D hab. ż. Władysław Atu Woźak Wykład FIZYKA I 7. Dyamka uchu obotowego D hab. ż. Władysław Atu Woźak Kateda Optyk Fotok Wydał Podstawowych Poblemów Techk Poltechka Wocławska http://www.f.pw.woc.pl/~woak/fyka1.html ejsce kosultacj: pokój 18/11 bud. A-1
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK ASY Każde cało moża taktować jako układ puktów matealych. Dlatego pęd cała możemy oblcyć jako sumę pędów wsystkch puktów matealych cała: p 1 m v Podstawając wyażee a pędkość każdego puktu matealego: p 1 m v 1 m d 1 d( m ) d m Śodkem masy albo śodkem bewładośc układu puktów matealych aywamy pukt, któego położee dae jest woem: S 1 m 1 S 1 d gde: (w pypadku cągłym :, gde jest gęstoścą cała) 1 m 1
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK ASY Po podstaweu do wyażea a pęd, otymamy: p d d v S S S Rówae uchu śodka masy układu: dv S a Śodek masy układu pousa sę jak pukt matealy, w któym skupoa jest cała masa układu, a któy dała sła, ówa wypadkowej sł ewętych pyłożoych do układu. S F wyp
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK ASY
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK ASY Cało ma śodek masy awse be wględu a to, cy dała a e sła gawtacj.
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK CIĘŻKOŚCI Śodek cężkośc cała to pukt pyłożea wypadkowej sł cężkośc ( cężaów ) wsystkch puktów matealych cała. Gdy welkość g (pyspesee gawtacyje) jest jedakowa dla wsystkch puktów układu, mamy: C S W pypadku cał symetycych śodek masy ajduje sę w śodku geometycym cała.
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK CIĘŻKOŚCI W pypadku cał symetycych śodek masy ajduje sę w śodku geometycym cała.
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK CIĘŻKOŚCI Ale śodek masy e mus ajdować sę fyce w cele!
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ŚRODEK CIĘŻKOŚCI apulacja śodkem cężkośc ( e tylko)
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Każde cało możemy uważać a układ puktów matealych, któych suma mas ówa sę całkowtej mase cała: 1 m Cało doskoale stywe to take cało, w któym odległośc mędy dwoma dowolym jego puktam matealym e meają sę w takce uchu (dalej awemy je całem stywym lub byłą stywą).
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Roważmy uch cała stywego wokół puktu O, waego śodkem obotu cała. Umeśćmy w tym pukce pocątek układu współędych. Nech F k oaca słę, jaką k-ty pukt dała a pukt -ty (sły wewęte) a F wypadkową wsystkch sł ewętych, pyłożoych do puktu -tego. F k k II asada dyamk Newtoa dla -tego puktu: d m v F k1, k k F F
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO ożymy ówae uchu stoam wektoowo pe : d m v F k k1, k F Pochodą wględem casu lewej stoy ówaa możemy wyłącyć ped ak locyu wektoowego (dlacego!? ćwcea achukowe): d d mv K K aywamy mometem pędu (kętem) -tego puktu matealego wględem os O.
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO omet pędu (kęt) puktu matealego wględem puktu O. K m v omet sły wględem puktu O: F F cyl: momet oaca (matematyce) możee lewostoe pe wekto położea (pomeń wodący)
DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Używając opsaej symbolk, możemy apsać ase ówae jako: D hab. ż. Władysław Atu Woźak k k k F K d, 1 Dodajemy stoam ówaa wsystkch puktów matealych cała: k k k F dk 1 1, 1 1 dk dk 1 1 0 1, 1 k k F k - to momet główy sł ewętych (wypadkowy) to momet pędu cała wględem puktu O K (dlacego?! ćwcea achukowe)
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Ostatece: dk Sybkość may mometu pędu cała obacającego sę dookoła euchomego puktu ówa sę wypadkowemu mometow (wględem tego puktu) wsystkch sł ewętych, pyłożoych do cała asada dyamk uchu obotowego cała amocowaego w jedym, euchomym pukce.
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Załóżmy tea, że cało stywe umocowae jest w dwóch puktach tak, że może obacać sę wokół euchomej os pechodącej pe te pukty pyjmjmy, że jest to oś. Wtedy składowe x y mometu sły są ówoważoe pe sły eakcj amocowaa, a obót wokół os odbywa sę pod dałaem składowej mometu sł ewętych: dk Sybkość may mometu pędu cała wględem euchomej os obotu ówa sę wypadkowemu mometow (wględem tej os) sł ewętych dałających a cało. O K F
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Całkowty momet pędu cała wględem os jest ówy sume mometów pędu każdego puktu matealego: K K 1 We współędych beguowych: K K cos wobec tego całkowty momet pędu cała: m v cos m v m K m 1
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO Welkość: I m 1 aywamy mometem bewładośc cała wględem os. W pypadku gacym cała ocągłego sumowae astępujemy całkowaem: m I dm 0 Ostatece otymujemy wąek mędy mometem pędu cała pędkoścą kątową obotu: K I
D hab. ż. Władysław Atu Woźak DYNAIKA RUCHU OBROTOWEGO CIAŁA SZTYWNEGO dk Wykoystae wąku: powala a wyażee podstawowej asady dyamk uchu obotowego: d d I I I Pyspesee kątowe cała stywego, obacającego sę wokół euchomej os, jest wpost popocjoale do wypadkowego mometu (wględem tej os) wsystkch sł ewętych dałających a cało odwote popocjoale do mometu bewładośc cała wględem tej os. I a F m
D hab. ż. Władysław Atu Woźak OENT BEZWŁADNOŚCI omet bewładośc jest węc maą bewładośc cała w uchu obotowym (aaloga masy jako may bewładośc w uchu postępowym). Pykładowe momety bewładośc był: Cało Położee os omet bewładośc pusty cekoścey walec o mase m pomeu R peły walec (taca) o mase m pomeu R kula o mase m pomeu R oś symet oś symet oś symet I mr I I 1 mr 5mR cek pęt o mase m długośc L oś postopadła do pęta, pechod pe jego śodek I 1 1mR
D hab. ż. Władysław Atu Woźak TWIERDZENIE STEINERA (TWIERDZENIE O OSIACH RÓWNOLEGŁYCH) Załóżmy, że amy momet bewładośc cała wględem os obotu, pechodącej pe śodek masy tego cała, ale cało obaca sę wględem ej os, ówoległej do ej: O O I I' md m d omet bewładośc cała I wględem dowolej os O ówa sę mometow bewładośc I tego cała wględem ej, ówoległej do ej os O, pechodącej pe śodek masy tego cała, powęksoemu o locy masy tego cała pe kwadat odległośc mędy tym osam. Wosek: Gdy śodek masy cała oddala sę od os obotu, to momet bewładośc cała wględem tej os wasta.
D hab. ż. Władysław Atu Woźak ZASADA ZACHOWANIA OENTU PĘDU Z asady dyamk uchu obotowego: wyka wpost: dk dk 0 0 K costt Jeżel wypadkowy momet sł ewętych wględem euchomego puktu cała ówa sę eu, to momet pędu cała wględem tego puktu e mea sę w case. oża pokaać, że óweż: momet pędu amkętego układu cał wględem dowolego puktu euchomego jest stały. Podobe: jeśl sły ewęte dają momet wględem euchomej os ówy eu, to momet pędu cała wględem tej os e mea sę podcas uchu.
TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚCI Roważmy obót cała o dowolym kstałce wokół os pechodącej pe pocątek układu współędych. Pędkość -tego puktu wględem pocątku układu: Stąd wyażee a momet pędu całego cała: Skoystamy tożsamośc wektoowej: Podstawając, otymujemy: D hab. ż. Władysław Atu Woźak v m m v K 1 1 b a c c a b c b a m K 1
TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚCI Wsystke pukty mają tę samą pędkość kątową, możemy węc apsać powyżse ówae wektoowe jako układ tech ówań dla poscególych składowych (tu tylko dla x ): D hab. ż. Władysław Atu Woźak x x m x m K 1 1 Poeważ: otymujemy: y x y x y x x m x y m x x m K (ak sumowaa po pomęty dla uposcea)
D hab. ż. Władysław Atu Woźak TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚCI Podobe ówaa możemy apsać dla składowych y ostatece ówae, wążące wekto mometu pędu K pseudowektoem pędkośc kątowej,pyjme postać: K x, K y, K I I I xx yx x I I I xy yy y I I I x y x y ace pawej stoy ówaa to teso bewładośc a jego elemety aywamy współcykam bewładośc lub mometam bewładośc. Teso bewładośc jest symetycy, to acy: I xy I yx
D hab. ż. Władysław Atu Woźak TENSOR OENTU BEZWŁADNOŚCI Wya pekąty (tu p. xx ): I xx m x m y jest sumą locyów każdej mas cąstkowych pe kwadat jej odległośc od daej os (tu x ), węc możemy go awać mometem bewładośc wględem tej os. W pypadku cągłego okładu masy gęstoścą możemy apsać w postac całek, a pykład: współcyk tesoa I xx x dv I xy xydv