Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach, lub macierz wymiaru m n. Poziome rz dy nazywamy wierszami macierzy, a pionowe kolumnami. Liczby a ij b d ce liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub funkcjami nazywamy elementami lub wyrazami macierzy A. Element a ij znajduje si w i tym wierszu oraz j tej kolumnie. B dziemy zapisywa A = [a ij m n lub A = [a ij. Macierze A = [a ij m n i B = [b ij r s s równe, je±li maj ten sam wymiar i na tych samych miejscach te same elementy, tzn. 1. m = r i n = s 2. i,j a ij = b ij M m n (R) - zbiór wszystkich macierzy wymiaru m n o elementach rzeczywistych Rodzaje macierzy Macierz kwadratow stopnia n nazywamy macierz A = [a ij wymiaru n n, tzn. macierz o równej ilo±ci wierszy i kolumn. Elementy a 11, a 22,..., a nn tworz gªówn przek tn macierzy A : a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... ; a n1 a n2... a nn Macierz kwadratow stopnia n 2, której wszystkie elementy stoj ce poni»ej jej gªównej przek tnej s zerami (tzn. a ij = 0 dla i > j) nazywamy macierz górnotrójk tn : a 11 a 12... a 1n 0 a 22... a 2n A =... ; 0 0... a mn 1
Macierz kwadratow stopnia n 2, której wszystkie elementy stoj ce nad jej gªówn przek tn s zerami (tzn. a ij = 0 dla i < j) nazywamy macierz dolnotrójk tn : a 11 0... 0 a 21 a 22... 0 A =... ; a n1 a n2... a nn Macierz, której wszystkie elementy nie stoj ce na gªównej przek tnej s zerami (tzn. a ij = 0 dla i j) nazywamy macierz diagonaln : a 11 0... 0 0 a 22... 0 A =... ; 0 0... a nn nie oznacza to,»e na przek tnej nie mog wyst powa zera; Kwadratow macierz diagonaln stopnia n, której wszystkie elementy stoj ce na jej gªównej przek tnej maj warto± 1 nazywamy macierz jednostkow i oznaczamy symbolem I n b d¹ te» E n : 1 0... 0 0 1... 0 I n =... ; 0 0... 1 nazywa si macierz jednostkow stopnia n. Macierz wymiaru n m, której wszystkie elementy s równe zero nazywamy macierz zerow. 0 0... 0 0 0... 0 0 =... 0 0... 0 Denicja 2. Niech A = [a ij m n. Macierz transponowan macierzy A nazywamy macierz B = [b ij n m, gdzie b ij = a ji. Macierz transponowan do macierzy A oznaczamy symbolem A T. Oznacza to,»e macierz A T powstaje z macierzy A przez zamian wierszy na kolumny i kolumny na wiersze. Denicja 3. Kwadratow macierz nazywamy symetryczn je±li A T = A. Dziaªania na macierzach Na macierzach mo»emy wykonywa operacje dodawania(odejmowania), mno»enia oraz operacje mno»enia macierzy przez liczb (skalar). 2
Denicja 4. Niech A = [a ij m n, B = [b ij m n. Sum (ró»nic ) macierzy okre±lamy nast puj co: Iloczyn macierzy A przez liczb α jak poni»ej A ± B = [a ij ± b ij. α A = [αa ij Oznacza to,»e dwie macierze mo»emy dodawa wtedy i tylko wtedy, gdy maj takie same wymiary. Dodawanie (odejmowanie) polega na dodawaniu (odejmowaniu ) elementów na tych samych pozycjach. Mno»enie macierzy przez liczb to mno»enie ka»dego jej elementu przez t liczb. Denicja 5. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz C = [c ij m p okre±lon nast puj co: w 1 k 1 w 1 k 2... w 1 k r w 2 k 1 w 2 k 2... w 2 k r C = A B =..., w m k 1 w m k 2... w m k r gdzie oznacza iloczyn skalarny wektorów, natomiast: w 1,..., w m - wiersze macierzy A, k 1,..., k r - kolumny macierzy B. Oznacza to,»e iloczyn macierzy A i B jest okre±lony tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B, a element c ij macierzy C jest iloczynem skalarnym i-tego wiersza macierzy A i j-tej kolumny macierzy B. Denicja 6. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [a ij n n, o elementach rzeczywistych lub zespolonych nazywamy funkcj, któr oznaczamy symbolem det A lub A przyporz dkowuj c danej macierzy liczb. Funkcja ta jest okre±lona nast puj co: Je±li n = 1, to det A = a 11. Je±li n 2, to det A = ( 1) 1+1 a 11 det A 11 + ( 1) 1+2 a 12 det A 12 +... + ( 1) 1+n a 1n det A 1n, gdzie A ij jest macierz stopnia n 1, otrzyman z macierzy A przez skre±lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Skrócone metody obliczania pewnych wyznaczników 1 Reguªa obliczania wyznaczników stopnia drugiego [ a b det = ad bc. c d 3
2 Reguªa Sarrusa obliczania wyznaczników stopnia trzeciego. a b c det d e f = aei + bfg + cdh ceg afh bdi. g h i Uwaga 1. Reguªy te nie przenosz si na wyznaczniki wy»szych stopni. Denicja 7. Niech A = [a ij b dzie macierz kwadratow stopnia n 2. Dopeªnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A nazywamy liczb d ij = ( 1) i+j det A ij, gdzie A ij jest macierz stopnia n 1 powstaª z macierzy A przez wykre±lenie i-tego wiersza i j- tej kolumny. Wªasno±ci wyznacznika 1) Je±li wszystkie elementy jednego z wierszy macierzy A s równe 0, to det A = 0, 2) Je±li w macierzy A dwa wiersze s proporcjonalne, to det A = 0, 3) Przestawienie w macierzy A dwóch wierszy powoduje zmian znaku wyznacznika tej macierzy, 4) Je±li do dowolnego wiersza macierzy A dodamy odpowiadaj ce im elementy innego wiersza pomno»one przez dowoln liczb, to wyznacznik tej macierzy nie ulegnie zmianie, np.: 5) det AB = det A det B oraz det (A + B) = det A + det B, 6) det A = det A T, 7) Pomno»enie przez α dowolnego wiersza macierzy powoduje pomno»enie przez α jej wyznacznika. Uwaga 2. Powy»sze wªasno±ci pozostaj prawdziwe tak»e dla kolumn. Macierz odwrotna Denicja 8. Niech A b dzie macierz nieosobliwa stopnia n. Mówimy,»e macierz B jest macierz odwrotn do A, je±li AB = BA = I n. Macierz odwrotna do macierzy A oznaczamy symbolem A 1. Niech D = [d ij n n oznacza macierz dopeªnie«algebraicznych macierzy A. Wówczas macierz odwrotna A 1 wyra»a si wzorem: A 1 = 1 det A d 11 d 12... d 1n d 21 d 22... d 2n... d n1 d n2... d nn T = 1 det A DT. 4
Operacje elementarne: a) dowolny wiersz mno»ymy przez liczb ró»n od 0 b) przestawiamy miejscami dwa dowolne wiersze c) do dowolnego wiersza dodajemy dowoln kombinacj pozostaªych wierszy Wªasno±ci dziaªa«na macierzach Niech A i B b d macierzami o odpowiednich wymiarach, a α C. Wówczas: 1. A + B = B + A - przemienno± dodawania macierzy, 2. (A + B) + C = A + (B + C) - ª czno± dodawania macierzy, 3. (A ± B) T = A T ± B T 4. A (B + C) = A B + A C -rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania, 5. A I n = I n A = A- macierz jednostkowa jest neutralna ze wzgl du na mno»enie, 6. (A B) C = A (B C)- ª czno± mno»enia, 7. α(a + B) = αa + αb, 8. (A B) T = B T A T, 9. (A T ) T = A, 10. (A 1 ) 1 = A, 11. (A B) 1 = B 1 A 1, 12. (αa) 1 = 1 α A 1, 13. (A T ) 1 = (A 1 ) T. 5
1. Dane s macierze: 1 1 0 2 A = 5 3 2 0, B = 1 0 1 0 1 0 1 D = 2 1 1 0 2 3 1 2 3 Zadania 2 0 1 3 0 2 1 0 2 3 1 3, E = [ 3 0 2 0 1 1, C =, F = 1 3 0 1 2 3 5 4 1 Wykonaj nast puj ce dziaªania (je±li to mo»liwe): A + 2B (b) 2A C (c) A B (d) B T A (e) A + B T (f) A 2D T (g) A T C 2 (h) C T (A + B) (i) E C B (j) F F T + D A 2. Oblicz: (c) 1 0 0 2 0 1 4 0 0 2 3 0 4 0 0 3 2 1 3 1 0 0 1 0 1 2 0 0 2 1 0 1 0 0 1, (b) [ 1 2 3, (d) 2 1 0 2 1 2 1 0 2 0 4 2 3 1 2 1 [ T 1 1 1 1 0 2 1 1 0 3 [ 1 2 3 0 1 2 2 2 0 3. Oblicz warto± wielomiany P (x) = x 2 3x + 5 dla macierzy A = 1 1 1. 1 0 3., 1 1 0 0 2 2 0 1 2 0 3 1 3 0 2 1 4. Wykorzystuj c poznane metody oblicz nast puj ce wyznaczniki: 1 2 3 5 (b) 2 8 1 2 3 cos x sin x (c) 4 5 0 6 7 0 1 1 2 2 1 2 3 0 1 1 1 (d) 0 6 1 (e) 0 2 3 1 2 2 4 0 0 3 1 (f) 1 1 3 4 2 1 6 10 0 0 0 2 3 1 0 12 1 2 1 0 8 5 4 3 2 2 1 1 0 0 (g) 0 1 2 2 2 3 4 2 0 1 2 2 0 0 1 1 1 2 (h) 2 5 4 3 2 (i) 3 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 3 4 0 1 2 3 2 1 2 1 3 4 0 2 3 5 1 1 1 3 2 1 4 8 5 3 4 0 2 6 1 3 2 0 2 1 5 1 2 1 2 2 0 2 0 2 0 1 3 0 (j) 3 4 1 0 1 (k) 0 6 7 2 0 (l) 2 0 1 0 1 1 2 1 1 5 2 9 6 1 6 0 2 2 0 0 4 6 3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 5 1 1 1 5 9 2 4 8 4,, 6
5. Rozwi za w zbiorze liczb rzeczywistych równania: x 1 2 1 2 1 1 1 x 1 1 1 x + 1 = 0 (b) 0 1 0 1 1 5 3 2 = 0 (c) 1 2 5 x x 4 x 1 y 4 y 1 z 4 z 1 x 1 y 1 z 1 1 6. Wykaza,»e x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 = x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1. x 4 y 4 z 4 1 x 0 1 1 0 x 1 x 1 = x 1 1 x 7. Znajd¹ macierz odwrotn do danej: [ 3 4 5 7 (b) [ 2 1 3 2 (c) 1 0 0 2 1 0 1 1 2 (d) 2 5 7 6 3 4 5 2 3 (e) 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 8. Rozwi za [ poni»sze równania [ macierzowe: [ [ 4 3 1 0 2 1 3 2 X + = (d) X 2 3 0 1 3 2 5 3 [ [ 0 2 3 4 2 9 (b) X = (e) X + 0 2 = 3 X 1 1 1 3 2 1 [ [ [ 1 0 0 1 2 3 5 2 5 (c) X = (f) X 1 1 0 3 4 5 9 1 3 1 1 1 = = [ 2 4 3 1 [ 16 8 5 10 5 3 9. Rozwi» równania macierzowe: (X T A I) 1 = B, gdzie A = 1 1 1 2 1 0 1 1 1, B = [ [ 1 0 2 2 (b) (X T I) A = B, gdzie A =, B =, 2 1 2 2 1 0 1 1 2 (c) (XA) T = B + X T, gdzie A = 1 1 2, B = 0 3, 1 1 0 1 4 (d) AX = X + 4B, gdzie A = 1 1 0 1 0 1 0 1 1, B = 0 3 2 1 0 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1,, 10. Oblicz rz d macierzy wskazuj c niezerowe minory maksymalnych stopni: [ 1 3 4 1 3 5 2 6 4 (b) 2 1 0 (c) 2 2 1 3 9 6 4 2 8 1 0 3 1 4 2 3 1 1 2 3 4 (d) 2 8 (e) 4 2 0 5 (f) 1 1 0 0 0 0 4 2 3 3 4 4 7
11. Wykonuj c elementarne operacje na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczy ich rz dy. 1 2 1 2 3 0 4 1 3 0 2 1 7 (b) 1 1 1 2 5 0 4 2 1 1 4 1 1 2 2 (c) 1 3 2 1 2 2 1 1 3 1 4 5 3 5 5 (d) 3 1 6 2 1 2 1 4 2 2 3 1 3 1 3 2 1 2 1 4 8
12. Sprowadzaj c podane macierze do postaci schodkowej wyznaczy ich rz dy: 3 1 2 1 7 0 1 0 2 1 1 2 3 1 5 3 2 2 1 8 0 1 1 5 4 (b) 0 4 7 1 2 1 2 3 4 6 (c) 1 2 3 5 3 3 1 1 4 2 1 2 3 4 2 30 0 30 60 (d) 5 6 7 8 9 10 11 12 (e) 3 45 0 45 90 5 75 0 75 150 13 14 15 16 4 60 0 60 120 8 5 3 4 1 2 2 2 6 9 7 0 9 3 1 6 13. W zale»no±ci od parametru p wyznaczy rz d macierzy: 1 p 1 2 p 1 1 2 1 p 5 (b) 1 p 1 (c) 1 10 6 1 1 1 p 1 2 1 1 5 1 2 1 4 1 p 0 3 p 4 1 (d) 1 p 1 1 1 5 4 p 2 2 2 1 0 1 1 0 0 1 9