Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. 2. Ze zbioru elemetowego losujemy ze zwracaiem r elemetów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś elemet się powtórzył? 3. Siedmiu pasażerów przydzieloo losowo do trzech wagoów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że i) wszyscy trafili do jedego wagou, ii) w każdym wagoie zalazło się przyajmiej dwóch z tych pasażerów? 4. Z klasy liczącej 11 chłopców i 13 dziewczyek wylosowao czteroosobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w skład delegacji wchodzi więcej chłopców iż dziewczyek. 5. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w brydża gracz N otrzymał a) wszystkie karty różej wartości; b) dokładie dwa piki; c) co ajmiej dwa piki; d) dwa piki, 3 kiery, 4 kara, 4 trefle; e) układ 4432; f) układ 4441. 6. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w pokera talią 24 kartową gracz otrzyma z ręki a) parę b) dwie pary c) straighta d) trójkę e) fulla f) karetę g) kolor h) pokera. 7. 10 jedakowych ciastek rozdzieloo między czwórkę dzieci w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, iż a) Jacek otrzymał dokładie 1 ciastko b) Jacek otrzymał co ajmiej 1 ciastko c) każde z dzieci otrzymało co ajmiej 1 ciastko 1
8. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w lotto spośród 49 liczb wylosowaa będzie szóstka ie zawierająca dwu kolejych liczb. 9. a) Ile różych słów (iekoieczie sesowych) moża utworzyć permutując litery słowa MATEMATYKA? b) Jeśli wybierzemy losowo któreś z tych słów jakie jest prawdopodobieństwo tego, że litery T ie stoją obok siebie? 10. Klasa liczy 15 ucziów, a każdej lekcji do odpowiedzi jest losoway jede uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń będzie przepytay. 11. W szafie zajduje się par butów, a chybił trafił wybieramy z ich k butów przy czym k. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowaych butów jest coajmiej jeda para, b) wśród wylosowaych butów jest dokładie jeda para. 12. a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym umieszczeiu N listów w N zaadresowaych kopertach żade list ie trafi do właściwego adresata? b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładie k listów trafi do właściwych adresatów? 2
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 2 1. Z przedziału [0, 1] wybrao w sposób losowy dwa pukty, które podzieliły go a trzy odciki. Jaka jest szasa, że z tych odcików da się zbudować trójkąt? 2. (Igła Buffoa) Igłę o długości l rzucoo w sposób losowy a płaszczyzę z zazaczoymi liiami rówoległymi. Odległość między sąsiedimi liiami wyosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetie którąś z liii. 3. (Paradoks Bertrada) Z okręgu wybrao w sposób losowy cięciwę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ma oa długość większą od długości boku trójkąta rówoboczego wpisaego w okrąg. 4. Odciek P Q jest średicą okręgu. Na okręgu wybieramy a chybił trafił dwa pukty A i B. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jede z łuków AB zawiera oba pukty P i Q? 5. Na ieskończoą szachowicę o boku 1 rzucoo moetę o średicy 2 3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że moeta a) zajdzie się całkowicie we wętrzu jedego z pól, b) przetie się z dwoma bokami szachowicy? 6. Załóżmy, że P(A B) = 1/2, P(A B) = 1/4, P(A \ B) = P(B \ A). Oblicz P(A) i P(B \ A). 7. Załóżmy, że A B C = Ω, P(B) = 2P(A), P(C) = 3P(A), P(A B) = P(B C) = P(A C). Wykaż, że 1/6 P(A) 1/4. 8. Załóżmy, że P(A) 2/3, P(B) 2/3, P(C) 2/3 i P(A B C) = 0. Oblicz P(A). 9. Wykaż, że dla dowolych zdarzeń A 1,..., A zachodzą ierówości i=1 ( ) P(A i ) P A i i=1 10. Wyzacz σ ciało geerowae przez a) dwa zbiory A i B; b) trzy zbiory A, B i C. 11. Czy istieje σ-ciało złożoe z 7-elemetów? P(A i ) P(A i A j ). i=1 1 i<j 3
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 3 1. Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek stoi bezpośredio przed Agatką, jeśli Agatka stoi bezpośredio przed Dorotką; b) Jacek stoi przed Agatką, jeśli Agatka stoi przed Dorotką; c) Jacek stoi przed Agatką, jeśli wiemy, że Agatka ie stoi ostatia. 2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracaia. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowaliśmy dokładie 3 asy, jeśli wiadomo, że a) mamy co ajmiej jedego asa; b) mamy co ajmiej jedego asa czarego koloru; c) mamy asa pik; d) pierwszą wylosowaą kartą jest as; e) pierwszą wylosowaą kartą jest czary as; f) pierwszą wylosowaą kartą jest as pik. 3. Z odcika [0, 1] wylosowao a chybił trafił dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a) większa z liczb jest miejsza iż 1/2; b) większa z liczb jest miejsza iż 1/2, jeśli wiadomo, że miejsza z liczb jest większa iż 1/4; c) większa z liczb jest miejsza iż 1/2, jeśli wiadomo, że któraś z liczb jest większa iż 1/4. 4. W urie zajduje się b kul białych i c kul czarych. Losujemy z ury po jedej kuli a astępie zwracamy ją do ury dokładając a kul tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) pierwsza i druga wylosowaa kula będzie biała; b) druga wylosowaa kula będzie biała; c) za pierwszym razem wylosowao kulę białą, jeśli wiemy, że za drugim razem wylosowao kulę białą; d) w pierwszych trzech losowaiach wylosujemy kule tego samego koloru. 5. Test a rzadką chorobę, którą dotkiętą jest jeda osoba a 5 tysięcy, daje fałszywą pozytywą odpowiedź u osoby zdrowej w 2% przypadków, a u osoby chorej zawsze daje pozytywy wyik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba u której test przyiósł wyik pozytywy jest faktyczie chora? 6. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeśli w teście diagostyczym uczeń popełi 6 lub więcej błędów, to zostaje uzay za dyslektyka. Każdy dyslektyk a pewo popełi co ajmiej 6 błędów w takim teście, ale rówież ie-dyslektyk może popełić więcej 4
iż 5 błędów z prawdopodobieństwem 1/10. Jasio popełił w teście 6 błędów - jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest dyslektykiem? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w kolejym teście popełi co ajmiej 6 błędów? 7. Prawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma dzieci jest rówe { αp dla = 1, 2,... p = 1 =1 αp = 1 αp 1 p dla = 0. Zakładając, że wszystkie 2 rozkładów płci dzieci w rodziie o dzieciach jest rówoprawdopodobe oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybraa rodzia ma a) co ajmiej jedą córkę; b) dokładie jedą córkę? c) Losowo wybraa rodzia ma przyajmiej jedą córkę, jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest oa jedyaczką? 8. W Małej Większej są dwie szkoły podstawowe - SP1 i SP2. Przeprowadzoe pod koiec roku szkolego egzamiy wykazały, że większy procet dziewczyek w SP1 potrafi rozwiązać układ rówań iż w SP2 podobie większy procet chłopców z SP1 potrafi to zrobić iż w SP2. Czy zaczy to, że statystycze dziecko ze szkoły r 1 lepiej wypadło w rozwiązywaiu układu rówań od statystyczego dziecka ze szkoły r 2? 5
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 4 1. Rzucamy dwa razy kostką. Rozważmy zdarzeia: A za pierwszym razem wypadła liczba oczek podziela przez trzy, B za drugim razem wylosowao liczbę oczek podzielą przez trzy, C suma wyrzucoych oczek jest parzysta. Czy zdarzeia A, B, C są parami iezależe? Czy są iezależe? 2. Na kartkach zapisao różych liczb rzeczywistych, astępie kartki włożoo do pudełka, wymieszao i losowao kolejo bez zwracaia. Niech A k ozacza zdarzeie, że k-ta z wylosowaych liczb jest większa od wszystkich poprzedich. Wykaż, że P(A k ) = 1/k oraz zdarzeia A 1, A 2,..., A są iezależe. 3. Rzucoo kostkami do gry. Określmy zdarzeia A k - a k-tej kostce wypadła szóstka, 1 k oraz A +1 - suma wyrzucoych oczek jest podziela przez 6. Wykaż, że dowole spośród zdarzeń A 1,..., A +1 jest iezależych, ale łączie zdarzeia A 1,..., A +1 ie są iezależe. 4. Wyzacz ajbardziej prawdopodobą liczbę sukcesów w schemacie Beroulliego. 5. Rzucoo 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli wiadomo, że a) w 10 rzutach wypadło dokładie 7 szóstek b) w 9 astępych rzutach wypadło dokładie 7 szóstek. 6. Rzucamy kostką do mometu aż wypadie piątka lub po raz trzeci szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucimy dokładie razy. 7. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jedego dia a autostradzie będzie k wypadków jest rówe 5 k e 5 /k!, k = 1, 2,.... Prawdopodobieństwo tego, że w daym wypadku będzie uczesticzył samochód czerwoy jest 1/3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jedego dia a autostradzie będzie k wypadków z udziałem samochodów czerwoych. 8. Niech X ozacza ajdłuższą serię orłów w rzutach moetą symetryczą. Wykaż, że a) P(X a log 2 ) 0 przy dla a < 1, b) P(X a log 2 ) 1 przy dla a > 1. 6
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 5 1. Rzucamy ieskończeie wiele razy kostką. Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 wystąpi ieskończeie wiele serii złożoych z 2017 szóstek pod rząd. 2. Rzucamy ieskończeie wiele razy moetą a której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Przez A ozaczmy zdarzeie, że w pierwszych rzutach wypadło tyle samo orłów, co reszek. Wykaż, że i) jeśli p 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie skończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,... ii*) jeśli p = 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,... 3. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe oraz P(A ) < 1 dla wszystkich. Wykaż, że astępujące waruki są rówoważe: i) z prawdopodobieństwem 1 zajdzie przyajmiej jedo ze zdarzeń A, ii) z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele zdarzeń A. 4. Jaś i Małgosia raz w tygodiu grają w teisa. Prawdopodobieństwo, że w pojedyczym meczu zwycięży Małgosia jest rówe p (0, 1). Niech X ozacza umer meczu w którym Małgosia wygrała z Jasiem po raz k-ty. Zajdź rozkład X. 5. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X ozacza miimum, a Y maksimum z uzyskaych liczb oczek. Zajdź rozkłady zmieych X i Y i sprawdż, że 7 X ma te sam rozkład co Y. Jak się zmiei odpowiedź, gdy będziemy rzucać 10 razy? 6. Na przestrzei losowej Ω = [0, 1] z prawdopodobieństwem geometryczym określamy zmiee losowe. X(t) = t(1 t), Y (t) = 1 [0,1/2] (t). i) Wykaż, że X i Y są zmieymi losowymi ii) Wyzacz σ-ciała σ(x) i σ(y ). iii) Czy zmiea Y jest σ(x)-mierzala? Czy zmiea X jest σ(y )-mierzala? iv) Wyzacz dystrybuaty zmieych X i Y. 7. Niech X 1, X 2,..., X będą zmieymi losowymi a pewej przestrzei probabilistyczej oraz S k = X 1 +... + X k dla 1 k. Wykaż, że σ(x 1, X 2,..., X ) = σ(s 1, S 2,..., S ). 8. Na pewym skrzyżowaiu zieloe światło dla pieszych świeci się przez 30 sekud, a czerwoe przez 2 miuty (ie ma światła żółtego). Pa Abacki przychodzi a skrzyżowaie w losowym momecie czasu. a) Zajdź dystrybuatę czasu oczekiwaia przez paa Abackiego a zieloe światło. b) Pa Abacki czeka już miutę a zieloe światło. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie musiał czekać jeszcze poad pół miuty? 7
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 6 1. Zmiea losowa X ma dystrybuatę 0 dla t < 0 1 1 F X (t) = 7 + 2t dla 0 t < 14 2 7 + t dla 1 14 t < 3 7 1 dla t 3 7. Oblicz P(X 3 7 ), P(0 < X < 3 1 7 ), P(X = 0), P( 14 X 3 7 ). 2. Dystrybuata zmieej losowej X ma postać 0 dla t < 0 1 F X (t) = 2t dla 0 t < 2 1 dla t 2. Zajdź dystrybuatę zmieych mi(1, X) i max(x, X 2 ). 3. Niech F : R [0, 1] będzie prawostroie ciągłą, iemalejącą fukcją taką, że lim t F (t) = 1 oraz lim t F (t) = 0. Wykaż, że F jest dystrybutą pewej zmieej losowej. Wskazówka. Określmy Ω = (0, 1) z prawdopodobieństwem geometryczym, zaś zmieą losową X jako X(t) = sup{s: F (s) t}, t (0, 1). 4. Zajdź wszystkie zmiee losowe X o wartościach aturalych, takie, że P(X ) > 0 oraz P(X + m X ) = P(X m) dla wszystkich liczb aturalych, m. 5. Podaj przykład zmieej o rozkładzie dyskretym, której dystrybuata jest ściśle rosąca. 6. Zmiea losowa X ma gęstość cx 2 1 [0,5] (x). Zajdź liczbę c oraz dystrybuatę zmieej X. 7. Załóżmy, że dystrybuata F zmieej losowej X jest ciągła i kawałkami klasy C 1. Wykaż, że X ma rozkład ciągły (z gęstością g = F ). 8. Zajdź rozkład zmieej ax + b oraz e X, gdy X ma rozkład wykładiczy z parametrem λ. 9. Zajdź rozkłady zmieych bx + c, e X i X 2, gdy X ma rozkład ormaly N (a, σ 2 ). 10. Podaj przykład zmieej X o ciągłej dystrybuacie, która ie ma rozkładu ciągłego (tz. ie ma gęstości). 8
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 7 1. Załóżmy, że P(X = 0) = P(X = 1) = 1 4 oraz P(X = 5) = 1 1 2. Oblicz EX, E X+1, E si(πx) i Var(X). 2. Oblicz Et X dla t R i X o rozkładzie Poissoa z parametrem λ (tz. P(X = k) = λ k e λ /k! dla k = 0, 1,...). 3. Zmiea losowa X ma gęstość g(x) = 3 8 x2 I [0,2] (x). Oblicz EX, E 1 2+X oraz Var(X2 ). 4. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu geometryczego z parametrem p (umer pierwszego sukcesu w schemacie Beroulliego). 5. Roztrzepaa sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Niech X ozacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 6. Do klasy chodzi 20 ucziów. Nauczyciel a każdej lekcji pyta losowo wybraego uczia. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację liczby ucziów przepytaych w ciągu 15 lekcji. 7. Każdy bok i przekątą siedmiokąta pomalowao w sposób losowy a jede z trzech kolorów (zakładamy, że kolory różych odcików są dobierae iezależie i każdy z trzech dostępych kolorów jest wybieray z jedakowym prawdopodobieństwem). Oblicz wartość oczekiwaą liczby jedobarwych trójkątów o wierzchołkach bedących wierzchołkami siedmiokąta. 8. Niech (π(1),..., π()) ozacza losową permutację zbioru {1,..., }. Niech N ozacza ajwiększą liczbę taką, że π(k) > π(k 1) dla k N. Oblicz EN. 9. Kij o długości 1 złamao w losowym pukcie. Oblicz wartość oczekiwaą stosuku i) długości kawałka prawego do długości lewego, ii) długości kawałka krótszego do długości kawałka dłuższego. 10. Zmiee losowe X, Y spełiają waruki Var(X) = 2, Var(Y ) = 4, Cov(X, Y ) = 1. Oblicz Var(2X 3Y ) i Cov(5X + 2Y, X 3Y ). 9
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 8 1. Dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma rozkład z gęstością g(x, y) = cxy1 {0 x y 1}. i) Zajdź stałą c oraz rozkłady zmieych X i Y. ii) Oblicz Cov(X, Y ). Czy zmiee X, Y są iezależe? iii) Oblicz P(X + Y 1). iv) Zajdź rozkład zmieej X/Y. Czy zmiea X/Y jest iezależa od Y? 2. Z talii 52 kartowej losujemy 5 razy ze zwracaiem po jedej karcie. Niech X ozacza liczbę wyciągiętych pików, Y - kierów, a Z - waletów. Czy zmiee X i Y są iezależe? Czy zmiee X i Z są iezależe? 3. Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe oraz P(X i = ±1) = 1/2. i) Czy zmiee X 1 + X 2, X 1 X 2 są iezależe? ii) Czy zmiee X 1 + X 2, X 3, X 4 + X 5 X 6 są iezależe? iii) Czy zmiee X 1, X 1 X 2,..., X 1 X 2 X są iezależe? 4. Zmiea X jest iezależa od samej siebie. Wykaż, że istieje liczba c taka, że P(X = c) = 1. 5. Zmiee X 0, X 1,... są iezależe i mają jedakowy rozkład z ciągłą dystrybuatą. Niech N := if{ : X > X 0 }. Zajdź rozkład N i oblicz EN. 6. Dla t [0, 1] i = 1, 2,... iech X (t) ozacza -tą cyfrę rozwiięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwiięć wybieramy to ze skończoą liczbą 1). Udowodij, że X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi a ([0, 1], B([0, 1]), ). 7. Zmiee losowe X 1,..., X są iezależe, przy czym X i ma rozkład wykładiczy z parametrem λ i. Zajdź rozkład zmieej max{x 1,..., X }. 8. Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1. Wyzacz rozkłady zmieych X oraz {X}. Czy zmiee te są iezależe? 9. Zmiee losowe X i Y są iezależe oraz mają rozkłady geometrycze z parametrami odpowiedio p i q. Oblicz P(X Y ). 10. Zmiee losowe X i Y są iezależe oraz mają rozkłady wykładicze z parametrami odpowiedio λ i µ. Oblicz P(X Y ). 11. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym dystrybuata X jest ciągła. Wykaż, że P(X = Y ) = 0. 10
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 9 1. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład N (0, 1). Zajdź łączy rozkład wektora losowego (X + Y, X Y ). Co moża powiedzieć o jego współrzędych? 2. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym z parametrami λ i µ, zajdź rozkład zmieej X/Y. 3. Zmiee X, Y są iezależe i mają rozkład jedostajy a przedziale [ 1, 1]. Oblicz P(X 2 + Y 2 1). 4. Zmiee losowe X 1,..., X są iezależe i mają rozkłady Poissoa z parametrami λ 1,..., λ. Wykaż, że X 1 + X 2 +... + X ma rozkład Poissoa z parametrem λ 1 + λ 2 +... + λ. 5. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład geometryczy z parametrami odpowiedio p i q. Zajdź rozkład X + Y oraz X Y. 6. Mówimy, że zmiea X ma rozkład Γ z parametrem r > 0 (oz. X Γ(r)), jeśli X ma gęstość g r (x) = 1 Γ(r) xr 1 e x I {x 0}, gdzie Γ(r) = 0 x r 1 e x dx. a) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz X i Γ(r i ), to X 1 +... + X Γ(r 1 +... + r ). b) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz każda z ich ma rozkład wykładiczy z parametrem λ, to X 1 +... + X 1 λγ(). (Uwaga. Rozkład aγ(r) w zależości od przyjetej kowecji się ozacza jako rozkład Γ(r, a) lub Γ(r, 1/a).) c) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz X i N (0, 1), to X1 2 +... + X 2 2Γ(/2). (Uwaga. Rozkład te występuje w wielu zastosowaiach statystyczych i się azywa rozkładem chi kwadrat o stopiach swobody.) 7. Zmiee X 1, X 2, ε 1, ε 2 są iezależe, przy czym X i mają rozkład wykładiczy z parametrem λ, a P(ε i = ±1) = 1/2. Zajdź rozkład ε i X i, X 1 X 2 oraz ε 1 X 1 + ε 2 X 2. 11
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 10 1. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację astępujących rozkładów probabilistyczych: i) dwumiaowego z parametrami, p, ii) Poissoa z parametrem λ, iii) geometryczego z parametrem p, iv) jedostajego a przedziale [a, b], v) wykładiczego z parametrem λ, vi) ormalego N (a, σ 2 ). 2. Załóżmy, że P(X = 1) = P(X = 1) = 1/4 oraz P(X = 0) = 1/2. Zajdź mediaę X oraz X. 3. Zajdź mediaę rozkładu wykładiczego z parametrem λ. 4. Mówimy, że zmiea losowa X jest symetrycza, jeśli zmiee X i X mają te sam rozkład. Wykaż, że astępujące waruki są rówoważe: i) X jest symetrycza, ii) X ma te sam rozkład, co εx, gdzie ε jest iezależe od X i P(ε = ±1) = 1/2, iii) Ef(X) = 0 dla dowolej ieparzystej, ograiczoej fukcji f. 5. Wykaż, że, jeśli X P X oraz X P Y, to P(X = Y ) = 1. 6. Wykaż, że X P X wtedy i tylko wtedy, gdy E mi( X X, 1) 0. 7. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem zmieych iezależych o jedakowym rozkładzie takim, że E X <. Wykaż, że 1 max i X i P 0. 8. Wykaż, że jeśli zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz mają jedakowy rozkład taki, że EX 2 i <, to X 1 +... + X EX 1 wg prawdopodobieństwa. 9. Ciągi zmieych losowych (X ) 1 oraz (Y ) 1 są zbieże według prawdopodobieństwa odpowiedio do X i Y. Udowodij, że i) ciąg X + Y jest zbieży do X + Y według prawdododobieństwa, ii) ciąg X Y jest zbieży do XY według prawdododobieństwa. 10. Daa jest całkowala zmiea losowa X. Określamy dla 1, dla X(ω) < X (ω) = X(ω) dla X(ω) dla X(ω) >. Czy ciąg X jest zbieży prawie a pewo? Czy jest zbieży w L 1? 12
11. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, mają te sam rozkład oraz P( X i < 1) = 1. Wykaż, że ciąg R = X 1 X 2 X zbiega do 0 p... 12. Zmiee (X ) 1 są iezależe, przy czym X ma rozkład Poissoa ze średią 1/. Zbadaj zbieżość ciągu X i) według prawdopodobieństwa; ii) prawie a pewo; iii) w L 2 i L 3/2. 13. Liczby p, q > 1 spełiają waruek 1/p + 1/q = 1. Wykaż, że jeśli X zbiega do X w L p oraz Y zbiega do Y w L q, to X Y zbiega do XY w L 1. 14. Zmiee (ε ) 1 są iezależymi zmieymi Rademachera, tz. P(ε i = ±1) = 1/2. Zajdź wszystkie ciągi a takie, że szereg =1 a ε jest zbieży p... 15. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, ieujeme, mają te sam rozkład oraz P( X i = 0) < 1. Wykaż, że =1 X = p... 13
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 11 1. Dae są iezależe zmiee losowe X 1, X 2,... takie, że X ma rozkład jedostajy a [, ]. Wyzacz wszystkie liczby p dla których szereg 1 X jest zbieży prawie p a pewo. 2. Załóżmy, że P(X = ) = P(X = ) = 1 2 2 oraz P(X = 0) = 1 1 2 dla = 1, 2,.... Wykaż, że 1 X jest zbieży p.. oraz 1 Var(X ) =. 3. Day jest ciąg (X ) 1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. i) Wykaż, że jeśli λ > 1, to z prawdopodobieństwem 1, X < log dla dużych, a jeśli λ 1, to z prawdopodobieństwem 1, X log dla ieskończeie wielu. ii) Zbadaj zbieżość według prawdopodobieństwa i prawie a pewo ciągu (X / log ) 1. 4. Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Pokaż, że ciągi zmieych losowych a) X 1X 2 + X 2 X 3 +... + X X +1, b) X 1 + X 2 +... + X X1 2 + X2 2 +... + X2 są zbieże prawie a pewo i wyzacz ich graice. 5. Day jest ciąg (X ) 1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie Poissoa z parametrem 2016. Wykaż, że ciąg zmieych losowych X 1 X 2 X 3 + X 2 X 3 X 4 +... + X X +1 X +2 jest zbieży prawie a pewo i zajdź jego graicę. 6. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, przy czym X ma rozkład jedostajy a przedziale (1/, 1]. Udowodij, że ciąg średich X 1 + X 2 +... + X jest zbieży prawie a pewo i oblicz jego graicę. 7. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie jedostajym a [0, 2]. Czy ciąg M = (X 1 X 2 X ) 1/ jest zbieży p..? Jeśli tak, to do jakiej graicy? 14
8. Oblicz graice 1 1 x 2 1 a) lim... +... + x2 dx 1... dx, 0 0 x 1 +... + x 1 1 1 b) lim... x 2 1 +... + x2 dx 1... dx, 1 c) lim d) lim 0 0... 0 1... 0 0 0 ( x1 +... + x f e (x 1+...+x ) dx 1... dx. + x 1 +... + x ) dx 1... dx, gdzie f : [0, 1] R jest fukcją ciągłą, 9. Zmiee X i Y są zbieże według prawdopodobieństwa do zmieych X i Y odpowiedio. Wykaż, że jeśli dla każdego, zmiea X ma te sam rozkład co zmiea Y, to zmiee X i Y mają jedakowy rozkład. 10. Wykaż, że jeśli δ jest ciągiem liczb dodatich zbieżych do 0 takim, że =1 P( X X δ ) <, to X X p... 11. Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe i mają średią zero i skończoe czwarte momety. Wykaż, że 4 E X i = EXi 4 + 6 EXi 2 EXj 2. i=1 i=1 1 i<j 12. Niezależe zmiee losowe X 1, X 2,... mają średią zero oraz M := sup EX 4 <. Wykaż, że 1 i=1 X i zbiega do 0 p.. 13. Wykaż, że dla dowolego ciągu (X ) 1 iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie takim, że E X i < ciąg średich X 1 + X 2 +... + X EX 1 w L 1 przy. 14. Załóżmy, że zmiea N ma rozkład Poissoa z parametrem. Wykaż, że N / 1 w L 1 przy. 15. Niech f bedzie fukcją ciągłą a [0, 1]. Dla = 1, 2,... defiiujemy ( ) S,p w (p) := Ef, gdzie S,p ma rozkład dwumiaowy z parametrami, p Wykaż, że i) w jest wielomiaem stopia ie większego iż, ii) w zbiegają jedostajie do f a [0, 1]. 15
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 12 1. Prawdopodobieństwo wygraia w pewej loterii jest rówe 10 6. W loterii zagrało 500 tysięcy osób. Jakie jest dokłade prawdopodobieństwo tego, że i) ktoś wygrał, ii) wygrała więcej iż jeda osoba? iii) Oszacuj prawdopodobieństwa z i) i ii). 2. Do pewej tabeli wpisao = 10000 liczb. Prawdopodobieństwo tego, że pojedycza liczba została błędie wpisaa wyosi 0, 005. Wprowadzoe liczby są sprawdzae przez kotrolera, który ie wychwytuje błędu z prawdopodobieństwem 0, 02. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że po weryfikacji tabela zawiera przyajmiej dwie błęde liczby. 3. Prawdopodobieństwo urodzeia chłopca wyosi 0, 517. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że wśród 10000 oworodków liczba chłopców ie przewyższy liczby dziewczyek. 4. Rzucamy kostką do gry aż do wystąpieia szóstki po raz 50. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że rzucimy co ajwyżej 400 razy. 5. Na campusie uiwersyteckim są dwie restauracja po 120 miejsc każda. Wiadomo, że codzieie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru restauracji dokouje losowo i iezależie. Jaka jest szasa, że w którejś restauracji zabrakie miejsc? Ile miejsc ależy przygotować w każdej restauracji, by powyższe prawdopodobieństwo było miejsze od 0,001? 6. W pewym mieście w wyborach prezydeckich głosuje 500.000 osób. Zakładając, że wyborcy głosują a każdego z dwu kadydatów losowo i iezależie z prawdopodobieństwem 50% jaka jest szasa, że różica między kadydatami będzie miejsza iż 100 głosów? 7. Pewe biuro badaia opiii publiczej plauje zrobić sodaż wyborczy przed wyborami prezydeckimi. Przy założeiu losowego wyboru uczestików sodażu ile musi przepytać osób by z prawdopodobieństwem 0.95 uzyskae w sodażu wyiki poparcia dla poszczególych kadydatów róziły się od prawdziwych preferecji wyborczych ie więcej iż o 2 pukty procetowe? Jak zmiei się odpowiedź jeśli biuro bada poparcie kadydatów, których chce wybrać ie więcej iż 10% wyborców? 8. Zmiee (ε ) 1 są iezależe i P(ε = ±1) = 1/2. a) Oblicz w zależości od t, lim P(ε 1 + ε 2 +... + ε t ). b) Wykaż, że ciąg ε 1+ε 2 +...+ε ie jest zbieży prawie a pewo. 9. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz P(X i = 1/2) = P(X i = 2) = 1/2. Niech R = (X 1 X 2 X ) 1/. Oblicz lim P(R t). 16
Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I - 13 1. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym X ma rozkład Beroulliego Bi(, p), Y ma rozkład Beroulliego Bi(m, p). Oblicz E(X + Y X) oraz E(X X + Y ). 2. Rzucoo kostką ajpierw raz, a astępie tyle razy ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Oblicz wartość oczekiwaą sumy wyrzucoych oczek oraz liczby wyrzucoych trójek. 3. W woreczku zajduje się pewa liczba moet, z których p procet jest sfałszowaa, z orłem po obu stroach. Powtarzamy razy astępujące doświadczeie - wyciągamy z woreczka moetę i ją rzucamy, a astępie zwracamy do woreczka. Niech O ozacza liczbę wyrzucoych orłów, zaś F liczbę wylosowań sfałszywaych moet. Wykaż, że E(F O) = 2p 100+p O. Ile wyosi E(O F )? 4. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ, iech S = X 1 + X 2 +... + X. a) 0blicz E(S X 1 ), E(S 2 X 1 ). b) Dla k wyzacz E(S S k ), E(S 2 S k ) oraz E(e S S k ). 5. Zajdź przykład zmieych losowych X, Y, które ie są iezależe, ale E(X Y ) = EX. 6. Zmiee N, X 1, X 2,... są iezależe, przy czym N ma rozkład Poissoa z parametrem λ, a X i mają rozkład jedostajy a [0, 1]. Oblicz E(X 1 + X 2 +... + X N ). 7. Zmiea losowa (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = x3 2 e x(y+1) I x>0,y>0. Wyzacz E(Y X), E(Y 2 X 2 ) oraz P(Y > 1 X 3 + 1). 8. Zmiee X i Y są iezależe o rozkładzie jedostajym a [0, 1]. Oblicz E(max(X, Y ) mi(x, Y )) oraz E(X 3 X + Y ). 9. Niezależe zmiee losowe X i Y mają rozkład wykładiczy z parametrem 1. Oblicz P(X B X + Y ) oraz E(si X X + Y ). 10. Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1, zaś Y jest zmieą losową taką, że jeśli X = x, to Y ma rozkład wykładiczy z parametrem x. a) Wyzacz rozkład Y. b) Oblicz P(X > r Y ). 11. Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe, całkowale i mają jedakowy rozkład. Oblicz E(X 1 X 1 + X 2 +... + X ). 17