LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

Podobne dokumenty
Uwagi: LABORATORIUM WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Ćwiczenie nr 16 MECHANIKA PĘKANIA. ZNORMALIZOWANY POMIAR ODPORNOŚCI MATERIAŁÓW NA PĘKANIE.

29 Rozpraszanie na potencjale sferycznie symetrycznym - fale kuliste

LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

m q κ (11.1) q ω (11.2) ω =,

WYKŁAD 11 OPTYMALIZACJA WIELOKRYTERIALNA

PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM

Mechanika ogólna. Łuki, sklepienia. Zalety łuków (1) Zalety łuków (2) Geometria łuku (2) Geometria łuku (1) Kształt osi łuku (1) Kształt osi łuku (2)

8. PŁASKIE ZAGADNIENIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Siła. Zasady dynamiki

REZONATORY DIELEKTRYCZNE

Laboratorium Dynamiki Maszyn

MIERNICTWO WIELKOŚCI ELEKTRYCZNYCH I NIEELEKTRYCZNYCH

II.6. Wahadło proste.

MECHANIKA OGÓLNA (II)

WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ Instytut Fizyki LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI, ELEKTRONIKI I MIERNICTWA

Mechanika ogólna. Łuki, sklepienia. Zalety łuków (2) Zalety łuków (1) Geometria łuku (1) Geometria łuku (2) Kształt osi łuku (2) Kształt osi łuku (1)

Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III

Dobór zmiennych objaśniających do liniowego modelu ekonometrycznego

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

Atom (cząsteczka niepolarna) w polu elektrycznym

Wyznaczanie współczynnika wzorcowania przepływomierzy próbkujących z czujnikiem prostokątnym umieszczonym na cięciwie rurociągu

Graf skierowany. Graf zależności dla struktur drzewiastych rozgrywających parametrycznie

LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

Metody optymalizacji. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Badania nad kształtowaniem się wartości współczynnika podatności podłoża dla celów obliczeń statycznych obudowy tuneli

Model klasyczny gospodarki otwartej

MOBILNE ROBOTY KOŁOWE WYKŁAD 04 DYNAMIKA Maggie dr inż. Tomasz Buratowski. Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Robotyki i Mechatroniki

WYKŁAD 1. W przypadku zbiornika zawierającego gaz, stan układu jako całości jest opisany przez: temperaturę, ciśnienie i objętość.

Zaawansowane metody numeryczne

CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH

Mechanika ogólna. Więzy z tarciem. Prawa tarcia statycznego Coulomba i Morena. Współczynnik tarcia. Tarcie statyczne i kinetyczne.

Wyznaczanie współczynnika sztywności drutu metodą dynamiczną.

Wyznaczanie profilu prędkości płynu w rurociągu o przekroju kołowym

LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

ROZWIĄZUJEMY PROBLEM RÓWNOWAŻNOŚCI MASY BEZWŁADNEJ I MASY GRAWITACYJNEJ.

ROZWIAZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU FILTRACYJNEGO METODAMI ANALITYCZNYMI.

Wykład Półprzewodniki

POMIARY MAKRONAPRĘŻEŃ METODĄ DYFRAKCJI PROMIENIOWANIA RENTGENOWSKIEGO

POMIAR PĘTLI HISTEREZY MAGNETYCZNEJ

11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO

L(x, 0, y, 0) = x 2 + y 2 (3)

Energia kinetyczna i praca. Energia potencjalna

Przykład 7.3. Belka jednoprzęsłowa z dwoma wspornikami

Elementarne przepływy potencjalne (ciąg dalszy)

Siła tarcia. Tarcie jest zawsze przeciwnie skierowane do kierunku ruchu (do prędkości). R. D. Knight, Physics for scientists and engineers

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

KOMPUTEROWO WSPOMAGANA ANALIZA KINEMATYKI MECHANIZMU DŹWIGNIOWEGO

KOLOKACJA SYSTEMÓW BEZPRZEWODOWYCH NA OBIEKTACH MOBILNYCH

Guma Guma. Szkło Guma

Ocena siły oddziaływania procesów objaśniających dla modeli przestrzennych

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

METEMATYCZNY MODEL OCENY

THE INFLUENCE OF THE STRUCTURAL FORM OF THE BOTTOM ON DEFLECTION OF THE CARDING MACHINE MAIN CYLINDER

PRACA MOC ENERGIA. Z uwagi na to, że praca jest iloczynem skalarnym jej wartość zależy również od kąta pomiędzy siłą F a przemieszczeniem r

IV.2. Efekt Coriolisa.

3.1 Zagadnienie brzegowo-początkowe dla struny ograniczonej. = f(x, t) dla x [0; l], l > 0, t > 0 (3.1)

= ± Ne N - liczba całkowita.

2. Obliczenie sił działających w huśtawce

Plastyczność polikryształów metali - materiały do wykładu

Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Obliczenia dławika z dzielonym rdzeniem magnetycznym, symulacje, pomiary

Dobór zmiennych do modelu ekonometrycznego

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

GEOMETRIA PŁASZCZYZNY

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1

AKADEMIA INWESTORA INDYWIDUALNEGO CZĘŚĆ II. AKCJE.

MECHANIKA BUDOWLI 12

Wykład 1. Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna.

ZWIĄZEK FUNKCJI OMEGA Z DOMINACJĄ STOCHASTYCZNĄ

BADANIE SILNIKA WYKONAWCZEGO PRĄDU STAŁEGO

- substancje zawierające swobodne nośniki ładunku elektrycznego:

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

INTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI

Rodzajowy rachunek kosztów Wycena zuŝycia materiałów

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

GRAWITACJA. przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.

Modelowanie zmienności i dokładność oszacowania jakości węgla brunatnego w złożu Bełchatów (pole Bełchatów)

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

LABORATORIUM WIBROAKUSTYKI MASZYN. Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Instytut Mechaniki Stosowanej Zakład Wibroakustyki i Bio-Dynamiki Systemów

Rozciąganie i ściskanie prętów projektowanie 3

Na skutek takiego przemieszcznia ładunku, energia potencjalna układu pole-ładunek zmienia się o:

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

Ćwiczenie 9 ZASTOSOWANIE ŻYROSKOPÓW W NAWIGACJI

ANALIZA WPŁYWU KOŁA SWOBODNEGO

XXXVII OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP III Zadanie doświadczalne

Wahadło torsyjne T0 2. d dt. d dt. Równanie ruchu obrotowego krążka. I 0 moment bezwładności krążka M moment siły D moment kierujący.

Odpowiednio [4] zużycie liniowe zębów koła ślimakowego w ciągu jednego obrotu oblicza się według wzoru

Wykład: praca siły, pojęcie energii potencjalnej. Zasada zachowania energii.

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać

ĆWICZENIE 3 REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

Wykład Pojemność elektryczna. 7.1 Pole nieskończonej naładowanej warstwy. σ-ładunek powierzchniowy. S 2 E 2 E 1 y. ds 1.

należą do grupy odbiorników energii elektrycznej idealne elementy rezystancyjne przekształcają energię prądu elektrycznego w ciepło

PRACA I ENERGIA. 1. Praca stałej siły. 2. Praca zmiennej siły. 3. Moc: szybkość wykonywania pracy. 4. Energia kinetyczna

Fizyka elektryczność i magnetyzm

Pęd, d zasada zac zasad a zac owan owan a p a p du Zgod Zg n od ie n ie z d r d u r g u im g pr p a r wem e N ew e tona ton :

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

FIZYKA 2. Janusz Andrzejewski

Symulacja ruchu układu korbowo-tłokowego

Transkrypt:

odstawowe infomacje nt. LNOWA MECHANA ĘANA Wytzymałość mateiałów J. Geman

OLE NARĘŻEŃ W LNOWO SRĘŻYSTYM OŚRODU ZE SZCZELNĄ oe napężeń w dwuwymiaowym ośodku iniowo-spężystym ze szczeiną zostało wyznaczone w ogóny sposó dzięki zastosowaniu teoii funkcji zespoonych Westegaada oaz Muskeiszwiego i ołosowa, któe azowały na kasycznej metodzie ozwiązywania zadań 2-D, znanej powszechnie jako metoda funkcji napężeń Aiy ego. Szczegóły można znaeźć w wieu pacach, także autoa niniejszego opacowania http://ima.wi.pk.edu.p/~jg. W tym opacowaniu zostaną podane jedynie ozwiązania szczegółowe, odnoszące się do konketnych konfiguacji ciało-szczeina-ociążenie. Szczeina w typie ociążenia w paśmie nieskończonym. Rozpatywane płaskie ciała o nieoganiczonych wymiaach zawieającego szczeinę o długości 2, poddane działaniu ównomienego dwuosiowego ozciągania ociążeniem o stałej watości, pzyłożonym w nieskończoności i eżącym w płaszczyźnie ciała. Rozpatywany jest więc typ ociążenia szczeiny, zwany "odewaniem", ądź "ozwaciem". Geometia zadania pokazana jest na ys. 1. 22 21 11 12 x 1 122 11 21 22 Rys. 1. Szczeina w nieoganiczonym paśmie, ozciąganym w nieskończoności. Funkcje napężeń opisane są wzoami: 3 cos 1 sin sin 2 2 2 11 = 3 cos 1 sin sin 2 2 2 22 = + (1.1) 12 = 3 sin cos cos 2 2 2 0 da SN 33 = ν ν ( 11 + 22 ) = 2 oe napężeń (1.1) można wspónie zapisać w postaci: 2 cos da SO ( ) ij = fij (1.2)

win wykazał, że stan napężenia opisany ównaniem (1.1) odnosi się do dowonej konfiguacji szczeiny w typie ociążenia i do dowonego ociążenia. Tym co uwzgędnia geometię ciała ze szczeiną, długość szczeiny oaz odzaj i sposó pzyłożenia ociążenia jest współczynnik, noszący nazwę współczynnika intensywności napężeń (WN). Tak więc znajomość tego współczynnika jest wystaczająca do pełnego opisu stanu napężenia w poiżu wiezchołka szczeiny. Ważną wiekością z punktu widzenia stosowanych w mechanice pękania kyteiów zniszczeniowych jest ozwacie zegów szczeiny, któe wyaża się wzoem: u = c x (1.3) 2 2 2 1 gdzie: c - stała mateiałowa zaeżna od tego czy anaizowany jest SN, czy SO. Stała ta wynosi: 2 ( ) 2 1 ν c = da SO E (1.4) 2E da SN Maksymane ozwacie szczeiny COD występuje w połowie długości szczeiny (x 1 =0) i wynosi: COD = 2 c (1.5) u 2 x 1 COD Rys. 2. Rozwacie zegów szczeiny. Szczeina w typie ociążenia w paśmie nieskończonym. Rozwiązanie da szczeiny w typie ociążenia - ys. 3 - w taczy o nieskończonych wymiaach można uzyskać w anaogiczny sposó jak da typu. 22 21 11 12 x 1 122 11 21 22 Rys. 3. Szczeina typu w paśmie nieskończonym. Stan napężenia w poiżu wiezchołka szczeiny opisują związki:

3 sin 2 cos cos 2 2 2 11 = + 3 sin cos cos 2 2 2 22 = (1.6) 3 cos 1 sin sin 2 2 2 12 = 0 da SN 33 = 2ν ν ( 11 + 22 ) = sin da SO 2 Współczynnik intensywności napężeń ma postać: = π (1.7) Szczeina w typie ociążenia w paśmie nieskończonym. Szczeinę w typie ociążenia w nieskończonym paśmie spężystym pzedstawiono na ys. 4. Szczegóły ozwiązania tego zadania można znaeźć w iteatuze (np. E. Gdoutos). Tutaj oganiczymy się jedynie do zacytowania ozwiązania. x 1 Rys. 4. Szczeina typu w paśmie nieskończonym. Niezeowe składowe stanu napężenia w poiżu wiezchołka szczeiny oaz współczynnik intensywności napężeń opisują związki: 13 = sin 2 π 2 23 = cos 2 π 2 (1.8) = π (1.9)

Funkcje napężeń i współczynniki intensywności napężeń da óżnych pzypadków szczein w i typie ociążenia Uwzgędniając, że ozkłady napężeń w poiżu wiezchołka szczeiny opisane są w każdym pzypadku tą samą zaeżnością: ij = f() ij (1.10) oaz to, że óżnią się w zaeżności od zadania tyko postacią współczynnika intensywności napężeń, naeży wysnuć wniosek, że zasadnicze znaczenie ma znajomość współczynnika intensywności napężeń. oniżej podano je da wyanych konfiguacji ociążenia i geometii szczein. Nieskończone pasmo z nieskończonym szeegiem szczein koineanych, ociążone ównomienym ociążeniem o watości x 1 2 π = π tan π 2 (1.11) Nieskończone pasmo ze szczeiną, któej powiezchnia jest ociążona siłami skupionymi pzyłożonymi w odegłości od wiezchołka B A x 1 A B = = + π π + (1.12) (1.13) W pzypadku gdy siła pzyłożona jest w połowie długości szczeiny tzn. = 0, otzymujemy:

= (1.14) π Zauważmy, że w tym ostatnim pzypadku współczynnik intensywności napężeń maeje waz ze wzostem długości szczeiny. Zakładając, że da danej długości k współczynnik osiąga watość c, pzy któej następuje popagacja szczeiny, a więc i wzost jej długości, dochodzimy do wniosku, że watość musi wówczas zmaeć. Gdy osiągnie watość mniejszą od c - popagacja szczeiny musi ustać; następuje zatem samoistne zahamowanie uchu szczeiny. Szczeina (u szczeiny) wychodzące z zegu otwou kołowego w paśmie nieskończonym, ozciąganym ównomienie (jednoosiowo u dwuosiowo) x 1 2 R = π F Watości funkcji F otzymane pzez Bowie'go zestawiono w taei 1. (1.15) F(/) da jednej szczeiny F(/) da dwóch szczein / ozc. w kieunku ozc. w kie. x 1 i ozc. w kieunku ozc. w kie. x 1 i 0 3.39 2.26 3.39 2.26 0.1 2.73 1.98 2.73 1.98 0.2 2.30 1.82 2.41 1.83 0.3 2.04 1.67 2.15 1.70 0.4 1.86 1.58 1.96 1.61 0.5 1.73 1.49 1.83 1.57 0.6 1.64 1.42 1.71 1.52 0.8 1.47 1.32 1.58 1.43 1.0 1.37 1.22 1.45 1.38 1.5 1.18 1.06 1.29 1.26 2.0 1.06 1.01 1.21 1.20 3.0 0.94 0.93 1.14 1.13 5.0 0.81 0.81 1.07 1.06 10.0 0.75 0.75 1.03 1.03 0.707 0.707 1.00 1.00 Taea 1. Współczynniki Bowi ego

Wpływ skończonych wymiaów ciała na watości współczynników intensywności napężeń Zagadnienie ciała o skończonych wymiaach o óżnych konfiguacjach układu ciało-szczeinaociążenie - z punktu widzenia zastosowań paktycznych - jest oczywiście ważniejsze od zadania ciała nieoganiczonego ze szczeiną. Uzyskanie ozwiązań w fomie zamkniętej jest jednak niemożiwe, toteż wszystkie istniejące ozwiązania zawieają pewne mnożniki iczowe uwzgędniające skończone wymiay ciała, najczęściej pzedstawiane w fomie tae u wykesów, zadziej podawane jako zaeżności funkcyjne. oniżej zestawiono watości współczynników intensywności napężeń da najczęściej spotykanych konfiguacji szczein i ociążenia. W kiku pzypadkach podano dwie zaeżności, z któych jedna stosowana jest w adaniach powadzonych na pókach nomowych. Szczeina centana w paśmie ozciąganym 2 π = (1.16) π sec 2 2 3 π = 1 + 0.128 0.288 + 1.523 (1.17) Szczeina kawędziowa w paśmie ozciąganym 2 3 4 π = 1.12 0.23 + 10.55 21.72 + 30.39 (1.18) = 1.12 π da małych / (1.19)

Dwie szczeiny kawędziowe w paśmie ozciąganym 2 2 3 π = 1.12 + 0.2 1.2 + 1.93 (1.20) = 1.12 π da małych / (1.21) Beka tójpunktowo zginana siłą skupioną [N] ze szczeiną kawędziową W S B 1 3 5 7 9 S 2 2 2 2 2 = 2.9 4.6 + 21.8 37.6 + 38.7 32 BW W W W W W (1.22) Beka zginana o skończonej szeokości ze szczeiną kawędziową M M W B S 2 3 4 6M π = 1.12 1.40 7.33 13.08 14.0 2 + + BW W W W W (1.23)

Tacza o skończonej szeokości ze szczeiną oczną, ozciągana siłami skupionymi [N] B = 29.6 185.5 655.7 1017 63.9 12 + + BW W W W W W 12 32 52 72 92 (1.24) Wykozystanie zasady supepozycji do wyznaczania współczynników intensywności napężeń. Rozkłady napężeń da danego typu szczeiny mają identyczną fomę - są niezaeżne od konfiguacji układu ciało-szczeina-ociążenie, a tym co je óżnicuje jest jedynie postać współczynnika intensywności napężeń. Dzięki temu, w pzypadku gdy mamy do czynienia z kominacją óżnych ociążeń, ae w oęie tego samego typu szczeiny, współczynnik ten może yć wyznaczony z zasady supepozycji. awdziwa jest zatem zaeżność: T = Tp + Tq+ T +... T =,, (1.25) gdzie: p, q i oznaczają óżne ociążenia zewnętzne działające na ciało ze szczeiną. Zasada supepozycji jest adzo użytecznym nazędziem pzy wyznaczaniu współczynników intensywności napężeń. Szczeina wychodząca z zegu małego otwou kołowego. Rozważmy typowe zagadnienie paktyczne, a mianowicie połączenie śuowe u nitowane, wymagające wykonania otwoów kołowych w łączonych eementach ys.5. Dowony otwó jest zawsze koncentatoem napężeń, spzyja zatem powstawaniu szczein wychodzących z jego zegu. Załóżmy, że pomień otwou jest mały w stosunku do długości szczeiny, tak, że można go pominąć. zyjmujemy ponadto, że długość szczeiny jest mała w stosunku do szeokości 2 łączonego eementu - można więc pzyjąć, że oowiązują ozwiązania jak da pasma nieoganiczonego. Schemat wykozystania zasady supepozycji pokazano na ys. 6. 2 Rys. 5. ołączenie dwóch eementów ozciąganych.

=2 a 2 = + - c d Z ys. 6 wynika, że zachodzi następujący związek: Rys. 6. ustacja zastosowania zasady supepozycji a = + c d (1.26) Z oczywistych powodów konfiguacje "a" i "d" są identyczne, czyi a = d. ozystając z postaci współczynników intensywności napężeń da konfiguacji '" i "c" - otzymuje poszukiwany współczynnik da konfiguacji "a" w postaci: 1 1 a = ( + c ) = π + (1.27) 2 2 π