(5) f(x) = ln x + x 3, (6) f(x) = 1 x. (19) f(x) = x3 +2x

Podobne dokumenty
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Badanie funkcji. Zad. 1: 2 3 Funkcja f jest określona wzorem f( x) = +

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

Matematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji

22 Pochodna funkcji definicja

Egzamin z matematyki dla I roku Biochemii i Biotechnologii

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. 1 Obliczanie pochodnej i jej interpretacja geometryczna

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 3, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Analiza Matematyczna MAEW101

MATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).

Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

Analiza Matematyczna. Lista zadań 10

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 9

Zadania optymalizacyjne

Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych

FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Lista 1 - Funkcje elementarne

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Analiza Matematyczna MAEW101

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista 1

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

Ekstrema globalne funkcji

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Zapisać bez użycia symbolu wartości bezwzględnej a) 1 3, b) x + y, c) x + 1 x + 2 x 2 dla 1 x 2, x

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

ANALIZA MATEMATYCZNA 2.2B (2017/18)

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

ANALIZA MATEMATYCZNA I

1. Równania i nierówności liniowe

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

BLOK I. , x = Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Szczegółowy rozkład materiału dla klasy 3b poziom rozszerzny cz. 1 - liceum

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Pochodna funkcji. Zastosowania

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

Indukcja matematyczna

Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

t) x 2 a)x 2 4x + 3 < 0 b) 3x 2 21x 30 > 0 c) x > 1 x d)2 x 2x + 3 < 1 e) > 1 < 1 m)3 n)2

Tematy: zadania tematyczne

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

PRACA KONTROLNA nr 1

Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki

KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI. PRACA KONTROLNA nr 1

Kurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

11. Pochodna funkcji

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. rozszerzonym. dla uczniów technikum. część III

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY KL. 3 POZIOM ROZSZERZONY

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa IV

Funkcje elementarne. Matematyka 1

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Wykresy i własności funkcji

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 zadania z odpowiedziami

PDM 3. Zakres podstawowy i rozszerzony. Plan wynikowy. STEREOMETRIA (22 godz.) W zakresie TREŚCI PODSTAWOWYCH uczeń potrafi:

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

Transkrypt:

. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie. Na podstawie definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji f zdefiniowanej równością () cos (2) (3) ln (4) sin 2 (5) ln + 3 (6) cos(3 ) (7) + 3. w dowolnym punkcie należącym do jej dziedziny. Zadanie 2. Obliczyć f () jeśli () 3 (2) 3 4 (3) 2 e (4) 3 2 + (5) sin 2 + 3 cos (6) ln arctg+ 3 (7) sin arctg+ln 3 (8) 3 cos arc sin + 3 (9) arc sin + 5 cos (0) ln + 5 e cos () 2 e 2 (2) 3 2 + (3) arc cos 2 (4) sin(cos 2 ) (5) ln + 2 + (6) 2 (7) (sin 2) tg. (8) arc cos 2 (9) 3 +2 e 2 (20) arctg 2 (2) 3 sin 2 (22) tg + 2 + ctg π 4 (23) cos 2 + (24) e2 e 2 + (25) ln 2 e (26) ln 3 (27) + 4 ln (28) cos (3 + ) + (29) + 8 ctg (2 + ) 2 + 2 cos(2 + ) (30) 3 + arctg(2 ) (3) ln( 3 + 2 (32) arc cos 4 4 ( + 3 ln + 2 (33) arcctg 3 (34) sin (35) (sin ) cos (36) (ln ). 4 + ) ) Zadanie 3. Sprawdzić czy funkcja y() = 2 2 + 2 2 + + ln + 2 + spełnia równanie 2y = y + ln y. Zadanie 4. Napisać równania stycznych do wykresu funkcji f w punkcie 0 gdy () ln 0 = e (2) 2 2 0 = 0 (3) 3 0 = 2 (4) 2 tg 2 0 = π 8 (5) tg 2 π 2 0 = 2 (6) ln( + 4 2 ) 0 = 0 (7) e 2 0 = 0 (8) arctg( 2 ) 0 =. Zadanie 5. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością

2 e + dla < () + dla < 0 sin dla 0 < 2π. sin 2 dla 2π < < 0 (2) dla 0 < 2 dla. ( + 3) dla (3) 3 dla < 0 cos ( ) 2 + π 2 dla 0 < < 2π. Zadanie 6. Zbadać różniczkowalność funkcji f określonej równością sin dla 2π < < 0 2 dla 0 < e dla. Zadanie 7. Dobrać wartości parametrów a b c oraz d tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + b dla 0 c 2 + d dla 0 < dla > 3 była różniczkowalna w całym zbiorze R. Zadanie 8. Dobrać wartości parametrów a oraz b tak aby funkcja f : R R określona warunkiem a + dla < 2 3 dla 2 < 3 2 + + b dla 3 była ciągła w całym zbiorze R. Czy f może być różniczkowalna w R? Zadanie 9. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej 3 ( 2 2) 2 na przedziale 2 3. Zadanie 0. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f określonej ln 2 na przedziale e e. Zadanie. Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f zdefiniowanej równością () 3 3 + 9 na przedziale 3 (2) sin (2) na przedziale π 2 π 2 (3) + cos 2 na przedziale π π 2 (4) e 2 (+) na przedziale 2 2 (5) 2 na przedziale ( 2 (6) e 2 na przedziale ( 2 (7) 2 na przedziale 2 (8) ln na przedziale e e 2

. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 3 (9) ( ) 2 na przedziale 2. Zadanie 2. Zbadać monotoniczność funkcji f zdefiniowanej równością: () ln ( + 2) (2) 2 ln ( + 2) ln (2 + 3) (3) log (22 +2+) 3 (4) log (32 3+) 2. Zadanie 3. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji: () 4 2 + (2) 3 ( 2 ) 2 (3) (4) 2 sin (5) 2( ) 2 (6) 4 2 (7) 3 2 2 (8) 2 + 2 3. a+b Zadanie 4. Funkcja f określona ( )( 4) osiąga w punkcie o odciętej = 2 ekstremum lokalne równe. Wyznaczyć a i b oraz rozstrzygnąć czy jest to minimum czy maksimum lokalne. Zadanie 5. Wyznaczyć ekstrema funkcji f określonej log (32 3+) 2. Zadanie 6. Walec o promieniu i wysokości h oraz półkula o promieniu złączone podstawami tworzą bryłę o objętości V. Dla jakiego pole powierzchni tej bryły jest najmniejsze? Zadanie 7. Koszt eksploatacji statku pełnomorskiego w ciągu godziny pływania wyraża się k(v) = a + bv 3 gdzie a i b są pewnymi stałymi dodatnimi obliczonymi dla każdego statku oddzielnie natomiast v jest prędkością statku wyrażoną w kilometrach na godzinę. Dla jakiej prędkości v statek przepłynie dowolną drogę s przy najmniejszych kosztach? Zadanie 8. Znaleźć wysokość stożka obrotowego o najmniejszej objętości opisanego na kuli o promieniu R. Zadanie 9. Jaka powinna być wysokość stożka wpisanego w kulę o promieniu R żeby jego powierzchnia boczna była największa? Zadanie 20. Należy wykonać ogrodzenie prostokątnego skweru o powierzchni 00 m 2 którego jeden bok przylega do granicy posiadłości. Koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia na granicy posiadłości wynosi 30 zł a koszt jednego metra bieżącego ogrodzenia z pozostałych trzech boków jest równy 20 zł za metr bieżący. Jakie powinny być wymiary skweru by koszt ogrodzenia był najmniejszy? Zadanie 2. Napisać równanie stycznej do krzywej y = 2 3 3 2 + 5 wiedząc że współczynnik kierunkowy tej stycznej jest równy 2. Zadanie 22. W którym punkcie prosta styczna do paraboli y = 2 2 jest równoległa do prostej y = 2 + 3? Zadanie 23. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach 2 + 2 oraz g() = 2? Zadanie 24. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f danej (+) 2 2 dla R \ {2}. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odciętej 0 =.

4 Zadanie 25. Na wykresie funkcji (a) 3 (b) sin wyznaczyć punkty w których styczna jest równoległa do prostej y =. Zadanie 26. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: ( + )2 () 2 + (2) 2 4 (3) 8 2 (4) 2 2 + 2 (5) + 2 (6) 2 3 3 2 (7) ( 2 ) 2 3 ( 2 + ) 2 3 (8) 3 ( ) 2 3 ( + ) 2 (9) 2 + 2 (0) 2. Zadanie 27. Wyznaczyć wartość największą i najmniejszą funkcji f określonej 2 + 2 < 3 = 3 2 7 + 2 > 3 na przedziale 4. Zadanie 28. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { 3 3 ( )2 dla < 3 ( 2) 2 dla 3 na przedziale 0 4. Zadanie 29. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { ln +2 dla < 2 3 (2 2) 2 dla 2 na przedziale 3 3. Zadanie 30. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { ln + dla < 3 (2 4) 2 dla na przedziale 2 4. Zadanie 3. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { 3 (2 + 4) 2 dla ( ) dla > na przedziale 4 3. Zadanie 32. Wyznaczyć o ile istnieją wartość najmniejszą i największą funkcji f określonej { 3 (2 + 3) 2 dla 0 dla > 0 na przedziale 4 2.

. ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 5 Zadanie 33. Zbadać przebieg zmienności funkcji f określonej 2 e. Zadanie 34. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f określonej równością: ( ) () ( + )e (+) 2 (3) ln + e (2) ( )e ( ) 2 (4) e 2. Zadanie 35. Zbadać przebieg zmienności następujących funkcji: () ln 2 (2) e (3) ln( + 2 ) (4) 3 ( 2 ) 2 3 ( 2 + ) 2 (5) e 2 (6) ln (7) ln 2 2 ln. Zadanie 36. Korzystając z twierdzenia Lagrange a pokazać że dla n N \ {} zachodzi nierówność: nb n (a b) a n b n < na n (a b) Zadanie 37. Korzystając z twierdzenia Lagrange a pokazać że dla 0 < y < 2 π zachodzi nierówność: y y cos 2 tg tg y y cos 2 Zadanie 38. Wykazać że dla < 0 prawdziwa jest nierówność ln( + 2 ) 2arctg. Zadanie 39. Wykazać że dla (0 ) prawdziwa jest nierówność ln 2e.