Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1

Podobne dokumenty
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera

Macierze w MS Excel 2007

GENEZA WYZNACZNIKA. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązania układu metodą eliminacji Gaussa

ALGEBRA MACIERZY. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH.

[ ] I UKŁAD RÓWNAŃ Definicja 1 Układ m równań liniowych z n niewiadomymi x 1, x 2,., x n : II ROZW. UKŁADU RÓWNAŃ PRZY POMOCY MACIERZY ODWROTNEJ

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

METODY NUMERYCZNE. Wykład 6. Rozwiązywanie układów równań liniowych. dr hab. inż. Katarzyna Zakrzewska, prof. AGH. Met.Numer.

6. Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są

MACIERZE I WYZNACZNIKI

Metoda szeregów potęgowych dla równań różniczkowych zwyczajnych liniowych. Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe drugiego rzędu ma postać

Wybrane zagadnienia. Wykład 2a. Metoda simpleks rozwiązywania zadań programowania liniowego.

Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

Operacje elementarne na macierzach. Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji Gaussa. Badanie rozwiązalności układów równań

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 7

1. Określ monotoniczność podanych funkcji, miejsce zerowe oraz punkt przecięcia się jej wykresu z osią OY

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Wykład 1 Pojęcie funkcji, nieskończone ciągi liczbowe, dziedzina funkcji, wykres funkcji, funkcje elementarne, funkcje złożone, funkcje odwrotne.

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Niech dany będzie układ równań postaci. Powyższy układ równań liniowych z n niewiadomymi można zapisać w postaci macierzowej

MATHCAD Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

Rozwiązywanie układów równań liniowych (1)

5. CIĄGI. 5.1 Definicja ciągu. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n liczbę rzeczywistej.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

CIĄGI LICZBOWE N 1,2,3,... zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Główka pracuje - zadania wymagające myślenia... czyli TOP TRENDY nowej matury.

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM ROZSZERZONY

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13 III etap zawodów (wojewódzki) 12 stycznia 2013 r.

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

7. Szeregi funkcyjne

n 3 dla n = 1,2,3,... Podać oszacowania

Struna nieograniczona

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY

Metody numeryczne. Wykład nr 3. dr hab. Piotr Fronczak

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Analiza matematyczna i algebra liniowa

4. Rekurencja. Zależności rekurencyjne, algorytmy rekurencyjne, szczególne funkcje tworzące.

Ciągi i szeregi liczbowe

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

MACIERZE I DZIAŁANIA NA MACIERZACH. Niech ustalone będzie ciało i dwie liczby naturalne,.

Liczby zespolone i wielomiany

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 2. (poziom rozszerzony) Rozwiązania zadań

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

I. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE. odwzorowań zbioru X w zbiór R [lub C] nazywamy ciągiem funkcyjnym.

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

MACIERZE STOCHASTYCZNE

1 Kryterium stabilności. 2 Stabilność liniowych układów sterowania

Def.12. Minorem stopnia k N macierzy nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH

i interpretowanie reprezentacji wykorzystanie i tworzenie reprezentacji wykorzystanie wykorzystanie i tworzenie reprezentacji

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

ZADANIA NA POCZA n(n + 1) = 1 3n(n + 1)(n + 2).

A A A A11 A12 A1. m m mn

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

Wykład 8: Całka oznanczona

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 8. CIĄGI LICZBOWE

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III A i III B Liceum Plastycznego 2019/2020

Wykład 9: Różne rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych. Prawa wielkich liczb.

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Podprzestrzenie macierzowe

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

Matematyka wybrane zagadnienia. Lista nr 4

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM klasa 2F 1. FUNKCJA LINIOWA

Definicja interpolacji

REPREZENTACJA SYGNAŁÓW

Collegium Novum Akademia Maturalna

Rozdział 1. Ciągi liczbowe, granica ciągu

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Równania liniowe. gdzie. Automatyka i Robotyka Algebra -Wykład 8- dr Adam Ćmiel,

MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

Wykład 12: Sumowanie niezależnych zmiennych losowych i jego związek ze splotem gęstości i transformatami Laplace a i Fouriera. Prawo wielkich liczb.

Szeregi o wyrazach dowolnych znaków, dwumian Newtona

Podprzestrzenie macierzowe

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

Zadania i rozwiązania prac domowych z Analizy Matematycznej 1.2 z grupy pana Ryszarda Kopieckiego, semestr letni 2011/2012.

Ciągi liczbowe podstawowe definicje i własności

nazywamy n -tym wyrazem ciągu ( f n

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Transkrypt:

lger WYKŁD 5 LGEBR

Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do mcierzy kwdrtowej zywmy mcierz ozczoą przez -, spełijącą wruek - = - =. Twierdzeie Mcierz odwrcl (tz. tk, do której istieje mcierz odwrot) jest mcierzą ieosoliwą. Mcierz odwrot - do mcierzy ieosoliwej jest ieosoliw. Wyzczik mcierzy odwrotej - jest rówy odwrotości wyzczik mcierzy det det LGEBR

Mcierz odwrot Defiicj Mcierzą dołączoą D mcierzy kwdrtowej zywmy trspozycję mcierzy utworzoej z dopełień lgericzych elemetów mcierzy, tz.: D = [ ij ] T. Twierdzeie Mcierz odwrot jest wyrżo wzorem: D det LGEBR

LGEBR 4 Przykłd Oliczyć mcierz odwrotą do mcierzy 4 Oliczmy wyzczik mcierzy 0 4 det Oliczmy dopełiei lgericze elemetów mcierzy. 0 itp, Mcierz odwrot

LGEBR 5 Przykłd (c. d.) Tworzymy mcierz dopełień lgericzych i mcierz dołączoą 0 0 0 0 D ij Oliczmy mcierz odwrotą 0 0 D Mcierz odwrot

LGEBR 6 Rozptrzmy ogólą postć ukłdu rówń liiowych z iewidomymi i, i =,,, ozczją iewidome, ik R, i, k =,,,, i R. Rozwiąziem powyższego ukłdu zywmy ciąg licz,,,, które wstwioe do ukłdu miejsce iewidomych spełiją te ukłd, tz. zmieiją go w tożsmość. Ukłdy rówń liiowych

Ukłdy rówń liiowych Defiicj Mcierz współczyików ukłdu rówń zywmy mcierzą (główą) ukłdu rówń. LGEBR 7

LGEBR 8 Ukłd rówń liiowych moż zpisć z pomocą rówi mcierzowego m, w skrócie B X gdzie Kolum wyrzów wolych Kolum iewidomych ukłdu rówń B X Ukłdy rówń liiowych

Ukłd Crmer Defiicj Wyzczikiem ukłdu rówń zywmy wyzczik mcierzy. Defiicj Ukłdem Crmer zywmy ukłd rówń, którego wyzczik jest róży od 0 (tz. mcierz ukłdu jest ieosoliw). Wyik stąd, że dl ukłdu Crmer mcierz odwrot - zwsze istieje! Możąc lewostroie przez - oie stroy rówi mcierzowego otrzymujemy wektor rozwiązń X - (X) = - B ( - )X = - B I X = - B X = - B czyli X = - B LGEBR 9

Ukłd Crmer Rozwiązywie ukłdu Crmer - metod mcierzow Krok. Oliczmy mcierz - odwrotą do. Krok. Możymy lewostroie wektor wyrzów wolych B przez mcierz - otrzymując wektor iewidomych X X = - B LGEBR 0

Ukłd Crmer Rozwiązywie ukłdu Crmer - metod wyzczikow (wzory Crmer) Wykoując stosukowo proste przeksztłcei otrzymego wzoru moż wykzć, że rozwiązie ukłdu rówń dje się zpisć w postci det det,, det det j det det j, det det gdzie j jest mcierzą utworzoą przez zstąpieie w mcierzy kolumy o umerze j, kolumą wyrzów wolych, j =,,,. Powyższ postć rozwiązi ukłdu rówń osi zwę wzorów Crmer. LGEBR

LGEBR Przykłd Rozwiązć ukłd rówń: 8 9 Oliczmy kolejo wyzcziki: 5, det 75 8 9 det 50, 8 9 det 5, 8 9 det Stąd: =, =, =. Ukłdy rówń liiowych

Ukłdy rówń liiowych Defiicj Ukłd rówń liiowych zywmy ukłdem jedorodym, gdy wszystkie jego wyrzy wole są rówe zeru, w przeciwym przypdku ukłd rówń zywmy ukłdem iejedorodym. Ukłd jedorody m zwsze rozwiązie zerowe = 0, = 0,, = 0. Z fktu, że ukłd Crmer m dokłdie jedo rozwiązie, wyik że: Rozwiązie zerowe jest jedyym rozwiąziem ukłdu jedorodego, gdy jest o ukłdem Crmer. Wrukiem koieczym to, y ukłd jedorody mił rozwiązie iezerowe jest, y ie ył o ukłdem Crmer, więc y det = 0. LGEBR

Rząd mcierzy Defiicj Podmcierz mcierzy jest to mcierz powstł przez skreśleie w mcierzy pewej liczy wierszy i kolum. Defiicj Wyzczik kwdrtowej podmcierzy zywmy miorem. Defiicj Rzędem mcierzy zywmy jwyższy ze stopi jej różych od zer miorów. Rząd mcierzy ozczmy symolem rz, lu rk. Mcierz zerow m rząd rówy 0. Uwg Dl dowolej mcierzy o wymirze m rz mi(m, ). LGEBR 4

LGEBR 5 Przykłd Oliczyć rząd mcierzy 9 8 7 6 5 4 Poiewż det = 0 jej rząd jest <. Wyiermy wiec podmcierze mcierzy wymiru i oliczmy ich wyzcziki, p. 0 8 5 5 4 Zleźliśmy mior stopi róży od 0, ztem rząd mcierzy jest rówy. Rząd mcierzy

Rząd mcierzy Włsości rzędu mcierzy Poiższe opercje ie zmieiją rzędu mcierzy (czkolwiek zmieiją smą mcierz):. trspozycj. odrzuceie wiersz (kolumy) złożoego z smych zer. pomożeie lu podzieleie wszystkich elemetów pewego wiersz (kolumy) przez tę smą liczę różą od zer 4. dodie do elemetów pewego wiersz (kolumy) odpowiedich elemetów iego wiersz (kolumy) pomożoych przez tę smą liczę 5. dodie do elemetów pewego wiersz (kolumy) komicji liiowej odpowiedich elemetów pozostłych wierszy (kolum) 6. odrzuceie jedego z dwóch wierszy (kolum) o odpowiedich elemetch proporcjolych 7. odrzuceie wiersz (kolumy) ędącego komicją liiową pozostłych wierszy (kolum). LGEBR 6

LGEBR 7 Rozwżmy ukłd m rówń liiowych z iewidomymi m m m m o współczyikch ik orz i. Mcierz ukłdu rówń wymiru m m postć m m m, Ogól postć ukłdu rówń liiowych

Ogól postć ukłdu rówń liiowych Defiicj Mcierz rozszerzo jest to mcierz powstł przez dopisie do mcierzy główej ukłdu rówń wektor wyrzów wolych C m m m m (ie ozczeie mcierzy rozszerzoej B). LGEBR 8

Ogól postć ukłdu rówń liiowych Twierdzeie (Kroecker Cpellego) Jeżeli rzędy mcierzy ukłdu rówń orz mcierzy rozszerzoej są soie rówe orz są rówe liczie iewidomych rz = rz C =, to ukłd rówń m dokłdie jedo rozwiązie (ukłd ozczoy). Jeżeli rzędy mcierzy ukłdu rówń orz mcierzy rozszerzoej są soie rówe, le są miejsze od liczy iewidomych rz = rz C <, to ukłd rówń m ieskończeie wiele rozwiązń (ukłd ieozczoy). Jeżeli rząd mcierzy główej jest miejszy iż rząd mcierzy rozszerzoej rz < rz C, to ukłd rówń ie m rozwiązń (ukłd sprzeczy). LGEBR 9

Ogól postć ukłdu rówń liiowych lgorytm rozwiązywi ukłdu rówń liiowych X = B Krok. Wyzczmy rząd mcierzy ukłdu. Krok. Wyzczmy rząd mcierzy rozszerzoej B. Jeżeli rz < rz B, to koiec procedury - ukłd rówń jest sprzeczy. Jeżeli rz = rz B, to krok. Krok. Rozwiązujemy ukłd rówń. ) Jeżeli rz = rz B = licz iewidomych, to ukłd rówń jest ozczoy (moż go rozwiązć p. stosując wzory Crmer), ) Jeżeli rz = rz B = r < licz iewidomych, ukłd rówń jest ieozczoy. y go rozwiązć wyiermy z ukłdu r rówń odpowidjących ieosoliwej podmcierzy rzędu r. Pozostwimy po lewej stroie iewidome związe z podmcierzą, zś pozostłe przeosimy drugą stroę rówi i trktujemy jko prmetry rozwiązi. Odrzucoe rówi ędą spełioe przez zlezioe rozwiązie. LGEBR 0

Dziękuję z uwgę