Matematyka dyskretna

Transkrypt

1 Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q, (b) y y w zbiorze N, (c) y y w zbiorze Z, (d) y y w zbiorze Q, (e) (a, b) (c, d) (a d, b + c) w zbiorze R 2, 2. Niech R n [] oznacza zbiór wielomianów ustalnego stopnia n. Czy podane dziaªania s dziaªaniami wewn trznymi w R n []: (a) dodawanie wielomianów, (b) mno»enie wielomianów. 3. Ile jest dziaªa wewn trznych w zbiorze maj cym: (a) 2 elementy, (b) 3 elementy, (c) n elementów? 4. Ile jest dziaªa«wewn trzych przemiennnych w zbiorze n-elementowym? 5. W dowolnym zbiorze A okre±lone jest dziaªanie a b b. Sprawdzi, czy dziaªanie to jest ª czne. 6. Zbada, wªasno±ci dziaªa«z zadania 1. (ª czno±, przemienno±, istnienie elementu neutralnego i odwrotnego). 7. W zbiorze Z okre±lone jest dziaªanie a b a 2 + b + 1. Zbada wªasno±ci dziaªania. 8. W zbiorze R okre±lone jest dziaªanie a b a + b + ab. Zbada wªasno±ci dziaªania. 9. W zbiorze R okre±lone s nast puj ce dziaªania: a b ab + a + b, a b a + b + 1 Zbada, czy: (a) Dziaªanie jest rozdzielne wzgl dem dziaªania, (b) Dziaªanie jest rozdzielne wzgl dem dziaªania, 10. Zbudowa tabelki dodawania i mno»enia w zbiorze: (a) Z 2 (b) Z 3 (c) Z 4 1

2 (d) Z 5 (e) Z 6 (f) Z Sprawdzi, czy (A, +) jest grup, je»eli A to zbiór: (a) N, (b) Q, (c) R, (d) {0, (e) zbiór liczb caªkowitych podzieln przez ustalon liczb n, (f) zbiór liczb postaci a 2 + b 3, gdzie a, b Q, (g) {1, 2, 3, Sprawdzi, czy (A, ) jest grup, je»eli A to zbiór: (a) R, (b) Z, (c) R +, (d) R {0, (e) {0, (f) zbiór liczb caªkowitych nieparzystych, (g) zbiór liczb postaci a 2 + b 3, gdzie a, b Q, (h) { 1, 0, 1. (i) { 1, Sprawdzi, czy (Z 5, + 5 ) jest grup. 14. Wykaza,»e (Z, ) jest grup, gdzie a b a + b Czy podane grupy s cykliczne? (a) Z 3 (b) Z 5 (c) Z 16. Dla ka»dego a Z 12 wyznaczy podgrup a i okre±li rz a. Czy grupa Z 12 jest cykliczna? 17. Dla ka»dego a Z 14 wyznaczy podgrup a i okre±li rz a. Czy grupa Z 14 jest cykliczna? 18. Sprawdzi, czy dana grupa jest cykliczna: (a) Z 5 (b) Z 7 (c) Z 8 (d) Z 15 (e) Z 18 (f) Z 19 (g) Z 22 (h) Z Wyznaczy rz d grupy GL n (Z p ). 20. Sprawdzi, czy zbiór R tworzy grup z dziaªaniem : (a) a b a + b + 5 2

3 (b) a b ab a b Sprawdzi, czy rodzina P (A) wszystkich podzbiorów zbioru A tworzy grup abelow z dziaªaniem róznicy symetrycznej. 22. W grupie G rozwi za równania (a) a b (b) ya b 23. Wykaza,»e w grupie G równo± a 2 a zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a e. 24. Czy zbiór Z 2 jest podgrup grupy Z 4? 25. Zbada, czy funkcja ϕ jest homomorzmem grup G 1 i G 2. Je±li jest, wyznaczy j dro i obraz: (a) ϕ : Z Z, ϕ(a) na (n N) (b) ϕ : C C, ϕ(z) z (c) ϕ : R R, ϕ(a) a 2 (d) ϕ : C C, ϕ(z) z 2 (e) ϕ : C C, ϕ(z) z n (n N) (f) ϕ : R + R, ϕ(z) log a (g) ϕ : Z 2 { 1; 1, ϕ(0) 1, ϕ(1) 1 (h) ϕ : M 2 (R) R, ϕ(a) tra (i) ϕ : M 2 (R) M 2 (R), ϕ(a) A T (j) ϕ : GL n (R) R +, ϕ(a) deta (k) ϕ : R R, ϕ(a) 3 a (l) ϕ : M 2 (R) R, ϕ(a) deta (m) ϕ : C R, ϕ(z) z (n) ϕ : R R, ϕ(a) 5a (o) ϕ : R R, ϕ(a) 5a 26. Udowodni,»e funkcja ϕ : Z Z, ϕ() 5 jest izomorzmem grupy (Z, +) na grup (Z, ), gdzie y + y + 5 dla dowolnych, y Z. 27. Udowodni,»e grupy M 2 (R) i R 4 s izomorczne. ( ) ( ) Niech σ, τ. Wskaza : (a) σ(1) (b) σ(5) (c) τ(1) (d) τσ(3) (e) στ(3) (f) σ 1 (4) (g) τ 1 (2) (h) τ 2 (4) 29. Funkcja f : {1, 2, 3 {1, 2, 3 okre±lona jest wzorem f() Czy f S 3? 30. Rozwi za równanie w grupie S 5 : ( ) ( ) (a) ( ) ( ) ( ) (b) ( ) 1 ( ) ( ) (c) ( ) ( ) 1 ( ) (d) Sprawdzi, czy (A, +, ) jest pier±cieniem, je»eli A to zbiór: 3

4 (a) N, (b) R Q, (c) Z[i] (d) Z[ 2] (e) { R : a + b 2, (f) { Z : 2k 3k k Z, 32. Czy podane pier±cienie maj dzielniki zera? Je±li tak, wskaza przykªad: (a) R (b) Q (c) Z (d) Z 4 (e) M 2 (R) 33. Zbada, czy zbiór X jest podpier±cieniem pier±cienia M 2 (R): a b (a) X M 0 c 2 (R) : a, b, c R a b (b) X M 0 c 2 (R) : a, c Q, b R (c) X M 2 (Q) (d) X {A M 2 (R) : det A 0 (e) X {A M 2 (R) : det A Q 34. Sprawdzi, czy ϕ jest homomorzmem pier±cieni. Je±li tak, wyznaczy j dro i obraz homomorzmu. (a) ϕ : C[0, 1] R, ϕ(f) f(1) (b) ϕ : R 2 R, ϕ((a, b)) a + b (c) ϕ : M 2 (K) K, ϕ(a) deta (d) ϕ : R Z, ϕ() [] 35. Udowodni,»e pier±cie«r 1 a 0 M 0 b 2 (R) : a, b R jest izomorczny z pier±cieniem R Znale¹ rz d grupy elementów odwracalnych pier±cienia INT32 (INT32). 37. Niech a b a + b + 1 oraz a b a + b + ab. Czy zbiór R z podanymi dziaªaniami jest ciaªem? 38. Czy zbiór Q[ 5] ze zwykªym dodawaniem i mno»eniem jest ciaªem? 39. Czy zbiór Q 2 z dziaªaniami (a, b) (c, d) (a + b, c + d) oraz (a, b) (c, d) (ac, bd) jest ciaªem? 40. Wskaza, które z aksjomatów ciaªa nie s speªnione dla liczb typu INT Wskaza, które z aksjomatów ciaªa nie s speªnione dla liczb typu DOUBLE. 42. Wykaza,»e (Z 6, +, ) nie jest ciaªem. 43. Znale¹ w zbiorze liczb INT32 tak,»e , powtórzy to samo rozwi zanie dla zbioru INT Znale¹ minimalna liczb ϕ o tej wªasno±ci»e dla dowolnego odwracalnego INT32 (INT32) dostaniemy ϕ 1. 4

5 References [1] Larisa Dobryakova, Matematyka dyskretna. Lulu, [2] Sylwester Przybyªo, Andrzej Szlachtowski, Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, [3] Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, [4] Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright, Matematyka dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN,