy V x := j U jx.
Zaim zacziemy je pacowicie dowodzić zauważmy że pukt 2 gwaatuje że defiicja wykładików Lapuowa w ogóej ytuacji ma e. Miaowicie mamy wioek Wioek. Jeśi x + Df x L M µ to da pawie każdego x M itieje da dowoego u R d wykładik Lapuowa pzekztałceia f w pukcie x i kieuku u χx u := im Df x u. 3. Dowód twiedzeia Oeedeca Będzie am potzebe podaddytywe twiedzeie egodycze. Pzypomijmy je dowód moża zaeźć p. w [St]. Twiedzeie 2 Kigma. Niech M µ będzie pzetzeią z miaą pobabiityczą zachowywaą pzez pzekztałceie f : M M oaz g >0 ciągiem pzekztałceń miezaych M R { }. Jeśi g + L M µ a poadto g m+ g m + g f m to itieje fukcja g : M R { } o części dodatiej z L M µ g + L taka że g p.w. g. Dzięki iemu zaaz powadzimy dowód twiedzeia Oeedeca do ytuacji w utaoym pukcie czyi do dowodu poiżzego twiedzeia z ageby iiowej. Będziemy daej kozytać z ageby zewętzej pzetzei iiowej R d. Niezbęde zeczy dotyczące tego pojęcia moża zaeźć w dodatku a końcu otatek. Twiedzeie 3 o maciezach. Niech T >0 będzie ciągiem maciezy kwadatowych d d o wpółczyikach zeczywitych takich że a im T 0 b im T q itieje da każdego q =... d gdzie ozaczamy T = T... T. Wtedy T T T 2 p.w. Λ da pewego pzekztałceia Λ M d d R 2 jeśi ozaczymy wzytkie watości włae pzekztałceia Λ pzez e λ <... < e λ oaz odpowiadające im podpzetzeie włae pzez U... U to T u λ da u V \ V i =... gdzie oczywiście ozaczamy V 0 := {0} V := j U j. Dowód twiedzeia via twiedzeie 3. Wytaczy wobec twiedzeia 3 zaeźć zbió pełej miay X M taki że da każdego x z tego zbiou jeśi okeśimy T := T f x to zachodzą założeia twiedzeia 3. Z twiedzeia egodyczego itieje zbió pełej miay X 0 M taki że da każdego x X 0 S x = + T f j x E µ y + T y σ - ciało zbióów pawie iezmieiczych x Stąd więc + T f x = S x S x 0 im T f x 0. Założeie a mamy tym amym odfajkowae. Spawdzimy teaz założeie b. Utamy q d. Rozważmy ciąg fukcji g x := T x q. 2
Zauważmy że pełia o założeia podaddytywego twiedzeia egodyczego 2. Itotie g + L bo g + x = + T x q + T x q q + T x L a mocy założeia twiedzeia. Co więcej g m+ g m + g f m gdyż a omach mamy ieówość mutipikatywą T x m+ q T x m q T q f x a po zogaytmowaiu to co tzeba. m Zatem itieje zbió pełej miay X q że da x X q itieje im g x = im T x q. Bioąc zatem X := X 0 X... X d widzimy że jet dobze tz. tak jak chcieiśmy a początku dowodu aby da każdego x z tego zbiou pełej miay zachodziły założeia twiedzeia 3 da T zdefiiowaego jako T f x. Pozotaje już tyko udowodić twiedzeie o maciezach twiedzeie 3. 4. Dowód twiedzeia o maciezach Dowód twiedzeia 3. Ozaczmy pzez t... t d watości włae pzekztałceia T = T T /2 T użyiśmy tutaj ozaczeia T a tzw. moduł pzekztałceia iiowego; pojęcie to jet wyjaśioe w dodatku. Z założeia itieje im T q T = im q da q =... d więc itieje = im t d... t q d q = im t d j im t j =: χ j j =... d. Upoządkujmy te iczby χ j oąco i ozaczmy je pzez λ <... < λ. Ozaczmy jezcze da =... pzez U podpzetzeń właą opeatoa T odpowiadającą watości właej t k takiej że t k λ. Pokażemy że da utaoego podpzetzeie U zbiegają do pewej podpzetzei U co w zaadzie załatwi dowód części twiedzeia. Połużymy ię ematem któy śmiało moża azwać główym kokiem dowodowym i główym mięchem achukowym. Jego dowód odłożymy jedak do atępego paagafu. Lemat. Da δ > 0 itieje K = K δ > 0 takie że zachodzi { 2 max <u u > u U u U +k } u = u = K exp λ λ δ da k > 0 dotateczie dużych oaz wzytkich {... }. Z ematu wyika że da każdego utaoego =... ciąg podpzetzei U jet ciągiem Cauchy ego w pzetzei Gd d gamaiau d wymiaowych podpzetzei w R d. Itotie w Gd d mamy metykę ρu V := P V gdzie P U P V ozaczają zuty otogoae a 3
podpzetzeie U V odpowiedio. Da jedotkowego wektoa x mamy +k więc widać że ciąg w Gd d P U U x =<Id P U =<Id P U x Id P +k U x P +k U x P U +k x>+<id P U +k Lemat 2K exp λ λ δ pełia wauek Cauchy ego w metyce ρ. P U x> x P U Zatem U U da pewej podpzetzei U. Zaś oczywiście jeśi podpzetzeie włae opeatoa zbiegają i watości włae im odpowiadające też tak mamy da T / to opeato zbiega co dowodzi części twiedzeia. Dowodzimy teaz 2 z twiedzeia 3. Zauważmy pzede wzytkim że jeśi u U to P U u P U u = u więc pzechodząc w ieówości <P +k U u u > K exp λ λ δ u U do gaicy pzy k dotajemy 3 <u u > K exp λ λ δ u U u U. Utamy v V \ V. Chcemy udowodić że T v λ. Najpiew ozacujemy z góy. Wiemy że T a podpzetzei właej U da każdego {... } działa pawie jak homotetia tz. da x U jet T x = m= 0 t m x m gdzie t 0... t ą wzytkimi óżymi watościami właymi t k pzekztałceia T takimi że t k λ oaz x = m= 0 x m jet ozkładem wektoa x a odpowiedie wektoy włae. Ozaczając χ = max 0 m t m mamy wtedy Da zacujemy butaie T v = T v = d = χ = = 2 P U v 2 max χ P U { + max 2 χ zaś da > ozaczając pzez e... e d wobec 3 zacowaie P U v 2 = d k= d k= 3 d k= v χ v χ χ v P U v } v. x> pewą bazę otoomaą podpzetzei U mamy <v e k > 2 <P Uj v e j 2 k > 2 K exp λ λ j δ j dk 2 exp 2 λ λ δ. 4
Stąd da > Otateczie poieważ χ χ v χ + dk λ + λ + δ. λ mamy Z dołu zacuje ię łatwiej bowiem T v ψ v P U v 0 więc P U im T v λ + δ. im T v im v gdzie ψ = mi 0 m t m ψ v ] atomiat Z dowoości δ > 0 mamy 2 z twiedzeia 3. λ + im v = λ. 5. Dowód ematu Dowód ematu. Pokażemy ajpiew ozacowaie 2 da < zobaczymy a koiec dowodu że to wytaczy. Mamy atuae otogoae ozbicie całej pzetzei R d = U t + U t. t t + Ozaczmy więc te kładiki jako V := U t t V + := t + U t oaz π +. Mamy oczy- oaz zdefiiujmy zuty otogoae a te pzetzeie odpowiedio pzez π wiście Wytaczy pokazać że Id = π + π +. 4 π u K u exp λ λ δ u V bo wtedy da wektoów u U u U +k długości jede mamy <u u > = <u π +k Schwaz u + π+k u> = <u π +k u> u π +k u K u exp λ λ δ. Bez utaty ogóości możemy założyć że δ < λ λ da. Wobec im T 0 mamy T < C + δ 4 da pewej tałej C. Utamy teaz u U. Ozaczając ajwiękzą watość właą T u a podpzetzei U da dotateczie dużych. Oczywiście tąd Mamy zatem z jedej toy ozacowaie pzez t max mamy a mocy że t T u t max u u exp λ + δ. 4 max < exp T + u = T + u = T + T u T + T u = T + T u exp C + δ 4 + u exp λ + δ. 4 5 λ + δ 4
Z dugiej toy zacujemy podobie T + u T + exp + π + u λ δ 4 t + mi π+ π + u. Łącząc do kupki te dwa ozacowaia otzymujemy π + u < u exp C + δ 4 + + λ + δ 4 + δ 4 + + λ 5 Stąd 6 = u exp λ λ δ + C λ + 2 δ 4 δ }{{ 4 } <0 da dotateczie dużych u exp λ λ δ. π +k + u = π +k + π +k 5 u exp k... u + π +k + k + π +k + u λ + λ δ u exp + j λ + λ δ < K u exp λ + λ δ gdzie K = exp j λ + λ δ. Daej koo to π +k +2 = π +k +2 π +k + π +k +2 π +k + = π +k +2 π +k + π +k +2 π +k + π +k + + π +k π +k +2 u π +k +2 π +k +2 π +k + }{{} π +k +2 +2 π +k + π +k +2 π +k +2 u. u + π +k u + π +k + u +2 π +k + π +k + u Piewzy kładik zacujemy z 5 π +k +2 π +k u π +k u exp + k λ +2 λ δ u exp + k λ +2 λ δ dugi ajpiew z 5 a potem z 6 π +k +2 π +k + π +k + u π +k + π +k + u exp + k λ +2 λ + δ π +k + u exp + k λ +2 λ + δ K u exp λ + λ δ exp + k λ +2 λ + δ 6
wezcie tzeci butaie tak żeby móc do iego odgzać dowcip Otateczie π +k +2 u k π +k +2 π +k +2 u π +k +2 u. u exp + j λ +2 λ δ k + K u exp + j λ +2 λ + δ exp λ + λ δ K 2 u exp λ +2 λ 2δ. Daej podobie otzymamy da dowoego > i u V ozacowaie π +k u K u exp λ λ δ K u exp λ λ δ co dowodzi 4 w pzypadku > i tym amym fagmetu tezy ematu czyi ieówości 2 da >. Jae jet że da = ieówość 2 też zachodzi. Spóbujmy ją teaz pokazać da > być może zwiękzając tałą K. Utamy w tym ceu > oaz wektoy jedotkowe u U u U +k. Uzupełijmy u do bazy otoomaej e... e pzetzei U zóbmy z u uzupełiamy go do bazy otoomaej f... f pzetzei U +k + U uświadamiać obie tutaj że da dotateczie dużych wymiay podpzetzei U tz. zaeżą tyko od. Patzymy ię a maciez otogoaą C := [<e i f j >] ij= poiżej diagoai jet poko tz. da i j mamy zacowaie <e i f j > K exp λ λ δ.. Aaogiczie + U +k wato ą już utaoe. Wiemy już że Chcemy podobie ozacować < e j f i > bo to w zczegóości da ozacowaie a < u u >. Poieważ C T = C możemy te wyaz maciezowy poiczyć ze wzou a maciez odwotą. Wyzaczik C jet co do modułu ówy jede więc mamy <e j f i > = C ji gdzie C ji to mio powtały z C pzez keśeie j-tego wieza i i-tej koumy. Licząc go z pemutacyjego wzou a wyzaczik widzimy że każdy kładik umy po wzytkich możiwych pemutacjach będzie w potaci ioczyu czyików wyazów maciezy C pzy czym w tym ioczyie zawze wytąpi co ajmiej jede wyaz z diagoai ub poieżej iej a ań mamy już dobe ozacowaie. Pozotałe wyazy z ioczyu zacujemy oczywiście butaie pzez dotając co potzeba. Stałą K wytaczy więc zatąpić a K d!. Kończy to dowód ematu. Dodatek A. Gamaia Pzez Gk ozaczamy zbió wzytkich podpzetzei iiowych k wymiaowych w R i azywamy gamaiaem. Moża a gamaiaie wpowadzić metykę ρu V := P V U V Gk gdzie P X ozacza zut otogoay a podpzetzeń iiową X R. Łatwo zozumieć jak działa ta metyka w pzypadku iko wymiaowym p. da G 2 obiąc obie odpowiedi yuek. 7
Dodatek B. Moduł pzekztałceia iiowego Niech A: R d R d będzie pzekztałceiem iowym. Badzo pożyteczym pojęciem jet jego ymetyzacja czyi opeato A T A. Jet to pzekztałceie amopzężoe ieujemie okeśoe więc ię diagoaizuje z ieujemymi watościami właymi. Łatwo więc dzięki tej obewacji okeśić moduł pzekztałceia iiowego A A := A T A. Kuczowa jet obewacja że A x = Ax da dowoego wektoa x. Wyika bowiem z iej że A i A óżią ię mutipikatywie o izometię oaz mają tę amą omę. Kozytaiśmy z tych fakcików wieokotie. Dodatek C. Ageba zewętza Niech V będzie zeczywitą pzetzeią iiową d wymiaową z utaoą bazą e... e d. Da q {... d} okeśamy jej potęgę zewętzą jako zeczywitą pzetzeń iiową ozpiętą pzez wektoy e i... e iq da i <... < i q d pzy czym o dzióbku myśimy jak o atyymetyczym fomaym działaiu a wektoach. Pzetzeń tę ozaczamy jako q V. Jeśi a pzetzei V mamy zaday ioczy kaay to idukuje o atuay ioczy kaay a potędze q V. Otóż mówimy że e i... e iq jet bazą otoomaą a q V jeśi e i ią jet a V. Da edomofizmu A: V V możemy okeśić jego q-tą potęgę zewętzą czyi edomofizm A q : q V q V zaday a bazie jak atępuje A q e i... e iq = Ae i... Ae iq. Podtawową zaetą potęgi zewętzej opeatoa jet to że pozwaa o wydobyć ioczyy watości właych wyjściowego opeatoa z czego iteywie kozytaiśmy. Dokładie jeśi A ma watości włae t... t d to t i... t iq i <...<i q d ą watościami właymi opeatoa A q. Poadto jeśi t... t d to oczywiście A = t A q = t t... t q. W zczegóości A q A q. Nietudo pawdzić taką fuktoiaą właość potęgi zewętzej opeatoa A B q = A q B q. Jet oa badzo pożytecza bo wyika z iej iemaże atychmiat że a to wiee azy było da a użytecze. A q = A q Liteatua [Ru] David Ruee Egodic Theoy of diffeetiabe ytem It. Haute Etude Sci. Pub. Math. 50 979 27-58. [St] J. Michae Steee Kigma ubadditive egodic theoem A. It. Hei Poicaé 50 989 93-98 8