Wiadomości wst ¾ene. Narysować wykresy funkcji elementarnych sin cos tg ctg a ( a 6= ) log a ( a 6= ) arcsin arccos arctg arcctg Podać ich dziedziny i rzeciwdziedziny.. Roz o zyć na u amki roste wyra zenie (wynik srawdzić). Rozwiazać ¾ równania + 7 a) + b) + 7 + + 6 c) + 9 + d) ( )( + + ) e) + + ( + ) ( + + ) f) + 7 + + a) sin = sin b) cos = cos c) cos = cos( ) d) sin = sin 7 6 e) cos = f) sin = g) sin = h) cos = i) sin = j) sin = k) sin = l) cos = m) cos = n) cos = Od. a) = + k _ = + k b) = + k _ = + k c) = + k _ = + k d) = 7 6 + k _ = 6 + k e) = + k _ = + k f) = + k _ = + k g) = + k _ = + k h) = 6 + k _ = 6 + k i) = k j) = + k k) = + k l) = + k m) = k n) = + k k Z. Rozwiazać ¾ uk ady równań cos = cos = a) sin = b) sin = c) ( cos = e) cos = sin = f) sin = g) cos = i) k) sin = j) cos = sin = cos = sin = cos = d) cos = ( sin = cos = sin = sin = h) cos = cos = sin = l) sin = Od. a) = + k b) = + k c) = + k d) = + k e) = + k f) = 7 6 + k g) 6 + k h) = + k i) = + k j) = + k k) = + k l) = k k Z. Rozwiazac ¾ równania i nierówności a) log = log b) log 7 = log c) log > log d) log e) ln f) log g) log h) ln( ) = i) log( + ) > j) log ( ) = k) log ( + ) > Od. a) = b) = 7 c) > d) [ ] e) e f) 6 g) 9 h) = 6 i) j) f g k) ( )
Liczby zesolone. Udowodnić, ze dla dowolnych liczb zesolonych z z z zachodzi a) z + z jest liczba¾ rzeczywista, ¾ b) z z = jzj c) jzj = jzj d) z + z = z + z e) z z = z z f). Znaleźć liczby rzeczywiste y se niajace ¾ równania + i y yi a) ( + i) ( + i)y = i b) = c) ( + i) + ( i)y = i + i d) ( i) + ( + i)y = i e) 7 + i + i = + yi i Od. a) = y = b) = y = 9 c) = y = d) = y = e) = y =. Rozwiazać ¾ równania (wynik zinterretować na aszczyźnie zesolonej) a) z = z b) z = z c) z + z = d) z = z Od. a) iy y R b) R c) i d) + iy y R. Obliczyć a) i n i n+ i n+ i n+ b) ( + i) ( i)( i) ( + i)( + i) ( i) c) + + i i d) ( i) ( + i)( + i) e) ( + i) ( + i)( i) f) ( ( i)) + ( i) 6 + 7i g) i h) + i 7 + 7i i) + i + i j) ( + i) ( i) ( + i)9 ( + i) k) ( + i) ( i) 7 a) i i b) Od. 7 c) i d) 9 i e) 7 6i f) 7 i g) + i h) i i) i j) 9 i k). Obliczyć a) + i b) 7 i c) i d) + i e) i f) + i g) 7 + i h) + i i) i a) f + i ig b) f + i ig c) f i + ig Od. d) f + 7i 7ig e) f 6 + 9i 6 9ig f) f + i ig g) f + i ig h) + i i) i Dodatkowo, wyrowadzić uk ad (trzech) równań omocny w rozwiazywaniu ¾ owy zszego zadania. 6. W zbiorze liczb zesolonych rozwiazać ¾ równania (wynik srawdzić) a) z + z + = b) z iz = c) z ( + i)z + 7i = d) z ( i)z + i = e) z z + 6 = f) 9z + z + = g) z + (6 + i)z + + i = h) z ( + i)z + + i = i) ( + i) z ( + i) z + i = j) ( i) z + ( + i) z + + i = k) ( i) z + (7 + 9i) z 6i = l) ( + i) z + ( + i) z + i = Dodatkowo, obliczyć modu y z wyników. Od. a) z = + i z = i b) z = i z = i c) z = i z = + i d) z = + i z = i e) z = ( 7 + i) z = ( 7 i) f) z = 6 + 6 i z = 6 g) z = i z = h) z = + i z = + i i) z = i z = + i j) z = i z = + i k) z = + i z = i l) z = i z = + i 6 i 7. Zaisać w ostaci trygonometrycznej liczby a) cos 6 i sin 6 b) cos + i sin c) cos ' i sin ' d) cos ' i sin ' e) sin ' + i cos ' f) sin ' i cos ' g) sin ' i cos ' h) i) i j) k) i l) + i m) + i n) i o) + i Od. a) cos( 6 ) + i sin( 6 ) b) cos( ) + i sin( ) c) cos( ') + i sin( ') d) cos( + ') + i sin( + ') e) cos( ') + i sin( ') f) cos ' + i sin ' g) cos( ') + i sin( ') h) (cos + i sin ) i) (cos( ) + i sin( )) j) (cos( ) + i sin( )) k) (cos( ) + i sin( )) l) cos 6 + i sin 6 m) cos 6 + i sin 6 n) (cos( 6 ) + i sin( 6 )) o) (cos 6 + i sin 6 ). Obliczyć z z = z z
a) + i b) + i c) + i! d) ( i) i + + i 6 6 + i i e) ( + i) f) g) + i ( i) + ( + i) h) ( + i) 7 ( i) ( i) 6 i i) ( + j) i) 9 ( + i) 6 k) cos 6 i sin + i n 6 l) ( + i) n Od. a) b) 96 c) d) 96 96i e) f) i g) + i h) 6 6i i) 9 i j) 9 967 96i k) i l) n 9. Obliczyć a) b) c) + i d) 6 + i e) + i f) i Od. a) z = z = + i z = i b) z = z = + i z = i. Określić zbiór unktów se niajacych ¾ a) jz j b) jz + ij = c) jz ij = d) jz j = jz + ij e) arg z j i zj f) jz ij = jz + ij = jz j
Macierze. Obliczyć iloczyn ABCD macierzy, je zeli A = 7 B = C =. Obliczyć (jeśli istnieje) iloczyn ABC oraz BAC macierzy, je zeli a) A = b) A = B = 6 B = C = D = Od. C = 6 Od. 7 Od. 9 9 6 6 7 6 7 7. Obliczyć Od. a) a) b) b) c) 6 c) 6 6 6 7 7. Znaleźć f(a) je zeli a) f(x) = X X I gdzie A = b) f(x) = X X I gdzie A = a. Wykazać, ze ka zda macierz stonia ostaci A = c 6. Rozwiazać ¾ równanie a) X c) X + = T = (X 6 Od. Od. 6 6 b se nia równanie X d (a + d)x + (ad bc)i = b) ) d) X + 6 X + Y = A X Y = B gdzie A = = B =
Wyznaczniki. Obliczyć wyznaczniki rozwijajac ¾ je wzgl¾edem wskazanych wierszy lub kolumn (w zadaniach od f) do k), w dalszych obliczeniach, mo zna zastosować metody Sarrusa) a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Od. a) b), c) d), e) 7 f),g),h) i), j) k). Obliczyć wyznaczniki macierzy i + i i + i A = B = i + i i i + i i i C = + i i i D = i i i Od. det A = det B = + i, det C = + 9i det D = i i i + i i i + i i i. Rozwiazać ¾ równania i nierówności a) det = b) det + + d) > e) + + = c) > + + = Od. a) = = b) = = c) = = d) ( ) e) ( 6 ). Stosujac ¾ oeracje na wyznacznikach obliczyć a) b) 6 c) d) e) f) 6 g) h) 7 9 7 9 6 Od. a) b) c) d) 6 e) f) g) h). Znaleźć macierz odwrotna¾ do macierzy a) A = 6 Od. b) B = Od 6
c) C = Od. 9 d) D = 6. Rozwiazać ¾ równania macierzowe a) X A = B gdzie A = B = b) Y A = B + Y C gdzie A = B = Od. a)x = c) b) Y = Wartości w asne macierzy T X = c) X = C = Od. Jadnym z ierwiastków charakterystycznych macierzy A = 7 a a 6 jest liczba Wyznaczyć wartości arametru a oraz ozosta e ierwiastki. Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotn a¾ do A Od.a = ) A = 7 6 characteristic olynomial X X + 99X 6, eigenvalues 6 9, eigenvectors 9 = $ 6 9 9 = = $ $ 9, 7 = 6 6 6 a = ) A = 7 6 characteristic olynomial X X + 99X 6, eigenvalues 6 9, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 9 = $ 6, 7 = 6 6 6. Jadnym z ierwiastków charakterystycznych macierzy A = 6 a jest liczba Wyznaczyć wartości arametru a oraz ozosta e ierwiastki. Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotna¾ do A Od. a = 7 ) A = 6 7
characteristic olynomial X X + 99X 6, eigenvalues 6 9, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 6 = 6 7 6 9 = $ 6,. Wyznaczyć ierwiastki charakterystyczne oraz wektory w asne macierzy A = 9 Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotna¾ do A Od. characteristic olynomial (X ) X X +, eigenvalues, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 = $ = 7 9 9. Wyznaczyć ierwiastki charakterystyczne oraz wektory w asne macierzy A = 6 6 Korzystajac ¾ z Tw. Cayleya-Hamiltona obliczyć macierz odwrotna¾ do A Od. characteristic olynomial X X + X, eigenvalues 6 7, eigenvectors 9 9 9 = = = $ $ 7 $ 6, 6 6 6 = 6 6. Wyznaczyć ierwiastki charakterystyczne oraz wektory w asne macierzy A = Czy istnieje macierz odwrotna do A? Od. characteristic olynomial X 9X + X, eigenvalues 6, eigenvectors 9 = $ 9 = $ 9 = $ 6,
6 Uk ady równań liniowych. Rozwiazać ¾ odane uk ady równań > > > > > > > > > > > > > > + y + z = y + z = + y + z = + y = y + z = y + z = z = y z = y + z = + y + z = + y + z = y + z = + y z = 9 + y z = y = y + z = + y z = y z = + y = + y + z = + y + z = 9 + y + z + t = 6 y + z + t = + y + z + t = y + z + t = y + z + t = + y + z + t = 9 y + z + t = + y + z + t = + y + z t = + y + z + t = 9 y + t = 6 + y + z + t = y + z + t = + y + z + t = 9 + y + z + t = 7 y + z + t = + y z t = y + z + t = + y z t = y + z + t = + y z + t = 7y + z t = + y z + t = + y + z + t = + y z t = + y + z + t = + y + z t = + y z + t = y + z + t = + y + z = y + z + t = + y z + t = y z + t = y + z + t = + y z + t = + 6y z + t = + y z + t = 6, Od. fz = = y = g, Od. z = = y =, Od. = y = z =, Od. y = 7 z = 7 = 7, Od. y = = z = 7, Od. fy = z = = g, Od. fy = z = + = g, Od. fz = = y = t = g, Od. y = 7 z = 6 t = = 7, Od. fy = = t = z = g, Od. f = t = y = z = g, Od. fy = = z t = z = zg, Od. z = z = 9 7 y z 7 t = 7 y + z + 7 y = y, Od. z = z y = = z t = 7, rank, rank, Od. = y 6 z = 6 y + y = y t = 9 y, Od. z = z = 7 y z + 7 t = 7 y + z 9 7 y = y
> > > > > > > > > > > > y + z + t = y + z t = y + z + t = + y 6z = + y z = + y + z = 6 + y 6z = + y + z = + y + z = 7 + y + z = 7 + y z = + y z = y + z = + y z = y + z = + y z + t = y + z t = 7 t = y + z t = 6 y + z t = 6 y t = 6 9 z + t = 9 6 + 6y z + t = + y z + t = y + z 7t = + y 7z + t = y + z t = y + z + t = + y z + t = + 7y z + t =, Od. fz = z = y z t = y = yg 6, rank 6 6 7,, rank 7, Od. fy = = z = g srzeczny, Od. f = y = z = t = g, Od. fy = t = = z = g, rank, Od. z = y = 7 t + = 6 t + t = t
7 Granice ciagu ¾ Określić symbol granicy i obliczyć n + ) lim Od ) lim n! n + n! n 7 Od n + 7n ) lim n! n + n 7 Od n + 7n 7n n n + n ) lim Od ) lim n! n 7 n! n Od 6) lim + n 7 n! 7 n Od n + 6n n + n 7) lim Od ) lim n! n 7 n! n Od 6n n + n 9 9) lim n! n n Od 9n + ) lim n + n Od ) lim n n + n Od n! n! ) lim n 9n + 6n Od n! ) lim n + n n n Od + n + n n! ) lim n! ) lim Od n + n! n 6) lim n + n n n! 7) lim n + n n Od Od n! ) lim n n + n 7 Od n! 6 q 9) lim n(n n ) Od n! ) lim n + n n n n! ) lim + n Od e Od n! n n n+ n + ) lim Od e n ) lim Od e n + 6 ) lim n! n n! n n! n Od e 6 n n n n + n n + ) lim Od e 6 6) lim Od e 7) lim Od e n! n n! n 6 n! n n n + n n + n n+ ) lim Od 9) lim n! n! n + n n n+ + n + n + ) lim n! n Od e + n + Od n ) lim n! n 7 Od n ) lim n! 9 n + 7 Od n+ ) lim n! n + Od s n+ n+ n n ) lim n! n+ Od ) lim n 9n + n + 7 n n Od 9 6) lim + Od e ln ln n! n! 9 log n + 7) lim n! log Od ) lim + + + n n n! + + 9 + + Od n
Granice funkcji Znaleźć granice funkcji + + ) lim Od ) lim! + +! Od ) lim +! + 6 Od + ) lim Od! ) lim Od +! 6) lim! Od + + + 7) lim! Od undened ) lim +! 6 Od 9) lim 6 + Od 6! + ) lim! Od ) lim! Od 6 ) lim 9 +! Od + + ) lim! + 9 + Od ) lim Od ) lim Od!! + 6) lim Od! 7) lim Od + +! ) lim Od! + 9) lim + Od sin tg! ) lim Od ) lim!! sin Od cos ) lim! Od tg sin ) lim! Od ) lim Od! sin tg cos sin sin( ) lim Od cos 6) lim tg Od 7) lim 6 ) Od!!! 6 cos + sin sin + Od e ) lim! ) lim! ) lim! Od 9) lim tg! + + Od ) lim! + + ln(a + ) ) lim! Od e 6 ) lim! + ln a a Od e + + ) lim Od! ln( + k) 6) lim k!
9 Regu a de L Hositala Obliczyć granice funkcji stosujac ¾ regu ¾e de L Hositala ln cos ) lim! Od ) lim! e sin Od ) lim! arctg Od sin ) lim! tg Od e e ln sin ) lim Od 6) lim! sin! ln sin Od ln 7) lim! ln sin Od e e ) lim Od 9) lim Od! sin! ln ln ) lim ctg Od ) lim Od!! ln ) lim Od! sin ) lim! Od ) lim sin a Od ) lim! (e ) Od! 6) lim e Od 7) lim!! 9) lim! ) lim (e + )! ( ) ln( ) Od ) lim ( )tg! (tg) Od ) lim! sin Od ) lim Od e ) lim! + sin Od! ) lim!a ( ln(e a )tg Od ) Od e a Od e