Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47
Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu Q punktu ( 0, 0 ). Mówim, że funkcja f (, ) osiąga w punkcie ( 0, 0 ) minimum lokalne, gd istnieje sąsiedztwo S punktu ( 0, 0 ) zawarte w zbiorze Q takie, że f (, ) > f ( 0, 0 ). (,) S JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 2 / 47
PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = 5 5 + 5 osiąga minimim lokale w punkcie (1, 1). 6 4 6 5 4 z 2 3 0 2 2 1 0 1 1 0.5 0 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 2 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 3 / 47
Ekstrema lokalne Mówim, że funkcja f (, ) osiąga w punkcie ( 0, 0 ) maksimum lokalne, gd istnieje sąsiedztwo S punktu ( 0, 0 ) zawarte w zbiorze Q takie, że (,) S f (, ) < f ( 0, 0 ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 4 / 47
PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = 5 + 5 + 5 osiąga maksimum lokalne w punkcie ( 1, 1). 3 2 2 z 0 1 0 2 1 4 2 3 0 0.5 1 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 4 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 5 / 47
PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = 3 3 + 3 3 osiąga minimum lokale w punkcie (1, 1) oraz maksimum lokalne w punkcie ( 1, 1). 4 4 3 2 2 z 0 1 2 4 2 0 1 2 1 0 1 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 4 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 6 / 47
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM Jeżeli funkcja f (, ) ma ekstremum lokalne w punkcie ( 0, 0 ) i jeżeli istnieją pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie ( 0, 0 ), to f ( 0, 0 ) = 0 i f ( 0, 0 ) = 0. OZNACZENIE. D(, ) = [ f (, ) ] 2 f (, )f (, ) Wrażenie to nazwam wróżnikiem funkcji f w punkcie (, ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 7 / 47
WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM Załóżm, że w pewnm otoczeniu punktu ( 0, 0 ) istnieją ciągłe pochodne drugiego rzędu funkcji f (, ) oraz że f ( 0, 0 ) = 0 i f ( 0, 0 ) = 0. 1 Jeżeli D( 0, 0 )> 0, to funkcja f nie ma ekstremum w punkcie ( 0, 0 ). 2 Jeżeli D( 0, 0 )< 0, to funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie ( 0, 0 ); gd f ( 0, 0 )< 0, to osiąga maksimum, a gd f ( 0, 0 )> 0 to osiąga minimum. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 8 / 47
WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM Uwaga. Jeśli f ( 0, 0 ) = 0, f ( 0, 0 ) = 0 i to funkcja f w punkcie ( 0, 0 ) D( 0, 0 ) = 0, może osiągać maksimum lokalne, tak jak funkcja f (, ) = 4 4 w punkcie (0, 0); może osiągać minimum lokalne, tak jak funkcja f (, ) = 4 + 4 w punkcie (0, 0); może nie osiągać ekstremum lokalnego, tak jak funkcja f (, ) = 4 4 w punkcie (0, 0). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 9 / 47
PRZYKŁAD Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (, ) = 5 5 + 5. Dziedzina: D f = R 2. Pochodne cząstkowe: f (, ) = 5 4 5, f (, ) = 5 + 5 4 zerują się dla 1 = 0, 1 = 0 oraz 2 = 1, 2 = 1, zatem punkt podejrzane o ekstremum to P 1 (0, 0), P 2 (1, 1). Ponadto, f = 20 3, f = 5, f = 20 3. Wróżnik: D(, ) = ( 5) 2 20 3 20 3. Badam znak wróżnika punktach podejrzanch : D(0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremum w punkcie P 1 (0, 0); D(1, 1) = 25 400< 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P 2 (1, 1). O tm, cz jest to minimum, cz maksimum decduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu (oczwiście f (P 2 ) oraz f (P 2 ) są tego samego znaku). W tm punkcie f (1, 1) = 20 1 3 > 0, co oznacza, że funkcja osiąga minimum w P 2. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 / 47
PRZYKŁAD Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (, ) = 5 + 5 + 5. Dziedzina: D f = R 2. Pochodne cząstkowe: f (, ) = 5 4 + 5, f (, ) = 5 + 5 4 zerują się dla 1 = 0, 1 = 0 oraz 2 = 1, 2 = 1, zatem punkt podejrzane o ekstremum to P 1 (0, 0), P 2 ( 1, 1). Ponadto, f = 20 3, f = 5, f = 20 3. Wróżnik: D(, ) = 5 2 20 3 20 3. Badam znak wróżnika punktach podejrzanch : D(0, 0) = 25> 0, zatem funkcja f nie osiąga ekstremum w punkcie P 1 (0, 0); D( 1, 1) = 25 400< 0, więc funkcja f osiąga ekstremum w punkcie P 2 ( 1, 1). O tm, cz jest to minimum, cz maksimum decduje znak pochodnej niemieszanej drugiego rzędu (oczwiście f (P 2 ) oraz f (P 2 ) są tego samego znaku). W tm punkcie f ( 1, 1) = 20( 1) 3 < 0, co oznacza, że funkcja osiąga maksimum w P 2. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 11 / 47
Ekstrema globalne TWIERDZENIE. Funkcja ciągła w zbiorze domkniętm i ograniczonm osiąga w pewnch punktach tego zbioru swoją wartość największą i najmniejszą (ekstrema globalne). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 12 / 47
PRZYKŁAD. Funkcja f (, ) = 3 3 + 3 3 osiąga w zbiorze D : 2 2, 2 2 wartość największą 4 (w czterech punktach) oraz wartość najmniejszą 4 (też w czterech punktach). 4 4 3 2 2 z 0 1 2 0 1 4 2 2 1 0 1 2 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 4 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 13 / 47
Ab znaleźć ekstrema globalne funkcji f (, ) w zbiorze domkniętm i ograniczonm D wstarcz: 1 znaleźć punkt podejrzane o ekstremum we wnętrzu zbioru D (to znacz punkt, w którch obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zero lub prznajmniej jedna z nich nie istnieje); 2 obliczć wartości funkcji f w tch punktach; 3 znaleźć punkt podejrzane na brzegu zbioru D (na ogół dzieląc brzeg na dogodne fragment) oraz obliczć wartości funkcji f w tch punktach; 4 z uzskanch liczb wbrać największą i najmniejszą. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 14 / 47
PRZYKŁAD 1A. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (, ) = 2 + 2. Pochodne cząstkowe f (, ) = 2, f (, ) = 2 zerują się dla = 0, = 0, zatem punktem podejrzanm o ekstremum jest (0, 0). W tm punkcie funkcja f osiąga minimum lokalne, gdż wróżnik D(0, 0) = 0 2 2< 0 oraz f (0, 0) = 2> 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 15 / 47
PRZYKŁAD 1B. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0}. Punkt (0, 0) ( podejrzan ) należ do zbioru D, więc go uwzględniam prz szukaniu ekstremów globalnch funkcji f w zbiorze D. Obliczam wartość funkcji: f (0, 0) = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 16 / 47
PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0. b Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu b zbioru D, czli okręgu 2 + 2 = 0. Podzielim brzeg na czter fragment (w tm zadaniu nie musim tego robić, gdż funkcja f jest stała na brzegu zbioru D - jej wartości są równe 0). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 17 / 47
PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0. b 1 B 3 B 4 b 2 Dzielim brzeg na czter fragment: b 1 = {(, ) : = 0 2, < < }, b 2 = {(, ) : = 0 2, < < }, B 3 = (, 0), B 4 = (, 0). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 18 / 47
PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0. b 1 B 3 B 4 b 2 Badam zachowanie funkcji f na tch fragmentach. f (, ) = 2 + ( 0 2 ) 2 = 0 dla (, ) b 1, f (, ) = 2 + ( 0 2 ) 2 = 0 dla (, ) b 2, f (B 3 ) = ( ) 2 + 0 2 = 0, f (B 4 ) = 2 + 0 2 = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 19 / 47
PRZYKŁAD 1B, f (, ) = 2 + 2, f (0, 0) = 0 f (, ) = 0 dla (, ) b b Zatem wartością największą funkcji f w D jest 0, a wartością najmniejszą jest 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 20 / 47
PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w
PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w
PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w
PRZYKŁAD 1C. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 21 / 47
PRZYKŁAD 1C Punkt (0, 0) ( podejrzan ) należ do zbioru D, więc go uwzględniam; f (0, 0) = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 22 / 47
PRZYKŁAD 1C Badam zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D. Dzielim brzeg tlko na dwa fragment (na b 1 nasza funkcja jest stała): b 1 = {(, ) : 2 + 2 = 0, 8} b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6}. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 22 / 47
PRZYKŁAD 1C, f (, ) = 2 + 2 b 1 = {(, ) : 2 + 2 = 0, 8} JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 23 / 47
PRZYKŁAD 1C, f (, ) = 2 + 2 b 1 = {(, ) : 2 + 2 = 0, 8} Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 23 / 47
PRZYKŁAD 1C. f (0, 0) = 0, f b1 = 0 b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6} Badam f na b 2 : f (, ) = 2 + 8 2 dla (, ) b 2. Niech f 2 () = 2 + 64. Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0. Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 24 / 47
PRZYKŁAD 1C. f (0, 0) = 0, f b1 = 0 Z liczb: 0, 0, 64 wbieram największą i najmniejszą. Wartością największą funkcji f w D jest 0, a wartością najmniejszą jest 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 24 / 47
PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w
PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w
PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w
PRZYKŁAD 1D. Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 zbiorze D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. w JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 25 / 47
PRZYKŁAD 1D. D = {(, ) : 2 + 2 0, 8}. W tm przkładzie punkt (0, 0) nie należ do zbioru D, więc go nie uwzględniam prz szukaniu ekstremów globalnch. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 25 / 47
PRZYKŁAD 1D. Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D.
PRZYKŁAD 1D. Pozostaje zbadać zachowanie funkcji f na brzegu zbioru D. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 26 / 47
PRZYKŁAD 1D. Tm razem podzielim brzeg na czter fragment (mogliśm na dwa): b 1 = {(, ) : = 0 2, 6 < < 6}, b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6}, B 3 ( 6, 8), B 4 (6, 8). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 26 / 47
PRZYKŁAD 1D, f (, ) = 2 + 2 b 1 = {(, ) : = 0 2, 6 < < 6}, Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 27 / 47
PRZYKŁAD 1D, f (, ) = 2 + 2 b 2 = {(, ) : = 8, 6 < < 6}, Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. Ponadto f (, ) = 2 + 8 2 dla (, ) b 2. Niech f 2 () = 2 + 64. Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0 ( 6, 6). Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 27 / 47
PRZYKŁAD 1D, f (, ) = 2 + 2 B 3 ( 6, 8), Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. Ponadto f (, ) = 2 + 8 2 dla (, ) b 2. Niech f 2 () = 2 + 64. Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0 ( 6, 6). Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. Pozostało do wliczenia: f (B 3 ) = ( 6) 2 + 8 2 = 0 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 27 / 47
PRZYKŁAD 1D, f (, ) = 2 + 2 B 4 (6, 8). Funkcja f (, ) = 0 dla (, ) b 1. Ponadto f (, ) = 2 + 8 2 dla (, ) b 2. Niech f 2 () = 2 + 64. Oczwiście f 2 () = 2. Pochodna ta się zeruje dla = 0 ( 6, 6). Obliczam wartość funkcji: f 2 (0) = 64. Pozostało do wliczenia: f (B 3 ) = ( 6) 2 + 8 2 = 0 oraz f (B 4 ) = 0. Wartością największą funkcji f w zbiorze D jest 0, a wartością najmniejszą jest 64. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 27 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 28 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 W tm przkładzie punkt (0, 0) leż na brzegu zbioru D; albo go teraz uwzględniam prz szukaniu ekstremów globalnch (i liczm f (0, 0)), albo - tak zrobim - dopiero w drugiej części (badając f na brzegu zbioru D). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 28 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; B 4 (0, 0); JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; B 4 (0, 0); B 5 (1, 1); JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Dzielim brzeg na sześć fragmentów: b 1 : =, 0 < < 1; b 2 : =, 0 < < 1; b 3 : = 1, 1 < < 1; B 4 (0, 0); B 5 (1, 1); B 6 (1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 29 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 b 1 : =, (0, 1) Funkcja f na b 1 przjmuje postać: f b1 = 2 + 2 = 2 2. Oznaczm tę funkcję przez f 1 (). Ponieważ f 1 () = 4, jednm punktem zerującm tę pochodną jest = 0. Nie uwzgędniam go, gdż 0 / (0, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 30 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 b 2 : =, (0, 1) Funkcja f na b 2 przjmuje postać: f b1 = 2 + ( ) 2 = 2 2. Oznaczm tę funkcję przez f 2 (). Ponieważ f 2 () = 4, jednm punktem zerującm tę pochodną jest = 0. Nie uwzgędniam go, gdż 0 / (0, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 31 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 b 3 : = 1, ( 1, 1) Funkcja f na b 3 przjmuje postać: f b3 = (1) 2 + 2 = 2 + 1. Oznaczm tę funkcję przez f 3 (). Ponieważ f 3 () = 2, jednm punktem zerującm tę pochodną jest = 0. Uwzgędniam go, gdż 0 ( 1, 1): f 3 (0) = 0 2 + 1 = 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 32 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Ponadto, f (B 4 ) = f (0, 0) = 0 2 + 0 2 = 0; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 33 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Ponadto, f (B 4 ) = f (0, 0) = 0 2 + 0 2 = 0; f (B 5 ) = f (1, 1) = 1 2 + 1 2 = 2; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 33 / 47
PRZYKŁAD 1E. Znajdź wartość największą i najmniejszą funkcji f (, ) = 2 + 2 w trójkącie o wierzchołkach (0, 0), (1, 1), (1, 1). 1 1 Ponadto, f (B 4 ) = f (0, 0) = 0 2 + 0 2 = 0; f (B 5 ) = f (1, 1) = 1 2 + 1 2 = 2; f (B 6 ) = f (1, 1) = 1 2 + ( 1) 2 = 2. Wartością największą jest 2, a najmniejszą 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 33 / 47
Ekstrema warunkowe DEFINICJA. Liczba M jest globalnm maksimum warunkowm funkcji f (, ) prz warunku g(, ) = 0, jeżeli spełnione są dwa warunki: 1 istnieje punkt ( 0, 0 ) taki, że f ( 0, 0 ) = M i g( 0, 0 ) = 0; 2 dla każdego (, ) takiego, że g(, ) = 0 mam f (, ) M. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 34 / 47
Ekstrema warunkowe Liczbę m nazwam globalnm minimum warunkowm funkcji f (, ) prz warunku g(, ) = 0, jeżeli spełnione są dwa warunki: 1 istnieje punkt ( 0, 0 ) taki, że f ( 0, 0 ) = m i g( 0, 0 ) = 0; 2 dla każdego (, ) takiego, że g(, ) = 0 mam f (, ) m. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 35 / 47
SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH. Zakładam, że funkcje f (, ) oraz g(, ) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Tworzm funkcję Lagrange a: F (, ) = f (, ) + λg(, ). Punkt podejrzane o warunkowe ekstremum (lokalne) otrzmujem rozwiązując układ trzech równań: F (, ) = 0, F (, ) = 0, g(, ) = 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 36 / 47
SCHEMAT ZNAJDOWANIA EKSTREMÓW WARUNKOWYCH. Jeżeli krzwa opisana warunkiem (tzn. zbiór punktów opisanch równaniem g(, ) = 0) jest krzwą zamkniętą, to liczm wartości funkcji f w punktach podejrzanch i wbieram z nich wartość największą i najmniejszą. Jeżeli krzwa opisana warunkiem ma końce, to liczm wartości funkcji f w punktach podejrzanch leżącch na tej krzwej oraz liczm wartości f na końcach krzwej i następnie z uzskanch wartości wbieram wartość największą i najmniejszą. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 37 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = warunku 2 + 2 = 2. Tworzm funkcję Lagrange a: prz F (, ) = 0 Rozwiązując układ F (, ) = 0 g(, ) = 0 otrzmam czter rozwiązania: F (, ) = + λ( 2 + 2 2)., czli + 2λ = 0 + 2λ + 0 2 + 2 2 = 0 1 = 1, 1 = 1; 2 = 1, 2 = 1; 3 = 1, 3 = 1; 4 = 1, 4 = 1 (tutaj lambd nas nie interesują ). Są więc czter punkt podejrzane : P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 38 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2. Krzwa opisana warunkiem 2 + 2 = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 39 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2. Krzwa opisana warunkiem 2 + 2 = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 39 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2. Krzwa opisana warunkiem 2 + 2 = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 39 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2. Krzwa opisana warunkiem 2 + 2 = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, f (1, 1) = 1, JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 39 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2. Krzwa opisana warunkiem 2 + 2 = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 39 / 47
PRZYKŁAD 2A. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2. Krzwa opisana warunkiem 2 + 2 = 2 to okrąg (krzwa zamknięta). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w punktach podejrzanch f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1, f (1, 1) = 1, f ( 1, 1) = 1. Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest 1. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 39 / 47
PRZYKŁAD 2B. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = warunku 2 + 2 = 2 dla 0, 0. prz Tm razem krzwa opisana warunkiem to (pierwsza) ćwiartka okręgu razem z końcami : K 1 (0, 2), K 2 ( 2, 0). Z przkładu 2A wiem, że są czter punkt podejrzane : P 1 (1, 1), P 2 ( 1, 1), P 3 (1, 1), P 4 ( 1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 40 / 47
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2 dla 0, 0. P 1 Na naszej krzwej leż jednie punkt P 1 (1, 1). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 41 / 47
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2 dla 0, 0. P 1 Na naszej krzwej leż jednie punkt P 1 (1, 1). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w P 1 i na końcach krzwej: JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 41 / 47
Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji f (, ) = prz warunku 2 + 2 = 2 dla 0, 0. P 1 Na naszej krzwej leż jednie punkt P 1 (1, 1). Wstarcz zatem obliczć wartości funkcji f w P 1 i na końcach krzwej: f (P 1 ) = f (1, 1) = 1, f (K 1 ) = f (0, 2) = 0, f (K 2 ) = f ( 2, 0) = 0. Wartością największą jest 1, a najmniejszą jest 0. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 41 / 47
RÓŻNICZKA DEFINICJA. Różniczką funkcji f (, ) w punkcie ( 0, 0 ) (dla przrostów d, d) nazwam wrażenie df ( 0, 0 ) = f ( 0, 0 )d + f ( 0, 0 )d (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe w pewnm obszarze). Preczjniejsz zapis różniczki to: df ( 0, 0, d, d). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 42 / 47
RÓŻNICZKA WŁASNOŚĆ. df ( 0, 0 ) f = f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ), czli f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 43 / 47
f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ). Stosując powższą własność oblicz przbliżoną wartość wrażenia (8, 02) 2 + (6, 03) 2. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 44 / 47
f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ). Stosując powższą własność oblicz przbliżoną wartość wrażenia (8, 02) 2 + (6, 03) 2. Przjmujem: f (, ) = 2 + 2, 0 = 8, d = 0, 02, 0 = 6, d = 0, 03. Wted f (, ) = f (, ) = 2 2 2 + 2, f (8, 6) = 2 2 2 + 2, f (8, 6) = 8 = 0, 8, 8 2 + 62 6 = 0, 6. 8 2 + 62 Zatem (8, 02) 2 + (6, 03) 2 = f ( 0 + d, 0 + d) f ( 0, 0 ) + df ( 0, 0 ) = 8 2 + 6 2 + f (8, 6)d + f (8, 6)d = + 0, 8 0, 02 + 0, 6 0, 03 =, 034. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 44 / 47
SZACOWANIE BŁĘDU WŁASNOŚĆ. Pewne wielkości fizczne są powiązane wzorem z = f (, ) (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe). Jeżeli, oznaczają błęd (bezwzględne) prz pomiarze wielkości oraz, to błąd (bezwzględn) prz obliczeniu wielkości z jest w przbliżeniu równ z f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ). JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 45 / 47
z f ( 0, 0 ) + f ( 0, 0 ). Zmierzono objętość ciała V 0 = cm 3 z dokładnością V = 0, 01cm 3 oraz masę m 0 = 6g z dokładnością m = 0, 05g. Z jaką, w przbliżeniu, dokładnością obliczm gęstość tego ciała stosując wzór ϱ = m V? Zastosujem wzór: ϱ ϱ m(m 0, V 0 ) m + ϱ V (m 0, V 0 ) V. Ponieważ ϱ m = 1 V, ϱ m(m 0, V 0 ) = 1, ϱ V = m, ϱ V 2 V (m 0, V 0 ) = 6 więc ϱ 0, 1 0, 05 + 0, 06 0, 01 = 0, 0056. 2, Oznacza to, że błąd bezwzględn prz obliczaniu gęstości wnosi w przbliżeniu 0, 0056 g cm 3. JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 46 / 47
PŁASZCZYZNA STYCZNA do wkresu funkcji z = f (, ) w punkcie ( 0, 0, z 0 ) ma równanie z z 0 = f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe w pewnm obszarze). PRZYKŁAD. Napisz równanie płaszczzn stcznej do wkresu funkcji f (, ) = 9 2 2 w punkcie (1, 2, 2). f = 9 2, f (1, 2, 2) = 1 2 2, f = 9 2 2, f (1, 2, 2) = 1; JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 47 / 47
PŁASZCZYZNA STYCZNA do wkresu funkcji z = f (, ) w punkcie ( 0, 0, z 0 ) ma równanie z z 0 = f ( 0, 0 )( 0 ) + f ( 0, 0 )( 0 ) (zakładam tu, że funkcje f, f, f są ciągłe w pewnm obszarze). PRZYKŁAD. Napisz równanie płaszczzn stcznej do wkresu funkcji f (, ) = 9 2 2 w punkcie (1, 2, 2). f = 9 2, f (1, 2, 2) = 1 2 2, f = 9 2 2, f (1, 2, 2) = 1; płaszczzna ma równanie: z 2 = 1 2 ( 1) + ( + 2), czli 1 + z + 4, 5 = 0. 2 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 47 / 47